Дробное интегродифференцирование и корректная разрешимость эволюционных уравнений Климентова Вера Борисовна

Содержание к диссертации

Введение

Глава I. Пространства с весом типа потенциала 21

1.1 Некоторые необходимые определения и обозначения . 21

1.2 Пространства Lvri и их свойства 25

Глава II. Дробное интегродифферецирование 34

2.1 Интегралы Римана-Лиувилля 34

2.2 Дробные производные Римана-Лиувилля 44

2.3 О дробном дифференцировании функциии Ван дер Вадена 45

2.4 Дробные производные Маршо и Грюнвальда-Летникова 51

2.5 Видоизмененная производная Грюнвальда-Летникова 54

Глава III. Приложения к эволюционным уравнениям 58

3.1 Задача Копій 58

3.2 Оценка резольвенты оператора дробного дифферен цированная 64

3.3 Эволюционные уравнения 68

3.4 Примеры 69

• Пространства Lvri и их свойства
• Дробные производные Римана-Лиувилля
• Дробные производные Маршо и Грюнвальда-Летникова
• Оценка резольвенты оператора дробного дифферен цированная

Введение к работе

Исследования, проводимые в диссертации посвящены применению методов дробного интегро-дифференцирования к изучению корректной разрешимости задачи Коши для абстрактных дифференциальных уравнений в банаховом пространстве и, связанным с этим, изучением свойств непрерывных, но нигде не дифференцируемых функций (ННД-функций).

Следует отметить, что в последнее время к таким функциям значительно вырос интерес благодаря их тесной связи с фракталами, играющими важную роль в современных исследованиях в теории динамических систем (см. [1], [2],[3]). Как отмечено в [1] стр.79, одной из заслуг Б. Мандельброта в его работах 1975-1977гг по фракталам является то, что он "указал на досадный пробел в " Началах" Евклида (неявное предположение о гладкости объектов) по которым, не замечая явного упущения, человечество на протяжении почти двух тысячелетий постигало геометрию окружающего мира и училась математической строгости изложения".

В то же время, внимание математиков к ННД-функциям было обращено задолго до Мандельброта. Как известно ([4], стр. 408, [6] стр. 106) первый пример такой функции был найден Б. Больцано в 1830 году в работе "Учение о функции", опубликованной лишь 100 лет спустя.

К. Вейерштрасс в 1871 году также привел пример такой функции f(x) = ^aⁿcos(bⁿ7rx), где 0 < а < 1, 6-нечетное число, такое что ab > 1 + Щ- (см. [4], стр.

108).

Примерно в то же время Дарбу построил свой пример ННД- функции ₌ ~ sin((n + l)!a^ n=l ^п-

Последующее затем стремление построить по возможности более широкие классы таких функций привело к вопросу о "массивности" (термин из [4], стр.111) множества таких функций в пространстве непрерывных функций, поставленном Штеингаузом в 1929 году. На этот вопрос независимо ответили С. Банах [7] и С. Мазуркевич [8], доказав, что почти все в смысле категории Бэра непрерывные функции нигде не дифференцируемы. Множество таких функций имеет вторую категорию Бэра в пространстве Срд] всех непрерывных на [0,1] функций с равномерной метрикой (доказательство приведено в [4], п.4.3).

В 1922 году Безиковичем [9] был дан ответ на еще один, более тонкий вопрос. Он построил непрерывную функцию не имеющую ни в одной точке ни конечной, ни бесконечной односторонней производной.

Таким образом к моменту зарождения теории Мандельброта о фракталах аппарат ННД-функций был довольно основательно подготовлен.

Другая основополагающая связь объединяет фракталы с классическим фундаментальным направлением - дробным интегро-диф-ференцированием (ДИД). Этому посвящены многочисленные работы математиков и физиков([10],[11]).

Как известно диффузионные процессы на фрактальных средах описываются уравнениями с дробными производными. Например, уравнение диффузии на фрактале имеет вид (см. [1], стр. 107). d⁰u(t,x) = Alu(t, х) (t>0,x Rⁿ), (0.0.1) d^u(t,x) 1 д ft, _ч a / \ , —A^_Z = (_t-s)-^pu(s,x)ds- левосторонняя дробная производная по t порядка J3 Є (0,1), i=l ox _{ лапласиан функции u(t,x).

Учитывая указанные связи: ННД-функции-^фракталы <->ДИД, возникает естественный вопрос об изучении свойств ННД-функций с точки зрения их дробного дифференцирования. Например, этот вопрос исследовался Я.Б.Зельдовичем и Д.Д.Соколовым в [10]. Где в частности приводится формула dim^f = 2 — а, связывающая порядок а дробной производной некоторой функции и фрактальную размерность по Ф.Хаусдорфу ее графика j.

В диссертации с этой точки зрения исследуется функция Ван дер Вадена, записанная в форме приведенной в [12] /M=E*S (*є[о,і]) где {x}- расстояние от точки х до ближайшего целого числа и показывается, что эта функция имеет все производные Римана-Лиувилля дробного порядка а Є (0,1), левосторонние и правосторонние. Это, в частности, позволяет строить примеры фракталов любой наперед заданной размерности.

В связи с этим и дальнейшим использованием аппарата ДИД, приведем некоторые важные этапы его развития.

Дробные производные и интегралы были предметом внимания еще Лейбница и Эйлера. Многие известные математики мирового уровня прошлого и настоящего времени, включая Лиувиля, Абеля, Римана, Летникова, Вейля, Адамара оказали основополагающее влияние на развитие дробного интегро-дифференцирования, ставшего самостоятельным направлением в математическом анализе.

В 1987 году вышел фундаментальный труд С.Г. Самко, А.А. Килбаса, О.И. Маричева [26], посвященный этому направлению с детальным изложением истории каждого рассматриваемого вопроса и подробной библиографией, охватывающей практически все публикации по дробному исчислению и рассмотренным приложениям до 1987г.

Здесь особо подчеркивается прикладное значение ДИД. Этот аппарат используется в самых различных областях - в физике, механике, химии, биологии и др.

Первой известной задачей, при решении которой естественным образом появляются дробные производные была задача Н.Абеля о таутохроне([13]). Задача о нахождении кривой в вертикальной плоскости, по которой точка начав движение без начальной скорости в точке с ординатой х достигает горизонтальной плоскости за заданное время t = f(x). Оказывается, что эта кривая записывается в виде дробной производной от f(x).

Следующие приложения были даны Лиувиллем([14]) к задачам геометрии, физики и механики. Среди них задача Лапласа о вли- янии бесконечного прямолинейного проводника на магнит, задача Ампера о взаимодействии двух таких проводников, задачи, связанные с притяжением тел, задача о распределении тепла в шаре, задача Гаусса о приближенных квадратурах и т.д.(см. обзор задач, рассмотренных Лиувиллем, также в работах А.В.Летникова [15], стр. 21-44, 1874г).

В работе А.В.Летникова [16] дано применение ДИД к решению дифференциальных уравнений вида

2^ {а_т + Ь_тх) _J^_m = О, на основе конструкции D^af (х) = lim Щ^-, где Д - конечная разность дробного порядка 0 < а < 1.

Кроме того П.А.Некрасов [17]-[19] 1888-1891гг. дал приложения дробных производных в форме

2тгг JL (t - z)P^+l к интегрированию дифференциальных уравнений вида (а_т + b_nx)xⁿD^mfix) = 0.

В 1915г. Г.Харди и М.Рисс [20] применили дробное интегрирование при суммировании расходяцихся рядов. "Нормальные средние Рисса" являются дробным интегралом частичной суммы ряда.

Многочисленные примеры применения ДИД при решении нестандартных задач для уравнений в частных производных указаны в [19].

Например, ([5] стр.521) поток тепла ^ ^ПР^И % — 0 представляется в виде дробной производной du(t,x)_l 1 d _ft f(r) ^ _1/2 -дї~¹*= - ~7Tut Jo ^T=7)^{dT =} ~^{D+ f}> где u(t, x) является решением следующей задачи

МЪ ^х) _ d²u{t,x) dt " дх* ^' -^Uj' и(0,х) = 0, и(*,0) = /(*), и(*,оо) = 0.

Отметим также, что применению аппарата ДИД в математических моделях биологии посвященя монография А.М.Нахушева [21].

Обзор исследований по применению фракталов и связанного с ними аппарата дробного интегродифференцирования в физике за последнее время содержится в [10], [11].

Наконец, операторы дробного интегродифференцирования естественным образом возникают при изучении корректной разрешимости задачи Коши для дифференциальных уравнений в банаховых пространствах. ^ = Au(t) + /(t), t > 0 (0.0.2) u(0) = 0, (0.0.3) где опреатор А является генератором сильно непрерывной при t > 0 полугруппы U(t) имеющей суммируемую особенность в нуле и удовлетворяет оценке \\ЩЩе<~, (« Є (ОД)). 8

В этом случае решение задачи (0.0.2)-(0.0.3) представимо в виде u(t)=J*U(t-s)f(s)ds, при 0 < t < Т удовлетворяет оценке ^l|u(t)l1 - i$)/o'⁽*" ^'"'ll/WH^ = ^MI(\\f\\). где I^а - интеграл Римана-Лиувилля дробного порядка 0 < а < 1.

Диссертация посвящена исследованию корректной разрешимости таких задач. При этом вводятся и изучаются новые классы банаховых пространств, которые являются оптимальными в нижеприведенном смысле.

Пусть F и U метрические пространства с соответствующими метриками рр и ри- Согласно Адамару задача определения решения и Є U уравнения

Аи = /, (0.0.4) где f Є F задано, называется корректно поставленной на пространствах (F, U), если выполняются условия: а) для всякого f Є F существует и U - решение уравнения (0.0.4), б) решение определяется однозначно, в) задача устойчива на пространствах (F,U), то есть для лю бого є > 0 можно указать такое 6 > 0, что из неравенства Pf{I\i /2) < 6 следует ри{и\-,щ) <

Исследованию этих задач посвящено большое число работ и монографий. В этот раздел математики, большой вклад внесли как зарубежные математики, такие как Ж.Адамар, Э. Хилле, Р. Фил- липе, К. Иосида, П. Лаке, Ж. Лионе, так и отечественные математики С.Г. Креин, М.Г. Креин, М.З. Соломяк, Ю.Л. Далецкии, Ю.И. Любич, П.Е. Соболевский, В.П.Глушко, а также их воронежские ученики В.П.Орлов, Ю.Т.Сильченко А.В.Глушак и др.

Важно отметить, что устойчивость задачи (0.0.4) зависит от выбранных топологий в U и F и, вообще говоря, подходящим выбором топологий можно формально добиться непрерывности оператора А^-1, существование которого обеспечивают условия а) и б). Так в случае линейного взаимно-однозначного соответсвия оператора А и нормированных пространств U и F, устойчивость будет иметь место, если пространство F наделить нормой № = p-7lkr = IMk, и тогда ^„д-х,1 _{= вир}^{М^!к} _{= 1}^.

Однако, обычно топологии "навязываются" постановкой задачи и не могут выбираться произвольно. Так, наиболее часто используемые в прикладных задачах топологии, это топологии нормированных пространств функций f(x); х Є Сі С Rⁿ,

Ь_р(П) = {f(x) : ||/||_р = [/_n \f(x)\4x]^,p > 1}.

С (СІ) - пространство непрерывных и ограниченных в С1 функций с нормой ||/||c-sup|/W|.

С"'(СІ) - пространство непрерывных, вместе со своими производными до порядка /, функций

С«Щ = {f(x) : /<*>(х). Є С(П), П/П, = Е Н/^Нс ^ - 1, 2...} W^ - пространства С.А.Соболева.

К = {/(*) : /^WW є 1,(11), п/п,, = E ||/<«||_Р,г = i,2...}

В зависимости от задачи, наряду с этими пространствами, используются также и весовые пространства.

Ь_р,_р(П) = {/(я) : p(x)f(x) Є L_p(0), ||/||_р>, = [J_np(x)\f(x)\4x]^}. С_р(ії) = {f(x) : p(x)f(x) Є С(П), |l/||_p = sup |p(s)/(*)|.}

Например, рассмотрим задачу Копій для простейшего дифференциального уравнения и\х) = f(x) х Є [О, Т), f(x) Є С([0, Г)) (0.0.5) и(0) = 0. (0.0.6)

Требуется найти и(х) (7^((0, Т))-удовлетворяющую (0.0.5)-(0.0.6).

Таким образом в этом случае F = С([0,Т)),/ = С⁽¹⁾([0,Г)). Очевидно, что решение этой задачи единственное и имеет вид и(х) = J* f(s)ds. (0.0.7)

Если 0 < Г < оо, то из (0.0.5) и (0.0.7) следует

II* = Ыс + IMIc < (1 + Г)||/||с = (1 + T)\\f\\_F.

Это дает устойчивость по начальным данным и таким образом задача (0.0.5)-(0.0.6) корректна по Адамару в пространствах (С, С^), если Т < со. Однако при Т = оо это не так. Поэтому возникает вопрос о пространствах, в которых задача (0.0.5)-(0.0.6) корректна на полуоси (0, оо).

В связи с этим рассмотрим, например, весовые пространства C_P(Q) с весом р(х) = е~^ах, (а > 0). В этом случае, из (0.0.7) имеем, \и(х)\ < Ге^(а5)е⁽-^а5)|/(5)|^ < sup |_e(-«-)/(-_s)| Г є** ^J0 5Є[0,со) ^J0 ax -і p{^ax) "f\\c,_P < ——\\f\\c,p- то дает оценку _M < l!ii!^. (0.0.8)

Теперь, учитывая неравенство Ци'Цо < Ц/Не,/?) следующее из (0.0.5). получим \\f\\C,p \\u\\c,p + \W\\c,p< а И следовательно для пространств U = {и(х) : и\х) Є С_р([0, со)), и Є С_р([0, со))}, F = {f(x):f(x)eC_p([0,oo))} задача (0.0.5)-(0.0.6) корректна при Т = оо.

Аналогично этому простейшему случаю, в общей ситуации, при исследовании корректной разрешимости задач для абстрактных интегро-дифференциальных уравнений приходится изучать возникающие интегральные операторы и вводить соответствующие пространства, в которых эти операторы ограниченно действуют.

Приведем еще некоторые примеры банаховых пространств, наиболее часто используемых с этой целью.

1. Пространства Гельдера, нормы в которых вводятся по фор муле ||Я|_ял = тах|/(*)|+ sup №і)-/М1 А Є (0,1) z<^ х_их₂еП \Хі-Х₂\^Л

2. 1/р_;р-пространства с мультипликативным весом, норма в ко торых имеет вид _{Н/Н = /п[Пк-^П/М1}^р_^]^1/р_.

3. Важный класс банаховых пространств W_Pj1 при исследовании теорем вложений с нормой ||/||= suplhx-ar'lfixWdx]¹^ вЄ(0,1) ^ рассмотренные С.Г.Крейном и В.П.Глушко в [22], [23].

В связи с этим, с целью изучения корректной разрешимости начально-краевых задач для интегро-дифференциальных уравнений в банаховых пространствах, где ядра соответствующих интегральных операторов имеют особенность, в диссертации вводятся и изучаются классы пространств векторнозначных фикций f{x)(x Є [0,1] С R\_) со значениями в банаховом пространстве Е, "навязанные" операциями дробного интегродифференцирования и обобщающие известные пространства L_p с нормой

Пусть Е - банахово пространство и А - множество [0,1]. Через Lp_r/ и L~ будем обозначать пространства векторнозначных функций f(x) со значениями в банаховом пространстве Е, при каждом t Є [0,1], локально интегрируемых по Риману, для которых конечны нормы

II/IIL = sup [/'(* - xy-^l\f{x)\4x]^l'v, (0.0.10) ll/IIZ_P7 = sup [J\x - ty-^l\f{x)\4x]^l'v. (0.0.11) ^рл ІЄ[0,1] ^Jt

Очевидно, что если E = R^l и 7 = 1, то нормы (0.0.10) и (0.0.11) совпадают с нормами L_p-пространств (0.0.9).

В диссертации устанавливаются следующие свойства пространств

1) При 7 > 1 нормы (0.0.10) и (0.0.11) эквивалентны нормам в L_p с обычными весами: ||Л|+₇ = [(1 - zT-^WPdx]¹", (0.0.12) ||/||-₇ = [/VVWP^]¹*. (0.0.13)

Если 0 < 7 < 1) то нормы L+₇ и L~ не эквивалентны.

Если 7i > 72, то справедливо вложение L_Pi72(0,1) С L_Pi7l(0,1).

Эти пространства банаховы.

Гладкие функции в них плотны.

Справедливо ^LP,lft^LP,l = ^Wi,k-

7) Справедливо мультипликативное неравенство / IUp>g.

При условии

7r 7р 7? г р q

Лемма 1.2Л.Если ^1 > 72? ^то справедливо вложение Z,_Pi72(o,i) С р,7і(0,1)-

Основные результаты диссертации относятся к изучению в этих пространствах :

1) операторов дробного дифференцирования Грюнвальда-Летникова [Du{x)\l = Du(x) = lim i( (-1)⁴ *-*^и п к=0 \^к; и(х - к6_п), (0.0.14)

8_п х — а

, х-к6_п Є D(u), \/к = 0,1...71. и дробного интегродифференцирования Римана-Лиувилля sign(x-a) _fX f{t)dt , г,

Г(-а) ^Ja \x-t\^a+^{l a} ^ ^U D^a_aJ{x) = f(x) a = 0 (0.0.15) sign{x - a)i^D_a^-if(x) a > 0

Здесь важен вопрос о том, являются ли эти операторы генераторами сильно непрерывных полугрупп в соответствующих пространствах. С этой целью, в соответствии с теорией Хилла-Филлипса-Иосиды, исследуются резольвенты соответсвующих операторов дробного дифференцирования, в частности операторы D^1+a порядка 1 + а (а Є (0,1)).

Однако в этом случае формула (0.0.14) имеет вид D^L+au(x) = lim ⁿ„ , ' = km и для наших исследований не является удобной, так как приводит к рядам со знакопеременными коэффициентами, оценка которых вызывает непреодолимые технические трудности.

В связи с этим вводится определение дробной производной, которая представляет собой некоторое видоизменение производной Грюнвальда-Летникова.

А V^а lim -^и(х) = D^a+1u(x).

Важным отличием нового определения является то, что его использование приводит к рядам со знакопостоянными коэффициентами, что в приложениях в абстрактном случае позволяет получить более простые и точные оценки.

В диссертации устанавливается эквивалентность этих производных и производных Римана-Лиувилля и доказывается, что эти операторы являются производящими операторами сильно непрерывной полугруппы в пространствах С(_₀₀₎₀₀). А именно доказывается

Теорема 3.2.2. Норма резольвенты оператора D^a+l ограничена в Q-coco) и справедлива следующая оценка

Отсюда, в силу теоремы Хилле-Филлипса-Иосиды, следует равномерно корректная разрешимость задачи — = Au{t), t>0,u(0) = u₀, (0.0.16) где оператор А задается дифференциальным выражением D^1+a и областью определения D(A) = {и Є С(_оо_і00),.0^1+а!г4 Є С(-оо,оо)}-

Это, в частности дает равномерно корректную разрешимость задачи (0.0.1) при х Є R¹, Аи = и"(х), а = 2/3 - 1, \ < 7 < 1. 2) Для интегральных операторов Римана-Лиувилля (Iim) = J-j\x-ty-^lf(x)dx, х>а, 1 (a) ^Ja V-f№ = щ jf (* - xT~^lf{x)dx, X < 6, где а > 0, в частности, устанавливается важное свойство, состоящее в том, что они образуют сильно-непрерывную полугруппу в пространствах суммируемых функций L_p>7(0,1). А именно, справедлива

Теорема 0.0.1 Операторы дробного интегрирования образуют в jL_P)7(0, 1) полугруппу сильно-непрерывную для всех а > 0, то есть для любой функции f(t) Є L_PjJ,t Є [0,1] выполняются соотношения

I^a+Pf(t) = I^alPf{t). \\I^af\\0.

Наряду с этим в диссертации обобщаются известные теоремы Харди-Литтлвуда о действии операторов дробного интегрирования Римана-Лиувилля в пространствах Z/_p(0,1) на случай действия этих операторов в пространствах L^ .

Теорема 0.0.2 Если 0 < а < 1 а тах{1, ^¹^} < р < J, то оператор дробного интегрирования J" ограниченно действует из Ь_РПр в L_rrfr где 1 < г < y^~ и -^ — -^ + а > 0. И справедлива оценка |I?/IU_WW где константа С не зависит от /.

Теорема 0.0.3 В случае когда а > 0,р > -,/" ограниченно дей-ствует из L_va в Н^а~р, кроме того I+f(t) = o(t^a~p) при t —> О, где №.-Ё1№₊ sup 11^ + ^)-^(011. k=Q *[0,1],|Л|<1 Щ

И справедлива оценка m/Wg.-i < cii/iu„-

Полученные результаты применяются к исследованию оценки решения следующей задачи.

Пусть Е банахово пространство и /(і) Є Lp векторнозначная функция со значениями в Е. Оператор А - генератор сильно непрерывной полугруппы. Рассмотрим в Е задачу Копій для дифференциального уравнения первого порядка. u'(t) = Au(t) + f{t) (0 < t < 1), u(0) = 0 (0.0.17)

Для оценки ослабленного решения задачи (0.0.17) справедливы

Теорема 0.0.4 Если А-генератор полугруппы сильно-непрерывной в Е при t > 0, удовлетворяющий оценке

Ме^шЬ||)7(4)|| < -^-, (0.0.18) и /() удовлетворяет условию Гёлъдера \\f(t)-f(r)\\ О (г > р), то ослабленное решение u(t) задачи (0.0.11) существует и справедлива оценка \Ht)\\r

Теорема 0.0.5 Если А-генератор полугруппы сильно-непрерывной в Е при t > О, удовлетворяющий оценке Me^wt\\U{t)\\ < -^-, (0.0.19) и f(t) удовлетворяет условию Гёлъдера \\f(t)-f(r)\\ 0, то ослабленное решение u(t) задачи (0.0.17) существует и справедлива оценка ІК*)ІІ_я1-/.-ї<с||/іи_м, где константа С не зависит от /.

Определив функциональную банахову структуру, согласно [24], как вещественное линейное пространство, которое является структурой по отношению частичного упорядочения х < у, удовлетворяющему условиям если х < у, ТО X + z < у + Z] если х < у, то ах < ау или ах > ау при всех а > 0 (соответственно а < 0), отметим, что в классе функциональной банаховой структуры эти оценки являются неулучитаемыми.

В диссертации приведены примеры таких операторов А.

Пример 1. Пусть Е = {и Є L±_rru' Є L±_vu(Q) = u(l) = 0}, оператор А задан дифференциальным выражением Аи — и"(х), х Є [0,1] и область D(A) = {иє Ь%У Є L%,u(0) = и(1) = 0}, тогда D(A) ф D(A) и для полугруппы U(t), генератором которой является оператор А выполняется оценка (0.0.18) с (3 = 1/2(1 + ^)-Пример 2. Пусть Е = {и Є L*₇, и(0) = 0, $ u(x)dx - 0},

Тогда оператор А является генератором полугруппы U(t), для которой оценка (0.0.18) выполняется при (3 — 1/2(1 + ^).

Заметим, что частным случаем приведенных операторов являются операторы рассмотренные Ю.Т.Сильченко в [25] при 7 = 1-

Пространства Lvri и их свойства

Пусть р О,7 0, рассмотрим Через (0 1)1 ,(0 1) обозначается множество всех измеримых на (0,1) функций f(x), вообще говоря комплекснозначных, для которых конечны нормы (1.2.9), (1.2.10) соответственно. Очевидно, что при 7 = 1 эти нормы совпадают с нормой в Lp. Другие свойства ЬРі7-норм сформулируем в нескольких леммах. Лемма 1.2.1 Если "Y 1, то пространства Lpr/ являются LPiP-пространствами и \\ f \\±=\\ f \\ь , где р+{х) = (1 — х)1"1, р-(х) х1 1. Доказательство. так как правая часть не зависит от t можно перейти к супремуму в левой части, то есть /2р7 /LPI„. С другой стороны. Аналогично для /ї . Кроме того, легко доказать, что если 7 0, то из неравенства /рЛ со следует, что f(t) = 0 при почти всех t (0,1). Таким образом интерес для исследования представляет случай Лемма 1.2.2 Пространства, определенные нормами (1.2.9), (1.2.10) не совпадают. Для доказательства приведем пример функции, которая принадлежит пространству L 7 и не принадлежит L . Пусть Тогда с учетом замены х = st, имеем Здесь Г(1/2) = у/ж, В(а,{3) = fj+jff -бэтта-функция Эйлера. Далее Из (1.2.11) и (1.2.12) следует доказательство леммы. Лемма 1.2.3 Пространства Lva банаховы. Доказательство. Доказательство проведем используя теорему ([28]). Сделаем это для р = 1, для других р доказательство аналогично. Итак, замена = s,dx = tds, дает следующее равенство, в котором правая часть является нормой функции p(t) = f f(st) со значениями в банаховом пространстве Е = Ь\ф где р = (1 — s)7-1.

Отсюда следует доказательство утверждения для норм Lpi. Для норм L доказательство аналогично. Теорема 1.2.1 Гладкие функции плотны в Lpn. Доказательство состоит из нескольких утверждений. 1. Пусть на [0,1] задана функция p(t) Є Lprr Распространим ее на сегмент [—h; 1 + h], положив ip(t) = 0 при t . [0,1] и новую функцию (fh(x) зададим на [0,1] формулой Функция fh(x)(функция Стеклова) непрерывна на [0,1], так как —непрерывная функция. 2. Далее покажем, что Действительно, пусть сначала ц {х) 0. Рассмотрим в прямоугольнике R(0 s 1, —h z h) функцию cp(z + 5). и остается заметить, что f +t(p(x)dx Lp{x)dx то есть (1.2.13) доказана для (х) 0. Пусть (fh{x)—функция Стеклова для ( ) Тогда 1 rx+h 1 rx+h ЫХ)1 = l2h U 2hL-H I WIdt = M и JQ(t-xy l\iph(x)\dx JQ(t - x)1 l(ph(x)dx, но по доказанному f{t - xy-lyh{x)dx f (t - xf-l\y(x)\dx. Таким образом неравенство (1.2.13) доказано. 3. Если (p(t) Є Lpn, при p 1, то II 4 h \\v,i \\ V lP,7 (1-2-15) Доказательство. Для p = 1 утверждение 3 совпадает с утверждением 2. \ l_h p[t)dt\ (-Т ИОІ Л)"" л)1" (1/Р +1/« = і) Пусть р 1. Но тогда в силу неравенства Гельдера будет rx+h или 1 rx+h Правая часть — функция Стеклова для 9з(а:)р, обозначим ее фь,{х). \ Ph(x)\p фн{х). Отсюда sup / (t — xy lip x dx sup / (t — x)1 lфh(x)dx te(0,l)JO 46(0,1)-70 2Q и в силу утверждения 2 будет sup / (t — х)1 1ф}1(х)(іх sup / (t — x)1 1\(p(x)\pdx te{Q,l)J0 (0,1)70 следовательно (1.2.15). 4. Если p 1 и p(x) Є -LPi7, то lim / ( - xy-l\yh(x) - ф)\Чх = 0. (1.2.17) Доказательство.

Предположим, что (ж)-непрерывная, 0 х t, /і-настолько мало, что [х — /І, Х + /г] С [0,], то по теореме о среднем Ых) = L-h dt = где Є [ж — /І,ж + /г,]. Следовательно Va: Є (0,) lim o (я) — р(х), таким образом подынтегральная функция в (1.2.17) в каждой точке (0,) стремится кнулю. С другой стороны /?(я)-непрерывна, следовательно ограничена(/?(х) М, тогда ( /і(ж) М,то есть можно осуществить предельный переход под знаком интеграла. Следовательно (1.2.17). Предположим tp(x) Є Lpi7. Пусть є 0, Зф(х) непрерывная, такая что ф — -р \\ є. фк{%)—фунция Стеклова для ф(х), тогда ((fh{%) — Фк{х))—функция Стеклова для разности р(х) — ф(х), следовательно поутверждению 3

Дробные производные Римана-Лиувилля

Дробные интегралы и производные Римана-Лиувилля для а 1 определяются следующим образом Определение 2.2.2 Рассмотрим оператор дробного (в смысле Римана-Лиувилля) интегро-дифференцирования . Для & Є [0,1], & Є [0,1], 2 і, о- (0,1) справедливо неравенство & + & 2( t%Q ff + g + ( r- -)Q. (2.3.22) Для доказательства достаточно положить в неравенстве (2.3.20) = ! Далее для х [0,1) и 6 Є (0,1), а Є (0,1), b а рассмотрим функцию 0, ж Є [0, а) (р(х,а, b) = ір(х) х-а, х Є [а, ) Ь — яг, zpf,6) 0, х Є [6,1). После очевидных вычислений получаем t = [0,a) Є [a, ) te[ ,6) а(а + 1)Г(а) rt Jip(t) = - / (t - z)Q-V(s)dz = 0, (i-a)tt+1, (i-a)Q+1-2(- )a+1, (t - a)a+1 - 2{t - f.y+l + {t - 6)Q+1, t Є [6,1) Отсюда x rt)= «)=r(a 1 rX+ 1) o, iG [0,a) (i - a)", є [a, ) (t - a)Q - 2(t - )a, t[f,b) ( - a)a - 2(t - )a + (t - 6) , Є [6,1) Очевидно, что функция (p a\t) непрерывна при всех х Є (0,1), включая точки локальных экстремумов t = a, t = -!р, t — b. При этом (1-а)/ ч п (1_а),а + Ь. 1 b-a сс_ (a) = 0, ip_ { ) = —т А ) -a)(i) = f ViyK1 - «)а - 2(1 - Ц т+(і - )] Очевидно, что -»(i) „ !- ( ) = щ( ). (2.3.24) Кроме того при i = 1 — b, 2 = 1 — а из неравенства (2.3.22) следует 1 -0)(1) ц 1)( Г- (2-3-25) Таким образом из (2.3.23) и (2.3.24) следует оценка ")(t а щ- щт у {Ь т1г- (2-3-26) Далее, учитывая, что получаем оценку IW)(t,a,6) 1 ( )-. (2.3.27) Теперь пользуясь (2.3.26) и (2.3.27) оценим функцию f(x), заданн-ную с помощью (2.3.18). АЯ Для этого заметим, что {юпх} = Е ф Т І Л.\ rn l ЮП 10" отсюда и из (2.3.18) получаем оо 1 10" т _ 1 т 1 со 1 10п 1 \Jaf(x)\ Е — Е (ж, —-, —I , ч Г — Е — — 1 м л - „to Юп „ti Юп Юп - Г(1 + a) „to Юп „ti 2a10na 1 1 10" E 77Г- = ІгТТ vf- (2-3-28) Г(1 + a)2a fo 10Qn Г(1 + а)2а[10а-1] Таким образом ряд (2.3.18) после операции дробного интегрирования абсолютно и равномерно сходится при всех х Є [0,1). Наконец, после дифференцирования ряда (Ja/)(x), с помощью (2.3.26), как и в случае (2.3.28), получаем оценку И со і 10" гп _ і т \чР-аЧх)\ = \—Jaf(x)\ Е — Е Iv1" , —±,—) У Л ldx JK ; - ntblO r i V 10" Ю"Л 10Q — — (2.3.29) _ Г(1 + а)2а[10а-1] J Из (2.3.28)-(2.3.29) следует законность дифференцируемости ряда (2.3.18), а из (2.3.29) следует (2.3.19) для DLf.

Случай D /-доказывается аналогично. Теорема доказана. Рассмотрим связь дробных производных с объектами, части которых устроены так же как и целое [30]. Эти объекты принято называть фракталами. Классическими примерами фракталов являются треугольник и ковер Серпинского, снежинка Коха, кан-торово множество, кривая Пеано и др. Также в качестве примеров можно привести траекторию движения броуновской частицы и колмогоровскую турбулентность. Важнейшую роль, как показано в [1], дробные производные играют при описании процессов во фрактальных (пористых) средах. В частности, вместо обычного уравнения диффузии Ц = Д«, (2.3.30) где An - лапласиан от функции и, уравнение диффузии во фрактальной среде имеет вид w = Д«, (2.3.31) где ft - дробный порядок производной по времени, или даже т? = Д"Ч (2.3.32) где А7 - оператор Лапласа дробного порядка. О фракталах также известно, что эти геометрические объекты имеют дробную размерность. Заметим, что размерность этих фракталов вычисляется после описания самих множеств. Речь идет о размерности, определяемой по Ф.Хаусдорфу [10]. Кроме того, описанные выше непрерывные, нигде не дифференцируемые функции Веиерштрасса и Ван дер Вадена, имеющие дробноую производную порядка 0 а 1, как геометрические объекты являются фракталами. Размерность этих объектов, согласно соотношению dirwy = 2 — а 0 а 1, приведенному в [10] (где а-дробный порядок гладкости соответствующей функции). Вместе с тем интерес представляет и обратная задача о построении фрактала по наперед заданной размерности. При этом используется непрерывная нигде не дифференцируемая функция Ван дер Вадена, имеющая дробную производную Римана-Лиувилля при а Є (0,1). Таким образом, из теоремы 2.3.1 следует Теорема 2.3.2 График дробной производной функции Ван дер Вадена порядка а = 2 — /3 имеет размерность j3, где (3 — dirwy -наперед заданная размерность искомого фрактала 7

Дробные производные Римана-Лиувилля на оси обладают тем недостатком, что они не определены на пространстве непрерывных ограниченных функций, имеющих на бесконечности предел отличный от нуля. Например, для f(x) = const, дробная производная Римана-Лиувилля не определена. Однако, дробную производную Римана-Лиувилля на оси можно привести к другому виду, который вообще говоря, более удобный, чем (2.2.13) и (2.2.14), так как включает в себя более широкий класс функций, в частности и вышеуказанные функции. Определение 2.4.1 Пусть t Є (—оо,со); тогда конструкции будем называть дробными производными Маршо, согласно [26]. Определенные таким образом производные, допуская большую свободу для /() на бесконечности, являются более естественными на оси, чем производные Римана-Лиувилля. Но, разумеется, различия между производными

Римана-Лиувилля и Маршо, связанные с поведением на бесконечности, будут отсутствовать в случае конечного отрезка. Определение 2.4.2 Пусть t Є [a, b] тогда конструкции соответственно левосторонняя и правосторонняя производные Маршо для t на отрезке [a,Ь]. Заметим, что для функций / = 1%+ц , Ц Є Li(a,b), производная Римана-Лиувилля D"+f и производная Маршо D"+/ совпадают почти всюду (J%-/)( ) = (D+/)( ) = p(t). Наряду с представленными выше способами определения дробной производной, существует и другой подход, который принадлежит Летникову [26], основанный на равенстве / " ( ) = Km (A"/)W, (2.4.37) J w л-о hn где n - порядок производной, (A /)(t) - конечная разность функции f{t). Это равенство можно использовать для определения дробной производной, заменяя в нем п на а О, предварительно истолковав надлежащим образом разность (A%f)(t) дробного порядка. При рассмотрении конечных разностей дробного порядка функции f(t) естественно предполагать заданным на всей прямой. Определение 2.4.3 Для функции fit), заданной на всей прямой, положим

Дробные производные Маршо и Грюнвальда-Летникова

Следовательно справедлива формула После диффренцирования получаем Теорема доказана. Здесь мы приведем некоторые необходимые сведения, изложенные в [29]. Рассмотрим в банаховом пространстве Е дифференциальное уравнение где А-линейный оператор, имеющий всюду плотную область определения D(A). Определение 3.1.1 Решением уравнения (3.1.1) на отрезке [0,Т] называется функция u(t), удовлетворяющая условиям: 1). Значения функции u(t) принадлежат области определения D(A) оператора А при всех t Є [0,Т]. 2). В каждой точке t отрезка [0,Т] существует сильная производная u (t) функции u(i), то есть для всех t Є [О, Г] имеет в случае t = 0 имеется ввиду правый предел. 3). Уравнение (3.1.1) удовлетворяется при ecext Є [0,Т]. Очевидно, что решение является непрерывной функцией на [0,Т]. Под задачей Коши на отрезке [О, Т] понимают задачу о нахождении решения уравнения на [0,Т], удовлетворяющего начальному условию u(0)=uQeD{A). Определение 3.1.2 Задача Коши поставлена на отрезке [0,Т] корректно, если: 1) при любом щ Є D(A) существует и единственное решение и; 2) это решение непрерывно зависит от начальных данных в смысле, что из для соответствующих решений un(t) следует при каждом t Є [0,Т]. Справедлива следующая Теорема 3.1.1 (см.[29],теорема 1.1,стр. 4.1) Если задача Коши для уравнения (3.1.1) корректна, то ее решение задается формулой где U(t) — силъно-непререрывная при t 0 полугруппа операторов. Здесь U(t) (t 0) семейство ограниченных в Е линейных операторов, удовлетворяющих следущим условиям 1) U(t + s) = U(t)U(s) = U(s)U(t) при t, s 0. 2) Функция U{t)u непрерывна по норме на (0, со) при каждом фиксированном и Є Е.

Отметим, что в этом случае вопрос о поведении полугруппы в нуле остается открытым. Рассмотрим теперь функцию U(t)uo при любом щ Е и t 0. Так как D(A) плотно в Е, то существует последовательность элементов UQ Є D(A) такая, что щ1 — щ и, следовательно в силу ограниченности оператора U(t). Таким образом, функция U(t)uo является пределом последовательности решения (3.1.1) на (0, со) и называется обобщенным решением этого уравнения. Для многих приложений часто приходится расширять понятие задачи Коши. Определение 3.1.3 Ослабленным решением уравнения (3.1.1) на отрезке [0, Г] называется функция u(t), непрерывная на [0, Т], сильно непрерывно дифференцируемая и удовлетворяющая уравнению на (0,Т]. Под ослабленной задачей Коши на [0,Т] понимают задачу о нахождении ослабленного решения, удовлетворяющего начальному условию и(0) — щ. Здесь элемент щ может уже не принадлежать области определения оператора А. Таким образом, В этом случае ослабляется требование на поведение решения в нуле. С другой стороны, требуется непрерывность производной решения при t 0. Однако, для корректной задачи Коши это требование автоматически выполнено. Если задача Коши для уравнения (3.1.1) корректна, то все обобщенные решения этого уравнения непрерывны на (0,со). Среди обобщенных решений уравнения (3.1.1) могут быть, вообще говоря, дифференцируемые функции. Определение 3.1.4 Пусть D - совокупность тех элементов щ, для которых функция U(t)uo, доопределенная в нуле как щ, дифференцируема (справа) в нуле. На элементах из D определен линейный оператор Оператор U (0) называется производящим оператором полугруппы. Оператор А в (3.1.3), порождающий корректно разрешимую задачу Коши, может быть расширен до производящего оператора U (0) сильно непрерывной полугруппы U{t). (см. [29], стр. 51). Определение 3.1.5 Корректно поставленная задача Коши называется равномерно корректной, если из ип(0) — 0, следует, что un{t) —» 0 равномерно по t на каждом конечном опромежутке [0,Г]. Для равномерно корректной задачи Коши при любом и Є Е Определение 3.1.6 Полугруппа U(t) принадлежит классу Со, если она непрерывна при t О и удовлетворяет условию при любом и Є Е.

Полугруппа U{t) порожденная равномерной задачей Коши, принадлежит классу Со. Если полугруппа принадлежит классу Со, то для нее справедлива оценка Для полугрупп класса Со справедлива теорема Хилле-Филлипса-Иосиды-Феллера-Меядеры. Теорема(ХФИФМ). Для того, чтобы оператор А с плотной областью определения D(A) в Е был производящим оператором Со-полугруппы U(t) необходимо и достаточно, чтобы существовало и, такое, что для всех A : ReX О и любого п = 1,2... резольвента -R(A) = (А — А/)-1 удовлетворяла неравенству где константа М не зависит от п. Определение 3.1.7 Уравнение (3.1.1) называется абстрактно параболическим, если для него ослабленная задача Коши однозначно разрешима при любом щ Е.

Оценка резольвенты оператора дробного дифферен цированная

Рассмотрим банахово пространство Е. Пространства L+7 и L 7 определим (1.2.9), (1.2.10). Рассмотрим в Е задачу Коши для дифференциального уравнения первого порядка Для ослабленного решения задачи (3.3.14), справедливо при /3 = 1-а следствие из теоремы 2.1.3, которое формулируется как следующая Теорема 3.3.1 Пусть А - генератор полугруппы сильно непрерывной в Е при t 0, удовлетворяющей оценке f(t) Є ЬрП и удовлетворяет условию Гельдера \\f(t) — f(r)\\ C\t — т\6, тогда, если — — + 1—/3 0 (г р), то ослабленное решение u(t) задачи (3.3.Ц) существует и u(t) Є Ь 7г Доказательство. Поскольку решение u(t) представимо в виде и для него справедлива оценка (3.3.15), то = Г(1-/3)І-"/(І). Следовательно, по теореме 2.1.3 u{t) Є Lrrir и справедлива оценка Следуя методике изложенной в [25] для Lp пространств, приведем примеры неплотно заданных операторов в пространствах Ьрл. Пример 3.4.1. Рассмотрим оператор А = - в пространствах Ьрл с областью определения D(A) = {и(х) Є Lpn(0,l),u"{x) Є Lprnu(0) = 0, / u(x)dx = 0}. Особенность здесь в том, что в качестве одного из краевых условий для дифференциального оператора взято "нелокальное " условие Jo u(x)dx = 0. Этому условию удовлетворяет совокупность функций и{х) ортогональных к функции tp{x) = 1. Поэтому размерность этой совокупности на единицу меньше размерности всего пространства. Это означает, в частности, что D{A) не плотно в Е. Для построения резольвенты І?(А, А) — (А — Л/)-1 рассмотрим задачу По аналогии с [25] в решении этой задачи выпишем то слагаемое, порядок убывания которого по Л наименьший Для оценки нормы этого слагаемого в LPil, вначале оценим, используя неравенство Гельдера интеграл [1] Данилов Ю.А. Лекции по нелинейной динамике. Элементарное введение. - М.: Постмаркет, 2001. [2] Кроновер P.M. Фракталы и хаос в динамических системах. -М.: Постмаркет, 2000. [3] Каток А.Б., Хасселблант Б. Введение в современную теорию динамических систем. - М.: Факториал, 1999. [4] Турбин А.Ф., Працевитый Н.В. Фрактальные множества, функции распределения. - Киев: Наукова думка, 1992. [5] Курант Р.

Уравнения в частных производных.т.2. - М.: Мир, 1964, 830с. [6] Darboux G. Memoire sur les fonctions discountinues. Ann. Sci. Ecole Norm Super, 1875. [7] Banach С Uber die Baire sche Kategorie gewisser Funktionnen-mengen. Stud. Math., 1931. [8} Mazurkiewicz S. Sur les fonctions non derivables. Stud. Math., 1931. [9] Безикович А.С. // Исследование непрерывных функций в связи с вопросом об их дифференцируемости. Мат.сб. - N4, 1924 -с.529-556. [10] Зельдович Я.Б., Соколов Д.Д.// Фрактали, подобие, прмежу-точная ассимптотика. Успехи физ. наук. - 1985. - т.146, вып.З. - с.493-505. [11] Соколов И.М. // Размерности и другие геометрические показатели в теории протекания. Успехи физ. наук. - 1986. - т.150, вып.2. - с.221-254. [12] Рис Ф., Секефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. - М.: Мир, 1979. 587 с. [13] Abel N.H.// Solution de quelques problemes a I aide d integraies de fmess. - Leipzig: Teubner,1884 - T.l - p.11-27 [14] Liouville J. // Memoire sur quelques questions de geometrie et de mecanique, et sur un nauvean genre de caluel pour resoudre ces questions. - J.l/Ecoll Roy, Politechn. - 1832, T.13, seet.21. - p.1-69. [15] Летников А.В. /I Теория дифференцирования с произвольным указателем. Мат. сб. - 1868 - т.З. - с.15-68. [16] Летников А.В. // Об историческом развитии теории дифференцирования с произвольным указателем. Мат. сб. - 1868 - т.З - с. 85-112. [17] Некрасов П.А. // Общее дифференцирование. Мат. сб. - 1888 - т.14, вып.1 - с.45-168. [18] Некрасов П.А. // Приложение общего дифференцирования к интегрированию уравнений вида !L0(as + bsx)xsDsy — 0. Мат. сб. - 1888 - т.14, вып.1 - с.344-393. [19] Некрасов П.А. // Приложение общего дифференцирования к задаче о приведении многократных интегралов (в связи с интегрированием уравнения Лапласа). Мат. сб. - 1888 - т.14, вып.1 - с.410-426. [20] Hardy G.H., Riesz М. // The general theory of Dirichlet s series. - 1915 - N18 - p.78. [21] Нахушев A.M. Уравнения математической биологии. - M.: Высшая школа, 1995. [22] Глушко В.П., Крейн СТ.// Неравенства для норм производных в пространствах Lp с весом. Сибирский мат. журнал. - 1960 - т.1, N3 - с.343-382. [23] Иосида К. Функциональный анализ. - М.: Мир, 1967.-624с. [24] Сильченко Ю.Т. Линейные дифференциальные уравнения с неплотно заданными операторными коэффициентами и связанне с

Похожие диссертации на Дробное интегродифференцирование и корректная разрешимость эволюционных уравнений

О разрешимости уравнений на стратифицированных множествах с жестким оператором ЛапласаСеменов Сергей Леонидович

Разрешимость уравнений сжимаемой жидкости БингамаБасов Иван Владимирович

Разрешимость операторных уравнений обобщенно-теплицева типаЛалаян, Артур Суренович

Пространства Соболева-Безиковича бесконечного порядка и разрешимость нелинейных уравненийГрошев, Лев Николаевич

Разрешимость вырождающихся уравнений магнитной газовой динамики и температурной модели неоднородной жидкости Искендерова Джамиля Абыкаевна

Спектральные вопросы задачи Франкля для уравнения смешанного типа и разрешимость аналога этой задачи для уравнения ГельмгольцаАмбарцумян Ваграм Эдвардович

Функционалы Ляпунова и разрешимость нелинейных параболических уравненийЛаврентьев, Михаил Михайлович

Вопросы разрешимости абстрактных дифференциальных уравнений с дробными производными Римана-ЛиувилляАвад Хамед Камаль Мостафа

Вариационные уравнения типа Шредингера. Разрешимость и приближенные методыШепилова Елена Владимировна

Оперативная функция Лежандра и вопросы разрешимости линейных дифференциальных уравнений в банаховом пространстве Гончарова Марина Алексеевна