Введение к работе
Актуальность темы. Развитие области математического анализа, называемой дробным исчислением и посвященной исследованию п применению производных и интегралов произвольного (вещественного или комплексного) порядка, обусловлено проникновением и взаимосвязями с самыми разнообразными вопросами теории функций, интегральных и диф-ференнпальиых уравнений и др.
История развития дробного шітегродпффереііщіровшіия знает немало работ, в которых в разное время переоткрывались уже известные результаты, иногда теми же самыми средствами, что и у предшественников, иногда на основе других методов. Это обстоятельство усугублялось тем, что существует большое число различных подходов к дробному интегродиф-ферепцировашно и, следовательно, различных направлений в дробном исчислении. Сопоставление этих подходов и направлений проводилось редко. Важным шагом в развитии стала книга, написанная Самко С.Г., Килба-сом А.А. и Маричевым О.И. "Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения", которая объединила, разные исследования в направлении по изучению дробных производных и іштегралов.
В последние годы возрос интерес к исследованию так называемых дифференциальных уравнений дробного порядка, в которых неизвестная функция содержится под зпаком производной дробного порядка. Это обусловлено как развитием самой теории дробного интегрирования и дифференцирования, так ц приложениями таких конструкций в различных областях науки. В связи с этим мы приведем список авторов монографий и обзорных статей по этой тематике: Oldham К.В., Spanier J.; Miller K.S., Ross В.; Carpintery A., Mainardi F.; Gorenflo R., Mainardi F.; Podlubny I.; Hilfer R.; Metzler R., Klafter J.; Нахушев A.M.; Псху A.B.; Kilbas A.A., Srivastava H.M., Trujillo J.J. и др.
В вышеуказанных монографиях и статьях можно найти различные приложения дифференциальных уравнений дробного порядка в физике, механике, химии, инженерии и других обла.стях науки и естествознания. Дифференциальные операторы дробного порядка могут иметь различные формы. Обзор методов и результатов в теории дифференциальных уравнений дробного порядка был дан в двух обзорных статьях Колбаса А.А. и его расширенный вариант представлен в монографии Kilbas А.А., Srivastava Н.М., Trujillo J.J. Theory and application of fractional differential equations. Math. Studies. V. 204. Elsevier. 2006.
Среди одномерных линейных дифференциальных уравнений наиболее изучены уравнения, содержащие дробные производные Рішана-Лиувилля. В восьмидесятых годах двадцатого века началось исследование одномерных дифференциальных уравнений с модифицированными дробными производными Римана-Лиувилля. Эта конструкция была введена итальянским механиком Капуто М. в 1967 году, и названа дробной производной Капуто.
В восьмидесятых годах двадцатого века началось изучение дифференциальных уравнений с частными дробными производными. Большинство исследований в области обыкновенных дифференциальных уравнений дробного порядка были посвящены теоремам существования и единственности решений дифференциальных уравнений с дробными производными Римана-Лиувилля. Работы многих ученых были посвящены изучению задачи типа Коши. Они базировалисть па сведении этой задачи к интегральному уравнению Вольтерра второго рода с последующим применением известных методов для исследования этого уравнения: принцип неподвижной точки, метод последовательных приближений и др. Для решешш обыкновенных дифференциальных уравнений и краевых задач применяется также метод интегральных преобразований.
Одним из современных направлений развития теории дифференциальных уравнений является изучение дифференциальных уравнений, решения которых являются функциями со значениями в произвольном банаховом пространстве. Изучение дифференциальных уравнений первого и второго порядков в банаховом пространстве (подход, связанный с теорией полугрупп и теорией косинус-функций) начато в работах Хилле Э. и Иоси-ды К. в 1948 г. В настоящее время имеются монографии Данфорда Н. и Шварца Дж., Иосиды К., Крейна С.Г., Като Т., Голдстейпа Дж., Хилле Э. и Филлипса Р., Фатторшш Г. и некоторые другие, излагающие теорию и применешге линейных полугрупп и косинус-функций, а таюке обширные обзоры Крейна С.Г. и Хазана М.И., Васильева В.В., Крейна С.Г. и Пис-карева СИ. научных публикаций, начиная с 1968 г. Основные вопросы, подвергавшиеся исследованию, — это корректность задачи Коши (существование решения, его единственность и непрерывная зависимость от начальных условий), устойчивость по отношению к возмущениям операторов, поведение при t -> со и т.д.
В последние годы рядом авторов было начато исследование абстрактных дифференциальных уравнений дробного порядка. Среди них Кочубей А.Н., Костин В.А., Бажлекова Е., Глушак А.В., Clement Ph., Gripenberg G-, Londen S.-O. и др.
Дробное исчисление функций одной и многих переменных, и в том числе исследование абстрактных дифференциальных уравнений дробного порядка, продолжает интенсивно развиваться и в настоящее время, свидетельством чему служит как большой поток публикаций, так и международные конференции, специально посвященные вопросам дробного исчисления.
Целью работы является исследование вопросов возмущения абстрактных дифференциальных уравнений, содержащих дробные производные Римаиа-Лиувилля, как постоянным, так п переменным операторами, а также установление однозначной разрешимости начальных задач для дифференциальных уравнений дробного порядка с переменным оператором.
Методика исследований. При псследовашга вопросов возмущения абстрактных дифференциальных уравнений, содержащих дробные производные Римаиа-Лиувилля, используется метод сведения к интегральным уравнениям. Установление однозначной разрешимости начальных задач для дифференциальных уравнений дробного порядка с переменным оператором проводилось методом Соболевского-Танабе, который был видоизменён применительно к уравнениям дробного порядка.
Научная новизна. Результаты, полученные в диссертации, являются новыми. Среди наиболее важных отметим следующие:
-
указаны достаточные условия, при выполнении которых корректность задачи типа Коши для уравнения дробного порядка сохранится и после возмущения входящего в уравнение оператора неограниченным переменным оператором;
-
найдены достаточные условия, которые относятся к теории возмущений постоянным неограниченным оператором и которые примыкают к теории возмущений по Миядере геператоров полугрупп;
-
изложен метод квазиобращеїшя для дифференциального уравнения дробного порядка, не требующий наличия резольвенты у входящего в уравнение оператора, который в некотором смысле подчинен генератору Со-полугруппы;
-
методом Соболевского-Танабе, который был видоизменён применительно к уравнениям дробного порядка, установлена однозначная разрешимость начальных задач для дифференциальных уравнений дробного порядка с переменным оператором.
Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы при установлении корректной разрешимости конкретных уравнений математической физики. В диссертации приводятся соответствующие примеры.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на следующих международных и российских конференциях:
-
XLIV Всероссийская конференция по проблемам математики, информатики, физики и химии. Москва. РУДН. 21 - 25 апреля 2008.
-
Международный Российасо-Азербайджанский симпозиум. Эльбрус. 12 - 17 мая 2008.
3. The Fifth International Conference on Differential and Functional
Differential Equations. Moscow. 17 - 24 августа 2008.
-
Девятая Крымская Международная Математическая школа MFL -2008. Симферополь. 15 - 20 сентября 2008.
-
Dynamical system modeling and stability investigation. Kyiv. 27 - 29 may 2009.
-
Дифференциальные уравнения и их приложения. СамДиф - 2009. Самара. 29 июня.
Кроме того, результаты диссертации обсуждены на семинаре проф. Морозова В.А. в МГУ и на семинаре под руководством проф. Солдатова А.П. и Мейрманова A.M. в НИУ БелГУ.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1] - [14]. Работы [11] - [14] опубликованы в изданиях, соответствующих списку ВАК РФ.
В совместных работах с научным руководителем Глушаком А.В. руководителю принадлежит постановка задач и руководство работой. Автору диссертаціш принадлежит выбор методик исследования и их реализация.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из четырех глав, разбитых на двадцать пунктов, и списка литературы, включающего 74 источника. Общий объём диссертации 103 страницы.
