Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Краевая задача для уравнения с матричным интегро-дифференциальным оператором 23
1.1. Определение и некоторые свойства оператора матричного интегро-дифференцирования 23
1.1.1. Вспомогательные сведения 23
1.1.2. Матричное уравнение Абеля первого рода 25
1.1.3. Условия разрешимости матричного уравнения Абеля 30
1.2. Краевая задача для уравнения с матричным интегро-дифференциальным оператором 33
1.3. Эквивалентность краевой задачи нескольким краевым задачам меньшей размерности 37
1.3.1. Краевые задачи для скалярного уравнения: существование решения и его непрерывная зависимость от начальных условий , 38
1.3.2. Краевые задачи для скалярного уравнения: единственность решения 52
1.4. Существование и единственность решения краевой задачи для уравнения с матричным дифференциальным оператором 55
Выводы 57
ГЛАВА 2. Свойства смешанного дробного интеграла и смешанной дробной производной 58
2.1. Основные функциональные классы и свойства оператора
смешанного дробного интегро-дифференцирования в этих классах 58
2.1.1. Пространство функций ACn,m(f2) и его свойства 58
2.1.2. Пространство функций С"^"(Г2) и его свойства 65
2.1.3. Смешанный дробный интеграл и смешанная дробная производная Римана-Лиувилля 66
2.1.4. Классы функций ^(Ь), AC^(ftt ^(СУД,С%$(3) . 68
2.2, Двумерное интегральное уравнение Абеля 69
2.2.1. Единственность решения интегрального уравнение Абеля 70
2.2.2. Необходимое и достаточное условие однозначной разрешимости уравнения Абеля 72
2.2.3. Смешанный дробный интеграл и смешанная дробная производная как взаимно обратные операции 77
2,3. Краевые задачи для линейного уравнения со смешанной дробной производной 80
2.3.1. Задач типа Гурса для дифференциального уравнения со смешанной дробной производной 80
2.3.2. Задачи для дифференциального уравнения «второго порядка» со смешанной дробной производной 83
Выводы 98
ГЛАВА 3. Задача типа Гурса для дифференциального уравнения со смешанной дробной производной 99
3.1. Теоремы об однозначной разрешимости задачи типа Гурса для нелинейного дифференциального уравнения со смешанной дробной производной 99
3.1.1. Задача типа Гурса для дифференциального уравнения со смешанной дробной производной 99
3.1.2. Равносильность задачи типа Гурса и интегрального уравнения Вольтерра второго рода 100
3.1.3. Существование и единственность решения задачи типа Гурса 102
3.2. Аналог задачи типа Гурса для однородного дифференциального уравнения со смешанной дробной производной 106
3.3. Аналог задачи типа Гурса для неоднородного дифференциального уравнения со смешанной дробной производной 110
3.4. Матричный оператор смешанного интегро-дифференцирования Римана-Лиувилля 113
Выводы 123
Заключение 125
Список использованных источников и литературы
- Условия разрешимости матричного уравнения Абеля
- Пространство функций С"^"(Г2) и его свойства
- Задачи для дифференциального уравнения «второго порядка» со смешанной дробной производной
- Равносильность задачи типа Гурса и интегрального уравнения Вольтерра второго рода
Введение к работе
Диссертационная работа посвящена исследованию краевых задач для дифференциальных уравнений с. матричной дробной производной Римана-
Лиу БИЛЛЯ.
Область математического анализа, называемая дробным исчислением и посвященная исследованию и применению производных и интегралов произвольного (вещественного или комплексного) порядка, тесно связана с самыми разнообразными вопросами теории функций, интегральных и дифференциальных уравнений и др. Дробное исчисление функций одной и многих переменных в настоящее время интенсивно развивается, свидетельством чему является большой поток специально посвященных ему публикаций.
В различных отраслях науки и ее инженерных приложениях все более часто возникают дифференциальные уравнения дробного порядка. В этой связи можно отметить монографии I. Podlubny [122], К. В. Oldham, J. Spanier [118], К. S. Miller, В. Ross [115], A. M. Нахушева [59,62], В. А. Нахушевой [57], работы I. M. Sokolov [128], А. А. Килбаса [107].
Исторически первыми приложения уравнениям с дробными интегралами и производными привели Абель [85,86] (задача о таутохроне) и Лиувилль [110], который дал приложения к задачам геометрии, физики и механики. Среди них задача Лапласа о влиянии бесконечного прямолинейного проводника на магнит; задача Ампера о взаимодействии двух таких проводников; задачи, связанные с притяжением тел; задача о распределении тепла в шаре; задача Гаусса о приближенных квадратурах и др.
Собственно история дифференциальных уравнений дробного порядка берет свое начало с работ М. Fujiwara [97], O'Shaughnessy [120], Е. L. Post [123], Е. Hille [100]. В работе Е. Pitcher [121] были доказаны теоремы о существовании и единственности решения задачи типа Коши для уравнения D%+y = f(xty), что заложило серьезную основу для теории дифференциальных уравнений дробного порядка. Дальнейшее развитие эта теория получила в работах [87-90] и монографии С. Г. Самко, А. А. Килбаса, О. И. Мариче-ва [73].
В настоящее время активно исследуются задачи для дробных дифференциальных уравнений. Известен ряд методов их решения (хороший обзор содержится, например, в работах А. А. Килбаса [108,109]). Так, для решения задачи типа Коши для неоднородного уравнения
где Re а > 0, может быть применен метод последовательных приближений [73]. В монографии I. Podlubny [122] методом интегральных преобразований решен ряд задач для дробных дифференциальных уравнений. В серии работ А. А. Килбаса, С. А. Марзана [41-43,52,53] исследуется задача типа Коши для нелинейного дифференциального уравнения дробного порядка и систем таких уравнений в весовых пространствах непрерывных функций.
Однако для прикладных задач обыкновенных дифференциальных уравнений недостаточно. Уже в простейших физических задачах возникают производные по двум независимым переменным - по координате и времени. Поэтому актуальным направлением дробного исчисления являются задачи для дифференциальных уравнений в частных дробных производных. Они рассматриваются в работах А. А. Килбаса [106], Р. Р. Нигматулина [116], W. Wyss [131], А. Н. Кочубея [48,49], А. В. Иеху [68], С. X. Геккиевой [18], Т. С. Алероева [1-4], работах [19,22,80,101] и др.
В подавляющем большинстве работ, в которых изучаются задачи для дифференциальных уравнений в частных дробных производных, уравнения представляют собой классические уравнения математической физики, в которых одна из частных производных заменена на частную дробную производную. Рассмотрим некоторые из них.
В работах [48,49] в полуплоскости рассматривалась краевая задача для дифференциального уравнения в частных производных, содержащая регуля-ризованную дробную производную.
В работах [65,66] доказана однозначная разрешимость в классе Са^(0) краевой задачи для уравнения
(DaJ>c+u) (*, у) + А (/#?іС+и) (х, у) = /(*,у),
где 0 < а ^ 1, О < /? < 1, с краевыми условиями
причем рассмотрен как случай А > 0, так и случай А < 0. Решения получены в терминах функции типа Райта.
В работах [67,68] рассмотрены первая, вторая и смешанная краевые задачи в прямоугольной области Q для уравнения
(^) О*, У) + Щу(х, у) = Дх, у), (1)
где 0 < a = 1 (так называемого уравнения диффузии дробного порядка). Решения получены в терминах функции типа Райта.
В монографии А. М. Нахушева [62] в прямоугольной области О, для уравнения диффузии дробного порядка (1) с 0 < а ^ 2 решена первая краевая задача с однородными граничными условиями. Решение получено в терминах функции типа Миттаг-Лефлера.
Задача типа Коши для уравнения (1) (f(x,y) = 0) в полуплоскости х > 0 была рассмотрена в работе [18], решение получено в терминах функции типа Райта.
Из работ, в которых исследуются уравнения с оператором смешанного дробного интегро-дифференцирования, можно отметить работу S. Vasilache [130], в которой получено решение двумерного интегрального уравнения Абеля
(i:f,c+u)(x,y) = f(x,y),
где 0<а^1,0
Дальнейшее развитие теории дробного исчисления привело к исследованию систем дифференциальных уравнений в дробных производных. Исследованию систем линейных дифференциальных уравнений дробного порядка посвящены работы В. К. Вебера [15,16], М. И. Иманалиева [37]. В работе
V. Daftardar-Gejji [95] доказаны теоремы сущуствоваиия и единственности задачи Коши для системы дифференциальных уравнений D%+(y — у(о)) = Лу, где матрица А обладает произвольным комплексным спектром.
Развитие идей и методов в теории дробного исчисления привело к появлению различных обобщений операторов дробного иптсгро-дифферепцирова-ния (операторы типа Эрдейи-Кобера, Джбрашяна, дробные интегралы и производные Вейля и Чженя, операторы со степенно-логарифмическим ядром, операторы М. Сайта и др.) [73]. Операторы обобщенного дробного интегро-дифференцирования с гипергеометрической функцией Гаусса рассматривались, например, в работах Е. R. Love [111], М. Saigo [124,125], А. А. Килба-са [7,8,45], О. А. Репина [70]. В работах А. А. Андреева [6,9,35] операторы дробного интегро-дифференцирования обобщаются на случай матричного интегро-дифференцирования с помощью аппарата функции матриц [17].
В серии работ А. А. Андреева [6,9,10] с помощью введенного оператора матричного интегро-дифференцирования решены задачи для определенного класса систем интегро-дифференциальных уравнений. Результаты работ пересекаются с работами М. Lowengrub, J. Walton [112], И. Л. Васильева [14]. Матричное интегро-дифференцирование позволяет исследовать задачи для более широких классов систем интегро-дифференциальных уравнений. Однако применимость матричного интеграла и матричной производной при решении систем дифференциальных уравнений в дробных производных изучена очень мало.
Актуальность темы Дифференциальные уравнения дробного порядка являются основой для построения математических моделей, описывающих различные процессы, в том числе в средах с фрактальной структурой. Дифференциальные уравнения дробного порядка исследовали многие авторы, в том числе Е. Питчер (Е. Pitcher), В. Сьюелл (W. Sewell) [121], Дж. Бар-ретт (J. Н. Barrett) [90], М. Аль-Бассам (М. A. Al-Bassam) [89], А. А. Кил-бас [38-40,44,45,73,92,106-109], X. Трухилло (J.J. Trujillo), Б. Бонилла (В. Bonilla) и др. В последние годы дифференциальным уравнениям дробного порядка посвящены работы А. Н. Кочубея [48,49], I. Podlubny [122], А. А. Килбаса [39,40,44,45], А. М. Нахушева [58-62], А. В. Псху [65-68].
Высокий интерес к исследованию дифференциальных уравнений дробного порядка обусловлен их широким применением в задачах физики, механики, химии, биологии, теории управления и других прикладных наук. Дифференциальные уравнения дробного порядка позволяют дать эффективные модели различных аномальных явлений, возникающих в естествознании. Например, в связи с аномальной диффузией можно упомянуть работы [21,46,57, 62,63,69,71,72,78,84,91,93,96,99,107,113,114,116,117,119,126,127,129,131,132]. Построение теории однозначной разрешимости в различных функциональных пространствах и исследование вопросов корректности постановок задач для дифференциальных уравнений дробного порядка требуется как для внутренней завершенности теории дробного интегро-дифференцирова-ния, так и для многочисленных приложений.
Основной целью работы является исследование краевых задач для систем дифференциальных уравнений, содержащих оператор матричного дробного дифференцирования по одной или по двум переменным, обобщающих известные задачи для классических уравнений математической физики. Выполнение цели работы потребовало исследования свойств некоторых функциональных классов, свойств операторов матричного и смешанного матричного дробного интегро-дифференцирования, решения различных обобщений уравнения Абеля, решения скалярных дифференциальных уравнений в частных дробных производных.
Методы исследования В работе используется аппарат специальных функций, методы теории интегральных уравнений, дифференциальных уравнений с частными производными, дробного интегро-дифференцирования, теории рядов Фурье, аппарат функций от матриц.
Научная новизна. Научная новизна работы заключается в следующем:
Получены необходимые и достаточные условия существовании и единственности решения двумерного уравнения Абеля, матричного уравнения Абеля, двумерного матричного уравнения Абеля;
Доказаны теоремы о существования и единственности решения краевых задач для дифференциального уравнения в частных производных с матричным дифференциальным оператором, для дифференциального уравнения с двумерным матричным интегро-дифференциальным оператором;
Доказана равносильность аналога задачи Гурса для нелинейного дифференциального уравнения со смешанной дробной производной и интегрального уравнения Вольтерра второго рода;
Доказана теорема о существовании и единственности решения аналога задачи Гурса для нелинейного дифференциального уравнения со смешанной дробной производной в весовом пространстве непрерывных функций;
Получено решение задачи типа Гурса для неоднородного дифференциального уравнения со смешанной дробной производной в терминах функции типа Райта;
Положения, выносимые на защиту:
Теоремы о необходимом и достаточном условях существования и единственности решения двумерного уравнения Абеля, матричного уравнения Абеля, двумерного матричного уравнения Абеля;
Теоремы о существовании и единственности решения краевых задач для дифференциального уравнения в частных производных с матричным дифференциальным оператором, для дифференциального уравнения с двумерным матричным интегро-дифференциальным оператором;
Теоремы о равносильности аналога задачи Гурса для нелинейного дифференциального уравнения со смешанной дробной производной и интегрального уравнения Вольтерра второго рода;
Теорема о существовании и единственности решения аналога задачи Гурса для нелинейного дифференциального уравнения со смешанной дробной производной в весовом пространстве непрерывных функций;
Решение задачи типа Гурса для неоднородного дифференциального уравнения со смешанной дробной производной;
Практическая и теоретическая ценность Результаты работы носят теоретический характер и являются важным вкладом во внутреннюю завершенность соответствующего раздела дифференциальных уравнений с частными производными; они могут быть использованы для дальнейшей разработки теории краевых задач для дифференциальных уравнений в дробных производных, а также для решения прикладных задач, приводящих к таким уравнениям.
Апробация работы Результаты исследований докладывались и обсуждались на:
— межвузовских конференциях «Математическое моделирование и краевые
задачи» в Самарском государственном техническом университете (Сама
ра, 2002, 2003 гг.)
всероссийских конференциях «Математическое моделирование и краевые задачи» в Самарском государственном техническом университете (Самара, 2004, 2005 гг.)
международной конференции молодых ученых «Актуальные проблемы современной науки. Естественные науки» (Самара, 2004 г.)
всероссийской конференции «Дифференциальные уравнения и их проло-жения» (Самара, 2005 г.)
международном Российско-Узбекском симпозиуме «Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики» (Нальчик, 2003
г.)
— международном Российско-Казахском симпозиуме «Уравнения смешанно
го типа и родственные проблемы анализа и информатики» (Нальчик, 2004
г.)
— всероссийских симпозиумах по прикладной и промышленной математике
(Сочи, 2003, 2004 г.г.)
международной конференции «Функциональные пространства, теория приближений, нелинейный анализ», посвященной столетию академика С. М. Никольского (Москва, 2005 г.)
научном семинаре «Дифференциальные уравнения» кафедры математи-
ческой физики Самарского государственного университета (руководитель д.ф.-м.н., проф. Филатов, 2004 г.)
научном семинаре «Прикладная математика и механика» Самарского государственного технического университета (рук. д.ф.-м.н., проф. Радчен-ко В. П., 2003-2005 г.г.)
научном семинаре кафедры «Дифференциальные уравнения» Казанского государственного университета (рук. д.ф.-м.н., проф. Жегалов В. И., 2005 г-)
— научном семинаре кафедры «Дифференциальные уравнения» Саратовского государственного университета (рук. д.ф.-м.н., проф. Хромов А. П., 2005 г.)
Публикации. Основные результаты исследований опубликованы в 14 научных работах. Среди них 2 статьи в научных журналах, 7 статей в сборниках научных трудов и 4 тезиса докладов на международных конференциях. Общий объем опубликованных материалов составляет 51 страниц. 8 работ опубликованы без соавторов.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. В каждой главе своя нумерация параграфов, определений, лемм, теорем и формул. Общий объем диссертации 137 страниц, из которых 12 страниц занимает список литературы, состоящий из 132 наименований.
Первая глава посвящена исследованию краевой задачи для уравнения с матричным интегро-дифференциальным оператором. П. 1.1 носит вспомогательный характер и содержит определения и некоторые свойства оператора матричного интегро-дифференцирования Римана-Лиувилля
LW)W
b=l n=0
минимальный многочлен матрицы G; j = 1,т^, к = l,sf D~ — оператор дробного интегро-дифференцирования Римана-Лиувилля, a Ajt Є A(G).
В частности, в пп. 1.1.2 найдено решение матричного интегрального уравнения Абеля
&*> = f (*), (2)
где Л Mmi ее спектр А(А) С С+, х > а > —со, (р(х) и (х) — т-мерные вектор-функции, а в пп. 1.1.3 доказана теорема о необходимом и достаточном условии разрешимости матричного уравнения Абеля в классе интегрируемых функций:
*
Теорема 1.1. Для того, чтобы матричное уравнение Абеля (2) было разрешимо в L(a,b), необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия
T^E-Aft=ACn»[atb]t (3)
.XnrE-Af{a) = 0 (- = 0),w-i), (4)
где птах — наибольшее из всех щ — — [— Reoti], оц — собственные числа матрицы А, г = 1, т. При выполнении этих условий уравнение имеет единственное решение, и оно задается формулой
Ф) = Df. В пп. 1.1.3 также показано, что условия (3), (4) равносильны условиям
Inaf~MA)gkeACnb[a}b] (fc = M),
^f-MA)gk{a) =0 (fc = 0^, і = МГ^Ї),
где щ = —[—Re а к], Jk{A) ~ Жордановы клетки матрицы А (к = 1,5), {gx,..., ge}r = g = T_1f, T — матрица, приводящая матрицу А к Жордано-вой форме.
В п. 1.2 в области Q = {(ж, і) : 0 < ж < , 0
>.« = Аг^ (5)
относительно неизвестной вектор-функции и(х, І) =
(ui(x,t),U2(x, t),... yvm(x,t)) при условии коммутативности матриц
G, А Є Мп и предположении, что все собственные значения матрицы
G удовлетворяют условию
О < А; < 2, і = TTs,
а все собственные значения а* матрицы УІ действительны.
Задача 1.1. В области Q найти решение u(x,t) уравнения (5), удовлетворяющее граничным условиям
u{0,t) =«(,*) = О,
а такоісс т^ условиям для каоїсдого г — 1, $:
limD^fl(lk)u) = Titk(x)t если 0 < Х{ < 1, at > О, (6)
lim Dfc-%, и) = тик(х), \поҐ2(1к,и) = viik(x),
Л-1
t-*T
\imDQi x(lk,u) = Tiik(x)t если 0 < Л* ^ 1, a( < О, (8)
]{;О01 2{Ік,и) = Пік(х),
;Г S-2n~ \ '"] V если К А( ^ 2, a, < 0. (9)
*-»r
lim^ {lk,u) = 1/,-^(3:),
Б уСЛОвиЯХ (6)-(9) & = 1, ГГЦ. Ті = {Т*Д, Гі,2, ..., 7Ї.ГО*}, Щ = {і/і(і) ^,2. , "і,тЛ
— заданные вектор-функции, a (lk, и) — скалярное произведение вектора lk -
транспонированной к-й строки матрицы Т~1, приводящей G к Жордановой
форме, и вектор-функции и.
В п. 1.3 доказаны теоремы об эквивалентности краевой задачи 1.1 нескольким более простым краевым задачам меньшей размерности (в частном случае
— размерности 1, то есть скалярным краевым задачам).
Существованию, единственности решения этих скалярных задач посвящены п. 1.4 и п. 1.5 соответственно. В п. 1.4 изучаются также вопросы корректности поставленных задач (по Адамару).
А именно, в области Q, = {(x,t) : 0 < ж < 7Г, 0
Dq+u — аихх, (10)
где и = u(x,t), 0 < а ^ 2, а = ±1. Решением уравнения (10) в области О, назовем такую функцию u(xtt), которая:
такова, что произведение tn~au(x,t) непрерывно в Q,
в области Q дважды непрерывно дифференцируема по х и п раз непрерывно дифференцируема по у,
обращает уравнение (10) в равенство.
Задача 1.2. В области П найти решение уравнения (10), удовлетворяющее условиям
и(о,г) = и(тг,г) = о,
1}1% $U = Ts{x), S = 1, П.
Теорема 1.4. Пусть в задаче 1.2 функции r8f.(x) таковы, что ряды Фурье, по синусам, порожденные этими функциями, сходятся к ним в каждой точке [0,1]. Тогда при а — +1, 0 < л ^ 2 суиі,ествует. решение задачи 1.2. Это решение непрерывно зависит от начальных условий задачи.
Доказано, что при а = — 1 задача 1.2 некорректна, а корректной является следующая задача:
Задача 1.3. В области Q найти решение уравнения (10), удовлетворяющее условиям
u(0,) = u(tt,) = 0,
Dot~Su\t=T = Ts(x)> s = МЇ-
Теорема 1.5. Пусть в задаче 1.3 функция т\(х) такова, что ряд Фурье по синусам, порожденный этой функцией, сходится к ней в каждой точке [0,1]. Тогда при а = —1, 0 < а ^ 1 существует решение задачи 1.3. Это решение непрерывно зависит от начальных условий задачи.
Показано, что в случае 1 < а ^ 2 задача 1.3 некорректна, а корректной является задача
Задача 1.4. В области О, найти решение уравнения (10), удовлетворяющее условиям
u(0,t) = u(-K,t) = 0,
D^2u\t=0 = n(x)}
D$r2u\t=T = r2(x).
Теорема 1.6. Пусть в задаче 1.2 функции Ті(х), тї(х) таковы, что ряды Фурье по синусам, порожденные этими функциями, сходятся к ним в каждой точке [0,1]. Тогда при а = —1, 1 < а < 2 задача 1.4 имеет решение. Это решение непрерывно зависит от начальных условий задачи.
Теорема 1.7. Пусть для задач 1.2 — 1.4 выполняются условия теорем 1.4—1-6 соответственно. Тогда решения задач 1.2 — 1.4 , имеющие для каждого t > 0 конечное число интервалов монотонности, существуют и единственны.
В п. 1.6 на основании результатов п. 1.2 — 1.5 доказаны теоремы о существовании и единственности решения задачи 1.1:
Теорема 1.11. Пусть матрицы G, А Є Мт коммутативны и все собственные значения At (і = 1, s) матрицы G удовлетворяют условию О < Aj;^ 2 (г = 1}п), а все собственные значения матрицы А действительны. Если функции ц(х),щ(х) таковы, что ряды Фурье по синусам, порожденные этими функциями, сходятся к ним в каоюдой точке [0,/], то решение задачи 1.1, имеющее для каждого t > 0 конечное число интервалов монотонности, если оно существует, единственно.
Теорема 1.12. Пусть матрицы G, А Мт коммутативны и все собственные значения А; (г = 1,п) матрицы G различны и удовлетворяют условию 0 < Aj ^ 2 (г = 1,п), а все собственные значения матрицы А действительны. Если функции тї(#), щ{х) таковы, что ряды Фурье по синусам, порожденные этими функциями, сходятся к ним в каждой точке [О, I], то решение задачи 1.1 существует и непрерывно зависит от функций п{х),щ{х).
Вторая глава посвящена исследованию свойств смешанного дробного интеграла и смешанной дробной производной и постановок краевых задач для дифференциального уравнения со смешанной дробной производной.
В п. 2.1 исследуются некоторые свойства смешанного дробного интеграла Римана-Лиувилля порядка (а, 0)
(г* Л (г ,л - 1 f /(*' s)dtds
(a,x)x(c,y)
где Re a > 0, Re /3 > 0, x > а, у > с, а также смешанной дробной производной
lrf& А( \~ _ дп+т
V а+'с+// [Х'У) ~ Г(п - а)Г(т - /5) дх"ду *
С f(t,s)dtds
(x-t)a-n+1(y-s)0-+iJ
(а,х)х(с,у)
п = [Re а] + 1, т = [Re Щ +1, Re а > 0, Re /3 > 0. В частности, доказана лемма об ограниченном действии смешанного дробного интеграла в пространстве весовых функций.
В п. 2.2 исследуется двумерное уравнение Абеля
Т(а
х у
1Ш)11 ^-tlt-sy-^^^ Re«>o,ReP>». (П)
а с
Доказана следующая теорема:
Теорема 2.5. Для того, чтобы уравнение Абеля (11) было разрешимым в Ь\{Щ} необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия
fn-*,m-P Є АСп>т(Щ,
(o.fc)
fn-ln-pia, у) == 0, г = М=а
Л-їт-^.с) = 0, * = 0,m-l ftkl,m-^ с) = 0, i = М^Т, к = 0^1.
В пп. 2.2.3 доказана теорема о композиции смешанного дробного интеграла и смешанной дробной производной при равенстве порядка производной и интеграла:
Теорема 2.11. Пусть Rea > 0. Равенство
выполняется почти всюду для любой суммируемой функции, а равенство
— для функции f(x,y) Є IaftC+(L\). Для любой функции f(x,y) Є ACa^{ft) выполняется равенство
4tc+<c+/ = f(xt у) - ^T^T^^a,2/)-
і=о ^ *'
- Г(/5-А) /о'"^ l ' j+
^^! (X - а)а-{-\У - c)^"1 .(n-i-Lm-fc-lb ч
«fSl Г(а-»)Г(0-*) ;«~«^ M'
В п. 2.3 в области D = {(х,у) : х,у > 0} рассматривается задачи для дифференциального уравнения
D2?^u = f(zty). (12)
В пп. 2.3.1 доказаны теоремы существования и единственности решения еле дующей задачи типа Гурса в весовом пространстве непрерывных функций и в пространстве суммируемых функций:
Задача 2.1 Найти функцию и{х>у), удовлетворяющую уравнению (12) и следующим граничным условиям:
,(o.fc)
1ио,т-р(х> У) = ^W. ft = 0, m - 1
Yimu^)Q(x,у) = щ(у), і = 0,п - 1,
где ть(х), fj(y) — заданные функции, удовлетворяющие условиям согласования
В п. 2.3.2 рассматриваются задачи для дифференциального уравнения «второго» порядка со смешанной дробной производной
Dl?>l+% = f(x,y), (13)
где 0 ^ є < 1. Уравнение (13) представляет собой частный случай уравнения (12) при а. + /3 = 2. Рассмотрены следующие задачи:
Задача 2.2 В области D найти функцию и(х,у), удовлетворяющую уравнению (13) и следующим граничным условиям:
а+,с+и —
lIa+lC+U = Tl(y),
limi2ju = 7*(a:),
где т\{у), Т2(х), т$(х) — заданные функции, удовлетворяющие условиям согласования
UmtfJrnXlO = Um(^.»i)(»)
Задача 2.3 В области D найти функцию и(х,у), удовлетворяющую уравнению (13) и следующим граничным условиям:
Гс,1~4 її
у=х
= ViM,
\дх ду) 1а+'с+и
у-х
= <Р2ІХ)>
(1-ІМ.
еЛ-е
а+,с+
= МХ)>
у=х
\дх ду
где (pi(y), <р2(х), ^з(я) — заданные функции.
Задача 2.4 В области D найти функцию и(х,у), удовлетворяющую уравнению (13) и следующим граничным условиям:
{Iе-1--* - І'''1-') и\у=х = п(х),
где ті(у), Т2{х), тз(ж) — заданные функции.
Задача 2.5 В области D найти функцию и(х,у), удовлетворяющую уравнению (13) и следующим граничным условиям:
u\V=x = Tl(x),
дх ду
у=х
= TiW,
Тз(я),
дх ду)
у=Х
где ті(у); Т2(а;); тз(х) — заданные функции.
Для задач 2.2 — 2.5 найден явный вид решения и рассмотрен предельный переход є -» 0, и получены условия, позволяющие этот переход осуществить. Вопрос об однозначной разрешимости задач сводится к вопросу об однозначной разрешимости задачи 2.1.
Третья глава посвящена исследованию в весовом пространстве непрерывных функций задачи типа Гурса для дифференциального уравнения со смешанной дробной производной.
В п. 3.1 доказана теорема об однозначной разрешимости задачи типа Гурса для нелинейного дифференциального уравнения в дробных производных со смешанной дробной производной
{Daaic+u){x,y) = f{x,y,u), (14)
где Re а > 0, Re0 > 0. Пусть, как обычно, п = — [— Re а], т = — [— ДеД].
Задача 3.1. Найти функцию и(х,у) Cf(Q), удовлетворяющую уравнению (14) и следующим граничным условиям:
,(o,fc)
,(*>0)
\\тикп^0{х>у) = Ui(y), « = 0,71-1,
где Tk(x), щ{у) — заданные функции, удовлетворяющие условиям согласова-
Tkl-Jfi) = "iSU(c), і = 0, n - 1, fc = 0, т - 1,
Для решения задачи сначала в. п. 3.1.2 доказывается эквивалентность задачи интегральному уравнению Вольтерра второго рода:
Теорема 3.1. Пусть Rea > 0, Rep > 0, 0 < Rej < I, 0 ^ Re5 < 1. Пусть функция f(x, у, к) : (а, 6] X (с, d] X R —» Л такова, что
(х - аУ(у - c)6f(x, у, и) є С([о, 6] х [с, d] х #),
max _|(# - а)7(у - с)5/(х,у,и)\ = М7/ < +оо.
(a:,j/,u)e[a,6]x[c,d]x^
Для того, чтобы функция и(х,у) Є C"f(Q) являлась решением задачи 3.1, необходимо и достаточно, чтобы она была решением интегрального урав-
нения Волътерра второго рода
(*») = L Г(а-о ^-'^ + r(ff-fc) r--*-'W-
71-1 m~l
г=0 л^о
X У
1 /" /* f(t,s,u(t,s))dtds
Г(а)Г(/3)У У (jc-f)1-0^-*)1^'
о с
А затем в п 3.1.3 доказывается теорема об однозначной разрешимости задачи 3.1:
Теорема 3.2. Пусть Rea > 0, Rep > О, 0 < Rej < 1, 0 < Re6 < 1.
Пусть функция f(xt у, и) : (а,Ь] х (с, d] х Д —J- R удовлетворяет условиям теоремы 3.1 и липшицева по переменной и:
№,2/, «l) -f(x,y,u2)\ < L|ui-u2| Vrc Є (a,6], г/і,у2 Є Л,
причем постоянная L не зависит от х. Тогда решение u(xty) задачи 3.1 существует и единственно в пространстве C"f(fl).
В п. 3.2 — 3.3 для линейного дифференциального уравнения дробного порядка
(DXc+u)(X)y) = \u(x,y) + f(x,y), (15)
где Re а > 0, Re {3 > 0, рассмотрена задача:
Задача 3.3. Найти функцию и(х,у) Є C*f(Q), удовлетворяющую уравнению (15) и следующим граничным условиям:
,(0,ft)
0,m-
,(*.0)
l[muQ,m-p(xi У) = r*W' A = 0, m - 1
limu^0(s,y) = щ{у), і = 0,п-1,
х—а '
где Tk(x), щ{у) ~ заданные функции, удовлетворяющие условиям согласова-
ЧІ-aV) = "і^М. і = 0, П - 1, fc = 0, Ш - 1,
Доказана теорема:
Теорема 3.3. Пусть Re а > 0, Rep > 0, 0 ^ Rey < 1, 0 < Re 6 < 1, Л Є С. Пусть функция f{x, у\ и) : (а, Ь] X (c,d\ X Я ~> Я такова, что
{х - аУ(у - c)5f(x,у, и) Є C([at b) х [с, rf) х Я),
, ч max п _\(х-а)1 (у-с)8 f(xtytu)\ = M^ <оо.
(x,y,u)e[a,b]x[c,d\xR
Тогда решение и(х, у) задачи 3.3 существует и единственгш в пространстве
Решение задачи найдено в терминах функции типа Райта.
В п. 3.4 рассматривается краевая задача для уравнения со смешанной матричной производной. Найдены необходимые и достаточные условия однозначной разрешимости двумерного матричного уравнения Абеля, формулы композиции операторов матричного интегрирования и дифференцирования. Для уравнения
-D%*+u = f(x,y). (16)
рассматривается задача:
Задача 3.4. Пусть пь ~ — [— Rea(Xk)], qu — -~[~ Rei3(^k)], {t>i,... j Vs\ — v = T-1«, где T — некоторая невырожденная матрица из Мт. Найти вектор-функцию и(х>у), удовлетворяющую уравнению (16) и следующим граничным условиям:
(|^^лсвч) ос, с)=тф) (к=м, і=о^т~ї),
2 ?к(ж) Є Li(a,6), Ffci(y) Є Li(c,d) — заданные вектор-функции, удовлетворяющие условиям согласования
(fc = Ї7і,«= о,^ -1,3 ~ 0,nfc- 1).
Доказывается существование и единственность решения задачи 3.4.
Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю — кандидату физико-математических наук, доценту Андрееву Александру Анатольевичу, а также заведующему кафедрой прикладной математики и информатики СамГТУ, профессору, доктору физико-математических наук Радченко Владимиру Павловичу за постоянное внимание к работе.
Условия разрешимости матричного уравнения Абеля
И, наконец, пусть выполнена формула (1.11). Выполняя замену f = Tg, получим, что выполняется равенство (1.39), и уж тем более (1.36). Заменяя в последнем индекс j по формуле j = птах — Пк + t, получим (1.35), откуда следует (1.20). Лемма доказана.
Замечание 1.1. Согласно лемме 1.7 необходимые условия разрешимости уравнения Абеля из леммы 1.3 и из леммы 1.5 равносильны и отличаются лишь формой записи. Форма записи условий в лемме 1.3 более компактна, однако в случае, когда птах ф пт{п, форма записи в лемме 1.5 более подходит для дальнейшего использования, в особенности при приведении матрицы. А к Жордановой форме. Кроме того, от формы записи леммы 1.5 проще перейти к скалярным условиям на элементы вектор-функций. Фактически в случае т различных собственных чисел матрицы А условия леммы 1.5 и есть скалярные условия. Условия разрешимости матричного уравнения Абеля Следующая теорема задает необходимое и достаточное условие разрешимости матричного уравнения Абеля.
Теорема 1.1. Для того, чтобы матричное уравнение Абеля (1.9) было разрешимо в L(a,b), необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия (1.10), (1-11). При выполнении этих условий уравнение имеет единственное решение, и оно задается формулой
Доказательство. Необходимость сразу следует из леммы 1.3. Единственность решения и его представимость в виде (1.40)следует из леммы 1.4. Докажем достаточность условий (1.10), (1-11). Пусть они выполняются. Тогда функция определена почти всюду и принадлежит L(a, 6). Покажем, что она действительно дает решение уравнения (1.9). Для этого подставим ее в левую часть (1.9) и обозначим результат через g(x):
Покажем, что почти всюду g(#) = f(:c), что и докажет теорему. Равенство (1.41) есть матричное уравнение Абеля относительно р(х), оно заведомо разрешимо, поэтому, в силу леммы 1.4, p(x) = Dfa. (1.42) Сравнивая (1.40) и (1.42), приходим в выводу, что почти всюду D +S = Dfa (1.43) или __ (jWf _ Пгв-л = 0 (1 44) Из последнего равенства следует, что . ск{х а)\ (1.45) Jt=0 где Cjt — некоторые векторы. Поскольку (1.41) — заведомо разрешимое уравнение, то, согласно лемме 1.3, і1аГЕ Ма) = О (і = O.iw-1). (1.46) Отсюда и из (1.11) следует, что с& = 0, так что /SMS_j4(f - g) = 0. (1.47) А это интегральное уравнение Абеля имеет единственное решение f(x) — g(x) = 0. Теорема доказана. Следствие 1.1. Для того, чтобы вектор-функция (х) принадлежала классу /Д(і); необходимо и достаточно, чтобы для нее выполнялись условия (1.10), (1.11). Приведем одно простое достаточное условие разрешимости матричного уравнения Абеля (1.9) в классе вектор-функций L(a,b). Для этого нам понадобится следующая лемма: Лемма 1.8. Пусть матрица А Мт, а ее спектр А(А) = {щ : СХІ Є С+)0 Rea{ 1}. Если (х) Є ЛС{[а,Ь\), то и if+ f Є AC([a,b]), при этом If- f = [Г(2Д - А)}-\х - а)Е-Ч{а) + I f, (1.48) где T(G) — матричная гамма-функция [9]. Доказательство. Так как f(x) Є ЛС([а,6]), то вектор-функцию Г(ж) можно представить так [47]:
В правой части (1.50) первое слагаемое представляет собой вычисленный матричный интеграл от постоянного вектора f(a). [10]. Непосредственной перестановкой порядка интегрирования можно показать справедливость равенства Очевидно, что выражение (1.51) является первообразной от суммируемой вектор-функции и, следовательно, абсолютно непрерывно. Представление (1.48) следует из того, что х / t \ х [ЦЕ - А)]-1 /(/( - rAf (s) da) dt = (lff АП dt = lf+IaVf. a \a По лемме 1.2 l +I Af — ll+ AF, что и доказывает лемму 1.8.
Достаточное условие разрешимости матричного уравнения Абеля в Ь(а, Ь) сформулировано в следующей теореме: Теорема 1.2. Пусть матрица А Мт, а ее спектр А(А) —Если то матричное уравнение Абеля (1.9) имеет единственное в L(a,b) решение, представимое в виде ф) = [Г(Е - А)] \х - a) Af(a) + lf+"Af. (1.52) Доказательство. Так как в силу леммы 1.8 Т) + f ЛС[(а7 6)], то дифференцируя равенство (1.48), получим формулу (1.52). Разрешимость уравнения (1.9) теперь обосновывается непосредственной подстановкой (1.52) в (1.9), что и доказывает теорему.
Краевая задача для уравнения с матричным интегро-дифференциальным оператором
Обозначим Мт - множество постоянных квадратных матриц порядка т. Пусть матрицы G, А Є Мп коммутативны и все различные собственные значения ХІ (г = l,s) матрицы G удовлетворяют условию О ХІ 2, г = 17s. (1.53) а все собственные значения щ матрицы А действительны. Пусть Т — матрица, определяемая условием G = TJ{G)T-\ (1.54) J(G) — Жорданова форма матрицы G; Ik (к = 1,п) — векторы - транспонированные строки матрицы Т 1. В области Q = {(x}t) : 0 х L, 0 t Т} рассмотрим уравнение D+u Аихх (1.55) относительно неизвестной вектор-функции u(xyt) —
Решением уравнения (1.55) в области О, назовем такую вектор-функцию u(x,t), которая: 1. такова, что произведение tm au(xtt) непрерывно в 2, тп = max{—[—А,]}, 2. в области 1 дважды непрерывно дифференцируема по х я m раз непрерывно дифференцируема по у, 3. обращает уравнение (1.55) в равенство.
Пространство функций С"^"(Г2) и его свойства
При рассмотрении краевых задач как для обыкновенных дифференциальных уравнений, так и для дифференциальных уравнений в частных производных с дробными производными Римана-Лиувилля их решения часто имеют устранимые особенности на границе области. Поэтому весовые классы непрерывных функций играют в дробном исчислении такую же важную роль, как классы непрерывных функций в классической теории интегро-дифференци-рования.
Определение 2.5. Обозначим через С7[а, 6] класс функций f(x), заданных на (а, Ь], таких что Можно убедиться, что пространство Су[а,Ь] полно относительно нормы /(x)c, = lim(i-a)V( )lC, (2.28) то есть является банаховым. Определение 2.6. Обозначим через С [о, b] (n&N = l,2,...J банахово пространство функций f{x), непрерывно дифференцируемых на [atb] до порядка п — 1 и имеющих на (а,6] производную порядка п, рп (х) Є С а Ь], с нормой fc=o Из этого определения вытекает следующее описание пространства С?[М]: Лемма 2.5. [53, с. 24] Классу С"[а, 6] принадлежат те и только те функции f(x), которые представимы в виде х п—1 где р(х) Є (77[a, b]} а с& — произвольные постоянные. В формуле (2.30) ф) = / »)( ), Ck = fik)(a)/k\ k - 0,n-l. (2.31) Определение 2.7. Обозначим через Cyj(Q,) банахово пространство функций /(ж, у), определенных на П \ {х = а} \ {у = с} тйкиж, -что д5у»к ил ff(a, у) = lim р - a)7(s - c) /(t, в) (2.32) непрерывна всюду в О., с нормой:
Определение 2.8. Обозначим через С "(П) (п,т ЛГ — 1,2,...J 6a-нахово пространство функций f(x,y), непрерывно дифференцируемых на Г2 до порядка (п — 1, т — 1) включительно и имеющих в Q \ {х = а} \ {у = с} производную fn,m(x,y) такую, что /щт(х,у) Є C7)(j(n), с нормой Лемма 2.6. Пусть f(x}y) Є (2" (Ї7), тогда справедлива формула (2.6). Доказательство. Аналогично лемме 2.3 для класса АСп т(ІЇ). Лемма 2.7. Классу C (Q) принадлежат те и только те функции f(x,y), которые представимы в виде (2.17), где р(х7у) Є С7/(П)} фь(х) Є С7[о, Ь] (к = 0,т — 1), і(у) є С5[с, d] (г = О, п — 1), a dih — произвольные постоянные. Доказательство. Аналогично лемме 2.4 для класса ACn,m(Q). Отметим, что для формулы (2.17) справедливы формулы (2.18) - (2.21).
Смешанный дробный интеграл и смешанная дробная производная известны достаточно давно [73]. Приведем их определения и докажем лемму об ограниченном действии смешанного дробного интеграла в весовом пространстве непрерывных функций.
В конце предыдущего пункта показано, что смешанные дробные производные Римана-Лиувилля имеет смысл рассматривать либо на классе функций, удовлетворяющих соотношению либо на классе функций, удовлетворяющих условию Обозначим эти два класса через ACa (Q) и C f{Q) соответственно и изучим их некоторые свойства, равно как и свойства классов ) функций, представимых дробным интегралом от суммируемой функции и от функции класса CT) s(f2) соответственно:
Определение 2.11. Через Іа+,сЛ і) обозначим класс функций f(x,y), представимых смешанным дробным интегралом порядка (а, /3) от суммируемой функции: f — lZ+fe+ p, р Є Определение 2.12. Через ACa (Q) обозначим класс функций f(x,y) Є іі(П) таких, что Отметим, что при a = п, /? = т определение 2.12 совпадает с определением 2.4 класса ACn m(U). Класс функций ACa (Q) является естественным обобщением класса функций одного переменного, имеющих суммируемую дробную производную {D%+f) (х) (см. определение 2.4 [73]). Определение 2.13. Через 1"С+(СЪ$) обозначим класс функций f(x, у), представимых смешанным дробным интегралом порядка (cv, j3) от функции класса
Задачи для дифференциального уравнения «второго порядка» со смешанной дробной производной
Итак, условие (2,199) является необходимым и достаточным для того, чтобы задача 2.5 имела в случае є = 0 решение. Это решение имеет вид, как и в случае О, (2.197), (2.193). Выводы В данной главе изучались некоторые свойства классов /JjTc+(Li), , Іа+,с+{Єі,$)і Су si) и действие в этих классах смешанной дробной производной и интеграла. В частности, найдены условия разрешимости двумерного уравнения Абеля. Для простейшего дифференциального уравнения в дробных производных со смешанной дробной производной Римана-Лиувилля найдены решения задачи типа Гурса, типа Коши и некоторых других задач.
В главе исследуется задача типа Гурса для дифференциального уравнения со смешанной дробной производной. Определяются условия существования и единственности решения задачи для нелинейного дифференциального уравнения со смешанной дробной производной, находится решение задачи для неоднородного уравнения с использованием функции типа Райта.
Теоремы об однозначной разрешимости задачи типа Гурса для нелинейного дифференциального уравнения со смешанной дробной производной
Исследуем проблему существования и единственности решения задачи типа Гурса для нелинейного дифференциального уравнения в дробных производных со смешанной дробной производной. Для этого сначала дадим условия равносильности задачи и интегрального уравнения Вольтерра второго рода [55,76]. Затем докажем теорему существования и единственности решения.
Задача типа Гурса для дифференциального уравнения со смешанной дробной производной
Следуя методике работы [39], с помощью свойств смешанных дробных интегралов и смешанных дробных производных дадим условия равносильности задачи 3.1 и интегрального уравнения Вольтерра второго рода в том смысле, что, если и(х,у) C j(fi) является решением задачи 3.1, то она является решением интегрального уравнения, и наоборот.
Теорема 3.1. Пусть Rea О, Rep О, 0 Rej 1, 0 ReS 1. Пусть функция f(x, у, и) : (а, 6] X (с, d] X R -» R такова, что
Для того, чтобы функция и(х,у) 6 C?f(Cl) являлась решением задачи 3.1, необходимо и достаточно, чтобы она была решением интегрального уравнения Вольтерра второго рода
Доказательство. Необходимость. Пусть и— решение задачи 3.1. Согласно теореме 2.12 справедлива формула
Применяя к обеим частям уравнения (3.1) оператор Іа+,с+ с учетом равенств (3.8), (3.2) - (3.4) и соотношения (3.9), мы приходим к интегральному уравнению (3.7).
Достаточность. Пусть и(х,у) Є C f(Q) — решение интегрального уравнения (3.7). Применяя к обеим частям уравнения (3.7) оператор D c+ и используя теорему 2.2, мы приходим к уравнению (3.1).
Применяя к обеим частям уравнения (3.7) оператордифференцируя полученное равенство к раз по у (к — 0, т — 1) и переходя к пределу при у —У с, мы приходим к равенствам (3.2).
Аналогично, применяя к обеим частям уравнения (3.7) оператор 7"7,с+J дифференцируя полученное равенство і раз по х (i = 0,п — 1) и переходя к пределу при х —У а, мы приходим к равенствам (3.3).
Условия согласования (3.4) проверяются непосредственно. Теорема доказана. Отметим, что аналогичная теорема для одномерной задачи (задачи типа Коши) доказана в [53]. Существование и единственность решения задачи типа Гурса Следующая теорема дает условие существования и единственности решения задачи 3.1. Пусть функция удовлетворяет условиям теоремы 3.1 и липшицева по переменной и: причем постоянная L не зависит от х, у. Тогда решение и(х,у) задачи 3.1 существует и единственно в пространстве Cf(Q).
Равносильность задачи типа Гурса и интегрального уравнения Вольтерра второго рода
В диссертации исследованы краевые задачи для дифференциальных уравнений со смешанной дробной, матричной и со смешанной матричной производной Римана-Лиувилля. Основные результаты:
1. Получены необходимые и достаточные условия существовании и единственности решения двумерного уравнения Абеля, матричного уравнения Абеля, двумерного матричного уравнения Абеля.
2. Исследованы краевые задачи для дифференциального уравнения в частных производных с матричным дифференциальным оператором, для дифференциального уравнения с двумерным матричным интегро-дифферен-циальным оператором. Получены условия корректности задач. Доказано существование единственных решений. Получены решения в терминах функции типа Миттаг-Лефлера.
3. Получены условия равносильности аналога задачи Гурса для нелинейного дифференциального уравнения со смешанной дробной производной и интегрального уравнения Вольтерра второго рода.
4. Доказано существование и единственность решения аналога задачи Гурса для нелинейного дифференциального уравнения со смешанной дробной производной в весовом пространстве непрерывных функций.
5. Получено решение задачи типа Гурса для неоднородного дифференциального уравнения со смешанной дробной производной в терминах функции типа Райта.
Диссертационная работа посвящена исследованию краевых задач для дифференциальных уравнений с. матричной дробной производной Римана Лиу БИЛЛЯ.
Область математического анализа, называемая дробным исчислением и посвященная исследованию и применению производных и интегралов произвольного (вещественного или комплексного) порядка, тесно связана с самыми разнообразными вопросами теории функций, интегральных и дифференциальных уравнений и др. Дробное исчисление функций одной и многих переменных в настоящее время интенсивно развивается, свидетельством чему является большой поток специально посвященных ему публикаций.
В различных отраслях науки и ее инженерных приложениях все более часто возникают дифференциальные уравнения дробного порядка. В этой связи можно отметить монографии I. Podlubny [122], К. В. Oldham, J. Spanier [118], К. S. Miller, В. Ross [115], A. M. Нахушева [59,62], В. А. Нахушевой [57], работы I. M. Sokolov [128], А. А. Килбаса [107].
Исторически первыми приложения уравнениям с дробными интегралами и производными привели Абель [85,86] (задача о таутохроне) и Лиувилль [110], который дал приложения к задачам геометрии, физики и механики. Среди них задача Лапласа о влиянии бесконечного прямолинейного проводника на магнит; задача Ампера о взаимодействии двух таких проводников; задачи, связанные с притяжением тел; задача о распределении тепла в шаре; задача Гаусса о приближенных квадратурах и др.
Собственно история дифференциальных уравнений дробного порядка берет свое начало с работ М. Fujiwara [97], O Shaughnessy [120], Е. L. Post [123], Е. Hille [100]. В работе Е. Pitcher [121] были доказаны теоремы о существовании и единственности решения задачи типа Коши для уравнения D%+y = f(xty), что заложило серьезную основу для теории дифференциальных уравнений дробного порядка. Дальнейшее развитие эта теория получила в работах [87-90] и монографии С. Г. Самко, А. А. Килбаса, О. И. Мариче-ва [73].
В настоящее время активно исследуются задачи для дробных дифференциальных уравнений. Известен ряд методов их решения (хороший обзор содержится, например, в работах А. А. Килбаса [108,109]). Так, для решения задачи типа Коши для неоднородного уравнения где Re а 0, может быть применен метод последовательных приближений [73]. В монографии I. Podlubny [122] методом интегральных преобразований решен ряд задач для дробных дифференциальных уравнений. В серии работ А. А. Килбаса, С. А. Марзана [41-43,52,53] исследуется задача типа Коши для нелинейного дифференциального уравнения дробного порядка и систем таких уравнений в весовых пространствах непрерывных функций.
Однако для прикладных задач обыкновенных дифференциальных уравнений недостаточно. Уже в простейших физических задачах возникают производные по двум независимым переменным - по координате и времени. Поэтому актуальным направлением дробного исчисления являются задачи для дифференциальных уравнений в частных дробных производных. Они рассматриваются в работах А. А. Килбаса [106], Р. Р. Нигматулина [116], W. Wyss [131], А. Н. Кочубея [48,49], А. В. Иеху [68], С. X. Геккиевой [18], Т. С. Алероева [1-4], работах [19,22,80,101] и др.
В подавляющем большинстве работ, в которых изучаются задачи для дифференциальных уравнений в частных дробных производных, уравнения представляют собой классические уравнения математической физики, в которых одна из частных производных заменена на частную дробную производную. Рассмотрим некоторые из них.
В работах [48,49] в полуплоскости рассматривалась краевая задача для дифференциального уравнения в частных производных, содержащая регуля-ризованную дробную производную.
В работах [65,66] доказана однозначная разрешимость в классе Са (0) краевой задачи для уравнения где 0 а 1, О /? 1, с краевыми условиями причем рассмотрен как случай А 0, так и случай А 0. Решения получены в терминах функции типа Райта.
В работах [67,68] рассмотрены первая, вторая и смешанная краевые задачи в прямоугольной области Q для уравнения ( ) О , У) + Щу(х, у) = Дх, у), (1) где 0 a = 1 (так называемого уравнения диффузии дробного порядка). Решения получены в терминах функции типа Райта. В монографии А. М. Нахушева [62] в прямоугольной области О, для уравнения диффузии дробного порядка (1) с 0 а 2 решена первая краевая задача с однородными граничными условиями. Решение получено в терминах функции типа Миттаг-Лефлера. Задача типа Коши для уравнения (1) (f(x,y) = 0) в полуплоскости х 0 была рассмотрена в работе [18], решение получено в терминах функции типа Райта. Из работ, в которых исследуются уравнения с оператором смешанного дробного интегро-дифференцирования, можно отметить работу S. Vasilache [130], в которой получено решение двумерного интегрального уравнения Абеля Однако используемый в [130] метод преобразования Лапласа не позволил получить необходимые и достаточные условия однозначной разрешимости.
