Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Исследоваше колебательных режимов многочастотных систем с запаздыванием методом усреднения 14
1. Обозначения и вспомогательные утверждения 14
2. Постановка задачи для двух классов многочастотных систем с запаздыванием 18
3. Доказательство вспомогательных лемм 22
4. Обоснование метода усреднения для системы (1.2Д) 35
5. Обоснование метода усреднения для системы (1.2.9) 47
ГЛАВА II. Квазипериодические колебания многочастотных систем с запаздыванием 55..
1. Некоторые обозначения и постановка задачи 55
2. Построение асимптотических приближения системы (2.1.1 ) 59
3. Построение асимптотических приближений системы (2.1.2 ) 66
4. Условия существования квазипериодических решений системы ( 2.I.I ) 69
5. Условия существования квазипериодических решений системы ( 2.1.2 ) 79
ГЛАВА III. Квазипериодические колебания систем второго порядка 89
1. О квазипериодических колебаниях систем с степенями свободы 89
2. Колебания маятника с вибрирующей точкой подвеса 97
Литература
- Постановка задачи для двух классов многочастотных систем с запаздыванием
- Обоснование метода усреднения для системы (1.2Д)
- Построение асимптотических приближений системы (2.1.2 )
- Колебания маятника с вибрирующей точкой подвеса
Введение к работе
Среди процессов, изучаемых в самых различных разделах естествознания (механике, физике, технике и др.) важное место занимают колебательные процессы. До настоящего времени разработан и математически обоснован ряд эффективных методов исследования колебательных процессов, описываемых как линейными, так и нелинейными дифференциальными уравнениями. /Наиболее плодотворными из них оказались асимптотический метод, метод усреднения, метод интегральных многообразий и метод последовательных замен переменных, развитые Н.М.Крыловым, Н.Н.Боголюбовым, Ю.А.Митропольским и их учениками [і4-17] , [34] ,[48-58І , [71-74] .
Остановимся более детально на втором из этих методов, Основы метода усреднения были заложены в работах основоположников небесной механики времен Лагранжа И Лапласа. Сущность метода усреднения состоит в том, что изучаемая система дифференциальных уравнений при помощи специального оператора заменяется другой системой, называемой усредненной. При этом усредненная система с одной стороны, должна быть в некоторой степени проще исходной, а с другой стороны, она должна описывать главные черты исследуемого явления. В таком случае естественным образом возникает проблема обоснования метода усреднения, т.е. проблема получения эффективных оценок для нормы разности решений исходной и усредненной систем уравнений на достаточно большом промежутке времени.
Несмотря на то, что метод усреднения применяется для решения различных задач на протяжении почти двух столетий, проблема обоснования метода усреднения долгое время оставалась неразрешенной. Лишь в 30- 40 годы текущего столетия были получены основополагающие результаты в этом направлении. Так Н.Н.Боголюбов пока- зал (I4J , что для систем стандартного вида метод усреднений органически связан с существованием некоторой замены переменных, позволяющих исключать временную переменную / из правой части системы. Кроме того, Н.Н.Боголюбов исследовал системы уравнений высших приближений, решения которых апроксимируют решения исходной системы уравнений с точностью до величин пропорциональных целым степеням малого параметра
Весьма широкий класс нелинейных колебательных систем описывается уравнениями, которые можно свести к системе дифференциальных уравнений относительно/7? медленных и /7 быстрых переменных. Правые части таких уравнений, как правило, ^^-периодические по каждой из компонент вектора быстрых переменных или квазипериодические по времени. Для исследования и построения решений уравнений с медленными и быстрыми переменными наиболее широко применяются асимптотические методы нелинейной механики. Для случаяn-J асимптотический метод был развит Н.Н.Боголюбовым и Д.Н.Зубаревым [l5J . Если n>i , то при применении асимптотических методов возникают существенные трудности, связанные с проблемой резонан-сов. Для исследования резонансных задач в последнее время также разработаны различные варианты асимптотических методов и метода усреднения. Наиболее изучены квазилинейные колебательные системы. Резонансные явления в таких системах возникают как в результате целочисленной соизмеримости собственных частот, так и вследствие воздействия на систему возмущающих сил.
Существенные результаты в области исследования резонансных задач были получены в работах Н.П.Моисеева [б1,63] , Е.А.Гребе-никова [27] , Е.А.Гребеникова и Ю.А.Рябова [28-30] , Е.А.Гребе-никова и Н.И.Поповой [зі] , М.М.Хапаева [79-82] , Ф.Л.Черноусь-ко [87-88] , Л.Д.Акуленко и Ф.Л.Черноусько [i] , Н.И.Поповой [67,68] , О.Моррисон [97] , Д.Сандерса [100] и др.
Первые результаты по обоснованию метода усреднения для двухчастотной колебательной системы с аналитическими правыми частями получил В.И.Арнольд И . Основной результат В.И.Арнольда состоит в следующем.
Пусть задана система
С/ос сУУу
277 * о, (эс, fl, *** obWeS/farJ, (I > в которой ^=^...,^^, =faXjeRt Uz'^n, 1^/^2 . Если для всех ґсо, fjetf) *RZ выполняется неравенство то при достаточно малых положительных <* и єС&/~ J имеет место оценка
Здесь С -некоторая положительная постоянная, a J2T'/jf) -^[^(^..yint^JJ, fa?-foJ= ,-(0)) - решение усредненной по всем быстрым переменным системы.
При этом условие (2) обозначает, что возмущенная система (I) не будет "застревать" за время <(є CO/~*J в окрестности резо нансной ПОВерХНОСТИ /CjCtJf/bzJ +лгг u%,(jzj*0 , где iC=fa /?ъ)- вектор с целочисленными компонентами, IKtf-t/kr^/ ФО.
Имеются две основные схемы усреднения для многочастотных систем усреднения по быстрым переменным и усреднение по времени. Первая схема усреднения применяется для систем вида ос~Cqfe,y,ej, = ьЭ(х) + (ъу,е). (3)
Соответствующая усредненная система имеет вид
2f 2* функция &/jcJ определяется аналогично, системе (4) существен но проще исходной системы (3). Для одночастотной системы из ре зультатов Н.Н.Боголюбова и Ю.А.Митропольского p6j следует оценка интервале времени дли- ной порядка d"f (если в начальный момент времени cctfty^x
Для обоснования схемы усреднения по быстрым переменным на систему необходимо наложить дополнительные условия, сущность ко- торых заключается в том, чтобы не допустить "засревание" системы в малой окрестности резонансов. Если такому условию нельзя удовлетворить, т.е. если система задерживается в окрестности резонансов как угодно долго,и в начальный момент в системе имеет место резонанс, то целесообразно использовать схему усреднения вдоль решения порождающей системы. Метод усреднения с учетом соизмеримости частот в начальный момент времени был обоснован Е.А.Гребениковым [27] и получил дальнейшее развитие в работах Е.А.Гребеникова и Ю.А.Рябова [28-30] , Н.И.Поповой [бв] .
Ряд важных результатов, связанных с исследованием многочастотных колебаний не только с качественной, но и с количественной стороны был получен асимптотическими методами в работах Ю.А.Мит-ропольского и А.М.Самойленко [51-53] . Резонансные многочастотные системы изучались в работе Ж.Сандерса [Ю0] . Метод последовательных замен вместе с методом интегральных многообразий применялся для исследования многочастотных систем в монографии Н.Н.Боголюбова, Ю.А.Митропольского и А.М.Самойленко [17] . Этому же кругу задач посвящена работа Ю.Мозера ЦбО] .
В работах Н.Н.Боголюбова и Ю.А.Митропольского [1б] , Н.Н.Боголюбова, Ю.А.Митропольского и А.М.Самойленко (J7J , А.Н.Колмогорова [32] , В.И.Арнольда [56] , Ю.А.Митропольского и А.М.Самойленко [51-54,57] , А.М.Самойленко [74] , О.Б.Лыковой [4l] , С.Дилиберто [91,92] , А.Келли [93-95] , Н.Левинсо-на [9б] , Р.Сакера [98,99] , Д.Хейла [86,101] получено ряд результатов посвященных доказательству существования инвариантных многообразий как для гамильтоновых, так и для негамильтоновых колебательных систем и применению полученных теорем для анализа структуры решений на многообразии и в его окрестности.
Многие задачи физики и техники, биологии, экономики и ряда других наук приводят к дифференциальным уравнениям с отклоняющимся аргументом. В частности актуальной является задача исследования колебаний в системах с запаздыванием. Ряд колебательных систем с запаздыванием, также описывается дифференциальными уравнениями, содержащими быстрые и медленные переменные. В настоящее время имеются монографии и обзорные статьи подытоживающие исследования по теории дифференциальных уравнений с запаздыванием. Отметим среди них монографии Л.Э.Эсгольца и С.Б.Норкина (.901, Р.Беллмана, И.К.Кука |J0j , Э.Пинни [бб] , А.Д.Мышкиса [бЗ] , В.П.Рубаника [70J , Ю.А.Митропольского и Д.И.Мартынюка [56] , Д.И.Мартынюка 43] , Ю.С.Колесова и Д.И.Швитры [33] , Дж.Хейла р02] .
Вопросы обоснования метода усреднения для уравнений с запаздыванием стандартного вида изучались в работах В.П.Рубаника Ї.70І , В.И.Фодчука [79] , Ю.А.Митропольского и В.И.Фодчука CsoJ , А.Халаная [86] , Д.Д.Байнова и М.Константинова И и др. Для систем дифференциальных уравнений запаздывающего и нейтрального типа с одной быстрой и медленными переменными в работах В.М.Воло сова, Г.Н.Медведева и Б.И.Моргунова [18-20] , Г.Н.Медведева [4б] , построены усредненные уравнения первого и второго приближения и дано обоснование метода усреднения на интервале времени [О/ L ] .
Для квазилинейных дифференциально-разностных уравнений запаздывающего типа асимптотический метод был развит В.П.Руба -ником [69,70] . Этот же вопрос рассматривался и М.М.Методиевой - Q _ [47] . Отметим также статьи В.И.Фодчука [78] и Д.И.Мартынгока и В.И.Фодчука [45] .
Обоснование метода усреднения для многочастотных систем дифференциальных уравнений с запаздыванием изучалось в работах М.Н.Хапаева и В.И.Кузнецовой [83] , И.В.Кузнецовой [39] , Я.Й.Бигуна и В.И.Фодчука [II] . Вопросы существования инвариантных тороидальных многообразий с запаздыванием и с постоянным вектором частот рассматривались в работах Д.И.Мартынгока [5б] . В этой же работе для таких систем указывается алгоритм нахождения инвариантного многообразия. Здесь же излагается асимптотический метод построения квазипериодических решений систем с запаздыванием и с постоянным вектором частот.
Настоящая диссертация примыкает к названным работам. В ней изучаются вопросы обоснования метода усреднения для колебательных систем с запаздыванием и с переменными частотами, которым свойственно явление резонанса; исследуются инвариантные многообразия многочастотных систем с запаздыванием, а также вопросы существования квазипериодических решений таких систем.
Актуальность темы. Вопрос об интегрировании или исследовании многочастотных систем дифференциальных уравнений является сложной проблемой. Для систем с запаздыванием эта проблема намного сложнее и до настоящего времени изучена недостаточно.
Трудности применения асимптотических методов и метода усред-нения для дифференциально-функциональных уравнений в многочастотном случае во многом связаны с резонансными явлениями. По сравнению с обыкновенными дифференциальными уравнениями ситуация здесь усложняется тем, что в общем случае резонансы в системах с запаздыванием определяются соотношениями вида (c,*>{x,XT))+{K,cOfab,Xu))>z( xjQ (б) где к, /с - целочисленные векторы, - вектор-функция частот, Т л -величины характеризующие Запаздывание, «%>Y^^/r^ JCAtfJ^OCfAfyJj (,, Некоторым вопросам обоснования метода усреднения, а также вопросам существования и устойчивости инвариантных многообразий многочастотных колебательных систем с запаздыванием, вопросам нахождения квазипериодических решений таких систем посвящена настоящая работа. Объект исследования. Объектом исследования являются системы нелинейных дифференциально-разностных уравнений запаздывающего типа с быстрыми и медленными переменными. Запаздывание в системах постоянные. Кроме того рассматриваются некоторые системы дифференциальных уравнений с запаздыванием второго порядка. Цель работы. I. Обоснование различных схем усреднения на временном отрезке [/с/ о + J для систем с запаздыванием, которые описывают медленные и быстрые движения. 2. Изучение количественной зависимости оценок нормы разности решений возмущенных и усредненных уравнений от величины малого параметра и от исходных данных задачи. 3. Доказательство существования устойчивых инвариантных многообразий для систем, содержащих позиционные и угловые переменные , а также существования квазипериодических решений таких систем. 4. Применение полученных результатов для исследования некоторых колебательных систем с запаздыванием второго порядка. Общие методы исследования. Исследование проблемы обоснования - II - схем усреднения в многочастотных колебательных системах с запаздыванием с малым параметром - основывается на соответствующим образом модифицированной методике В.И.Арнольда [7] . При этом временной отрезокрв/+<ґ/разбивается на множества резонансных и нерезонансных отрезков, на каждом из которых с учетом свойств частот выводятся эффективные оценки. Для изучения условий существования и устойчивости инвариантных многообразий изучаемых уравнений применяется метод развитый Ю.А.Митропольским и А.М.Сн-мойленко в работах [*51-54, 57J для колебательных систем без запаздывания с постоянным вектором частот, а также обобщение этого метода для колебательных систем с переменными частотами. Научная новизна. Все полученные в диссертации результаты являются новыми. I. Дано обоснование метода усреднения по быстрым переменным для многочастотных систем с запаздыванием на временном отрезке tlo]io+ 2 и изучена количественная зависимость оценок от малого параметра. 2. Получены оценки метода усреднения по части быстрых переменных для колебательных систем, решения которых могут "застревать" в окрестности некоторых резонансов. 3. Установлено существование инвариантных многообразий, квазипериодических решений. 4. Исследовано распространение полученных результатов на колебательные системы второго порядка. Практическая ценность. Результаты работы расширяют возможность применения метода усреднения для исследования нелинейных колебательных движений систем с запаздыванием. Они могут быть применены при решении прикладных задач небесной и классической механики для которых характерно явление резонанса, а также для исследования систем второго порядка. Апробация работы..Основные результаты диссертации доклады- вались на конференции молодых ученых КГУ 1983 г., на научном семинаре кафедры дифференциальных и интегральных уравнений Киевского государственного университета 1983 г., на научно-отчетных конференциях К-П ВВИКу (I981-1983 г.) Публикации. По теме диссертации опубликовано 5 работ /35-38J м Объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка цитированной литературы, состоящего из 102 наименований. Общий объем составляет -/-/2 страниц машинописного текста. Содержание работы. В главе I для колебательных систем с запаздыванием, содержащих медленные и быстрые движения, проведены доказательства теории обоснования схем усреднения на временном отрезке[iQj- ^ -f-'j'при различных предположениях на правые части исходных и усредненных уравнений. В 1 приводятся некоторые обозначения и вспомогательные утверждения. В 2 для двух классов систем с постоянным запаздыванием дается постановка задачи, указываются общие условия на систему. В 3 дается доказательство вспомогательных лемм для систем с изолированными резонансами. Найдены условия "незастревания" решения в окрестности резонанса и получена оценка времени прохождения решения через эту окрестность. В 4 доказывается теорема обоснования метода усреднения на временном отрезке [ioj 1<> +Є'1] для систем с изолированными резонансами и исследуется количественная зависимость полученных оценок от малого параметра. При этом все оценочные константы выписываются в явном виде через начальные данные исследуемого явления. В 5 для обоснования схемы усреднения делаются некоторые предположения на высшие производные по от функций (*?> ьО(&/ 3a)J , вычисленные в силу исходной системы уравнений, не во всей области изменения переменной ос , а лишь в - ІЗ - так называемых резонансных областях. В главе П исследуются системы обыкновенных дифференциальных уравнений с запаздыванием, содержащие позиционные и угловые пере< менные. Находятся условия существования устойчивых тороидальных инвариантных многообразий, условия существования квазипериодических решений таких систем. В 1 приводятся некоторые обозначения и постановка задачи. В 2, 3 проводится построение асимптотических приближений рассматриваемых систем. В 4, 5 приводятся условия существования инвариантных многообразий и условия существования квазипериодических решений систем. В главе Ш рассматривается вопрос о существовании квазипериодических решений систем 2-го порядка. В 1 находятся условия существования квазипериодических решений систем второго порядка с а степенями свободы и с запаздыванием. В 2 рассматривается вопрос о квазипериодических колебаниях маятника с вибрирующей точкой подвеса. Автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю профессору Мартынюку Дмитрию Ивановичу за постановку задач и постоянное внимание к работе. Среди процессов, изучаемых в самых различных разделах естествознания (механике, физике, технике и др.) важное место занимают колебательные процессы. До настоящего времени разработан и математически обоснован ряд эффективных методов исследования колебательных процессов, описываемых как линейными, так и нелинейными дифференциальными уравнениями. /Наиболее плодотворными из них оказались асимптотический метод, метод усреднения, метод интегральных многообразий и метод последовательных замен переменных, развитые Н.М.Крыловым, Н.Н.Боголюбовым, Ю.А.Митропольским и их учениками [і4-17] , [34] ,[48-58І , [71-74] . Остановимся более детально на втором из этих методов, Основы метода усреднения были заложены в работах основоположников небесной механики времен Лагранжа И Лапласа. Сущность метода усреднения состоит в том, что изучаемая система дифференциальных уравнений при помощи специального оператора заменяется другой системой, называемой усредненной. При этом усредненная система с одной стороны, должна быть в некоторой степени проще исходной, а с другой стороны, она должна описывать главные черты исследуемого явления. В таком случае естественным образом возникает проблема обоснования метода усреднения, т.е. проблема получения эффективных оценок для нормы разности решений исходной и усредненной систем уравнений на достаточно большом промежутке времени. Несмотря на то, что метод усреднения применяется для решения различных задач на протяжении почти двух столетий, проблема обоснования метода усреднения долгое время оставалась неразрешенной. Лишь в 30- 40 годы текущего столетия были получены основополагающие результаты в этом направлении. Так Н.Н.Боголюбов пока - 4 зал (I4J , что для систем стандартного вида метод усреднений органически связан с существованием некоторой замены переменных, позволяющих исключать временную переменную / из правой части системы. Кроме того, Н.Н.Боголюбов исследовал системы уравнений высших приближений, решения которых апроксимируют решения исходной системы уравнений с точностью до величин пропорциональных целым степеням малого параметра Весьма широкий класс нелинейных колебательных систем описывается уравнениями, которые можно свести к системе дифференциальных уравнений относительно/7? медленных и /7 быстрых переменных. Правые части таких уравнений, как правило, -периодические по каждой из компонент вектора быстрых переменных или квазипериодические по времени. Для исследования и построения решений уравнений с медленными и быстрыми переменными наиболее широко применяются асимптотические методы нелинейной механики. Для случаяn-J асимптотический метод был развит Н.Н.Боголюбовым и Д.Н.Зубаревым [l5J . Если n i , то при применении асимптотических методов возникают существенные трудности, связанные с проблемой резонан-сов. Для исследования резонансных задач в последнее время также разработаны различные варианты асимптотических методов и метода усреднения. Наиболее изучены квазилинейные колебательные системы. Резонансные явления в таких системах возникают как в результате целочисленной соизмеримости собственных частот, так и вследствие воздействия на систему возмущающих сил. Существенные результаты в области исследования резонансных задач были получены в работах Н.П.Моисеева [б1,63] , Е.А.Гребе-никова [27] , Е.А.Гребеникова и Ю.А.Рябова [28-30] , Е.А.Гребе-никова и Н.И.Поповой [зі] , М.М.Хапаева [79-82] , Ф.Л.Черноусь-ко [87-88] , Л.Д.Акуленко и Ф.Л.Черноусько [i] , Н.И.Поповой [67,68] , О.Моррисон [97] , Д.Сандерса [100] и др. Первые результаты по обоснованию метода усреднения для двухчастотной колебательной системы с аналитическими правыми частями получил В.И.Арнольд И . Основной результат В.И.Арнольда состоит в следующем. Первая схема усреднения применяется для систем вида ос CQfe,y,ej, = ьЭ(х) + (ъу,е). (3) Соответствующая усредненная система имеет вид где 2f 2 функция &/jcJ определяется аналогично, системе (4) существен но проще исходной системы (3). Для одночастотной системы из ре зультатов Н.Н.Боголюбова и Ю.А.Митропольского p6j следует оценка интервале времени дли ной порядка d"f (если в начальный момент времени cctfty x W). Основная особенность многочастотных систем вида (3) состоит в том, что в ходе эволюции частоты медленно изменяются и в некоторые моменты времени может возникать их целочисленная соизмеримость (резонанс), которая может сохраняться достаточно долго. Для изучения такого случая схема усреднения по быстрым переменным не всегда применима, о .чем свидетельствуют примеры рассмотренные В.И.Арнольдом [VJH Е.А.Гребениковым и Ю.Л.Рябовым [30] . Для п 2 результат, аналогичный результату В.И.Арнольда, полученный Е.А.Гребениковым [27] . В случае г =2 оценки работы И с одновременным ослаблением условий на систему были улучшены А.И.Нейштадтом 65j . Дальнейшее развитие проблема обоснования схемы усреднения по быстрым переменным получила в работах Е.Л.Гребеникова и Н.Н.Поповой [Зі] , Н.И.По повой [67] . Несколько другой подход к решению этой задачи был предложен М.М.Хапаевым [80J . Для обоснования схемы усреднения по быстрым переменным на систему необходимо наложить дополнительные условия, сущность ко т торых заключается в том, чтобы не допустить "засревание" системы в малой окрестности резонансов. Если такому условию нельзя удовлетворить, т.е. если система задерживается в окрестности резонансов как угодно долго,и в начальный момент в системе имеет место резонанс, то целесообразно использовать схему усреднения вдоль решения порождающей системы. Метод усреднения с учетом соизмеримости частот в начальный момент времени был обоснован Е.А.Гребениковым [27] и получил дальнейшее развитие в работах Е.А.Гребеникова и Ю.А.Рябова [28-30] , Н.И.Поповой [бв] . Ряд важных результатов, связанных с исследованием многочастотных колебаний не только с качественной, но и с количественной стороны был получен асимптотическими методами в работах Ю.А.Мит-ропольского и А.М.Самойленко [51-53] . Резонансные многочастотные системы изучались в работе Ж.Сандерса [Ю0] . Метод последовательных замен вместе с методом интегральных многообразий применялся для исследования многочастотных систем в монографии Н.Н.Боголюбова, Ю.А.Митропольского и А.М.Самойленко [17] . Этому же кругу задач посвящена работа Ю.Мозера ЦбО] . В работах Н.Н.Боголюбова и Ю.А.Митропольского [1б] , Н.Н.Боголюбова, Ю.А.Митропольского и А.М.Самойленко (J7J , А.Н.Колмогорова [32] , В.И.Арнольда [56] , Ю.А.Митропольского и А.М.Самойленко [51-54,57] , А.М.Самойленко [74] , О.Б.Лыковой [4l] , С.Дилиберто [91,92] , А.Келли [93-95] , Н.Левинсо-на [9б] , Р.Сакера [98,99] , Д.Хейла [86,101] получено ряд результатов посвященных доказательству существования инвариантных многообразий как для гамильтоновых, так и для негамильтоновых колебательных систем и применению полученных теорем для анализа структуры решений на многообразии и в его окрестности. Многие задачи физики и техники, биологии, экономики и ряда других наук приводят к дифференциальным уравнениям с отклоняющимся аргументом. В частности актуальной является задача исследования колебаний в системах с запаздыванием. Ряд колебательных систем с запаздыванием, также описывается дифференциальными уравнениями, содержащими быстрые и медленные переменные. В настоящее время имеются монографии и обзорные статьи подытоживающие исследования по теории дифференциальных уравнений с запаздыванием. Отметим среди них монографии Л.Э.Эсгольца и С.Б.Норкина (.901, Р.Беллмана, И.К.Кука J0j , Э.Пинни [бб] , А.Д.Мышкиса [бЗ] , В.П.Рубаника [70J , Ю.А.Митропольского и Д.И.Мартынюка [56] , Д.И.Мартынюка 43] , Ю.С.Колесова и Д.И.Швитры [33] , Дж.Хейла р02] . Вопросы обоснования метода усреднения для уравнений с запаздыванием стандартного вида изучались в работах В.П.Рубаника Ї.70І , В.И.Фодчука [79] , Ю.А.Митропольского и В.И.Фодчука CsoJ , А.Халаная [86] , Д.Д.Байнова и М.Константинова И и др. Для систем дифференциальных уравнений запаздывающего и нейтрального типа с одной быстрой и медленными переменными в работах В.М.Воло сова, Г.Н.Медведева и Б.И.Моргунова [18-20] , Г.Н.Медведева [4б] , построены усредненные уравнения первого и второго приближения и дано обоснование метода усреднения на интервале времени [О/ L ] . Для квазилинейных дифференциально-разностных уравнений запаздывающего типа асимптотический метод был развит В.П.Руба -ником [69,70] . Этот же вопрос рассматривался и М.М.Методиевой Отметим также статьи В.И.Фодчука [78] и Д.И.Мартынгока и В.И.Фодчука [45] . Обоснование метода усреднения для многочастотных систем дифференциальных уравнений с запаздыванием изучалось в работах М.Н.Хапаева и В.И.Кузнецовой [83] , И.В.Кузнецовой [39] , Я.Й.Бигуна и В.И.Фодчука [II] . Вопросы существования инвариантных тороидальных многообразий с запаздыванием и с постоянным вектором частот рассматривались в работах Д.И.Мартынгока [5б] . В этой же работе для таких систем указывается алгоритм нахождения инвариантного многообразия. Здесь же излагается асимптотический метод построения квазипериодических решений систем с запаздыванием и с постоянным вектором частот. Настоящая диссертация примыкает к названным работам. В ней изучаются вопросы обоснования метода усреднения для колебательных систем с запаздыванием и с переменными частотами, которым свойственно явление резонанса; исследуются инвариантные многообразия многочастотных систем с запаздыванием, а также вопросы существования квазипериодических решений таких систем. Актуальность темы. Вопрос об интегрировании или исследовании многочастотных систем дифференциальных уравнений является сложной проблемой. Для систем с запаздыванием эта проблема намного сложнее и до настоящего времени изучена недостаточно. Трудности применения асимптотических методов и метода усред-нения для дифференциально-функциональных уравнений в многочастотном случае во многом связаны с резонансными явлениями. По сравнению с обыкновенными дифференциальными уравнениями ситуация здесь усложняется тем, что в общем случае резонансы в системах с запаздыванием определяются соотношениями вида (c, {x,XT))+{K,cOfab,Xu)) z( xjQ (б) где к, /с - целочисленные векторы, - вектор-функция частот, Т л -величины характеризующие Запаздывание, «% Y /r JCAtfJ OCfAfyJj (,, J - скалярное произведение. Если /с и запаздывание ограничено, то выражение (51 будет малым (порядок/ / ) как угодно долго. Некоторым вопросам обоснования метода усреднения, а также вопросам существования и устойчивости инвариантных многообразий многочастотных колебательных систем с запаздыванием, вопросам нахождения квазипериодических решений таких систем посвящена настоящая работа. Объект исследования. Объектом исследования являются системы нелинейных дифференциально-разностных уравнений запаздывающего типа с быстрыми и медленными переменными. Запаздывание в системах постоянные. Кроме того рассматриваются некоторые системы дифференциальных уравнений с запаздыванием второго порядка. Цель работы. I. Обоснование различных схем усреднения на временном отрезке [/с/ о + J для систем с запаздыванием, которые описывают медленные и быстрые движения. 2. Изучение количественной зависимости оценок нормы разности решений возмущенных и усредненных уравнений от величины малого параметра и от исходных данных задачи. 3. Доказательство существования устойчивых инвариантных многообразий для систем, содержащих позиционные и угловые переменные , а также существования квазипериодических решений таких систем. 4. Применение полученных результатов для исследования некоторых колебательных систем с запаздыванием второго порядка. Дано обоснование метода усреднения по быстрым переменным для многочастотных систем с запаздыванием на временном отрезке tlo]io+ 2 и изучена количественная зависимость оценок от малого параметра. 2. Получены оценки метода усреднения по части быстрых переменных для колебательных систем, решения которых могут "застревать" в окрестности некоторых резонансов. 3. Установлено существование инвариантных многообразий, квазипериодических решений. 4. Исследовано распространение полученных результатов на колебательные системы второго порядка. Практическая ценность. Результаты работы расширяют возможность применения метода усреднения для исследования нелинейных колебательных движений систем с запаздыванием. Они могут быть применены при решении прикладных задач небесной и классической механики для которых характерно явление резонанса, а также для исследования систем второго порядка. Апробация работы..Основные результаты диссертации доклады - 12 вались на конференции молодых ученых КГУ 1983 г., на научном семинаре кафедры дифференциальных и интегральных уравнений Киевского государственного университета 1983 г., на научно-отчетных конференциях К-П ВВИКу (I981-1983 г.) Публикации. По теме диссертации опубликовано 5 работ /35-38J Объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка цитированной литературы, состоящего из 102 наименований. Общий объем составляет -/-/2 страниц машинописного текста. Содержание работы. В главе I для колебательных систем с запаздыванием, содержащих медленные и быстрые движения, проведены доказательства теории обоснования схем усреднения на временном отрезке[iQj- -f- j при различных предположениях на правые части исходных и усредненных уравнений. В 1 приводятся некоторые обозначения и вспомогательные утверждения. В 2 для двух классов систем с постоянным запаздыванием дается постановка задачи, указываются общие условия на систему. В 3 дается доказательство вспомогательных лемм для систем с изолированными резонансами. Найдены условия "незастревания" решения в окрестности резонанса и получена оценка времени прохождения решения через эту окрестность. В 4 доказывается теорема обоснования метода усреднения на временном отрезке [ioj 1 +Є 1] для систем с изолированными резонансами и исследуется количественная зависимость полученных оценок от малого параметра. При этом все оценочные константы выписываются в явном виде через начальные данные исследуемого явления. В 5 для обоснования схемы усреднения делаются некоторые предположения на высшие производные по от функций вычисленные в силу исходной системы уравнений, не во всей области изменения переменной ос , а лишь в так называемых резонансных областях. В главе П исследуются системы обыкновенных дифференциальных уравнений с запаздыванием, содержащие позиционные и угловые пере менные. Находятся условия существования устойчивых тороидальных инвариантных многообразий, условия существования квазипериодических решений таких систем. В 1 приводятся некоторые обозначения и постановка задачи. В 2, 3 проводится построение асимптотических приближений рассматриваемых систем. В 4, 5 приводятся условия существования инвариантных многообразий и условия существования квазипериодических решений систем. В главе Ш рассматривается вопрос о существовании квазипериодических решений систем 2-го порядка. В 1 находятся условия существования квазипериодических решений систем второго порядка с а степенями свободы и с запаздыванием. В 2 рассматривается вопрос о квазипериодических колебаниях маятника с вибрирующей точкой подвеса. Автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю профессору Мартынюку Дмитрию Ивановичу за постановку задач и постоянное внимание к работе.Постановка задачи для двух классов многочастотных систем с запаздыванием
Обоснование метода усреднения для системы (1.2Д)
Построение асимптотических приближений системы (2.1.2 )
Колебания маятника с вибрирующей точкой подвеса
Похожие диссертации на исследование многочастотных колебаний систем с запаздыванием
