Содержание к диссертации
Введение
1 Периодические колебания в консервативных системах с малым запаздыванием 17
1.1 Существование периодических решений 17
1.2 Устойчивость периодических решений 29
1.3 Численный эксперимент 33
2 Периодические колебания в консервативной системе с постоянным запаздыванием 37
2.1 Постановка и обсуждение задачи 37
2.2 Асимптотика периодических решений консервативной системы с малыми амплитудами 45
2.3 Устойчивость квазигармонического дифференциального уравнения с запаздыванием 46
2.4 Асимптотические свойства периодических решений 54
2.5 Устойчивость периодических решений 59
3 Влияние запаздывания на движение релятивист ской частицы в кулоновском поле 92
3.1 Математическая модель 92
3.2 Исследование устойчивости положений равновесия системы функционально-дифференциальных уравнений 94
3.3 Существование периодических решений системы функционально-дифференциальных уравнений при малых значениях параметра S 95
3.4 Существование периодических решений системы функционально-дифференциальных уравнений при малых значениях параметра 99
3.5 Численное исследование поведения решений 100
Заключение 109
Литература
- Устойчивость периодических решений
- Асимптотика периодических решений консервативной системы с малыми амплитудами
- Исследование устойчивости положений равновесия системы функционально-дифференциальных уравнений
- Существование периодических решений системы функционально-дифференциальных уравнений при малых значениях параметра
Введение к работе
*
*
История вопроса. Теория нелинейных периодических колебаний дифференциальных уравнений с запаздыванием играет важную роль в исследовании математических моделей динамических систем с последействием. Существенный вклад в ее развитие внесли Ю.Г. Борисович [8], В.Б. Колмановский [52, 119], Ю.С. Колесов [51], М.А. Красносельский [47, 55], Ю.И. Митропольский [64], В.И. Рожков [74], В.П. Ру-баник [75], Ю.А. Рябов [76], С.Н. Шиманов [22, 23, 87, 88], А. Халанай [95], S. Chow [104], J.К. Hale [96, 117], J. Mallet-Paret[104]. Для дифференциальных уравнений с запаздыванием получили развитие известные методы теории нелинейных колебаний: Ляпунова-Пуанкаре, усреднения, бифуркации Андронова-Хопфа, векторных полей. Особое внимание уделялось изучению дифференциальных уравнений с малым запаздыванием. В работах М.А. Красносельского [47], Д.А. Взовского [11], P.P. Ахмерова [5], В.И. Кузнецовой [56], С.Н. Шиманова [22], А.В. Курныша [57], Х.Р. Л атипова и Ф.У. Носирова [60], В.В. Матросова [63], Ю.Ф. Долгого [19], СВ. Богатовой [6, 7], Е. Fridman [110], D.W. Luse [124] показано, что введение малого запаздывания в систему дифференциальных уравнений может существенно изменить качественную картину поведения ее решений. Вопросы существования и устойчивости периодических решений наиболее разработаны для дифференциальных уравнений второго порядка. Здесь можно отметить работы: К.Г. Молловой [67, 68], А.Ю. Коломийца [53], Д.С. Кащенко [44, 45], А.Ю. Колесова [48-50], Н.Х. Розова [48], Л.З. Фишмана [93, 94], D.E. Gilsinn [112], Z. Guo, Y. Xu [116, 131], S. Lu, W. Ge [123], S. Ma, Q. Lu [125], T. Furumochi [111], G. Metzen [126], K. Wen, P. Chen, J.S. Turnes [133], F.G. Boese [101], B. Zhang [136].
L Объект исследования и основные результаты. В консервативной системе
Ч с одной степенью свободы, описываемой обыкновенным дифференциальным уравне-
нием
» ^ + /(х)=0, хе(-а,а), (0.1)
(
*
где / - непрерывная нечетная функция на интервале (—а, а), f(x) > 0 при х Є (0, а), существует однопараметрическое семейство периодических решений, период которых зависит от начальных условий. В работах Л.С. Понтрягина [73], A.M. Каца [43], И.Г. Малкина [61], В.Н. Тхая [80, 82] установлено, что малые неконсервативные возмущения консервативной системы могут привести к распаду семейства периодических решений и появлению устойчивых предельных циклов. В настоящей работе возмущающим фактором для уравнения (0.1) является запаздывание. Показано, что его введение в описание математической модели консервативной системы также может привести к распаду семейства периодических решений и появлению устойчивых предельных циклов.
В первой главе консервативная система возмущается малым запаздыванием. Исследованию дифференциальных уравнений с малым запаздыванием посвящено боль-
»
«* з
't
шое количество научных работ [5-7,19, 47, 56, 57, 63, 68, 83,110], в которых изучались также и периодические решения. Специфика настоящей постановки связана с возмущением существенно нелинейных систем и учетом свойств симметрии периодических решений невозмущешюй системы. Она непосредственно примыкает к постановкам задач в работах Л.С. Понтрягина [73], A.M. Каца [43], И.Г. Малкина [61], В.Н. Тхая [81], но здесь роль неконсервативного возмущения играет запаздывание. Для решения указанной задачи используется метод вспомогательных систем С.Н. Шиманова [16, 89] в теории Ляпунова-Пуанкаре для систем с запаздыванием. Используя идеи работ И.Г. Малкина [62] для обыкновенных дифференциальных уравнений, удается конкретизировать вид функции Q, задающей уравнение разветвления, и сформулировать конструктивное условие существования периодических решений. Реализация в задаче устойчивости периодического решения метода подсчета характеристического показателя в форме разложения по малому параметру осложняется существенной нестационарностью невозмущенного уравнения. Связанные с этим обстоятельством трудности удается преодолеть, учитывая свойства симметрии решений консервативной системы.
*
Во второй главе возмущение моделируется конечным запаздыванием и ставится
задача нахождения периодического решения дифференциального уравнения, период
которого совпадает с запаздыванием, с последующим исследованием его устойчиво
сти. Она принадлежит классу задач о периодических решениях с периодами крат
ными запаздыванию, которые изучались-в работах В.И. Зубова [37], J.L. Kaplan,
J.A. Yorke [120]. Значительные трудности возникают здесь при исследовании устой
чивости периодических решений с конечными амплитудами. Используя известные
результаты Г.Л. Гасилова [12], A.M. Зверкина [36], С.Н. Шиманова [87], Ю.Ф. Долго
го [17], эту задачу можно свести к оценке расположения собственных чисел краевой
задачи для системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с суще
ственно переменными коэффициентами. Для преодоления возникающих трудностей
в работе предложен метод изучения движения собственных чисел краевой задачи
по комплексной плоскости при изменении специального параметра в коэффициен
тах системы обыкновенных дифференциальных уравнений. На этом пути удалось
свести задачу устойчивости к изучению бифуркаций собственных чисел z краевой
задачи в точках г = 1 и г = -1. Применение методов теории возмущений [42], тео
рии самосопряженных краевых задач [69, 98] и учет симметрии, присущих решениям
консервативных систем [62, 66], позволило изучить направление движения собствен
ных чисел краевой задачи в малых окрестностях отмеченных точек г = 1иг = -1.
Ш Опираясь на эти результаты, удалось получить достаточные условия устойчивости
периодических решений, которые тестировались на конкретных уравнениях с запаздыванием.
* В третьей главе изучается влияние запаздывания на движение релятивистской
частицы в кулоновском поле. Различные вопросы, связанные с учетом последействия
при движении частиц в электромагнитном поле изучались в работах [2, 13, 25, 26,
71, 85, 99, 3, 102, 103, 107, 108, 118, 128-130, 138]. Особое внимание уделялось на
хождению специальных круговых орбит [38-40, 84]. В настоящей работе изучаемая
' і математическая модель рассматривается как возмущенная для модели движения ре-
Г лятивистской частицы в кулоновском поле. Показано, что введение запаздывания
приводит к появлению изолированных неустойчивых периодических решений и уничтожению семейства почти периодических решений невозмущенной системы.
Краткое содержание работы.
'і
Устойчивость периодических решений
Предполагаются выполненными условия теоремы 1.1 существования периодического решения дифференциального уравнения с запаздыванием (1.1). Уравнение возмущенного движения для периодического решения в линейном приближении имеет вид d?y(t) dF{x{t, т), x(t - т, г)) dF(x(t, г), x(t - т, т)) aW + д х V + 9х т У( - ) = 0- (1-31) Проводя в (1.31) замену переменных t = KTS, y{KTs) = z(s), где кт = к" , получаем дифференциальное уравнение с запаздыванием и с Г»-периодическими коэффициентами Pz(s) , 2 fdF(x(s,T),x(s-sT,T)) dF(x(s,r),x(s - ST,T)) _, Л _ ___ + Кт у __ z{s) + __ z[s _ 8т) j _ о, (1.32) где sT = ST . Периодическому решению X(S,T), S Є R, дифференциального уравнения с запаздыванием (1.4) отвечает -периодическое решение z(s) = dx(s,r)/ds, s Є К, дифференциального уравнения (1.32). Указанное периодическое решение является решением Флоке уравнения (1.32) с характеристическим показателем Л = 0. При г = 0 уравнение (1.32) превращается в обыкновенное дифференциальное уравнение d2z/ds2 + a (s)z = 0. Для него характеристический показатель Л = 0 является двукратным и ему отвечает единственное линейно независимое периодическое решение i (s), s Є 1 Устойчивость уравнения (1.32) при малых положительных т определяется ненулевым характеристическим показателем Л(г) этого уравнения, непрерывно зависящим от г и удовлетворяющим условию А(0) = 0.
Лемма 1.4. Пусть выполнены условия теоремы 1.1. Ненулевой характеристический показатель А(т) дифференциального уравнения с запаздыванием (1.31), непрерывно зависящий от г и удовлетворяющий условию А(0) = 0, определяется асимптотической формулой A(r) = -r + o(r).
Доказательство. Используя методику нахождения характеристических показателей, изложенную в работе [90], ищем решение Флоке z(s, T) = U(S, Т)ЄХ(-Т 3, U(S + T ,T) = U(S,T), S Є R, соответствующее ненулевому характеристическому показателю А(т) уравнения (1.31). Периодическая функция u(s, т), s 6 R, является решением уравнения целым положительным степеням т. При нахождении этих коэффициентов периоди щ ческое решение дифференциального уравнения с запаздыванием (1.4) задается асим птотическим разложением x(s,r) = rr (s) + Уо(з)т + x2(s)r2 + о(т2), sGR.
Уравнение (1.36) имеет единственное линейно независимое периодическое реше % ние uo(s) = х (s), s Є R. Учитывая определение решения UQ(S), S Є R, уравнение (1.37) преобразуем к виду й\ + a (s)u\ + 2Ai/(o; (s)) = 0. Последнее уравнение имеет периодические решения при любых значениях Ai. Так как однородная часть это го уравнения совпадает с уравнением (1.36), то в качестве щ можно взять частное периодическое решение. А именно, u\{s) = — \iXp(s), s Є R, где Хр - частное пе . риодическое решение уравнения (1.7). В результате уравнение (1.38) преобразуем к І виду и2 + a {s)u2 - 2\\x],{s) + (2А2 - a2{s))x (s) + (X2 + A s) + Bi(s))x.{s) = 0. (1.42) ЗО Учитывая формулы (1.41), записываем условие существования периодического решения для этого уравнения
В полученном равенстве четвертое слагаемое равно нулю. Тогда это равенство можно рассматривать как уравнение, определяющее А2, которое должно иметь решение А2 = 0. Поэтому третье слагаемое в (1.47) равно нулю. В результате, учитывая (1.46) и определение значения // , для ненулевого значения А2 имеем уравнение значениях т периодическое решение, определяемое этой теоремой, устойчиво, если P t 0, и неустойчиво, если РІ 0. Доказательство. Справедливость утверждения следует из леммы 1.4, аналога теоремы Андронова-Витта для дифференциальных уравнений с последей ствием [96; с. 287] и теоремы о неустойчивости решения по первому приближению В для систем с запаздыванием [88].
Численное интегрирование проведено методом Рунге-Кутты четвертого порядка. Начальные функции, определенные на промежутке запаздывания, представлены кубическими сплайнами с переменным шагом построения и заданными на концах вторыми производными (на рисунках - жирная серая кривая).
Как видно из рис. 1.1, функция Р имеет один нуль на интервале (0, а). Следовательно, уравнение (1.1) при малых значениях запаздывания имеет одно изолированное периодическое решение. Из теоремы 1.2 следует устойчивость этого решения. Взяв запаздывание г = 0.03 и начальную функцию вблизи предполагаемого местоположения предельного цикла, мы обнаруживаем искомый предельный цикл (см. рис. 1.2). Рассмотрим скалярное нелинейное дифференциальное уравнение с запаздыванием i . + F(x(t),x(t-r)) = 0, (2.1) где F - непрерывная функция по совокупности аргументов ІИІТВ области (—а, а) х w (—а, а), а О, F(0,0) = 0 и т - положительное число. Пусть f(x) = F(x,x), х (—а,а), - нечетная функция, f(x) 0 при 0 х а и существует производная / (0) 0. Глава посвящена изучению вопросов существования и устойчивости т-периоди ческих решений дифференциального уравнения с запаздыванием (2.1). Для других . классов дифференциальных уравнений с запаздыванием вопросы существования пе v риодических решений с периодами кратными запаздыванию изучались в работах [120, 115], а вопросы устойчивости этих решений - в [106, 21]. ) Искомое т-периодическое решение уравнения (2.1), если оно существует, принад лежит семейству периодических решений обыкновенного автономного дифференциального уравнения второго порядка
Предложение 2.1. Пусть F- непрерывная функция в области (—а, а)х(—а, а), F(0,0) = 0, функция / нечетна, f(x) 0 при 0 каи существует производная / (0) 0. Тогда для существования т-периодического решения дифференциального уравнения с запаздыванием (2.1) необходимо и достаточно, чтобы число г принадлежало интервалу ( inf Т(//), sup Т(/л)). Этот интервал дополняется значением
Асимптотика периодических решений консервативной системы с малыми амплитудами
Пусть / - нечетная трижды непрерывно дифференцируемая функция в окрест ности нуля, / (0) 0. Тогда для нее можно записать формулу Тейлора с остаточным членом в форме Пеано f(x) — а\х + а х3 + о(х3), щ = /W(0)/(i!), г = 1,3. Ш Предложение 2.3. Пусть f - нечетная трижды непрерывно дифференциру емая функция в окрестности нуля, /(0) = 0, f(x) 0 при 0 х а, / (0) 0. Тогда / периодическое решение обыкновенного дифференциального уравнения (2.2) определя ется формулой x(t,ц) = (27ГІ/Т(/І),/І), ( б R, где функции х иТ определяются асимптотическими разложениями x(s, /л) = cos(s)/x + —- -(cos(3s) - cos(s))/i3 + о(ц3), s Є R, (2.24) 32oi
Доказательство. Воспользуемся известным методом [66; с. 58] вычисления периодических решений с малыми амплитудами для консервативных систем. Представим периодическое решение уравнения (2.13) и его функцию периода в виде аналитических разложений Щ x{s,n) = xi(s)u + x2{s)n2 + xz(s)f/ + o(//), Т(ц) = -=(1 + M + h2ix2 + o(/i2)).
Неизвестные функции xi, x2, xz являются 27Г-периодическими решениями обыкно ц. венных дифференциальных уравнений xi +xi = 0, х2 + х2 + 2hiXi = 0, хг+х3 + (2/i2 + h)xi + —х\ + 2М2 = 0. \k Они удовлетворяют начальным условиям: Х\{$) = 1, 5i(0) = 0; х2(0) = 0, х2(0) = 0; 3(0) = 0, х3(0) = 0. Находим Xi(s) = cos(s), s Є R, и переписываем второе уравнение І х2 + х2 + 2hi cos(s) = 0. (2.26)
Используя необходимые и достаточные условия существования периодического решения линейной неоднородной системы в резонансном случае [62; с. 109], получаем hi = 0. Для начальных условий х2(0) = 0, х2(0) = 0 находим 27г-периодическое решение уравнения (2.26) x2(s) = 0, s Є R. С учетом полученных результатов перепишем третье уравнение h + хг + (2й2 + - -J cos(s) + р- cos(3s) = 0. (2.27) V 4а!/ 4oi
Используя необходимые и достаточные условия существования периодического ре шения линейной неоднородной системы в резонансном случае [62; с. 109], получаем h2 = — -—. Для начальных условий х3(0) = 0, ж3(0) = 0 находим 27г-периодическое (2 ч решение уравнения (2.27) x3(s) = ——(cos(3s) — cos(s)), s Є R. 32ai V- 2.3. Устойчивость квазигармонического дифференциального уравнения с запаздыванием Ы Пусть F - трижды непрерывно дифференцируемая функция в области (—а, а) х (—а,а) и функции Fi, г = 1,2, четные. Задаем асимптотические разложения Fi(y) = ао + 2 У2+(У2) г = І» 2- Причем справедливы соотношения a +i = (а +а )/(к+1), А; = 0,2. Полагая в уравнении (2.12) ц = 0, получим дифференциальное уравнение с запаздыванием и с постоянными коэффициентами $ (s) + ±- (a y(s) + a y(s - 2тг)) = 0. (2.28) Характеристические показатели уравнения (2.28) являются корнями характеристического уравнения [97; с. 115] D(X) = Л2 + - (41} + 42)е"27гА) = 0. (2.29)
Используя метод .D-разбиения [97; гл. 3, 3], найдем множества в плоскости параметров 4 , a,Q из области 2) = {(а0 ,% ) : % + а[, 0}, в которых характеристическое уравнение (2.29) имеет одинаковое количество чисто мнимых корней и корней с положительной действительной частью. Преобразуем уравнение (2.29) к виду 41} (Л2 + 1) + 42) (Л2 + е 2пХ) = 0. (2.30) (1) (2) плоскости параметров % , % , и разделив действительную и мнимую части уравне Проведя в (2.30) преобразование Л = іш, переводящее мнимую ось в набор прямых плоскости параметров ния, получим систему но;2 + 1) о + {-и2 + cos(2W)) а{2) = 0, (2.31) - sin(27rw) aj2) = 0, (2.32) \ ненулевое решение которой существует при условии Д = (ш2 — 1) sm(2Tvui) = 0. Это " решение определяет множества в плоскости параметров, для которых чисто мнимые значения Л = ш являются корнями характеристического уравнения (2.29). Из Д = 0 ш имеем и = ±п/2, п = 0,1,2,... Значения ш = ±тг/2, п = 0,4, б, 8,..., при подстановке У в (2.31) определяют прямую UQ + crQ — 0, которая не входит в область допустимых значений. Значения и = ±1 тождественно удовлетворяют системе (2.31), (2.32), следовательно характеристическое уравнение (2.29) имеет два корня А = ±г при любых значениях параметров aj, , сг0 . Значения и = ±гг/2, п = 1,3,5,..., при подстановке в (2.31) определяют прямые ,(2) _ 4-П2 (1) 4 + п2 о -Т ао, n = 1,3,5,..., (2.33) V на которых характеристическое уравнение (2.29) имеет еще два "дополнительных" корня А = ±гтг/2. Через М обозначим точку области 5) с координатами аг0 и % . При построении .D-разбиения вводим множества: » # 41}},№ = {м: 4a, = «?\42) o}, (2) _ 4 - (r + 3)2 (1) (2) о -4+(r + 3)2ao , «o 0 _aW a(2) 4 (r+ 1)2 ml 2a0 a0 и/ пгво.г-А4.." Eo n i(2) -aW a(2) = м : a0 . _„ , -„ - 5 M: a 0 = ЇМ : 0 a02) jja? }, Го ={м : a02) = 0, a o}, M : - 4X) 42) o}, dDr = -{"!Ш? -4 + (Г+1). )
Они указаны на рисунке 2.2. Здесь нижний индекс обозначает количество корней характеристического уравнения (2.29) с положительной действительной частью (обоснование см. далее). Множества с литерой Е соответствуют положительным значени (2) - г» ям параметра а0 , множества с литерой и соответствуют отрицательным значениям (2) параметра а0 . Если точка М принадлежит множеству Го, то характеристическое уравнение (2.29) имеет лишь два корня Л = ±х. Следовательно, во всей области ——о ао ,(1) -а0 характеристическое уравнение не имеет корней с положительной действительной частью. Таким образом, множества Е0, Го, -Do являются "устойчивыми" [97; гл. 3, 3]. Определим правила перехода корней характеристического уравнения (2.29) через множества дЕо(п = 1), dDn-.3, п = 3,5,..., соответствующие соотношениям (2.33).
Исследование устойчивости положений равновесия системы функционально-дифференциальных уравнений
Рассматривается математическая модель, описывающая движение релятивистской частицы в кулоновском поле неподвижного заряда di = F(rr), (3.1) в которой в неподвижной системе отсчета в момент времени t положение движущейся частицы определяется двумерным вектором r(t), ее импульс имеет видр() = mv()/y/l — v2(t)/c2 и кулоновская сила с эффектом запаздывания F(rT) = —jirT/r .. Здесь т - масса движущейся частицы, /І = —ее 0, е - ее заряд, е - заряд неподвижного центра, с - скорость света, v(t) = dr(t)/dt - мгновенная скорость, гТ — r{t - 5r(t)/c), S 0, r(t) - модуль вектора r(t), t Є К.
В данную модель запаздывание введено для учета конечности взаимодействия частиц. В случае нерелятивистского импульса модель исследовалась в работах [20, 39, 40]. При 8 = 0 математическая модель описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений. В этом случае поведение движений изучено в работе [59; с. 130], в которой описано многообразие почти периодических движений этой модели.
Ставится задача оценить влияние переменного запаздывания на изменение поведения движений в многообразии почти периодических движений невозмущенной модели. С помощью специальных преобразований исходной модели указанную задачу сведем к изучению возможности существования положений равновесия и периодических решений в системе функционально-дифференциальных уравнений.
Далее в работе рассматриваем движения, удовлетворяющие условию p(s) О, s 0. Таким образом, заменяя независимую переменную s на р, мы приходим к исследованию траекторий системы (3.6), (3.7). Вводим обозначение z = г2ф и производим замены: /?(s) = р, r(s) — г(ф(з)) = г( /?), 5(s) = 2( (s)) = г(у ). Здесь угловая переменная р выступает в роли независимой. Тогда имеем ф{в — Shr(s)) — Ф(з((р) - Shr((p)) = рт((р), рт Р, где s((p) = f r2(ip)/z{tp)dip; fT(s) = г(ф{з -5/ir( /3(s)))) — r(ip — т(ср)) = гт((р), т(ср) = ip — (рт( р), р Є R Найдем другое представление функции запаздывания т. В момент времени s-Shr(s) справедливо равенство s((p) — (5/г г = JQT r2(ip)/z((p)d(p. Следовательно, fj r2(ipi)/z(ipx)d(pi = 5hr. Откуда, J_ r2(s + p)/z(s + ip)ds = Shr((p). Таким образом, запаздывание г является решением найденного уравнения. Учитывая, что г = г ф = r z/r2, z — г ф = z z/r2, г = r"(z/r2)2 + г ф, ф — (z /r2 — 2zr /r3)z/r2, находим тч ]r (Z 2ZT \ Z z2 = (1 - h2r,2z2/rA) cosr + h2r z2/r3 sinт L_hJr _ 1 T \\ V T" T z2, z z (1 — h?z2/r2) sin T + h2r z2/r3 cos r /r d rv 2i Домножая второе уравнение на г /г и вычитая из первого, имеем -»4 - 2 - 4=-rcoST+:,sinT,/i-H + ) , »4 rpO rpO iv» iv»i I/ 1 7 »л , h2r z cos г - r(-r2/z + h2z) sinr / I0/V2 1\ V V + 7) Сделаем замены u(cp) = l/r((p), w((p) = l/z(cp) и положим ит(ф) — u{ip — т). Учитывая, что г = —и /и2, г" = —и"/и2 + 2и 2/и3, z — —w /w2 находим и" „ и 2 \ и4 „ и 2 о и3 и cos т — и sm г - + 2 )-=- 2 - v? -- = u2T w2-h2(u 2 + u2). к и и6 J wz uzwz w uw В результате приходим к системе уравнений и2 / и \ и" + и = - I COST sinт I w\/w2 — h2(u 2 + и2), (3.8) - - r ( h2v! cos r - — sin т J V 2-h2(« 2 + w2), (3.9) 2 / M;(S + ф) , о"Л ,„ „4 - lds = -_. (3.10) 3.2. Исследование устойчивости положений равновесия системы функционально-дифференциальных уравнений Для нахождения положений равновесия и — щ, w = wo, т = TQ в (3.8)-(3.10) имеем систему уравнений щ — COSTQWO /WQ — h2ul, sinr0 = 0, r0 = 5hu0/w0, которая допускает решение только при значениях переменных щ, WQ, удовлетворяющих неравенству ги0 Ь,щ. Это решение имеет вид щ = , wo = — , Sh2 82 - т02 /1 /(52 - т02 т0 = 27ГП и существует при 5 2ттп, п Є N. Поэтому при заданном значении параметра 5 27Г существует только конечное число положений равновесия.
В малой окрестности положения равновесия это уравнение разрешимо относительно т. С учетом разложений w/u2 = WQ (І — 2й/щ + W/WQ) /MQ + 0(й2 + w2), \/u = (1 — й/щ) /щ + 0(й2), из (3.11) находим = } № - 2 ) А - + 0(11 + №). J \ Щ w0 J щ -то где йс = Щ&хо] Ій( )1і \\w\\c = Щ х0\ 1 ( )1- При исключении Т из уравнений (3.8), (3.9) используем следующие асимптотические разложения: COST = 1 + 0(f2), sinr = t + Q(f3), ur = M0 + йТ0 + 0(цс + ц)Цс), где йТ0 = й( р - го), А/ 2- h2(u 2 + и2) = 2-/і2м + (- ой + гУо )/ о-/і2Ио + 0(й2 + й 2 + 2) V"2 = (1- 2й/щ)/и + 0(й2). В результате получим систему функционально-дифференциальных уравнений, система линейного приближения для которой имеет вид 2 + h2w2 й" + й = (WQU - u0w) + 2йто, (3.12) w0 w = u + h2 u - 4 / (2H(±2) _ (+ ) , de. (3.13) Wg Wo o J \ uo two -то
Система (3.12), (3.13) имеет решение u((p) = сіЄАі , ги( ) = С2ЄХч для постоянных Сі и с2, удовлетворяющих алгебаической системе линейных уравнений --. —р-.)),-(л_4і- w0 ы% \ Л А- 2 4— -го с- А- 4— Ь = 0, гу0 Jo (Л2 + 3 + h2w20 - 2е_Ато) а - с2 = 0. u0(2 + /12) Выписываем характеристическое уравнение Д А-« = їдгткгі (д2+3+ft2ro» - 2е А ) (А - З Р) 2 и0 л . и0 (п 1 — Є Ат -Л2—Л + 2 то=0. (3.14) wo Wo \ А ) Функция D имеет по меньшей мере два положительных нуля. Действительно, имеем limD(X,5) = „пЩТ 9Ч 0, lim D(X,6) = +оо, - ( ( --)(- )- V . on „-по П- М 2 - гр2) 2Ь\\ - (2 - г0)е2-о) - г02(2 - Зе- + т0е2-) 2гп +2(1 -е J-roj- 2 Г е 0 Таким образом, характеристическое уравнение (3.14) имеет не менее двух положительных корней. Из теоремы о неустойчивости по линейному приближению [88, 96] следует неустойчивость положений равновесия для системы функционально-дифференциальных уравнений (3.8)-(3.10), а также неустойчивость круговых периодических решений системы (3.1).
Существование периодических решений системы функционально-дифференциальных уравнений при малых значениях параметра
Пользуясь свободой выбора параметра h при переходе к безразмерным переменным, полагаем в системе (3.8)-(3.10) h = 1. Тогда при 5 = 0 получаем систему обыкновенных дифференциальных уравнений и" + и = w w2 - {и 2 + и2), (3.15) w = u /w2-(u 2 + u2). (3.16) В силу этой системы имеем и {и" + и) = —ww . Откуда получаем первый интеграл ип + и2 = w2 - с2, сг 0. (3.17) Из (3.16) и (3.17) имеем w = Сій . Откуда находим еще один первый интеграл w = с2 + ciu. (3.18)
Используя (3.17) и (3.18), из уравнения (3.15), получим неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка и" + (1 — с\)и = cic2. Периодическое решение этого уравнения с начальным условием и (0) = 0 имеет вид u(ip) = a cos kip + С\С2/к2, где 0 к = у/1 — с\ 1, а период решения и (к) = 2тт/к. С учетом начального условия и (0) = 0, из интегралов (3.17) и (3.18) получаем квадратное уравнение для нахожде-ния и(0): к2и(0)2 - 2Clc2u(0) + с2 - с\ = 0. Откуда и(0) = {схс2 ± у/с\ - к2с\)/к2, с условиями с\ с2 кс\. Не ограничивая общность рассуждений, в формуле, определяющей и(0), перед радикалом можно взять знак "+". Вводя обозначение є — с2/с\, получаем 0 1 и решение системы (3.15), (3.16) принимает вид , , , (1-А;2) (у/є2-к2 , \ .ЛЧ ио{ір,к,є) = —р—\ 7TTWcos Р + Є) 9) щ( Р,к,є) = - - (V cos кір + д=) (3.20) Найденное решение удовлетворяет неравенствам: umin щ(ір,к,є) umax, wmin — к2 ( І є2 — к2\ 1 — к2 ( w0(ip,k,e) wmax, ip e R, где umin = І є - W 2 J, umax = f є + Формулы (3.19), (3.20) согласуются с представлениями решений уравнения (3.1) при 5 = 0, приведенными в работе [59; с. 130]. Система (3.15), (3.16) обладает интегралом энергии и = w/y/w2 - (и12 + и2) - є, (3.21) и интегралом площадей l/\/w2-{u 2 + u2) = М. (3.22) Из (3.21) и (3.22) имеем и = Mw-є. С учетом (3.18) находим сх = 1/М, с2 = є/М, к = у 1 — 1/М2, где М 1. Постоянная є называется постоянной энергии, а постоянная М - постоянным моментом импульса движения.
Отметим, что найденное (27г/А;)-периодическое решение имеет место при начальных условиях {щ = щ(0,к,є), WQ = WQ(0, к, є)}, удовлетворяющих неравенствам (1 + щ)у/щ/(2 + щ) WQ \/l + UQ. Тогда параметры {к, є} определяются по формулам к = у 1 — (WQ — UQ), Є = wo/y/w2, — м2, — щ.
Представим результат численного эксперимента нахождения решения системы (3.15)-(3.16) методом Рунге-Кутты четвертого порядка. Рис. 3.1. Кривые г = r(ip) и 2 = z(ip) (к - \/2/2, є = 0.8, if Є [0,360]).
Задавались значения параметров {к, є} и в качестве начальных значений использовались Щ = Umax И W0 = Wmax- Для решений {u((p), U)((p)} СИСТвМЫ (3.15), (3.16) находились функции г(ф) = и г( р) и г{ф) = ги х(ф). На рисунке 3.1 изображены в полярных координатах Up - полярный угол, г или z - радиальная координата) слева функция г = г((р), а справа функция z = zUp).
Для фиксированного значения к (0 к 1) рассмотрим периодическое решение {щ((р) = и0( р,к ,є), w Up) = гу0(У) )Є)} с периодом u; = w(k ) = 2ж/к . Требуется, при малых положительных значениях параметра 8, найти -периодическое решение системы (3.8)-(3.10), допускающее асимптотики Qs = u (l+0(5)), u(ip,8) = u (ip) + 0(S), w( p,6) = w ( p) +0(6).
При малых положительных 8 уравнение (3.10) разрешимо относительно т. С другой стороны, справедлива асимптотика f (s) = y?(s)— p(s—5/u(y5(s))) = 8 p(s)/u( p(s))+ 0(52). Поэтому rUp) — Su((p)/w(ip) + 0(62) и uT( p) — uUp — 8uUp)/w(ip)) + 0(62). Находим асимптотическое представление системы (3.8), (3.9):
Таким образом, условие существования периодического решения неоднородной системы уравнений (3.28) не выполняется ни при каких значениях параметра К. Следовательно, отсутствует и соответствующее ему почти периодическое решение системы (3.1).
Существование периодических решений системы функционально-дифференциальных уравнений при малых значениях параметра h
При h — 0 имеет место тождество т( р) = 0, ер Є К, и система (3.8)-(3.10) превращается в систему обыкновенных дифференциальных уравнений и" + и = w2, w = 0, которая имеет 27г-периодическое решение, определяемое формулами щ{ф) = (и0 - го2) cosip + го2,, гу0(у) = WQ, W0 у/щ/2, где «о = wo(0), u»o = u o(0) - начальные значения. Требуется, при малых положительных значениях параметра h найти -периодическое решение системы (3.8)-(3.10), допускающее асимптотики Г2Л = 2тг(1 + 0(Л)), u((p,h) = uo((p) + 0(h), w{y,h) = w0{(f) + 0{h).
При малых положительных h уравнение (3.10) разрешимо относительно т. С другой стороны, справедлива асимптотика f(s) = p(s) — (p(s — 5h/u{(p(s))) — 5h p(s)/u(tp(s)) + 0(h2). Поэтому т(ір) = 8hu{(p)/w{(p) + 0(h2), uT{ip) = u(ip — Sh x u((p)/w((p))) + 0(h2). Из (3.8), (3.9) получаем систему „ и2 ( Shu и . Shu\ i—r — 2 u" + и = -тН cos sin ги Jw2 - h2(u 2 + u2) + 0(/r), иг \ w и w J . ulf.n. Shu w2 - h2u2 . Shu\ /—=—,„. ,„ ,—xr , ,,2\ w = - ( h2u cos sin Ww2 - h2(u 2 + u2) + OVhr). u2\ w и w J Производя в ней замены переменных: tp = (l + ha)9, u((l + ha)9) = щ(в) + hu{6), w((l + ha)9) = w0(6) + hw(9), приходим к задаче нахождения 27г-периодического решения {й(в, Н),ги(в, h)} системы с запаздыванием и" + и = 2w0w — 2а(щ — w ) cos tp + 36w0(u0 — w ) sin tp + 0(h), w = —6WQ + 0(h).
Ее порождающая система не имеет периодических решений. Поэтому искомые периодические решения у системы (3.8)-(3.10) отсутствуют, также как и соответствующие им почти периодические решения системы (3.1).
Численное исследование поведения решений
С помощью численных экспериментов исследуем поведение модели, описываемой в безразмерных величинах векторным уравнением с запаздыванием (3.5). Моделирование проведем в двух вариантах. В первом варианте выполняется условие p(s) 0, s 0, и изучается поведение системы (3.8)-(3.10) с независимой угловой переменной tp. Во втором варианте, когда требуемое выше условие отсутствует, изучается поведение системы (3.6), (3.7) с независимой переменной времени s.
Нахождение решений систем дифференциальных уравнений с запаздыванием проводилось методом Рунге-Кутты четвертого порядка с шагом интегрирования Н. Для этого была написана специальная компьютерная программа, разработанная в среде Delphi 5. Останов счета производился по визуальной оценке полученного графика во избежание накопления вычислительной ошибки.
Примеры 3.1-3.5 представляют результаты исследования системы (3.8)-(3.10). Отметим, что переменная т находилась не как корень уравнения (3.10), но как решение полученного из него дифференциального уравнения где wT = w(tp — г). С помощью аналитических формул задавались различные пары начальных функций {u(tp), w(tp)}, tp Є [—со, 0]. Начальное значение т0 = т(0) находилось как корень уравнения /_т w(s + tp)/u2(s + tp)ds = 81г/щ. Жирной серой кривой изображены начальные функции на отрезках [—то,0]. Вычисления проводились для значений угловой переменной tp из промежутка [0, у ]. Для решений {u(tp), w(tp)} системы (3.8), (3.9), (3.29) находились функции r(tp) = u l(tp) и z(tp) — w l(tp). На рисунках 3.2-3.7 изображены в полярных координатах (tp - полярный угол, г или z - радиальная координата) слева на рисунках (а) графики функций г = r(tp), справа на рисунках (Ь) графики функций z = z(tp). Снизу на рисунках (с) изображены графики функций г = r(tp) в декартовых координатах tp и г. В примерах 3.1-3.3, 3.5 в системе (3.8), (3.9), (3.29) положено h — 1, а в примере 3.4 положено 6=1.
