Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Основные механизмы затухания в электромеханических колебательных системах, обусловленные процессами, протекающими в электрических подсистемах 22
1.1 Расчет коэффициента затухания колебаний механического осциллятора, вносимого электрической системой коррекции положения пробной массы в случае подачи постоянного напряжения 24
1.2 Расчет коэффициента затухания колебаний механического осциллятора, вносимого электрической системой коррекции положения пробной массы в случае подачи переменного напряжения 27
Глава 2. Методика исследований и экспериментальная установка, предназначенные для измерений диссипации, вносимой в колебания механических осцилляторов электрической системой коррекции положения пробных масс 36
2.1 Описание экспериментальной установки и метода измерений... 36
2.2 Конструкция маятника 39
2.2.1 Ограничения добротности маятника, обусловленные диссипацией в материале нитей подвеса 41
2.2.2 Ограничения добротности маятника, обусловленные потерями в опоре 41
2.2.3 Ограничения добротности маятника, обусловленные диссипацией энергии при его движении в окружающем воздухе 42
2.2.3.1 Потери при движении маятника в воздухе .42
2.2.3.2 Расчет потерь при движении маятника в высоком вакууме 44
Глава 3. Результаты исследований затухания колебаний механических осцилляторов, вносимого электрической системой коррекции положения пробных масс и расчет спектральных плотностей флуктуационных сил, действующих на пробную массу осциллятора при подаче на электрод, расположенный вблизи ее, переменного или постоянного электрического напряжения 54
3.1 Результаты исследований затухания колебаний механических осцилляторов, вносимого электрической системой коррекции положения пробных масс 54
3.2 Расчет спектральных плотностей флуктуационных сил, действующих на пробную массу осциллятора при подаче на электрод, расположенный вблизи ее, переменного или постоянного электрического напряжения 66
Глава 4. Методика исследований и экспериментальная установка для измерения электростатических зарядов на поверхности диэлектриков, в частности, плавленого кварца 73
4.1 Описание экспериментальной установки 73
4.2 Конструкция камертона и системы возбуждения колебаний 75
4.3 Конструкция зонда 77
4.4 Методика исследования электростатических зарядов на поверхности плавленого кварца 77
4.5 Оценка влияния паразитных эффектов на наблюдаемый сигнал 88
4.5.1 Влияние контактной разности потенциалов между зондом и окружающими металлическими элементами установки 88
4.5.2 Влияние внутренних токов микросхемы используемого электрометрического операционного усилителя 90
4.5.3 Влияние полей электростатических зарядов, находящихся на поверхности диэлектрической подложки зонда 91
4.6 Разрешение при измерении вариаций плотности электрического заряда на поверхности плавленого кварца 94
Заключение. Основные результаты и выводы работы 96
Литература 98
- Расчет коэффициента затухания колебаний механического осциллятора, вносимого электрической системой коррекции положения пробной массы в случае подачи переменного напряжения
- Конструкция маятника
- Ограничения добротности маятника, обусловленные диссипацией энергии при его движении в окружающем воздухе
- Расчет спектральных плотностей флуктуационных сил, действующих на пробную массу осциллятора при подаче на электрод, расположенный вблизи ее, переменного или постоянного электрического напряжения
Введение к работе
В ряде фундаментальных физических исследований по измерению малых сил широко применяются низкочастотные механические колебательные системы. Согласно флуктуационно-диссипационной теореме для повышения предельной чувствительности при измерении малых сил, действующих на пробный механический осциллятор, необходимо увеличивать его добротность. Часто при выполнении измерений требуется корректировать положение в пространстве массы осциллятора-пробного тела, воспринимающего воздействие внешней силы. Такая задача возникает, например, в лазерных интерферометрических детекторах гравитационного излучения при настройке интерферометра.
Лазерные интерферометрические детекторы гравитационного излучения (проекты LIGO, TAMA, GEO) будут, как предполагается, регистрировать амплитуды колебаний пробных масс (зеркал интерферометра), изготовленных из плавленого кварца, величиной Д1«1(Г,9л* в полосе частот удетек = 100-П 000Гц, что соответствует действующей на них силе порядка Ю~пН. Оптическая система детектора требует подстройки и поддержания на постоянном уровне с точностью около 10"пл< расстояния между зеркалами, которое может меняться из-за термических, сейсмических и других возмущений. На втором этапе LIGO эта подстройка, по-видимому, будет реализована с помощью действующих на зеркала электростатических сил, управляемых системами обратных связей. Важно, чтобы возникающее при этом флуктуационное воздействие на пробную массу было минимальным. Если не учитывать флуктуации напряжения в системе коррекции положения пробных масс, то это воздействие в общем случае можно разделить на три части: 1)флуктуационное воздействие из-за диссипации, вносимой в колебания пробной массы соединенной с ней электрической системой статического силового воздействия, без учета процессов на поверхности пробной массы и
6
электрода; 2)флуктуационное воздействие из-за диссипации, обусловленной
ҐШк> процессами на поверхности пробной массы в случае, когда к ней приложено
электрическое поле; 3)флуктуационное воздействие, обусловленное наличием зарядов на поверхности пробных масс и флуктуациями этих зарядов с характерными частотами, попадающими в полосу пропускания детектора. Диссипация, обусловленная процессами на поверхности пробной массы, значительно уменьшается при приложении переменного поля с увеличением частоты этого поля. Поэтому в системе коррекции положения пробных масс целесообразно использовать переменные поля.
В связи с этим актуальность темы диссертации определяется, во-
первых, необходимостью исследования затухания, вносимого в колебания
механического осциллятора соединенной с ним электрической системой
статического силового воздействия (электрической системой коррекции
положения пробной массы), во-вторых, необходимостью создания
теоретически обоснованной методики измерений, предназначенной для
^* изучения электростатических зарядов на поверхности плавленого кварца.
Целью работы являлось исследование диссипации, вносимой в колебания механического маятника электрической системой коррекции положения пробной массы, а также создание и теоретическое обоснование методики измерений, необходимой для изучения электростатических зарядов на поверхности плавленого кварца. Основными задачами при этом являются:
разработка методики исследований и создание экспериментальной установки для измерений потерь, вносимых в колебания механических осцилляторов электрической системой коррекции положения пробных масс.
проведение теоретического расчета затухания, вносимого в колебания механического осциллятора при использовании
ф. постоянного и переменного напряжений в системе коррекции
положения пробной массы.
3. проведение экспериментального исследования затухания колебаний
(Ш^ механических осцилляторов, вносимого электрической системой
коррекции положения пробной массы.
4. разработка и теоретическое обоснование методики исследований, а
также создание экспериментальной установки для измерения
электростатических зарядов на поверхности диэлектриков, в
частности, плавленого кварца.
Диссертация состоит из введения, обзора литературы, четырех глав, заключения и списка цитируемой литературы. Объем диссертации составляет 105 страниц, включая 23 рисунка. Список цитируемой литературы состоит из 102 наименований.
Во введении обсуждается актуальность темы диссертационной работы,
формулируется ее цель и основные положения, выносимые на защиту. В нем
также изложена структура диссертации, краткая аннотация содержания
^^ работы по главам и представлен список работ, опубликованных по
материалам диссертации.
Расчет коэффициента затухания колебаний механического осциллятора, вносимого электрической системой коррекции положения пробной массы в случае подачи переменного напряжения
Выражая комбинации тригонометрических функций через экспоненты по формулам Эйлера [78] и подставляя полученные равенства в уравнение (1.32), получаем: Будем искать и в виде: Подставляя (1.36) в (1.33) и приравнивая члены при одинаковых степенях экспоненты, получаем выражения: Формулы (1.43) и (1.44), производя в них переход по формулам Эйлера от экспонент к тригонометрическим функциям, можно свести к виду: Вообще говоря, колебания нашего маятника представляют собой следующее. Имеет место медленное уменьшение амплитуды, на которое накладывается модуляция из-за внешней периодической силы. Но ввиду того, что нас интересует систематический дрейф амплитуды колебаний, мы будем искать вносимое затухание по формуле: где WTn - потери энергии колебаний маятника за период, усредненные за п периодов: На п накладывается условие: пТ»ТшаЫах, (1.57) где rmodB)ax- максимальный период модуляции. Следует отметить, что, в случае подачи постоянного напряжения, потери энергии маятника за период колебаний Т, усредненные за п периодов, {WTfl) равны потерям энергии, усредненным за один период колебаний (WT). Из уравнения (1.56) с учетом (1.21), (1.23), (1.50) и (1.51) с точностью до членов второго порядка малости по а получаем выражение: Из сопоставления выражений (1.58), (1.60), (1.63) и (1.66) следует, что при достаточно большом времени усреднения пТ, т. е. при значительном п, величины /и ;, могут быть сколь угодно малыми, и тогда потери энергии колебаний маятника за период будут определяться в основном следующим образом: Формула (1.70) описывает затухание колебаний механического осциллятора, вносимое электрической системой коррекции положения пробной массы в случае подачи переменного синусоидального напряжения. Теперь рассмотрим электромеханическую систему, изображенную на рис. 1.2, отличающуюся от системы, изображенной на рис. 1.1, только емкостью CR, подключенной параллельно сопротивлению R. Будем считать, что напряжение U постоянное. В этом случае уравнение для механической переменной X выглядит аналогично уравнению (1.2), а для электрической- q определяется следующим образом:
Выразив из уравнения (1.71) qR через q, потом продифференцировав уравнение (1.71) по времени и найдя оттуда qRi выраженное через q и , и подставив все это в уравнение (1.72), учитывая (1.5) и (1.7), получим уравнение для нахождения q: Уравнение (1.73) будем решать методом разложения по малому параметру х аналогично решению уравнения (1.8). Далее, производя выкладки, подобные проведенным в параграфе 1.1 данной главы, получим формулу для затухания, вносимого в колебания механического осциллятора электрической подсистемой в случае подачи постоянного напряжения, в системе, изображенной на рис. 1.2. Отсюда видно, что присоединение емкости параллельно сопротивлению R с точки зрения вносимого затухания в первом приближении аналогично ее подключению параллельно емкости С. Соотношение (1.70) можно переписать, используя выражение для статического смещения пробной массы Ах под действием силы, вызванной приложением электрического напряжения между электродом и пробной массой: Необходимо заметить, что в случае когда (р1 -a l)R2C \, коэффициент вносимых потерь становится отрицательным, что соответствует случаю регенерации колебаний. Бе можно объяснить следующим образом. Напряжение на емкости С, а следовательно, и сила, действующая на пробную массу, зависят от соотношения между частотой колебаний электрического напряжения, подаваемого на ЛС-цепь, и ее частотой среза / =( (7)-1. Последняя в свою очередь зависит от величины емкостного зазора d, то есть от смещения пробной массы осциллятора. Это означает, что в него вносится дополнительная жесткость. Нетрудно показать, что она имеет » положительный знак и вносится с запаздыванием, равным постоянной времени ЛС-цепи. Внесение в осциллятор положительной жесткости с запаздыванием приводит к его регенерации.
Конструкция маятника
Проведем расчет данного механизма затухания для маятника, описанного в параграфе 2.2 данной главы. Вакуум называется высоким, если число Кнудсена, то есть отношение длины свободного пробега молекул к эффективному размеру вакуумной камеры, больше единицы [84]. При расчете используем гипотезу о том, что в высоком вакууме происходит абсолютно неупругий удар частиц воздуха с телом маятника [85]. В нашем случае можно считать, что газ подчиняется распределению Максвела [86]: w где в = квТ, a m0, v, kB, Т- масса, скорость молекулы газа, постоянная Больцмана и температура соответственно. Пусть мы имеем площадку ]Г , которая двигается со скоростью V направленной под углом а к направлению оси X (рис.2.5). Тогда dv- число молекул, падающих на единицу площади этой площадки в единицу времени будет выражаться следующим образом: ш где n,vx,b- соответственно концентрация молекул газа, составляющая скорости молекулы газа по оси X, единичный вектор, направленный параллельно оси X (нормаль к площадке ). Везде далее вектором Ь мы будем обозначать единичную нормаль к поверхности цилиндра - тела нашего маятника. Теперь найдем изменение импульса Ар площадки ]Г после столкновения с одной молекулой газа. Расчет проведем в предположении, что удар абсолютно неупругий. При расчете мы полагаем, что сначала происходит абсолютн гипотезу о том, что в высоком вакууме происходит абсолютно неупругий удар частиц воздуха с телом маятника [85]. В нашем случае можно считать, что газ подчиняется распределению Максвела [86]: w где в = квТ, a m0, v, kB, Т- масса, скорость молекулы газа, постоянная Больцмана и температура соответственно. Пусть мы имеем площадку ]Г , которая двигается со скоростью V направленной под углом а к направлению оси X (рис.2.5). Тогда dv- число молекул, падающих на единицу площади этой площадки в единицу времени будет выражаться следующим образом: ш где n,vx,b- соответственно концентрация молекул газа, составляющая скорости молекулы газа по оси X, единичный вектор, направленный параллельно оси X (нормаль к площадке ). Везде далее вектором Ь мы будем обозначать единичную нормаль к поверхности цилиндра - тела нашего маятника. Теперь найдем изменение импульса Ар площадки ]Г после столкновения с одной молекулой газа. Расчет проведем в предположении, что удар абсолютно неупругий. При расчете мы полагаем, что сначала происходит абсолютно неупругий удар молекулы газа и площадки, а затем молекула отделяется от площадки и продолжает далее двигаться со скоростью, равной первоначальной скорости площадки. Закон сохранения импульса по оси, параллельной скорости V, имеет вид (см. рис.2.5): где M„ - масса площадки. Тогда где Др - изменение импульса площадки после соударения с одной молекулой газа, х- единичный вектор, направленный параллельно скорости V.
Найдем силу трения /, действующую на единицу площади da: То есть Отсюда с учетом формул (2.9) и (2.13) следует, что Теперь посчитаем момент М сил трения, действующих на наш маятник, то есть на цилиндр длиной L и диаметром 2Л_, представляющий собой бифилярный подвес, колеблющийся в высоком вакууме вокруг оси, проходящей через его центр масс перпендикулярно боковой поверхности. Но сначала сделаем некоторые упрощения. В нашем случае маятник совершает малые колебания, то есть угол колебаний р«\. Следовательно, высота поднятия цилиндра относительно положения равновесия есть [75]: Следовательно, составляющая скорости поверхности цилиндра вдоль оси Z (рис.2.6, а) будет иметь вид: Таким образом, для скорости поверхности цилиндра получаем: где V0- скорость поверхности цилиндра в плоскости XY. Поскольку где г - лежащая в плоскости XY часть радиус-вектора R, направленного из начала координат в точку, где находится элементарная площадка da, то для торцевой поверхности цилиндра везде будем иметь: о неупругий удар молекулы газа и площадки, а затем молекула отделяется от площадки и продолжает далее двигаться со скоростью, равной первоначальной скорости площадки. Закон сохранения импульса по оси, параллельной скорости V, имеет вид (см. рис.2.5): где M„ - масса площадки. Тогда где Др - изменение импульса площадки после соударения с одной молекулой газа, х- единичный вектор, направленный параллельно скорости V. Найдем силу трения /, действующую на единицу площади da: То есть Отсюда с учетом формул (2.9) и (2.13) следует, что Теперь посчитаем момент М сил трения, действующих на наш маятник, то есть на цилиндр длиной L и диаметром 2Л_, представляющий собой бифилярный подвес, колеблющийся в высоком вакууме вокруг оси, проходящей через его центр масс перпендикулярно боковой поверхности. Но сначала сделаем некоторые упрощения. В нашем случае маятник совершает малые колебания, то есть угол колебаний р«\. Следовательно, высота поднятия цилиндра относительно положения равновесия есть [75]: Следовательно, составляющая скорости поверхности цилиндра вдоль оси Z (рис.2.6, а) будет иметь вид: Таким образом, для скорости поверхности цилиндра получаем: где V0- скорость поверхности цилиндра в плоскости XY. Поскольку где г - лежащая в плоскости XY часть радиус-вектора R, направленного из начала координат в точку, где находится элементарная площадка da, то для торцевой поверхности цилиндра везде будем иметь:
Ограничения добротности маятника, обусловленные диссипацией энергии при его движении в окружающем воздухе
Пусть мы имеем площадку ]Г , которая двигается со скоростью V направленной под углом а к направлению оси X (рис.2.5). Тогда dv- число молекул, падающих на единицу площади этой площадки в единицу времени будет выражаться следующим образом: ш где n,vx,b- соответственно концентрация молекул газа, составляющая скорости молекулы газа по оси X, единичный вектор, направленный параллельно оси X (нормаль к площадке ). Везде далее вектором Ь мы будем обозначать единичную нормаль к поверхности цилиндра - тела нашего маятника. Теперь найдем изменение импульса Ар площадки ]Г после столкновения с одной молекулой газа. Расчет проведем в предположении, что удар абсолютно неупругий. При расчете мы полагаем, что сначала происходит абсолютно неупругий удар молекулы газа и площадки, а затем молекула отделяется от площадки и продолжает далее двигаться со скоростью, равной первоначальной скорости площадки. Закон сохранения импульса по оси, параллельной скорости V, имеет вид (см. рис.2.5): где M„ - масса площадки. Тогда где Др - изменение импульса площадки после соударения с одной молекулой газа, х- единичный вектор, направленный параллельно скорости V. Найдем силу трения /, действующую на единицу площади da: То есть Отсюда с учетом формул (2.9) и (2.13) следует, что Теперь посчитаем момент М сил трения, действующих на наш маятник, то есть на цилиндр длиной L и диаметром 2Л_, представляющий собой бифилярный подвес, колеблющийся в высоком вакууме вокруг оси, проходящей через его центр масс перпендикулярно боковой поверхности. Но сначала сделаем некоторые упрощения. В нашем случае маятник совершает малые колебания, то есть угол колебаний р«\. Следовательно, высота поднятия цилиндра относительно положения равновесия есть [75]: Следовательно, составляющая скорости поверхности цилиндра вдоль оси Z (рис.2.6, а) будет иметь вид: Таким образом, для скорости поверхности цилиндра получаем: где V0- скорость поверхности цилиндра в плоскости XY. Поскольку где г - лежащая в плоскости XY часть радиус-вектора R, направленного из начала координат в точку, где находится элементарная площадка da, то для торцевой поверхности цилиндра везде будем иметь: В отличие от торцевой поверхности, для боковой поверхности соотношение (2.23) выполняется везде кроме поверхностей Sj и S2 (см. рис.2.6, а), близких к оси Z, так как на этой оси г = 0. Следовательно, на этих поверхностях справедливо соотношение rlR p а значит на них и V/a 0R p. Однако поскольку момент сил трения Fmp пропорционален V (это мы докажем ниже), то момент сил трения на этих поверхностях будет следующим: М RF R \Vda Rcr a)0R p, (2.24) где а - суммарная площадь поверхностей Si и 1. А момент сил трения М /,Ш на остальной боковой поверхности есть где ст - площадь боковой поверхности цилиндра. Из выражений (2.24) и (2.25) следует, что
Таким образом, из формул (2.23) и (2.26) вытекает, что для всей поверхности цилиндра при расчете момента сил трения можно считать, что то есть можно пренебречь движением маятника вдоль оси Z и считать, что он движется только в плоскости XY. А раз так, то где к- единичный вектор, направленный вдоль оси Z. Момент сил, /gl действующий на площадку da, равен где R - радиус-вектор, идущий из начала координат в точку с координатами {x,y,z}. Отсюда следует, что Далее вычисления будем проводить отдельно для боковой и торцевой поверхностей. С учетом формул (2.21), (2.27) и (2.31) нетрудно получить, что на обеих поверхностях: торцевой и боковой. То есть имеем m Разобьем всю площадь поверхности цилиндра на 8 частей как показано на рис.2.6, б, тогда Исходя из формул (2.32), (2.38)-(2.40) видно, что M-V. Напомним, что x = V!V- единичный вектор в направлении скорости элемента поверхности da,b- нормаль к поверхности цилиндра. Вычислимо и&е . і9—Я-/2 f?»0 Вычислив интегралы (2.46) и (2.48), из формулы (2.32) с учетом (2.38) получаем выражение для момента сил трения, обусловленных взаимодействием тела маятника с молекулами газа, действующих на наш маятник при его движении в высоком вакууме: где кв- постоянная Больцмана, Т- температура. Учитывая выражение для /8A: 7" средней скорости молекул газа v = f——, получаем из (2.55) окончательную формулу для затухания в высоком вакууме: Подставляя сюда значения параметров маятника и величины параметров воздуха при температуре 20С и давлении IQ Topp, получаем: Рассчитаем Q 1 для маятника, использовавшегося в работе [89]. Этот маятник аналогичен маятнику, описанному в параграфе 2,2 данной главы. Он имеет следующие размеры: L = 2R = 10CM. В работе [89] был измерен коэффициент затухания этого маятника Q „ep «5-Ю-9 при его движении в высоком вакууме при давлении Р = Ю Торр, температуре остаточного газа 2л Т = 293К и периоде колебаний маятника —«2.9с. Подставляя имеющиеся данные в формулу (2.55) и учитывая, что масса маятника m = pxR2L, где р = 2.2103кг/л 3- плотность плавленого кварца, получаем Q jv «5.09x10"9, что отлично согласуется с экспериментально полученной в работе [89] величиной. Однако следует учесть, что формула (2.56) справедлива для высокого вакуума, то есть когда характерный размер вакуумной камеры меньше длины свободного пробега молекул газа [90]. Для нашей камеры это условие выполняется при давлениях воздуха Р АЛ(ҐТорр. Несмотря на это, формула (2.56) позволяет оценить потери энергии колебаний маятника, изображенного на рис.2.2., в вакууме при давлении Р - O.OQSTopp: Проанализировав все механизмы потерь можно сделать вывод, что добротность маятника на воздухе будет определяться в основном потерями в зазоре, а в вакууме диссипацией в клеевом слое, которую сложно оценить численно, и потерями, обусловленными взаимодействием с молекулами остаточного газа.
Расчет спектральных плотностей флуктуационных сил, действующих на пробную массу осциллятора при подаче на электрод, расположенный вблизи ее, переменного или постоянного электрического напряжения
Решим следующую задачу (рис.3.7). На емкость С0 через шумящее по Найквисту сопротивление R подается напряжение Us (переменное синусоидальное или постоянное). Необходимо найти спектральную плотность флуктуационной силы, действующей на пробную массу осциллятора, являющейся одной из пластин емкости С0, и полное внутреннее затухание Н, считая, что напряжение шумов много меньше напряжения сигнала: и„ «Us. Сила, действующая на эту емкость есть: Первый член в формуле (3.26) является электростатической силой, а второй шумовой. Отсюда для флуктуационной силы получаем: При подаче постоянного напряжения US = U из формулы (3.27) видно, что флуктуационная сила пропорциональна шумовому напряжению на обкладках конденсатора С0. При этом спектр силы будет иметь вид: где 5„ - спектральная плотность шума сопротивления R на выходе электрической схемы (рис. 3.7), которая выражается следующим образом: Отсюда следует, что спектральная плотность флуктуационной силы при подаче постоянного напряжения имеет вид: где Далее, сравнивая эту формулу с выражением для затухания (1.27) и учитывая, что или с выражением (ЗЛО), и учитывая, что можно утверждать, что в этом случае добротность осциллятора определяется флуктуационной силы получаем: При подаче постоянного напряжения US = U из формулы (3.27) видно, что флуктуационная сила пропорциональна шумовому напряжению на обкладках конденсатора С0. При этом спектр силы будет иметь вид: где 5„ - спектральная плотность шума сопротивления R на выходе электрической схемы (рис. 3.7), которая выражается следующим образом: Отсюда следует, что спектральная плотность флуктуационной силы при подаче постоянного напряжения имеет вид: где Далее, сравнивая эту формулу с выражением для затухания (1.27) и учитывая, что или с выражением (ЗЛО), и учитывая, что можно утверждать, что в этом случае добротность осциллятора определяется вносимым коэффициентом трения. Также, опираясь на результаты главы 1., не трудно показать, что в вьфажении для электростатической силы есть член вида H( DQ)V где V -u)Qad0smo)0t - скорость маятника, который и определяет, в конечном счете, вносимое затухание. Теперь найдем спектральную плотность флуктуационной силы при подаче переменного напряжения, определенного формулой (1.28). В этом случае флуктуационная сила имеет вид: -соответственно спектральная плотность сигнала и шума на выходе электрической схемы (рис. 3.7). Вычисляя интеграл (3.35) в пределах от нуля до бесконечности с учетом выражений для спектральных плотностей, получаем формулу для спектральной плотности флуктуационной силы, действующей на емкость С0:
Сравнивая равенства (3.33) и (3.37), можно утверждать, что спектральная плотность флуктуационной силы, действующей на пробную массу, связана, в соответствии с флуктуационно-диссипационной теоремой, с вносимым коэффициентом трения и определяется в данном случае суммой его положительной и модуля отрицательной частей [93]. А коэффициент вносимого в осциллятор затухания определяется алгебраической суммой положительной и отрицательной частей вносимого коэффициента трения. Поэтому даже если увеличивать добротнось осциллятора, устремив ее к бесконечности (случай (рг - a 2)R2Cf «1), флуктуационная сила будет иметь конечное значение (рис.3.8). Понизить флуктуационное влияние электрической системы коррекции положения пробной массы на колебания вносимым коэффициентом трения. Также, опираясь на результаты главы 1., не трудно показать, что в вьфажении для электростатической силы есть член вида H( DQ)V где V -u)Qad0smo)0t - скорость маятника, который и определяет, в конечном счете, вносимое затухание. Теперь найдем спектральную плотность флуктуационной силы при подаче переменного напряжения, определенного формулой (1.28). В этом случае флуктуационная сила имеет вид: -соответственно спектральная плотность сигнала и шума на выходе электрической схемы (рис. 3.7). Вычисляя интеграл (3.35) в пределах от нуля до бесконечности с учетом выражений для спектральных плотностей, получаем формулу для спектральной плотности флуктуационной силы, действующей на емкость С0: Сравнивая равенства (3.33) и (3.37), можно утверждать, что спектральная плотность флуктуационной силы, действующей на пробную массу, связана, в соответствии с флуктуационно-диссипационной теоремой, с вносимым коэффициентом трения и определяется в данном случае суммой его положительной и модуля отрицательной частей [93]. А коэффициент вносимого в осциллятор затухания определяется алгебраической суммой положительной и отрицательной частей вносимого коэффициента трения. Поэтому даже если увеличивать добротнось осциллятора, устремив ее к бесконечности (случай (рг - a 2)R2Cf «1), флуктуационная сила будет иметь конечное значение (рис.3.8). Понизить флуктуационное влияние электрической системы коррекции положения пробной массы на колебания
