Содержание к диссертации
Введение
Глава І. Развитие задач устойчивости механических систем при действии неконсервативных нагрузок 9
1.1. Обзор литературы 9
1.2. Особенности неконсервативных задач теории упругой устойчивости 14
1.3. Цель диссертации 16
Глава 2. Методы исследования устойчивости механических систем при неконсервативном нагружении 17
2.1. Элементы теории устойчивости механических систем 17
2.2. Уравнения в вариациях для упругого тела (уравнения первого приближения) 22
2.3. Постановка задачи об устойчивости упругих систем. Статический и динамический методы исследования устойчивости 25
2.4. Методы построения границ областей устойчивости 27
2.5. Решение краевой задачи на собственные значения 28
2.6. Применение метода разложения по формам собственныхколебаний 33
2.7. Исследование устойчивости трубопровода^ протекающей жидкостью 38
Глава 3. Устойчивость и закритическое поведение двойного маятника с дополнительной связью 44
3.1. Вывод уравнений движения 44
3.2. Анализ закритического поведения системы 58
Глава 4. Устойчивость консольного стержня с упругими связями при непотенциальном нагружении 64
4.1. Стержень с сосредоточенной упругой опорой 64
4.2. Границы области дивергенции и флаттера 68
4.3. Критические значения потенциальной и следящей нагрузок 79
4.4. Области устойчивости для стержня на упругом основании 88
Глава 5. Устойчивость участка трубопровода с протекающей жидкостью 94
5.1. Постановка задачи 94
5.2. Исследование устойчивости при отсутствии упругой опоры 98
5.3. Анализ влияния жесткости упругой опоры на устойчивость трубопровода 104
Глава 6. Устойчивость и закритическое поведение панели с дополнительной упругой опорой в сверхзвуковом потоке газа 115
6.1. Уравнения движения панели в окрестности положения равновесия 115
6.2. Анализ зависимости критического усилия и характеристик собственных колебаний панели от жесткости опоры 119
6.3. Устойчивость прямолинейной формы равновесия панели 121
6.4. Формы флаттера панели 130
Сводка результатов и выводы 139
Библиографический список 142
- Особенности неконсервативных задач теории упругой устойчивости
- Уравнения в вариациях для упругого тела (уравнения первого приближения)
- Применение метода разложения по формам собственныхколебаний
- Критические значения потенциальной и следящей нагрузок
Введение к работе
Для обеспечения механической надежности элементов конструкций и деталей машин кроме условий прочности и жесткости они должны удовлетворять также и условиям устойчивости. Наиболее хорошо разработанной в настоящее время является теория устойчивости механических систем, находящихся под действием потенциальных (консервативных) сил. Основы этой теории заложены еще в работах Эйлера. С развитием машиностроения, авиации, ракетной техники значительно расширился класс нагрузок, действующих на элементы конструкций. К примерам таких нагрузок можно отнести реактивные силы тяги, аэродинамические силы, электромагнитные силы, действующие на роторы электрических машин и т.д. Характерной особенностью таких сил является то, что работа, совершаемая ими по замкнутому пути, отлична от нуля. Такие силы называются неконсервативными силами. Нагружении конструкций неконсервативными силами может приводить к колебательной потере устойчивости -флаттеру. Метод Эйлера в этом случае неприменим, и необходимо обращаться к динамическому методу исследования устойчивости. Явление динамической неустойчивости (флаттера) определяется взаимодействием между различными формами колебаний системы. Поэтому критические значения неконсервативных нагрузок существенно зависят от характеристик собственных колебаний механической системы, в частности, от близости низших собственных частот.
Актуальность проблемы.
Многие элементы конструкций объектов современной техники находятся в условиях нагружения неконсервативными силами. Динамическое поведение конструкций в этом случае имеет ряд особенностей, которые необходимо учитывать при расчете на устойчивость. В частности, явление динамической неустойчивости (флаттера) определяется взаимодействием между различными формами колебаний системы. Поэтому критические значения неконсервативных нагрузок существенно зависят от характеристик собственных колебаний механической системы, в частности, от близости низших собственных частот. С практической точки зрения важным представляется исследование влияния
спектрального состава механической системы на критические значения нагрузок и на положение границ областей устойчивости в пространстве параметров. Спектральные характеристики могут меняться при наличии каких-либо дополнительных связей с переменными параметрами жесткости.
Работы по теме диссертации выполнялись при частичной финансовой поддержке РФФИ (код проекта 03-01-00656) и ФЦНТП (государственный контракт № 02.445.11.7465).
Цель работы. Целью диссертационной работы является исследование влияния спектрального состава механических систем на их устойчивость по отношению к неконсервативным нагрузкам. Стояла задача рассмотреть ряд механических систем, содержащих различные упругие или вязкоупругие элементы, изменение жесткости которых ведет к изменению характеристик собственных колебаний. В консервативных системах увеличение жесткостных характеристик ведет, как правило, к увеличению значений критических нагрузок. В механических системах при неконсервативном нагружении величина критических нагрузок во многом определяется взаимодействием различных форм колебаний. Поэтому с практической точки зрения весьма важно установить, как повлияют на критические значения параметров нагружения и, вообще, на положение границ областей устойчивости изменение жесткости некоторых дополнительных элементов, установленных, например, с целью повышения механической надежности и приводящих- к изменению спектральных характеристик системы. Для решения поставленной задачи разрабатывались алгоритмы и программы для реализации динамического метода исследования устойчивости.
Методы исследования. Исследование устойчивости механических систем в условиях неконсервативного нагружения проводилось с использованием динамического метода. При определении критических значений параметров нагружения и построении границ областей устойчивости в пространстве параметров использовалось непосредственное решение несамосопряженной краевой задачи на собственные значения и
метод разложения по формам собственных колебаний. Характер поведения некоторых нелинейных систем в закритической стадии исследовался непосредственным интегрированием уравнений движения с построением сечений Пуанкаре.
Научная новизна. В работе впервые проведено систематическое исследование влияния спектрального состава механических систем на устойчивость при неконсервативном нагружении с использованием современных средств вычислительной математики и техники. Подтверждены ранее опубликованные и обнаружены новые эффекты, присущие неконсервативным системам при изменении спектрального состава.
Достоверность полученных результатов. Достоверность результатов обеспечивается применением строгих математических методов исследования, сопоставлением результатов, полученных различными методами, решением большого числа тестовых задач и сравнением ряда результатов с результатами, полученными другими авторами.
Практическая ценность. Полученные в работе результаты имеют теоретическое и практическое значение. Они позволяют уточнить существующее представление о влиянии спектральных характеристик механических систем на их устойчивость при неконсервативном нагружении. Большинство результатов и выводов могут быть использованы при проектировании и расчете на устойчивость элементов конструкций.
Апробация работы и публикации. Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на:
Международной научно-технической конференции «Вычислительная механика деформируемого твердого тела» (Москва, 2006);
Международной конференции «Математическое моделирование в механике деформируемых тел и конструкций. Методы граничных и конечных элементов» (Санкт-Петербург, 2007);
-^ Международной научно-технической конференции студентов и аспирантов «Радиотехника, электротехника и энергетика» (Москва, 2007, 2008, 2009,2010);
- Международном симпозиуме «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» (Москва-Ярополец, 2007, 2008, 2009).
По теме диссертации в соавторстве опубликовано 6 статей, подготовлено и принято к печати учебное пособие «Методы исследования устойчивости неконсервативных механических систем»
Диссертационная работа состоит из 6 глав. В первой главе диссертации дается краткий обзор основных отечественных и зарубежных работ в области устойчивости конструкций при действии неконсервативных нагрузок. Отмечаются особенности неконсервативных задач устойчивости. Формулируется цель диссертации.
Во второй главе диссертации излагаются элементы теории устойчивости с применением основных положений теории к механическим системам с конечным числом степеней свободы и к системам с распределенными параметрами. Приводятся понятия динамического и статического методов исследования устойчивости. На классических примерах: стержень при непотенциальном нагру-жении и трубопровод с протекающей жидкостью описываются методы определения критических значений нагрузок и построения границ областей устойчивости в пространстве параметров. Проводится сравнение приближенного и точного методов.
Третья глава посвящена исследованию устойчивости прямолинейной формы равновесия системы с двумя степенями свободы, а именно двухзвенного маятника с дополнительной вязкоупругой связью. С учетом больших перемещений рассматриваются закритическое поведение маятника.
В четвертой главе проводится исследование устойчивости консольного стержня с дополнительной упругой опорой и стержня, связанного с упругим основанием. Стержень нагружен потенциальной и следящей силами. Анализи-
руется зависимость положения границ области устойчивости от жесткости связей.
Пятая глава посвящена расчету устойчивости консольного участка трубопровода с протекающей жидкостью. Рассмотрен случай, когда свободный конец трубопровода опирается на упругую опору. Определяются условия реализации различных типов потери устойчивости.
В шестой главе рассматривается устойчивость плоской панели в сверхзвуковом потоке газа. Панель содержит дополнительную упругую опору, изменение жесткости которой существенно меняет спектральный состав системы. Анализируется зависимость критической скорости потока от жесткости дополнительной опоры. В расчетах устойчивости учитывается также сжимающая сила в срединной плоскости панели. Для случая несмещающихся опор панели исследуется динамическое поведение панели в закритической стадии.
Особенности неконсервативных задач теории упругой устойчивости
Основным методом исследования неконсервативных задач теории устой-чивости является динамический метод [6-8,10-18], основанный на рассмотрении колебаний системы вблизи положения исследуемого состояния системы. Это может быть либо положение равновесия, либо некоторое движение системы, устойчивость которого исследуется. Вообще говоря, эти задачи нелинейные, а уравнения, которые изучаются с точки зрения устойчивости их решения, представляют собой линеаризованные уравнения или, по терминологии Пуанкаре [41,62], уравнения в вариациях соответствующих нелинейных уравнений. Если учитывается диссипация энергии при колебаниях, то к этим уравнениям в полной мере применима теорема Ляпунова об устойчивости по первому при-ближению [41,62]. При этом исключается из рассмотрения так называемый сомнительный случай по Ляпунову, когда характеристические показатели для уравнений первого приближения находятся на мнимой оси. Кроме необходимости использования динамического метода неконсервативные системы имеют ряд специфических особенностей, которые должны учитываться как при проектировании элементов конструкций, так и при расчете на устойчивость. В механических системах, находящихся в положении равновесия, под действием потенциальных нагрузок, явно не зависящих от времени, возможен лишь статический тип потери устойчивости, т.е. дивергенция. К такому случаю, например, относится задача об устойчивости консольного стержня при действии сжимающей потенциальной силы [26]. Для участка трубопровода, защемленного на одном конце и свободного на другом, с протекающей жидкостью потеря устойчивости может произойти только колебательным образом по типу флаттер [60]. В неконсервативных системах при достижении нагрузок критических значений возможны оба типа потери устойчивости. Например, область устойчивости для консольного стержня, находящегося под действием потенциальной и следящей сил, состоит из двух частей: границы флаттера и граница дивергенции [14,24]. Для более сложных систем граница области устойчивости может быть с более сложным чередованием границ дивергенции и флаттера, а сами области устойчивости могут быть неодносвязными.
В закритических областях, где динамическое поведение системы необходимо исследовать с учетом соответствующих нелинейностей, кроме определяемых по линейной теории монотонного отклонения от положения равновесия (дивергенции) и колебательной потери устойчивости (флаттера) обнаруживаются такие движения как вторичный флаттер, вторичная дивергенция. Возможно существование устойчивых и неустойчивых предельных циклов, а также хаотических движений. Области устойчивости для неконсервативных систем могут быть невыпуклыми. Эту особенность иллюстрирует, например, граница области устойчивости для вышеупомянутого консольного стержня при действии потенциальной и следящих сил. Малые значения следящей силы увеличивают критическое значение потенциальной силы, соответствующее дивергенции, т.е. следящая сила в этом случае оказывает стабилизирующие действие на систему. Специфическим для неконсервативных систем является влияние демпфирования на критические значения нагрузок. Например, критическое значение параметра следящей силы для консольного стержня, полученное при наличии даже весьма малого внутреннего трения в системе, значительно меньше того значения, которое определено в предположении, что трение отсутствует. Это обусловлено так называемым дестабилизирующим влиянием демпфирования на величину критических нагрузок в неконсервативных системах. В качестве следующей особенности неконсервативных механических систем можно отметить существенное взаимодействие частот и форм колебаний. Например, критическое значение безразмерного параметра следящей силы для консольного стержня при отсутствии трения, равное 20,05 определяется слиянием первой и второй частот колебаний.
При наличии трения в системе и изменении параметров неконсервативного нагружения взаимодействие различных форм колебаний проявляется в траекториях характеристических показателей на комплексной плоскости. Целью диссертационной работы является исследование влияния спектрального состава механических систем на их устойчивость по отношению к неконсервативным нагрузкам. Нужно было рассмотреть ряд механических систем, содержащих различные упругие или вязкоупругие элементы, изменение жесткости которых ведет к изменению характеристик собственных колебаний. В консервативных системах увеличение жесткостных характеристик ведет, как правило, к увеличению значений критических нагрузок. В механических системах при неконсервативном нагружении величина критических нагрузок во многом определяется взаимодействием различных форм колебаний. Поэтому с практической точки зрения весьма важно установить, как повлияют на критические значения параметров нагружения и, вообще, на положение границ областей устойчивости изменение жесткости некоторых дополнительных элементов, установленных, например, с целью повышения механической надежности и приводящих к изменению спектральных характеристик системы. Для решения поставленной задачи необходимо было разработать алгоритмы и программы для реализации динамического метода исследования устойчивости. При определении критических значений нагрузок и положения границ устойчивости в пространстве параметров необходимо использовать метод непосредственного решения краевой несамосопряженной задачи на собственные значения (точный метод) и метод разложения перемещений в ряды по формам собственных колебаний.
Уравнения в вариациях для упругого тела (уравнения первого приближения)
Если в основу исследования устойчивости положить уравнения классической теории упругости, то в силу теоремы единственности Кирхгофа мы придем к выводу, что при заданных нагрузках и заданных граничных условиях возможна лишь единственная форма равновесия. Между тем сама постановка задачи упругой устойчивости предполагает возможность существования форм равновесия или движения, отличных от невозмущенной формы. Исследование устойчивости движения или в частном случае положения равновесия упругих тел по отношению к малым возмущениям приводят к линейным дифференциальным уравнениям. Однако эти уравнения отличаются от уравнений классической теории упругости наличием дополнительных членов, содержащих параметры, с точностью до которых задается внешняя нагрузка [8]. Чтобы получить эти члены, необходимо различать геометрию начального невозмущенного состояния, устойчивость которого исследуется, и геометрию смежных состояний. В линейной теории упругости это различие не учитывается. Для составления уравнений относительно малых возмущений необходимо исходить из уравнений нелинейной теории упругости. Пусть невозмущенное движение упругого тела характеризуется перемещениями иj, компонентами тензора напряжений JJK , объемными силами X и поверхностными силами р}. Перечисленные параметры удовлетворяют нелинейным уравнениям невозмущенного движения и граничным условиям (2.5) Наряду с этим движением рассмотрим возмущенное движение, которое характеризуется параметрами й ,&jk,X ,pj. Возмущенные и невозмущенные параметры отличаются на некоторые малые величины отклонений uj& XjyPjtT.e. Характеристики возмущенного движения и ,ajk,Xj,p удовлетворяют тем же уравнениям и граничным условиям (2.5), что и характеристики невозмущенного движения (2.6).
Подставим соотношения (2.6) в уравнения и граничные условия (2.5). Проведем линеаризацию и примем, что невозмущенное состояние незначительно отличается от первоначального недеформированного состояния. В этом случае геометрия невозмущенного состояния обычно отождествляется с геометрией недеформированного состояния, что приводит к существенному упрощению уравнений в вариациях. Окончательно уравнения в вариациях для упругого тела (уравнения первого приближения) совместно с силовыми граничными условиями и соотношениями упругости примут вид Уравнения в вариациях (2.7) позволяют судить об устойчивости или неустойчивости невозмущенного состояния упругого тела. Наибольший интерес представляют задачи об устойчивости некоторых форм равновесия. Основная задача теории упругой устойчивости состоит в отыскании таких значений параметров системы и/или внешних условий, которые соответствуют переходу от устойчивости к неустойчивости. Чаще всего с точностью до параметров задаются внешние нагрузки (силы). Тогда говорят о критических силах (критических параметрах нагрузки). Потеря устойчивости исследуемой формы равновесия называется бифуркацией [4] (раздвоение форм равновесия). Пусть, например, внешние силы характеризуются одним параметром (3. Без ограничения общности можно считать, что параметр р изменяется в пределах 0 (3 оо, причем при р = 0 невозмущенная форма равновесия устойчива. Верхняя грань значений Р , при которых невозмущенная форма равновесия (движения) остается устойчивым называется критическим. В случае конечного числа параметров Р,,р2,...,Рг вводится г-мерное пространство параметров, и размечают в нем области устойчивости и неустойчивости.
Поверхности, разделяющие области устойчивости и неустойчивости, называются критическими поверхностями. Рассмотрим упругое тело, находящиеся под действием нагрузок, явно не зависящих от времени и пропорциональных некоторому одному параметру Р. Тогда в силу линейности задачи компоненты тензора напряжений, объемные и поверхностные силы также будут пропорциональны этому параметру р уравнения в вариациях (2.7) примут вид По существу это есть уравнения малых колебаний упругой системы около невозмущенного положения равновесия системы [24, 51]. Если ввести вектор отклонений її = (HJ,W2,Z73) , то по аналогии с теорией колебаний эти уравнения и их частные случаи для прикладных теорий (стержни, пластины, оболочки) можно записать в операторной форме Здесь A,B,C,D- линейные дифференциальные операторы. А- инерционный оператор, С— упругий оператор, D— диссипативный оператор, учитывающий рассеяние энергии при колебаниях. От операторного уравнения свободных колебаний упругих систем уравнение (2.9) отличается наличием параметрического оператора В, характерного для задач устойчивости. Будем искать решение уравнения (2.9) в виде где ф(х,,х2,Хз)- форма движения в окрестности исследуемого на устойчивость положения равновесия, X - характеристический показатель, определяющий поведение системы во времени в окрестности положения равновесия. После подстановки выражения (2.10) в уравнение (2.9) получим Таким образом, задача свелась к отысканию собственных значений X операторного уравнения (2.11).
Применение метода разложения по формам собственныхколебаний
Будучи точным, метод, основанный на решении трансцендентного уравнения типа (2.23), в вычислительном отношении связан со значительными трудностями из-за сложной структуры гиперповерхности, для которой отыскиваются локальные минимумы, выбора начальных приближений и т.д. Эти трудности многократно увеличиваются при увеличении числа варьируемых параметров. В связи с этим более удобным способом построения критических поверхностей является метод нормальных координат или метод разложения по формам собственных колебаний. Для применения вышеуказанного метода убе рем из граничных условий (2.17) параметр потенциальной силы а и с помощью 5-функции введем его проекцию в дифференциальное уравнение (2.16). Тогда придем к уравнению возмущенного движения вида Применим к уравнению возмущенного движения процедуру метода Бубнова-Галеркина. Для этого подставим в уравнение (2.28) разложение (2.30). Затем поочередно умножим полученное уравнение на каждую собственную форму к(хЛ) (к = 1,2,...,п) и проинтегрируем полученные выражения по от 0 до 1. В результате придем к системе обыкновенных дифференциальных уравнений относительно обобщенных координат qk (т). Матричную форму этой системы можно записать в виде Матрицы А,В5С и D размерностью пхп, входящие в уравнение (2.33), вычисляются по формулам В силу свойства ортогональности системы форм собственных колебаний матрицы А и С получаются диагональными. Представляя вектор обобщенных координат в виде q(x) = q0 ехр(Ал) и подставляя это выражение в уравнение (2.33), вместо трансцендентного уравнения (2.23) относительно характеристических показателей X получаем алгебраическую проблему собственных значений в виде матричного полинома где обозначено:
Применение метода разложения по формам собственных колебаний сводит по существу систему с распределенными параметрами к системе с конечным числом степеней свободы. Для исследования устойчивости систем с конечным числом степеней свободы имеется ряд критериев (критерий Рауса-Гурвица, критерий Зубова и т.д. [24, 41, 62]), позволяющих судить о расположении характеристических показателей на комплексной плоскости и строить границы областей устойчивости в пространстве параметров без вычисления самих показателей. В частности, если для рассматриваемой системы применяется критерий Рауса-Гурвица, то соответствующая матрица Гурвица составляется из коэффициентов характеристического полинома матрицы G, которая согласно (2.36) имеет вид Равенство нулю определителя матрицы Гурвица определяет границу области дивергенции на плоскости параметров нагружения ос,р. Граница области флаттера, как правило, может быть определена из условия равенства нулю главного минора порядка п -1. Однако следует отметить, что в настоящее время при наличии эффективных вычислительных алгоритмов и быстродействующих компьютеров эти критерии стали менее актуальны, так как затраты машинного времени на непосредственное вычисление корней характеристических уравнений типа (2.35) не намного превышают время вычислений с использованием критериев. К тому же исключаются процедуры составления матрицы Гур-вица, вычисления норм соответствующих матриц в критерии Зубова, построение годографов в критерии Коши-Михайлова-Найквиста и т.п. В состав вычислительной системы Matlab входит функция polyeig, весьма эффективно решающая задачу отыскания всех корней уравнения типа (2.35). При решении этого уравнения фиксируются те значения параметров а и Р, при которых хотя бы один из характеристических показателей А, переходит в правую полуплоскость.
Таким образом, строится граница области устойчивости. Точность построения границ области устойчивости методом нормальных координат зависит от числа удерживаемых членов в разложении (2.30). На рис. 2.2 на плоскости параметров нагружения а,(3 сплошными линиями отмечена точная граница области устойчивости, построенная с использованием уравнения (2.23). Штриховой, штрихпунктирной и пунктирной линиями показаны границы, построенные с использованием двух, четырех и шести членов ряда в разложении w(,, т). Числа у кривых на рисунке соответствуют значению числа членов ряда п. Граница, полученная с использованием п = 8, практически сливается с границей, построенной с использованием точного метода решения краевой задачи на собственные значения. Следует также отметить, что наибольшие отклонения метода разложения по формам собственных колебаний наблюдаются в окрестности угловой точки границы, где происходит смена типа потери устойчивости. При вычислениях, как и ранее (рис. 2.1), для значений коэффициентов демпфирования принято ге = 0,1 и є( = 0,01.
Критические значения потенциальной и следящей нагрузок
Рассмотрим стержень, связанный с упругим основанием, жестко защемленный на одном конце и находящийся под действием постоянных по величине потенциальной (мертвой) и следящей сил (рис. 4.13). Уравнение динамического метода исследования устойчивости [8] для рассматриваемой системы (уравнение малых колебаний в окрестности прямолинейной формы равновесия) запишем в следующем виде Здесь EI- жесткость стержня на изгиб, /- его длина, т- погонная масса стержня, Ъх - коэффициент внутреннего трения, описываемое моделью Фойхта, Ье - коэффициент внешнего трения, Р - следящая сила Q - «мертвая» потенциальная сила, с - жесткость упругого основания. Уравнение (4.9) дополним граничными условиями, которые для рассматриваемой системы имеют вид : Здесь и далее штрихами обозначены производные по . Отыскивая решение (4.15) в виде W(Q — Сехр(г ), получим уравнение относительно показателей г Если положить А, = /со и Р = 0, то балка совершает собственные колебания с частотами со у2. Под со подразумевается частота, отнесенная к со0. Следовательно, условие со у2 означает, что в системе возможны движения только с частотами больше, чем sjc/m. В связи с этим представим корни уравнения (4.16) в виде г12 = ±# р г3 4 = ±82, где Тогда решение для JF() можно записать в виде Удовлетворим граничным условиям (4.15) и из условия нетривиальности решения системы уравнений для констант С ,(у" = 1ч-4) получим уравнение, связывающее характеристические показатели А, = и» с параметрами задачи р и у F(co,p,y) = p2 +PV«2 -Y4sin5,sh52+2((D2 -Y4)(l+cos8,ch82) = 0. (4.19) Численное определение зависимостей ImA,(p) и ReA,(3) на основе уравнения LF((0,P,Y) =0 осуществлялось с помощью симплексного метода отыскания минимума функции многих переменных (см. главу 2). На основании того, что флаттер определяется взаимодействием первой и второй формами колебаний [77], в качестве начального приближения принимались первая и вторая собственные частоты колебаний консольного стержня.
При различных значениях жесткости упругого основания у эти зависимости ImA(P) и ReA,(P) построены на рис. 4.14. При возрастании параметра следящей силы р мнимые части характеристических показателей сближаются и независимо от величины Y становятся равными при известном значении [8] р» =20,05. Действительные части А, при Р Р» равны нулю, а при р Р среди характеристических показателей появляется А с положительной действительной частью, что соответствует динамической неустойчивости системы (флаттеру). Неожиданный на первый взгляд факт независимости критического значения параметра следящей силы Р от жесткости упругого основания Y можно объяснить двумя обстоятельствами. Во-первых, параметр Y входит в уравнение (4.19) только совместно с частотой ю через комплекс ю2 - Y4 и, следовательно, аналогичные зависимости, построенные на плоскостях P,ImA и p,ReA для случая у = 0, претерпевают соответствующее нелинейное преобразование только оси ординат. И второе обстоя тельство состоит в том, что по мере увеличения жесткости системы происходит сближение низших собственных частот, ответственных за флаттер. Естественно считать, что чем ближе собственные частоты, тем ниже критическое значение неконсервативной нагрузки. Таким образом, увеличение жесткости компенсируется сближением собственных частот, и критическое значение следящей нагрузки не изменяется. Для иллюстрации вышеизложенных утверждений на рис. 4.15 приведены зависимости низших собственных частот со, ч-со4 от жесткости упругрго основания у, полученные из частотного уравнения Штриховая линия соответствует характерной частоте балки на упругом основании у2, или в размерном виде yjc/m .
Для параметра жесткости упругого основания у = 0, 5 и 10 значения собственных частот со, -ьсо4 приведены в таблице 4.1. 1,02. Теперь рассмотрим устойчивость системы при действии только потенциальной силы Q. Уравнение нейтрального равновесия в данном случае запишется как Если в этом уравнении а 2у2, или для размерных величин Q 2yJcEI, где 2-у/с EI - критическая сила для балки бесконечной длины, связанной с упругим основанием, то корни можно записать в виде Для а 2у2 Удовлетворим граничным условиям (4.13) с учетом того, что в рассматриваемом случае w( ) не зависит от времени. Из условия нетривиальности решения для констант интегрирования уравнения (4.21) получим уравнение для определения критической нагрузки а как наименьший корень уравнения
