Введение к работе
Актуальность работа. Исследования хаотической динамики радиофизических и электронных систем, столь популярные в последние годы, включают как поисю новых явлений и закономерностей, имеющих общенаучное значение, так и изучение сложного поведения клнкретных систем с прикладными целями. Многие прикладные задачи физики плазмы, физики твердого тела,вакуумной электроники требуют изучения хаотической динамики электронов в электромагнитном поле Другим важным направлением исследования детерминированного хаоса является разработка и конструирование автогенераторов шума на основе различных радиофизических й электронных систем. Генераторы хаотических колебаний обычно предназначаются для создания хаотических сигналов с заданными спектральными и статистическими характеристиками, необходимыми для решения прикладных задач.Ванным с этой точки зрения представляется изучение бифуркационных переходов.приводящих к установлению в рассматриваемых системах хаотических.колебаний требуемого вида. Бифуркационные переходы, обеспечивающие появление хаотических сигналов с заданными характеристиками, наблюдаются, в определенных классах систем, объединенных общими свойствами. С этой точки зрения разумно изучать поведение целых классов систем и влияние их свойств на хаотическую динамику. По-видимому, одним из свойств, предопределяющих характер хаотизации движения и особенности хаотических режимов, является симметрия системы.
Общеизвестны глубокие следствия и результаты применения идей теории симметрии в квантовой механике и физике элементарных частиц (Г.Ввйль.Е.Бигнер). По-видимому,не менее важную роль играет симметрия и в классической механике. Симметрия нелинейных колоба тельных систем приводит к тому, что в случае больших амплитуд колебаний симметричные предельные циклы (ПЦ), существующие в их фазовом пространстве (ФП), разрушаются,роздая пару антисимметричных ПЦ. Это явление получилс название бифуркации разрушения симметрии (SwJit,Wlesenrield,1983). После бифуркации разрушения симметрии, в ФП существуют пары практически одинаковых решений одной, и той же частоты и амплитуды, различающихся только некоторым фазовым сдвигом и начальными условиями. Бассейн притяжения симметричного ПЦ сложным образом делится на два одинаковых по размерам бассейна
притяжения асимметричных циклов, границы которых при некоторых условиях становятся фрактальными(Moon,1984). Симметричные нелинейные системы.таким образом, оказываются вырожденными по состояниям. Такое вырождение приводит к тому,что с точки зрения формальной теории бифуркаций симметричные системы не являются системами общего положения (Аркольд,1978), и все общие закономерности, полученные в теории бифуркаций, в симметричных системах при определенных условиях могут нарушаться. Динамика симметричных систем поэтому должна изучаться особо. Значительная часть исследовавшихся в последние годы диссипативных динамических систем с хаотическим поведением обладает той или иной формой симметрии. Так,известная система Лоренца инвариантна относительно замены знака двух координат (Lorenz,I963), неавтономный осциллятор Дуффинга симметричен относительно ьамены знака координаты и скорости и сдвига фазы внешней силы на полпериода(Holmes,1979; Ueda,I979), параметрически возбуждаемый осциллятор симметричен относительно замены знака координаты и скорости (Афраймович Рабинович, Угодников, 1983). Инвариантностью относительно знака координат обладают некоторые моде пи развития турбулентности (Гапонов-Грехов, Рабинович .Старобинец ,1984;Pranceschlni,1984). Симметрией обладают некоторые отображения (Kaprai, 1984, Анищенко и др.,1993), связанные отображения (Анищенко,Сафонова,1987), системы связанных генераторов (Анищенко и др.,1985) и т.д. Однако, подробные и целенаправленные исследования влияния симметрии на характер хаотизации динамики симметричных систем отсутствуют.До сих пор не существует даже единого мнения о том, .способствует ли симметрия хаотизации движения или препятствует ей. Одни исследователи считают, что поскольку в симметричных системах последовательности бифуркаций,типичные для несимметричных систем могут не развиваться, хаотизация движения этих систем затруднена,а введение асимметрии облегчает хаотизацию(Дмитриев и др.,1989).Другие, напротив, считают, что симметрия способствует хаотизации (Cocog-па, РагоГГ,1989). Практически ничего не известно о симметрии систем с запаздыванием, описывающих многие радиофизические автогенераторы стохастических колебаний,а том более, о влиянии симметрии на их динамику. Очень мало исследовалось влияние симметрии на динамику симметричных параметрически возбуждаемых осцилляторов. Представляется интересным ответить на следующие вопросы:
взаимодействуют ли при хаотизации динамики симметричных систем существующие в них парные асимметричные движении,"замечают" ли они последовательные усложнения парных себе движений шшдареходят к хаосу независимо; взаимодействуют ли парные антисимметричные аттракторы;
наблюдаются ли в симметричных системах те ке переходы к хаосу, что и в несимметричных, или появляются новые переходы нетипичные для несимметричных систем;
существуют ли некоторые общие закономерности,наблюдаемые при хаотизации. динамики симметричных систем различной природы и дажо разных классов,например, нелинейных, неавтономных осцилляторов и автоколебательных систем с запаздыванием.
Б связи с изложенным выше задача об исследовании влияния симметрии на переходы к хаосу в симметричных радиофизических и электронных системах и на .спектральные и статистические характеристики таких систем представляется актуальной.
Целью настоящей работы является изучение характера хаотизации колебаний в некоторых классах нелинейных колебательных систем, в частости, в симметричном осцилляторе Дуффинга,симметричном параметрически возбуждаемом нелинейном осцилляторе,симметричных автогенераторах с запаздыванием; установление общих закономерностей хаотизации динамики симметричных систем; исследование влияния симметрии систем с хаотической динамикой на характеристики развитых хаотических режимов.
Для реализации поставленной цели в диссертации
I.исследовано влияние симметрии на сложную .щшамику нелинейных осцилляторов;
2.доказано, что системы с запаздыванием обладают симметрией определенного вида ; выяснены вытекающие отсюда особенности их динамики.
З.с помощью вычислительного эксперимента исследовано влияние симметрии на динамику некоторых электронных систем' с запаздывающей обратной связью (ЗОС), полученные результаты сравниваются с теоретически предсказанными.
4.изучены общие закономерности динамики симметричных систем с постоячной отрицательной дивергенцией и возможности использования особенностей их хаотизации на практике.
Научная новизна результатов диссертационной работы заключается в следующем.
I.Впервые в широкой области параметров проведено подробное численное исследование сложной,в том числе и хаотической, динамики симметричного осциллятора Дуффипга с отрицательной линейной жесткостью. На плоскости параметров "амплитуда внешнего воздействия -диссипация" построена бифуркационная диаграмма .показывающая, как соотносятся различные перехода к хаосу.
2.Показано,что помимо ранее наблюдавшихся жесткого перехода к хаосу, каскада бифуркаций удвоения периода и перехода через перемежаемость I типа,типичных дня несимметричных систем, в симметричном осцилляторе дуффинга с отрицательной линейной жесткостью наблюдаются переход к хаосу через неполный каскад бифуркаций удвоения периода и переход к хаосу через перемежаемость III типа; последние переходы обусловлены симметрией системы.
З.В численных экспериментах обнаружен ранее неизвестный тип бифуркации:слияние пары антисимметричных предельных циклов с мета-стабильным хаотическим множеством,приводящее к рождению симметричного странного аттрактора (СА).
4.Обнаружено,что слияние пары асимметричных СА в закритичес-ксй области параметров,приводящее к образованию симметричного СА, обусловлено их взаимодействием с метастабильным хаотическим множеством.
Б.Механизм обрывания каскада бифуркаций удвоения периода и слияния несимметричных СА фэйгенбаумовского типа в единый симметричный СА качественно объяснен как результат гомоклинического пересечения многообразий симметричного седлового предельного цикла (Щ) .появляющегося после бифуркации разрушения симметрии.
6.Показано,что автоколебательные системы с запаздыванием, описываемые уравнениями
X(t) + - X(t) = FCX(t-T)],
x(t) + « x(t) + ft x(t) = Ptx(t-i-)), где t - время запаздывания,a,a - константы,Г(х) - нелинейная функция, симметричны относительно преобразований {x(t.),x(t-T),t> => Ч xQ- x(t), xQ-x(t-r), t+т } в тех случаях,когда F(x) является нечетной. Это приводит к тому,что в фазовом пространстве таких систем сріествуют либо аттракторы,симметричные относительно собст-венного центра с координатами (х0/2,х0/2),либо пары аттракторов, симметричных относительно общего центра с теми же координатами.
7.Показано, что каскаду бифуркаций удвоения периода в симметричных автоколебательных системах о запаздыванием предшествует бифуркация разрушения симметрии.
8.Обнаружено обрывание каскада бифуркаций удвоения периода в симметричных системах с запаздыванием,которому предшествует появление в фазовом пространстве метастабильного хаотического множества.
9.Построена приближенная нестационарная модель двухрезонатор-ного клистронного автогенератора с запаздывающей обратной связью, а такке двухрезонаторного гироклистроннсго автогенератора с запаздывающей обратной связью (ЗОС).
10.Предложены различные схемы таких генераторов (двухлучевой клистрон,клистрон с кольцевым потоком,связанные клистроїш); получены уравнения, описывающие их динамику.
II.Проведено численное моделирование динамики двухрезонаторного клистронного автогенератора на плоскости параметров "глубина обратной связи - параметр потерь",найдены зоны регулярной и хаотической динамики,области одномодового и многомодового хаоса.Исследована зависимость режима генерации от времени запаздывания;показано, что увеличение времени запаздывания облегчает хаотизацию режимов .
12.Исследованы энергетические и спектральные характеристики клистронных автогенераторов с ЗОС в различных режимах работы.
ІЗ.Проведено численное моделирование динамики связанных автогенераторов на основе двухрезонаторных клистронов ' с ЗОС приразличных значениях параметров резонаторов, коэффициентов обратной связи,времен запаздывания .
14. Показано,что при двунаправленной связи меаду резонаторами хаотизация колебаний в связанных автогенераторах облегчается, эсчи коэффициенты связи отрицательны и затрудняется, если они положительны, в последнем случав возможен срыв генерации.
15.Показано,что в системе "электронный поток - периодическое магнитное поле" суцестзуют пространственные хаотические колебания границы электронного потока. Чайдеїш области хаотических колебаний на плоскости параметров "параметр фокусировки - параметр пространственного заряда". Показено, что хаотизация колебаний облегчается при отклонении начального радиуса пучка от равновесного.
16.На основе критерия перекрытия розонансов получено необхо-
- о -.
димое условие существования хаотических колебаний в системе"элек-тронный поток - периодическое магнитное полеп.Показано,что хаотизация колебаний рассматриваемого нелинейного осциллятора обусловлена перекрытием нелинейных и параметрических резонансов различных порядков.
17.Обнаружен эффект подавления параметрического резонанса разрушающимся нелинейным резонансом,что приводит к подавлению параметрической неустойчивости .стабилизации пучка и расширению области устойчивой фокусировки.
18.Показано,что при движении электронного потока в квазипериодическом магнитном поле область хаотических колебаний сущест-венно расширяется по сравнению со случаем периодической фокусировки, а сами стохастические колебания носят более развитый характер, о чем свидетельствует вид спектров и фазовых портретов стохастических процессов.
19.Методом Мельникова получено условие стохастиззции колебаний нелинейного осциллятора,описывающего динамику устройства для электрохимической резки. Предложено устройство электрохимической резки, повышение производительности которого достигается за счет использования режима стохастических колебаний (А.С.No 1520755 от 8.07.1989г. с приоритетом от 17.10.1987г.).
Практическая ценность работы заключается в следующем:
I.Выявленные закономерности хаотизации симметричных автоколебательных систем различной природы можно рекомендовать для создания широкого класса автогенераторов шума с заданными спектральными и статистическими свойствами.
2.Автогенераторы на основе двухрезонаторного клистрона (гиро-клистрона) с ЗОС могут использоваться в качестве источников шумового сигнала с достаточно равномерным спектром.
3.Явление подавления параметрического резонанса при стохастизации движения электронного потока в периодическом (квазипериодическом )магнитном поле, обнаруженное в работе, может быть использовано для улучшения фокусировки интенсивных электронных потоков в линейных ускорителях и электронных приборах с протяженным взаимодействием.
4.Предложенное устройство электрохимической резки, обладающее большей производительностью и повышенным качеством обработки за счет применения режима хаотических колебаний инструмента используется в технологическом процессе размерной обработки деталей
_ о
магнитных фокусирующих систем из твердых материалов.
Достоверность полученных результатов подтверждается : согласием аналитических и численных результатов; согласием результатов,полученных при использовании всей совокупности средств диагностики хаотических режимов: реализаций,фазовых портретов, сечений Пуанкаре,спектров,показателей Ляпунова, размерностей; воспроизводимостью результатов численных экспериментов; сопоставлением ряда полученных результатов с известными из литературы данными.
На защиту выносятся следующие основные положения: I.B симметричном осцилляторе Дуффинга с отрицательной линейной жесткостью наряду с известными переходами к хаосу через каскад бифуркаций удвоения периода,через перемежаемость I типа и "жестким" переходом наблюдаются переходы к хаосу,обусловленные симметрией системы,а именно:через неполный каскад бифуркаций удвоения периода, завершающийся рождением СА, и через перемежаемость III типа.
2. Автоколебательные системы с запаздыванием, описываемые
уравнениями типа
x(t) + a x(t) = FEX(t-T)],
X(t) + « X(t) + О X(t) = P[X(t-r)],
где с v. p - константы, т - время запаздывания, Р(х) - нелинейная
функция, инвариантны относительно преобразования {x(t),x(t-r),t) =»
т 2т {х0- x(t),xQ- x(t-r),t+T},rfle х0= ± j x(t)dt, в тех случаях, когда
О функция Р(х) является нечетной. Симметрия этих систем относительно
указанного преобразования приводит к тому,что ПЦ,существующие в их
фазовом пространстве,либо симметричны относительно собственных
центров (х0/2,х0/2), либо несимметричны, но образуют
пару,симметричную относительно общего центра с теми же
координатами. Бифуркации удвоения периода в симметричных
автоколебательных системах с запаздыванием обязательно
предшествует бифуркация разрушения симметрии.
3. В симметричных системах с постоянной отрицательной дивер
генцией ,в частности, в симметричных неавтономных осцилляторах
Дуффинга и симметричных автоколебательных системах с запаздыванием
несимметричные парные аттракторы,возникшие в результате бифуркации
разрушения симметрии,взаимодействуют друг с другом и с метастабиль-
ным хаотическим множеством,в результате чего в фазовом пространст-
- Ю -
ве рождаются симметричные СА нефейгенбаумовского типа.Рождение таких СА происходит либо после слияния пары несимметричных ПЦ с метастабильным хаотическим множеством (при этом каскад бифуркаций удвоения обрывается), либо после слияния с.метастабильным хаотическим множеством пары несимметричных фейгенбаумовских СА. Возникшие в обоих случаям симметричные нефейгенбаумовские СА отличаются от фейгенбаумовских СА более сложной топологией,большей корреляционной размерностью,более равномерным спектром.
4.В симметричной динамической системе,описывающей автоколебания двухрезонаторного клистрона (гироклистрона) с ЗОС, наблюдаются одномодовые и многомодовые хаотические колебания. Переход к хассу в одномодовом случае происходит через неполный каскад бифуркаций удвоения периода,обрывающийся после 1-2 бифуркаций,чему предшествует появление в фазовом пространстве метастабильНого хаотического множества.
5. В системе "электронный поток - периодическое (квазипериодическое) фокусирующее магнитное поле" наблюдаются пространственные хаотические колебания,возникающие в результате разрушения нелинейных и параметрических резонаксов различных порядков.Хаотиза-ция колебаний облегчается с .ростом параметра фокусировки и с ростом отклонения радиуса ветрела от бриллюэновского радиуса.Разрушение нелинейного резонанса и возникающая при этом стохастизация колебаний приводит к подавлению параметрической неустойчивости и ста -билизации фокусировки пучка.
Апробация работы, публикации и внедрения. Результаты , изложенные в диссертационной работе докладывались на I и II Всесоюзной конференции по нелинейным колебаниям (г.Горький-1987,1990 гг.); на III Школе "Стохастические колебания в радиофизике и электронике" (г.Саратов - 1991г.); на X Зимней Школе-Семинаре инженеров (г.Саратов - 1993г.);на научных семинарах кафедры электроники и волновых процессов Саратовского государственного университета. По материалам диссертации опубликовано 10 работ (4 статьи и 6 тезисов докладов).получено I авторское свидетельство Материалы диссертации использованы при выполнении х./д. НИР "Трал" В работе (81, выполненной в соавторстве, автором аналитически получен критерий перекрытия резонансов, обнаружено явление подавления параметрического резонанса за счет стохастизации движения в области разрушения нелинейного резонанса порядка 1:2. В работах [9,101, автором методом Мельникова получено условие
- II -
хаотиззции движения нелинейного осциллятора, описывающего
колебания подвижной части устройства электрохимической резки.
Структура и объем работы.
