Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Сложная динамика неавтономных осцилляторов с полиномиальными потенциалами 20
1.1 Классификация неавтономных осцилляторов с полиномиальными потенциалами по схеме теории катастроф Тома 20
1.2 Динамика неавтономных нелинейных осцилляторов с убегающими на бесконечность решениями 28
1.2.1 Динамика неавтономного нелинейного осциллятора с катастрофой "складка" 28
1.2.2 Динамика неавтономного нелинейного осциллятора с катастрофой "двойственная сборка" 31
1.2.3 Динамика неавтономного нелинейного осциллятора с катастрофой "ласточкин хвост" 33
1.3 Динамика неавтономных нелинейных осцилляторов только с ограниченными решениями 34
1.3.1 Динамика неавтономного нелинейного осциллятора с катастрофой "сборка" 34
1.3.2 Сравнение динамики неавтономных осцилляторов с полиномиальными потенциальными функциями, соответ ствующими катастрофам "сборка", "бабочка" и "звезда" 39
1.3.3 Динамика неавтономного нелинейного осциллятора с катастрофой "бабочка" 44
1.3.4 Динамика неавтономного осциллятора непосредственно в точках катастроф 50
1.4 Выводы 56
Глава 2. Сложная динамика специальных отображений с полиномиальной нелинейностью 58
2.1 Критические явления в отображениях с удвоениями периода (обзор основных свойств) 58
2.2 Классификация отображений с полиномиальной нелинейностью по схеме теории катастроф 61
2.3 Динамика одномерных отображений с полиномиальной нелинейностью: отображения катастроф "складка", "сборка", "ласточкин хвост" 63
2.4 Динамика двумерных отображений с полиномиальной нелинейностью 66
2.4.1 Отображение катастрофы "эллиптическая омбилика", феномены комплексной динамики 66
2.4.2 Отображение катастрофы "гиперболическая омбилика", приведение к связанным логистическим отображениям 70
2.5 Выводы 76
Глава 3. Сложная динамика универсального модельного отображения 77
3.1 Конструирование отображения, обладающего всеми известными бифуркациями двумерных отображений и двумя сценариями перехода к хаосу 77
3.2 Трансформации языков синхронизации 83
3.3 Сосуществование последовательностей терминальных точек разного типа для линий бифуркации удвоений периода 90
3.4 Критическое поведение типа Н при разрушении фазовой синхронизации в предельной точке фейгенбаумовского каскада 99
3.5 Критическое поведение типа С при разрушении фазовой синхронизации в предельной точке фейгенбаумовского каскада 100
3.6 Качественное подобие бифуркационной структуры областей удвоенного периода п=8, 16... языка синхронизации периода 4 104
3.6.1 Конфигурация бифуркационных линий типа "бабочка" в окрестности точек резонанса 1:2 R 104
3.6.2 Качественное подобие разбиения на области по типу мультипликаторов языков синхронизации периода 3, 4 и их областей удвоенного периода 112
3.7 Иллюстрация структуры языка синхронизации периода 4 114
3.7.1 Фазовые портреты, бассейны притяжения и локальные бифуркации 114
3.7.2 Трансформации инвариантных многообразий точек цикла и механизм разрушения инвариантной окружности 122
3.7.3. Взаиморасположение точек цикла и критических кривых на фазовом портрете и механизм разрушения инвариантной окружности 131
3.7.4. Трансформации бассейнов притяжения аттракторов и критические кривые 139
3.8 Выводы 143
Заключение 147
Литература 151
Список публикаций по теме диссертации 172
- Динамика неавтономного нелинейного осциллятора с катастрофой "двойственная сборка"
- Динамика одномерных отображений с полиномиальной нелинейностью: отображения катастроф "складка", "сборка", "ласточкин хвост"
- Сосуществование последовательностей терминальных точек разного типа для линий бифуркации удвоений периода
- Взаиморасположение точек цикла и критических кривых на фазовом портрете и механизм разрушения инвариантной окружности
Введение к работе
Одной из характерных черт современной науки вообще и радиофизики в частности остается выделение и всестороннее исследование нелинейных колебательных феноменов [1-3]. Развитие вычислительной техники обеспечило для этого инструментальную базу, а формирование таких фундаментальных положений, как теория динамического хаоса, составило плодотворную идеологическую основу [4-6]. В настоящее время создано множество нелинейных колебательных моделей - эталонов того или иного типа поведения во времени и пространстве. Особое - исторически и методологически первое - место среди них занимают уравнения неавтономных диссипативных осцилляторов, описывающие колебания в окрестности положений равновесия [7, 8]. Неавтономные осцилляторы стали классическими моделями движений различных маятников под действием внешней силы [9], неустановившегося режима работы синхронного мотора в электротехнике [10], устойчивости кораблей [11], резонансных явлений в структурах различной природы [12, 5], осцилляторных явлений в биологии [13].
Системы нелинейных дифференциальных уравнений со многими параметрами достаточно сложны даже для численного анализа. Бессистемное численное исследование даже такого достаточно узкого класса нелинейных систем, какой составляют рассмотренные в работе осцилляторы с полиномиальной нелинейностью, находящиеся под внешним гармоническим воздействием, наталкивается на трудности выделения общего, универсального из необозримого разнообразия демонстрируемых колебательных режимов. Сложные нелинейные ситуации обычно не поддаются описанию под одним углом зрения. Не являются исчерпывающими и известные принципы систематизации осцилляторов, в частности, по виду симметрии потенциальной ямы, форме ее дна, количеству минимумов, форме воздействия [4, 14, 15]. Поэтому развитие подходов к системати зации осцилляторных феноменов остается актуальным, тем более что результаты последних компьютерных исследований этих систем выявляют все большее число деталей и особенностей.
В представленной работе предложено и реализовано упорядоченное рассмотрение осцилляторов с потенциальной функцией, аппроксимируемой степенным полиномом степени п 8 с позиций теории катастроф Тома [16-23]. Как известно, предметом теории катастроф является исследование качественного изменения состояний равновесия Ч Дс,) градиентной системы Ч/ = -Уч,Г с потенциальной функцией VQy c,.) при вариации управляющих параметров сг, \ г т. Катастрофой называют внезапное резкое изменение в поведении системы при плавном изменении её параметров [18]. В нашем рассмотрении катастрофа означает внезапный переход от одного состояния равновесия к другому [20]. Катастрофы могут быть интерпретированы и как жесткие бифуркации, в которых постбифуркационное состояние системы существенно отличается от предыдущего [24].
Согласно классификационной теореме Тома, в типичном случае г-параметрическое семейство гладких функций/?" -»R для всякого п и всех г 5 структурно устойчиво и эквивалентно (в смысле существования замены переменных) вблизи любой точки одной из тринадцати классификационных форм [17, 21, 22], некоторые из которых приведены в таблице 1. Другими словами, из всего огромного семейства полиномов, аппроксимирующих потенциальную функцию осциллятора, можно остановиться на последовательном рассмотрении нескольких разложений теории катастроф, начиная с кубического полинома (катастрофа "складка") и заканчивая полиномом 8 степени (катастрофа "звезда" [21]). Таким образом, результаты исследования динамической системы с потенциалом, соответствующим катастрофе Тома, должны обладать общностью для всех систем с потенциалами, приводимыми к нему. Более того, эти результаты будут верны и для систем с более сложными потенциалами, поскольку каждая катастрофа высшего порядка, т.е. описываемая полиномом высшей степени, всегда имеет в своих сечениях катастрофы низшего порядка [21].
Осциллятор, потенциальная функция которого позволяет аппроксимацию степенным полиномом в виде одной из каспоидных катастроф Тома, мы называем "осциллятором с катастрофой", и его пространство параметров содержит бифуркационное множество соответствующей катастрофы. Например, в пространстве параметров осциллятора Дуффинга была найдена катастрофа "сборка" [25], и было предположено, что добавление четных степеней переменной х к восстанавливающей силе приведет к наблюдению катастроф высшего порядка [19]. Бифуркационное множество [18] - это проекция на плоскость параметров сг многообразия катастрофы [18], которое есть множество точек (х, сг), удовлетворяющих уравнению U(x) -0. Коразмерность катастрофы cod (число параметров) повышается последовательно на каждой стадии нашего исследования. Поскольку при пересечении бифуркационного множества происходит трансформация потенциальной функции, то вблизи этих множеств осциллятор может демонстрировать богатое бифуркационное поведение или странный аттрактор.
Сравнительная сложность и громоздкость исследования систем с непрерывным временем при необходимости описания нелинейных систем в широкой области пространства параметров заставляет обращаться к дискретным моделям в виде отображений последования. Отображения не только имеют непосредственную связь с дифференциальными уравнениями через сечения Пуанкаре [5, 26, 27], что позволяет уменьшить размерность системы, но имеют и самостоятельное значение. Типичными основаниями для использования отображений в Щ радиофизической практике являются дискретизация данных наблюдения с помощью аналого-цифрового преобразователя и использование стробирования.
у Существует оригинальный метод получения одномерных отображений из временных рядов [28]. Также двумерные отображения естественно выводятся при моделировании лазера с кольцевым резонатором [29], при переходе от разностных схем, описывающих генераторы специального вида [30], и при описании искусственных нейронных сетей, воспроизводящих сложные временные ряды потоковой системы [31]. При этом если даже данные получены из системы, однозначно обратимой во времени, дискретная модель может оказаться необратимой [31], а такие системы способны, например, демонстрировать хаос даже при размерности 1. Много систем в электронике и теории управления приводят к моделям в форме необратимых отображений [32-34]. Несмотря на относительную простоту нелинейных отображений, их анализ важен для описания разно-образных феноменов, наблюдаемых в более сложных системах [5]. Однако историческая практика формирования колебательных моделей сложилась в пользу ДЇ, дифференциальных уравнений, и арсенал модельных отображений значительно У беднее, чем аналогичные наборы эталонных потоковых систем.
Конструирование новых модельных отображений, отражающих определенный путь эволюции нелинейной системы [35], отвечает современным фундаментальным и прикладным задачам радиофизики, поскольку возникающие в экспериментах ситуации на границе хаоса порою слишком сложны для анализа с использованием потоковых моделей [6, 36]. Как и в осцилляторных системах, здесь перспективны подходы теории катастроф и различные полиномиальные аппроксимации. Были предложены разные методы построения отображений с новыми свойствами. Так, при повышении степени функции правой части были найдены различные наборы универсальных констант, характеризующих переход к хаосу через каскад бифуркаций удвоения периода [37-40]. Затем в отображениях, полученных из семейства кубических и квинтичных полиномов ме м тодом Беирстоу [41], состоящем в подборе таких переменных, чтобы квадра тичный полином являлся делителем исходного полинома, были найдены новые Щ/ бифуркации и вскрыта роль сингулярности [42]. Далее в отображениях с нелинейностью, соответствующей особенностям типа "складка" или "зонтика Уит-ни", было прослежено возникновение разных типов универсального поведения [43]. Так было сконструировано двумерное отображение, являющееся гибридом одномерных отображений, демонстрирующих по отдельности каскад бифуркаций удвоения периода и касательную бифуркацию, где при встрече линий обеих бифуркаций возникла новая критическая ситуация, так называемый С тип [43, 44], найденная впоследствии в одной из базовых систем — осцилляторе Ресслера [45]. Ситуация, характерная для С типа критичности наблюдается также на экспериментальных бифуркационных диаграммах, полученных для различных радиофизических систем [6, 46-48].
Для проведения многопараметрического анализа и наблюдения различных типов критичности при "восхождении по коразмерности" [44] полезным инст ц. рументом оказывается теория катастроф. Через дискретизацию градиентной V системы с потенциальной функцией в виде катастрофы Тома можно сконструи ровать новый класс отображений ("отображений катастроф" ) с интересными свойствами. Также возможно сконструировать двумерное отображение, демон стрирующее реализацию двух сценариев перехода к хаосу - через бифуркации удвоения периода и через разрушение квазипериодического режима - и обладающее всеми известными бифуркациями для двумерных отображений. В такой достаточно универсальной модели, демонстрирующей к тому же замечательное сходство с исследованной эмпирически радиофизической системой с запаздыванием [30], интересно пронаблюдать, как наличие бифуркации Неймарка- Са-кера (бифуркации рождения инвариантной окружности) влияет на тип критиче т\ ского поведения на пороге хаоса и структуру пространства параметров. Тем более что о важности этой бифуркации свидетельствует огромный класс приложе j; ний в биологии, технике (электрические цепи, ядерные установки) и в изучении колебаний в атмосфере и осцилляции магнитного поля Земли [49].
Цель работы состоит в систематическом численном исследовании осцилляторов под периодическим внешним воздействием с полиномиальной потенциальной функцией и специальных отображений с полиномиальной нелинейностью по схеме теории катастроф для выявления универсальных черт их динамики, структуры фазового пространства и пространства параметров, типов критического поведения на границе хаоса.
В работе решены следующие задачи:
• систематизации осцилляторов с полиномиальной потенциальной функци- ей под внешним гармоническим воздействием на основе схемы теории катастроф;
и • систематизации отображений с полиномиальной нелинейностью на осно ве схемы теории катастроф по типу демонстрируемых феноменов;
• конструирования и исследования универсального модельного отображения для реализации двух сценариев перехода к хаосу - через каскад бифуркаций удвоения периода и разрушение квазипериодического решения.
Научная новизна работы
• Предложена классификация нелинейных осцилляторов под внешним периодическим воздействием по схеме теории катастроф Тома. Выявлен единый универсальный сценарий эволюции конфигураций crossroad area и spring area на плоскости параметров нелинейности. Проведен сравнительный анализ динамики специальных отображений катастроф при восхождении по коразмерности. • Сконструировано и исследовано универсальное модельное отображение, где реализуются два сценария перехода к хаосу - через удвоения периода Ь / и через разрушение квазипериодического решения. Обнаружено, что та кая ситуация ассоциируется с реализацией С и Н типов критического поведения [44], а пространство параметров в этом случае характеризуется наличием последовательности так называемых точек FF и точек резонанса 1:2 R [50]. Указано на возможность встречи пределов последовательностей точек FF и точек резонанса 1:2 R, т.е. на пересечение критических линий типа С и Н в точке так называемого типа FQ [44].
• В универсальном модельном отображении, описывающем системы с двумя сценариями перехода к хаосу, продемонстрирована возможность нового устройства языков синхронизации, которое отличается от известного расположением областей удвоенного периода. Это сказывается на харак- тере разрушения инвариантной окружности при переходе к хаосу через разрушение квазипериодического решения. Вскрыты особенности взаи us модействия критических кривых [51] с аттракторами и их бассейнами притяжений.
• В универсальном модельном отображении найдена новая конфигурация бифуркационных линий типа "бабочка", соответствующая сечению катастрофы "бабочка" и отличная от известных конфигураций "сборка" и "ласточкин хвост". Для областей удвоенного периода внутри языка син ґії,
хронизации обнаружено качественное подобие бифуркационного устройства в окрестности точек резонанса 1:2 R, а также разбиения на области по типу мультипликаторов.
Достоверность научных выводов работы основывается на воспроизводимости всех численных экспериментов, использовании отработанных численных методов, непротиворечивости с известными в литературе результатами, совпадении результатов аналитического рассмотрения и численного эксперимента.
Основные положения, выносимые на защиту
1. Для неавтономных осцилляторов со всеми полиномиальными разложениями в виде катастроф Тома существуют конфигурации бифуркационных линий типа crossroad area и spring area во всех сечениях пространства параметров. Эволюция этих конфигураций при изменении амплитуды воздействия подчиняется единому универсальному сценарию. С повышением степени полинома этот сценарий неоднократно повторяется, приводя к увеличению числа конфигураций.
2. Отображения, соответствующие различным катастрофам с ростом коразмерности, демонстрируют усложнение структуры пространства параметров, появление конфигураций crossroad area и spring area, добавление новых типов критического поведения на пороге хаоса, реализацию феноменов комплексной динамики (множество Мандельброта) и свойств систем двух связанных отображений.
Ситуация реализации двух типов перехода к хаосу - через удвоения периода и через разрушение квазипериодического решения - ассоциируется с критическим поведением С типа. Дополнительно благодаря наличию бифуркации Неймарка-Сакера возникает последовательность точек резо ok 5f нанса 1:2 R. Последовательности точек резонанса 1:2 R сходятся к критическим точкам типа Н. 4. В универсальном модельном отображении, описывающем ситуацию реализации двух сценариев перехода к хаосу, возникает новая структура языков синхронизации, отличающаяся от известной расположением областей удвоенного периода. Это влияет на структуру разбиения языка синхронизации на области по типу мультипликаторов, характер гетероклинических пересечений инвариантных многообразий седлового периодического решения, сценарий взаимодействия критических кривых с аттракторами и их бассейнами притяжения, особенности разрушения инвариантной окружности. Бифуркационное устройство в окрестности точек резонанса 1:2 R и разбиение на области по типу мультипликаторов качественно подобны в различных областях удвоенного периода. В этих областях складывается новая конфигурация бифуркационных линий типа "бабочка".
Научно-практическая значимость работы и рекомендации по использованию
Результаты работы развивают теорию динамики осцилляторов с различного вида полиномиальной нелинейностью. Полученные результаты о наличии универсальных черт в динамике осцилляторов с полиномиальными потенциалами различного вида могут быть полезны в следующих прикладных задачах. Выбор аппроксимирующего полинома играет важную роль в задачах моделирования по временным рядам, а также при определении адекватности эквивалентных параметров нелинейного элемента электрической схемы и расчета их характеристик.
Предложенная классификация неавтономных осцилляторов и отображений по схеме теории катастроф полезна в методологическом плане для последовательного изучения феноменов нелинейной динамики. Путем сравнения рас сматриваемого осциллятора или отображения с введенными эталонными моделями возможно качественно оценить структуру пространства параметров и типы критического поведения без проведения трудоемкого исследования. Результаты используются в учебном процессе в СГУ.
Результаты работы, полученные для универсального модельного отображения, могут быть перенесены на широкий класс систем с двумя сценариями перехода к хаосу - через каскад бифуркаций удвоения периода и через разруше тние квазипериодического режима - в силу универсальности, присущей критической динамике и степени общности рассуждений при выводе модельного ото Ifcj,/ бражения. Поскольку наблюдение критической динамики высокой коразмерно-сти возможно в электронных экспериментах, например, в системе двух нелинейных осцилляторов под периодическим воздействием [43, 44], рекомендуется постановка эксперимента с целью выявления возможной ситуации встречи критических линий типа С и Н в критической точке типа FQ. В качестве модели могут быть использованы, например, связанные осцилляторы Ван-дер-Поля или Ресслера под внешним периодическим воздействием.
Результаты работы, касающиеся системы связанных логистических отображений, могут быть по аналогии перенесены на систему связанных LRC-контуров с полупроводниковыми диодами под внешним периодическим воздействием [36, 48].
Апробация работы и публикации
Результаты диссертационной работы были представлены на Всероссий ской школе-конференции "Нелинейные дни в Саратове для молодых" (Саратов, 1997-2000 и 2003), VI Международном семинаре "Математика. Компьютер. Образование" (Москва, 1999), XI Международной зимней школе по СВЧ электронике и радиофизике (Саратов, 1999), V Международной конференции "Нелинейные колебания механических систем" (Н. Новгород, 1999), Международной школе для молодых ученых и студентов по оптике, лазерной физике и биофизике (Саратов, 1999), VII Всероссийской школе-семинаре "Волновые явления в неоднородных средах" (Красновидово, 2000), Международной межвузовской конференции "Современные проблемы электроники и радиофизики СВЧ" (Саратов, 2001), Международной конференции "Dynamic Days Europe" (Дрезден, Германия, 2001), Международной школе "Nonlinear Science Festival III" (Люнг-би, Дания, 2001), VI Международной школе-конференции "Chaotic oscillations "Т and pattern formation" (Саратов, 2001), Международном семинаре "Control, Communication, and Synchronization in Chaotic Dynamical Systems" (Дрезден, Германия, 2001), Международной школе "Summer Institute of Mathematical Study in Bioinformatics" (Бостон, США, 2003), Международной школе "Complex Physical, Biological, and Social Systems" (Бостон, США, 2004), на научных семинарах математических факультетов Бостонского университета и Северо-восточного университета США, факультета нелинейных процессов СГУ и СО ИРЭ РАН.
По теме диссертации имеется 17 публикаций (3 статьи в российских и зарубежных журналах, 6 статей в сборниках трудов научных конференций, 8 тезисов докладов).
Результаты работы получены при поддержке грантов РФФИ №97-02- 16414, 00-02-17509, персонального гранта РФФИ для молодых исследователей №01-02-06390, АФГИР REC-006, Минобразования РФ №97-0-8.3-8.8, ФЦП "Интеграция" №696.2, 696.3, персонального гранта ФЦП "Интеграция" для мо лодых исследователей 2001, Danish Graduate School in Nonlinear Science 2000, ф 2001, Max-Plank Institute of Physical Complex Systems 2001, President of Northeaster University excellence grant 2003.
Личный вклад автора
Соискатель самостоятельно обеспечивал программирование задач и все численные исследования. Постановка задач, выбор моделей и методов, а также обобщение полученных результатов проведено совместно с научным руководителем и соавторами.
Диссертация состоит из введения, 3-х глав и заключения. Работа содержит 175 страниц текста, включая 62 рисунка, 17 таблиц, список литературы из 228 наименований на 24 страницах.
Краткое содержание работы
Во введении дается общая характеристика работы, обсуждается актуальность темы диссертации, приводится краткий обзор литературы, определяются / цели исследования, ставятся основные задачи, формулируются положения, вы-носимые на защиту.
Ч Первая глава посвящена исследованию сложной динамики нелинейных осцилляторов с потенциальной функцией в виде степенного полинома, соответствующей одной из катастроф Тома. Все осцилляторы с катастрофами разделены на две группы: осцилляторы, имеющие решения, убегающие на бесконечность, и осцилляторы только с ограниченными решениями. В первой группе были рассмотрены модели осцилляторов с потенциалами, соответствующими катастрофам "складка", "двойственная сборка" и "ласточкин хвост". Были изучены трансформации бассейнов притяжения и сдвиг границы, разделяющей области убегающих и ограниченных решений на картах режимов при вариации параметров. Во второй группе были рассмотрены осцилляторы, соответствующие катастрофам "сборка", "бабочка" и "звезда". Исследовались возможность универсального устройства пространства параметров, особенность эволюции аттракторов и их бассейнов притяжения. Результаты исследования дополнили уже имеющуюся информацию о наличии универсальных черт на плоскости параметров, как например, типичных конфигураций бифуркационных линий типа crossroad area и spring area [53]. Так, был выявлен единый универсальный сценарий развития этих конфигураций на плоскости параметров нелинейности.
Этот универсальный сценарий повторяется несколько раз в рассматриваемом диапазоне амплитуды воздействия с увеличением амплитуды воздействия, ведя к увеличению числа конфигураций. Для осциллятора с катастрофой "бабочка" было показано существование конфигураций spring area и crossroad area во всех сечениях пространства параметров потенциальной функции. Исследованы трансформации бассейнов притяжений и фрактализация их границ при вариации параметров. Для осцилляторов, отвечающих точно точкам катастроф "сбор "Т ка" и "бабочка", проведено сравнение карт режимов и кризисов аттракторов.
Во второй главе исследуется динамика отображений с полиномиальной V нелинейностью в виде катастроф Тома, получаемых через дискретизацию градиентных систем с потенциальной функцией в виде степенного полинома, соответствующей одной из катастроф Тома. Для вводимого класса отображений с ростом коразмерности последовательно наблюдается появление характерных бифуркаций, усложнение структуры пространства параметров и добавление новых типов критического поведения. Отображение катастрофы "складка" демонстрирует фейгенбаумовский тип критического поведения, отображение катастрофы "сборка" — конфигурации spring area и crossroad area с характерными трикритическими точками Т [35], а отображение катастрофы "ласточкин хвост" может иметь переходы crossroad-spring area и S, Е и Т [35] типы критического поведения.
4 Изучены также отображения двумерных катастроф "эллиптическая омби лика" и "гиперболическая омбилика". В первом случае реализуются феномены jj комплексной динамики, а во втором - отображение приводится к системе двух связанных неидентичных логистических отображений. При вариации параметра связи происходят трансформации языков синхронизации с образованием crossroad area и нового устройства языка синхронизации с областями удвоений по краям. Линия бифуркации Неймарка-Сакера разрывает линии бифуркации удвоения периода, появляются точки резонанса 1:2 R (с мультипликаторами а, /?= /] ф + t -1), где встречаются линии бифуркации Неймарка-Сакера и удвоения периода. Также возникает последовательность точек FF (а=\, /?= -1), где встречаются линии бифуркации удвоения периода и касательной бифуркации, что характерно для С типа критического поведения.
В третьей главе сконструировано и исследовано универсальное модельное отображение, характеризующееся наличием переходов к хаосу через последовательность бифуркаций удвоения периода и через разрушение квазипериодического решения. Были построены последовательности терминальных точек коразмерности два в различных областях плоскости параметров. Посредством бифуркационного анализа показано, что последовательности терминальных точек FF накапливаются к критическим точкам С типа, а последовательности точек резонанса 1:2 R - к критическим точкам Н типа. Продемонстрированы соответствующие скейлинговые свойства в пространстве параметров и на фазовой плоскости для наблюдаемого С типа критичности. Проведены оценки координат критических точек типа С и Н и значений мультипликаторов в этих точках.
Также были показаны трансформации языков синхронизации при вариации параметра нелинейности, приводящие к перемещению областей удвоенного периода из центра к краям языка, а также к замене точек резонанса 1:2 R на точки FF в смешанной последовательности, частично состоящей из точек резонанса 1:2 R, а частично из точек FF.
Исследовано новое разбиение языка синхронизации периода 4 на области по типу мультипликаторов, характеризующиеся различными трансформациями инвариантных многообразий седлового цикла.
Показана взаимосвязь между расположением точек цикла на фазовой плоскости относительно критических кривых и потерей гладкости инвариантной окружности вне языка синхронизации при переходе к хаосу через разрушение квазипериодического решения. Исследованы трансформации бассейнов притяжения точек цикла при касании границ бассейна притяжения с критиче ской кривой, приводящие к образованию "озер" с фрактальной структурой, фрактализации границ бассейна, слиянию многоленточного хаотического аттрактора в единый и его исчезновению.
Проведено сравнение универсального модельного отображения с эталонными моделями.
Динамика неавтономного нелинейного осциллятора с катастрофой "двойственная сборка"
Результаты работы развивают теорию динамики осцилляторов с различного вида полиномиальной нелинейностью. Полученные результаты о наличии универсальных черт в динамике осцилляторов с полиномиальными потенциалами различного вида могут быть полезны в следующих прикладных задачах. Выбор аппроксимирующего полинома играет важную роль в задачах моделирования по временным рядам, а также при определении адекватности эквивалентных параметров нелинейного элемента электрической схемы и расчета их характеристик.
Предложенная классификация неавтономных осцилляторов и отображений по схеме теории катастроф полезна в методологическом плане для последовательного изучения феноменов нелинейной динамики. Путем сравнения рассматриваемого осциллятора или отображения с введенными эталонными моделями возможно качественно оценить структуру пространства параметров и типы критического поведения без проведения трудоемкого исследования. Результаты используются в учебном процессе в СГУ.
Результаты работы, полученные для универсального модельного отображения, могут быть перенесены на широкий класс систем с двумя сценариями перехода к хаосу - через каскад бифуркаций удвоения периода и через разрушение квазипериодического режима - в силу универсальности, присущей критической динамике и степени общности рассуждений при выводе модельного ото Ifcj,/ бражения. Поскольку наблюдение критической динамики высокой коразмерно-сти возможно в электронных экспериментах, например, в системе двух нелинейных осцилляторов под периодическим воздействием [43, 44], рекомендуется постановка эксперимента с целью выявления возможной ситуации встречи критических линий типа С и Н в критической точке типа FQ. В качестве модели могут быть использованы, например, связанные осцилляторы Ван-дер-Поля или Ресслера под внешним периодическим воздействием.
Результаты работы, касающиеся системы связанных логистических отображений, могут быть по аналогии перенесены на систему связанных LRC-контуров с полупроводниковыми диодами под внешним периодическим воздействием [36, 48].
Результаты диссертационной работы были представлены на Всероссий ской школе-конференции "Нелинейные дни в Саратове для молодых" (Саратов, 1997-2000 и 2003), VI Международном семинаре "Математика. Компьютер. Образование" (Москва, 1999), XI Международной зимней школе по СВЧ электронике и радиофизике (Саратов, 1999), V Международной конференции "Нелинейные колебания механических систем" (Н. Новгород, 1999), Международной школе для молодых ученых и студентов по оптике, лазерной физике и биофизике (Саратов, 1999), VII Всероссийской школе-семинаре "Волновые явления в неоднородных средах" (Красновидово, 2000), Международной межвузовской конференции "Современные проблемы электроники и радиофизики СВЧ" (Саратов, 2001), Международной конференции "Dynamic Days Europe" (Дрезден, Германия, 2001), Международной школе "Nonlinear Science Festival III" (Люнг-би, Дания, 2001), VI Международной школе-конференции "Chaotic oscillations "Т and pattern formation" (Саратов, 2001), Международном семинаре "Control, Communication, and Synchronization in Chaotic Dynamical Systems" (Дрезден,
Германия, 2001), Международной школе "Summer Institute of Mathematical Study in Bioinformatics" (Бостон, США, 2003), Международной школе "Complex Physical, Biological, and Social Systems" (Бостон, США, 2004), на научных семинарах математических факультетов Бостонского университета и Северо-восточного университета США, факультета нелинейных процессов СГУ и СО ИРЭ РАН.
По теме диссертации имеется 17 публикаций (3 статьи в российских и зарубежных журналах, 6 статей в сборниках трудов научных конференций, 8 тезисов докладов).
Результаты работы получены при поддержке грантов РФФИ №97-02 16414, 00-02-17509, персонального гранта РФФИ для молодых исследователей
№01-02-06390, АФГИР REC-006, Минобразования РФ №97-0-8.3-8.8, ФЦП
"Интеграция" №696.2, 696.3, персонального гранта ФЦП "Интеграция" для мо лодых исследователей 2001, Danish Graduate School in Nonlinear Science 2000, 2001, Max-Plank Institute of Physical Complex Systems 2001, President of Northeaster University excellence grant 2003.
Соискатель самостоятельно обеспечивал программирование задач и все численные исследования. Постановка задач, выбор моделей и методов, а также обобщение полученных результатов проведено совместно с научным руководителем и соавторами.
Диссертация состоит из введения, 3-х глав и заключения. Работа содержит 175 страниц текста, включая 62 рисунка, 17 таблиц, список литературы из 228 наименований на 24 страницах.
Во введении дается общая характеристика работы, обсуждается актуальность темы диссертации, приводится краткий обзор литературы, определяются / цели исследования, ставятся основные задачи, формулируются положения, вы-носимые на защиту.
Первая глава посвящена исследованию сложной динамики нелинейных осцилляторов с потенциальной функцией в виде степенного полинома, соответствующей одной из катастроф Тома. Все осцилляторы с катастрофами разделены на две группы: осцилляторы, имеющие решения, убегающие на бесконечность, и осцилляторы только с ограниченными решениями. В первой группе были рассмотрены модели осцилляторов с потенциалами, соответствующими катастрофам "складка", "двойственная сборка" и "ласточкин хвост". Были изучены трансформации бассейнов притяжения и сдвиг границы, разделяющей области убегающих и ограниченных решений на картах режимов при вариации параметров. Во второй группе были рассмотрены осцилляторы, соответствующие катастрофам "сборка", "бабочка" и "звезда". Исследовались возможность универсального устройства пространства параметров, особенность эволюции аттракторов и их бассейнов притяжения. Результаты исследования дополнили уже имеющуюся информацию о наличии универсальных черт на плоскости параметров, как например, типичных конфигураций бифуркационных линий типа crossroad area и spring area [53].
Динамика одномерных отображений с полиномиальной нелинейностью: отображения катастроф "складка", "сборка", "ласточкин хвост"
Во-вторых, мы обнаружили, что наши примеры, определенные через катастрофы Тома, имеют ряд универсальных черт. Мы обнаружили существование единого сценария эволюции типичных конфигураций бифуркационных линий. Теория катастроф позволяет также исследовать влияние повышения степени потенциальной функции на динамику системы.
И наконец, использование теории катастроф позволяет предсказать области в пространстве параметров потенциальной функции, которые интересны для исследований. Для осцилляторов со всеми элементарными катастрофами мы наблюдали, что если параметры системы выбраны далеко от бифуркационного множества катастроф, то решением системы является предельный цикл, но если параметры системы выбраны вблизи бифуркационного множества катастроф, то наблюдается смена режимов колебаний, богатое бифуркационное поведение или установление странного аттрактора. Теория катастроф также помогает в оценке расположения странного аттрактора в фазовом пространстве. Для систем с потенциалом степени/? в виде катастрофы, Марцек и Шпигель [124] наблюдали, что расположение странного аттрактора в фазовом пространстве вовлекает бифуркационное множество катастрофы с потенциалом степени р+1.
Необходимо сказать несколько слов о выборе значений амплитуды и частоты внешнего воздействия. Описанные универсальные свойства типичны в широком диапазоне управляющих параметров. Типичность представленных бифуркационных множеств имеет место благодаря особенностям рассмотренных осцилляторов. Выбирая любую частоту воздействия, можно наблюдать общую картину динамики системы. Это вытекает из влияния нелинейного сдвига собственной частоты осцилляторов. Концепция собственной частоты колебаний является не тривиальным вопросом в наших примерах, поскольку в отсутствие внешнего воздействия в этих системах нет собственных колебаний. Резонанс ные свойства появляются в этих системах в присутствии гармонического внешнего воздействия. Когда в уравнении осциллятора существуют члены с координатой х в степени выше 1, то они могут быть интерпретированы как нелинейный сдвиг собственной частоты. Таким образом, собственная частота будет зависеть от амплитуды колебаний, определяемой амплитудой внешнего воздействия. Взаимозависимость амплитудных и частотных характеристик системы позволяет нам проходить через все характерные режимы, варьируя амплитуду j воздействия при фиксированной частоте воздействия. Наклон областей синхронизации на плоскости амплитуда-частота воздействия, как показано, например, У для осциллятора Дуффинга [27], служит иллюстрацией этого эффекта. Исключая незначительную область маленьких значений частоты воздействия, которые соответствуют атипичным динамическим режимам, мы проходим через все характеристические режимы при любом выборе частоты воздействия.
Эта катастрофа проявляется в том, что устойчивые и неустойчивые положения равновесия сливаются и исчезают при вариации параметра а. Сделав в уравне ний (1.1.2) из таблицы 2 замену переменной х- х + 1/2, получим уравнение (1.2.1.1), где параметр нелинейности а=0.25. Таким образом, известные результаты работ Томпсона [64] и Солимана [82] отвечают, фактически, одной точке на оси параметра а. Распространим исследование на всю ось параметра а.
В системах, описываемых уравнением (1.2.1.1), решение с малой амплитудой в результате резонансного скачка может стать либо решением с большой амплитудой, либо может "убежать" на бесконечность. На рисунке 2 показаны бассейны притяжения аттрактора, где белым цветом отмечена область убегающих на бесконечность решений, черным - ограниченные решения. При увеличении амплитуды воздействия происходит фрактализация границы бассейна [12] за счет многочисленных вторжений бассейна убегающих решений (рис. 2а, б). Это происходит в результате гомоклинических пересечений устойчивых и неустойчивых многообразий неподвижных точек типа седло в хаотической сед-ловой бифуркации [82]. С дальнейшим ростом В бассейн притяжения устойчивых решений исчезает. При фиксированном значении В наблюдается такое же разрушение бассейна притяжений с уменьшением параметра а, (рис. 2в - 2е). Была построена серия так называемых карт динамических режимов [125], на которых светло-серым цветом отмечена область решений, убегающих на бесконечность, темно-серым — ограниченные режимы различных периодов, белым - хаос (рис. 3). Граница, разделяющая области убегающих и ограниченных решений, имеет фрактальный вид. При уменьшении параметра нелинейности а (рис. За, б) в целом структура карт режимов не меняется, однако граница смещается в область низких значений В. Как показывают рисунки Зв, г, чем меньше значение параметра нелинейности, тем при меньших значениях амплитуды воздействия лежит граница области убегающих решений. На рисунке 32 точками отмечены значения параметров, соответствующие приведенным на рисунках 2а-г бассейнам притяжения. Аналогичные карты динамических режимов были получены и для других значений частоты воздействия.
Сосуществование последовательностей терминальных точек разного типа для линий бифуркации удвоений периода
В общем случае феномены комплексной динамики реализуются лишь для комплексных аналитических отображений — двумерных отображений, для которых выполняется условие Коши-Римана. Если исходное отображение было аналитическим, то, расписывая двумерное отображение в комплексном виде, получаем одномерное отображение. Если же исходное ото-бражение было неаналитическим - получается двумерное отображение с динамическими переменными z и комплексно сопряженное Z .
Отображение (2.4.1.6) является комплексным неаналитическим ото бражением, поскольку есть две динамические переменные. Следовательно, для него не ожидаются феномены комплексной динамики. Но, тем не менее, на картах динамических режимов для исходного отображения катастроф "эллиптическая омбилика" получается множество Мандельброта при а=0.5 (Рис. 296). Это связано с тем, что при а=0.5 линейный член z в отображении (2.4.1.6) становится равен нулю и отображение принимает следующий вид где С - константа. Это отображение было введено в работе [155] для описания частного случая множества Мандельброта в виде эпициклоиды с множе ствами Мандельброта в её вершинах. Такой объект был назван множество
Мандельбара [155]. Объяснение того, почему комплексное неаналитическое отображение демонстрирует комплексную динамику, было предложено в ра 1 ботах [152, 153]. Оказывается, что некоторые феномены комплексной дина мики сохраняются и для неаналитических отображений [152, 154]. Например, можно показать, что для некоторых неаналитических отображений, где не аналитичность квадратичного вида z , а не линейная, могут наблюдаться феномены комплексной динамики. Например, в работе [153] приведено отображение, сводящееся к похожему типу уравнения (2.4.1.7), демонстрирующее феномены комплексной динамики.
Таким образом, динамическая система, соответствующая потенциальная функция которой отвечает катастрофе "эллиптическая омбилика", определяется отображением (2.4.1.4), которое демонстрирует множество Ман-дельбара.
Изменение структуры пространства управляющих параметров при изменении параметра а, показаны на рисунке 29, где белым цветом обозначена область расхождения итерационного процесса, оттенками серого -устойчивые решения различных периодов. При а=0.2 устойчива только область неподвижной точки (цикла периода один) в виде эпициклоиды, характерной для бифуркационного множества этой катастрофы. При возрастании параметра а до 0.5 в ее вершинах возникают множества, аналогичные множеству Мандельброта. Увеличенные фрагменты этого множества показывают удвоение периода при движении по лепестку вдоль медианы треугольника, а также утроения и дальнейшее усложнение периода при других маршрутах обхода.
При а=\ на карте режимов реализуется область периода 2 в виде круга с центром в начале координат (рис. 29з). Её окружает выступающая с трех сторон в виде треугольников область квазипериодических и хаотических режимов. При дальнейшем увеличении а область периода 1 исчезает, появляются циклы больших периодов, возникает и увеличивается область хаоса. При а=\Л появляется область периода 2 в виде треугольника, в вершинах которого расположены области квазипериодических режимов (рис. 29и). При движении через эти вершины наружу на смену аттрактору периода два приходят две инвариантные окружности в результате бифуркации Неймарка-Сакера. Затем эти инвариантные окружности искривляются, теряют гладкость, фрактализуются и разрушаются. Появляется аттрактор периода 8, который через каскад бифуркаций удвоения периода эволюционирует к хаосу. При выходе из треугольника через его ребра наблюдается переход к хаосу через каскад бифуркаций удвоения периода. Характерно, что линия бифуркации удвоения периода, ограничивающая область периода 4 сверху, преры вается линией бифуркации Неймарка-Сакера. При а=\.2 эта конфигурация сжимается дальше так, что область периода 2 трансформируется в "звезду", которую обрамляет область квазипериодических и хаотических режимов в виде окружности (рис. 29л). При переходе через стороны этой "звезды" наблюдается переход к хаосу через каскад бифуркаций удвоения периода. Трансформации карт динамических режимов отображения (2.4.1.4) при а=0.2 (а), 0.5 (б), 0.6 (д), 0.8 (е), 0.95 (ж), 1.0 (з), 1.1 (и), 1.2 (л), 1.3 (м). Рисунки 29в и 29г- увеличенные фрагменты рисунка 296, демонстрирующие множество Мандельбара. Рисунок 29к - увеличенный фрагмент рисунка 29и. Буквой к обозначена область квазипериодических решений. также существует переход к хаосу через разрушение тора. К области периода 2 подходят языки синхронизации. Дальнейший рост параметра а приводит к уменьшению радиуса окружности области квазипериодики и хаоса, в которую вписана область периодических режимов (рис. 29м) и её исчезновению. Соответствующие описанным выше ситуациям карты старшего ляпуновского показателя представлены на рисунке 30, где различными оттенками серого выделены разные диапазоны значений старшего ляпуновского показателя: значение Л, близкое к нулю, выделено белым цветом, отрицательные значения Л - оттенком тем более темным, чем больше по модулю Л, а положительное значение Л - черным цветом. Также белым цветом обозначена область расхождения итераций. ]
Взаиморасположение точек цикла и критических кривых на фазовом портрете и механизм разрушения инвариантной окружности
В третьей главе вводится универсальное модельное отображение коразмерности 3 с квадратичной нелинейностью, демонстрирующее переход к хаосу через бифуркации удвоения периода и через разрушение квазипериодического режима и обладающее всеми известными бифуркациями двумерных отображений. Исследуется, как добавление нелинейности, приводящей к бифуркации Неймарка-Сакера, влияет на такие свойства дискретной системы, как переход к хаосу, тип критического поведения на пороге хаоса, структура пространства параметров и фазового пространства. Исследуются локальные и глобальные бифуркации, сопровождающие образование и разрушение фазовой синхронизации. Обнаружены С и Н типы критического поведения и возможность реализации //"типа критического поведения. Подробно рассматривается устройство языка синхронизации отличное от известного. Изучаются взаимодействие инвариантной окружности с критическими линиями, специфика разрушения инвариантной окружности и бассейновые бифуркации.
При изучении хаотической динамики и перехода к хаосу особый интерес представляют двумерные отображения F:R2 - Я2, описывающие разнообразные-радиофизические схемы. Из-за сложности проблемы теория таких отображений менее развита по сравнению с изученностью одномерных отображений, поэтому компьютерные вычисления оказываются полезным инструментом при таких исследованиях. Разнообразные радиофизические задачи, допускающие описание на языке обыкновенных дифференциальных уравнений, порождают двумерные отображения при рассмотрении сечения Пуанкаре [30]. Такие отображения, как правило, являются диффеоморфизмами (гладкими обратимыми отображениями). Однако при изучении некоторых реальных радиофизических задач, описываемых при помощи разностных уравнений, возникают необратимые отображения. Так, моделируя генератор, состоящий из двух идентичных нелинейных усилителей и двух цепей с задержкой, Майстренко и др. [30] свели изучение такой схемы к исследованию необратимого двумерного отображения типа "треугольное отображение", т.е. демонстрирующего треугольник устойчивости неподвижной точки на плоскости параметров. В их работе внимание было сфокусировано главным образом на описании традиционного фейгенбаумовского перехода к хаосу через каскад бифуркаций удвоения периода.
Однако, как известно, существует три основных сценария перехода к хаосу в динамических системах при вариации управляющих параметров [161]. Мы обратимся к переходу к хаосу через последовательность бифуркаций удвоения периода и через разрушение квазипериодического режима. Каждый из этих сценариев связан со своим классом универсальности [5, 162]. Описываемое нами явление может происходить в некоторых динамических системах, в которых эти два сценария встречаются на пороге хаоса одновременно. В настоящей главе для изучения этой ситуации вводится в рассмотрение еще одно необратимое двумерное отображение из класса "треугольных отображений". Наличие именно двух измерений в фазовом пространстве в рамках указанной постановки задачи принципиально. Действительно, "встреча" двух сценариев перехода к хаосу возможна, если один из них связан с первой фазовой переменной, а другой - со второй. Тогда в пространстве параметров возможна ситуация, когда эти сценарии сосуществуют. Наиболее популярным примером двумерного отображения в нелинейной динамике является отображение Эно [163]. Оно демонстрирует широкое разнообразие интересных феноменов: каскад бифуркаций удвоения, кризисы и др. Но некоторые важные бифуркации, в первую очередь, бифуркация рождения инвариантной кривой, вследствие постоянства детерминанта линеаризованной матрицы отображения, остаются вне поля рассмотрения. Поэтому перед нами стоит задача подбора двумерного отображения, которое может демонстрировать сосуществование двух указанных сценариев и в то же время претендовать на роль достаточно универсальной модели. Это является мотивацией введения в исследование нового отображения, демонстрирующего все важные бифуркации в одной модели. Как известно [5, 162], устойчивый предельный цикл двумерных отображений может терять устойчивость в фазовом пространстве тремя способами: либо один из мультипликаторов отображения становится равен - 1, либо 1, либо два комплексно-сопряженных мультипликатора лежат на единичной окружности. Томпсон и Стюарт в монографии [14] отметили, что для любого двумерного отображения критерием устойчивости на плоскости след S и детерминант /его линеаризованной матрицы является треугольник, правая сторона которого соответствует линии бифуркации седло-узел, левая сторона - линии бифуркации удвоения периода, а верхняя сторона - линии суперкритической бифуркации Неймарка-Сакера. Вершины треугольника устойчивости соответствуют точкам, где пара мультипликаторов обращается в (-1,+1), или (-1,-1), или (+1,+1) (рис. 34).
Опираясь на это в качестве первого шага, было построено отображение в котором след S и детерминант J его линеаризованной матрицы выбраны как управляющие параметры. На плоскости этих параметров отображение (3.1.1), очевидно, должно демонстрировать треугольник устойчивости, показанный на рисунке 34.
