Содержание к диссертации
Введение
1 Когерентное суммирование непрерывного лазерного излучения с использованием систем фазовой автоподстройки 14
1.1 Электрооптические системы фазовой автоподстройки и задача когерентного сложения мощностей 15
1.2 Математическая модель системы автоматической фазовой коррекции в оптическом волокне 16
1.3 Точность фазирования и динамические режимы системы автоматической фазовой коррекции 21
1.4 Фазирование в решетках волоконных усилителей 26
1.5 Выводы и обсуждение 30
2 Нелинейное фазирование в антенных решетках на основе коллективной динамики связанных фазоуправляемыхгенераторов 32
2.1 Нелинейное фазирование в активных антенных решетках 33
2.2 Управление поворотом диаграммы направленности в фазированных антенных решетках 36
2.3 Генератор с цепью фазовой автоподстройки, уравнение модели 37
2.4 Метод фазирования на основе синхронизации генераторов общим опорным сигналом 42
2.5 Каскадное соединение фазовых систем 44
2.6 Организация взаимных связей с помощью систем фазовой автоподстройки 47
2.7 Скорость установления режима синхронизации 55
2.8 Оценка точности фазирования при случайном отклонении управляющих параметров 61
2.9 Управление нестационарным градиентным распределением фаз 65
2.10 Выводы 71
3 Генерация хаотических колебаний в ансамблях связанных фазовых систем 74
3.1 Введение 75
3.2 Классификация динамических режимов в ансамблях связанных фазовых систем 78
3.3 Исследование хаотической динамики в экспериментальной схеме двух каскадно-связанных фазовых систем 80
3.3.1 Описание экспериментальной установки 81
3.3.2 Математическая модель и динамика изолированной фазовой системы 83
3.3.3 Математическая модель экспериментальной схемы 86
3.3.4 Результаты эксперимента 90
3.4 Генерация хаотических колебаний в экспериментальной схеме трех каскадно-связанных фазовых систем 95
3.5 Спектральные и корреляционные свойства хаотических колебаний, генерируемых в ансамблях связанных фазовых систем. Управление спектром 100
3.6 Синтез широкополосных сигналов в цепочке локально-связанных фазоуправляемых генераторов 107
3.7 Выводы 112
Заключение 115
Литература 119
- Математическая модель системы автоматической фазовой коррекции в оптическом волокне
- Управление поворотом диаграммы направленности в фазированных антенных решетках
- Оценка точности фазирования при случайном отклонении управляющих параметров
- Исследование хаотической динамики в экспериментальной схеме двух каскадно-связанных фазовых систем
Введение к работе
В настоящее время проблема изучения коллективной динамики активных сред, описываемых с помощью систем связанных обыкновенных дифференциальных уравнений, имеет высокую привлекательность не только в физике, но и в биологии, химии, экономике и социальных науках (биологические возбудимые среды, нейронные сети, турбулентность, энергосети, решетки связанных лазеров, джозефсоновские контакты, антенные решетки и т.д.). Несмотря на исключительную сложность исследования пространственно-временных задач, в последние десятилетия достигнут существенный прогресс, обусловленный в значительной степени появлением мощных вычислительных средств. Можно отметить успехи в области изучения однородных сетей из взаимодействующих осцилляторов различного типа и, в частности, изучения фундаментальных колебательно-волновых явлений, связанных с развитием неустойчивостей в потоковых системах, появлением пространственно-временной синхронизации, хаотизации и образованием структур (А.В. Гапонов-Грехов, М.И. Рабинович, К. Канеко, В.И. Кринский, B.C. Анищенко, Ю.М. Романовский, А.С. Михайлов, А.С. Дмитриев, Ю. Курте, А.Б. Езерский, В.Н. Белых, Д.И. Трубецков, Б.П. Безручко, СП. Кузнецов, В.И. Некоркин и др.).
Многие фундаментальные явления, обнаруженные в моделях дискрет-
ных нелинейных сред и играющие важную роль в реальных физических, химических и биологических системах, представляются также интересными с точки зрения прикладного использования. Явление синхронизации в ансамблях связанных нелинейных осцилляторов [1] может быть использовано для синхронизации и управления фазовыми распределениями в активных антенных решетках [40]- [57]. Явление динамического хаоса [2] - [4] и эффект хаотической синхронизации [26]- [33] интересны с точки зрения приложения в широкополосных системах связи, радиолокации, а также для конфиденциальной передачи информации. Эффекты самоорганизации и структурообразования могут быть использованы в системах обработки информации (обработка изображений) [5]- [10].
Реальным примером радиофизической системы, обладающей сложной пространственно-временной динамикой, является ансамбль связанных генераторов или усилителей с цепями фазовой автоподстройки. Будем называть такие фазоуправляемые генераторы и усилители фазовыми системами. В технической литературе часто используются названия: система фазовой автоподстройки частоты в генераторах (ФАПЧ) и система фазовой автоподстройки в усилителях (ФАПУ). Такие системы изначально разрабатывались для решения задач синхронизации, стабилизации и управления фазой и частотой колебаний, фильтрации, демодуляции и многих других задач. Благодаря высокой точности, надежности, помехоустойчивости, способности работать на высоких и сверхвысоких частотах, а также технологичности эти системы на данный момент являются неотъемлемой частью практически любых систем связи. На данный момент теория фазовых систем достаточно хорошо развита благодаря работам В.В. Шахгиль-
дяна, М.В. Капранова, В.Н. Кулешова, А.А. Ляховкина, Л.Н. Белюстиной, Ю.Н. Бакаева, В.Н. Белых, В.Н. Кулешова, Г.А. Леонова, В.И. Некорки-на, В.П. Пономаренко, В.И. Тихонова, Н.Н. Удалова, В.Д. Шалфеева, Б.И. Шахтарина, W.C. Lindsey, A.J. Viterbi и др. Что касается теории связанных фазовых систем, то она разработана в значительно меньшей степени. Это обусловлено тем, что динамика связанных фазовых систем (даже ансамблей, состоящих из малого числа элементов) является существенно более сложной в сравнении с динамикой одной фазовой системы [80]- [91].
Представляется перспективным использование связанных фазовых систем для решения следующих прикладных задач: когерентное суммирование непрерывного лазерного излучения, нелинейное фазирование в активных антенных решетках, генерация широкополосных хаотических сигналов.
Системы фазовой автоподстройки широко применяются для стабилизации фазы на выходе мощных усилителей СВЧ диапазона (М.В. Капранов и др.), используются при решении задачи когерентного сложения мощностей СВЧ сигналов (СВ. Есин, В.И. Каганов и др.). Сейчас представляется перспективным использование аналогичных электрооптических систем фазовой автоподстройки для фазирования в решетках оптических квантовых усилителей с целью решения важной задачи современной технической физики - получения мощного непрерывного лазерного излучения с высоким качеством пучка путем когерентного сложения мощностей нескольких источников [11,17,21,22]. При этом в ряд актуальных выносятся проблемы выбора оптимальной структуры связей в схеме фазирования, анализа динамических процессов, происходящих в электрооптических цепях фазовой
автоподстройки, а также вопросы устойчивости и точности фазирования.
Вторая задача (нелинейное фазирование) заключается в использовании коллективной динамики связанных генераторов для осуществления синхронизации и управления поворотом диаграммы направленности в активных антенных решетках (Г.М. Уткин, А.А. Дворников, A.M. Чуков, R. York, Т. Heath и др.) [40]- [57]. Такой подход имеет ряд существенных преимуществ в сравнении с традиционным способом фазирования в антенных решетках с помощью фазовращателей (низкая стоимость реализации и компактность в силу отсутствия фазовращателей и распределительной сети, возможность изменения угла поворота диаграммы направленности всей решетки с помощью управления параметрами лишь в нескольких элементах антенны и др.). Однако есть и недостатки, например: узкая полоса частот, внутри которой осуществляется синхронизация генераторов, зависимость амплитуд колебаний от установившихся фазовых соотношений. Эффективное решение данных проблем может быть достигнуто путем использования систем фазовой автоподстройки для объединения генераторов, в связи с чем исследование возможности управления фазовыми распределениями в режиме синхронизации в решетках связанных фазовых систем представляется актуальной задачей.
Третья задача важна с точки зрения возможных приложений хаотических сигналов, генерируемых в связанных фазовых системах, для передачи информации [81,82] и в радиолокации. Проблема использования динамического хаоса в системах связи изучается уже около пятнадцати лет (А.С. Дмитриев, А.И. Панас, СО. Старков, А.Р. Волковский, Н.Ф. Рульков, Л.Ш. Цимринг, В.Д. Шалфеев, В.В. Матросов, L.M. Pecora, T.L.
Carroll, К. Eckert, К. Cuomo, A. Oppenheim, M. Hasler, M.P. Kennady, G. Kolumban и др.) [29-33], однако, наряду с другими проблемными вопросами важной задачей в данном направлении остается создание высокоэффективных генераторов широкополосных хаотических колебаний (СВЧ диапазона, в частности). Благодаря своим качествам фазовые системы представляются интересными с точки зрения использования в системах связи, основанных на динамическом хаосе, в том числе при решении задачи генерации широкополосных хаотических колебаний. Для практического использования хаотических автомодуляционных режимов в связанных фазовых системах необходима экспериментальная проверка полученных ранее теоретических результатов. К тому же, до сих пор не были изучены спектральные свойства хаотических колебаний, генерируемых на выходе генераторов в фазовых системах (именно эти колебания предполагается использовать в качестве хаотических несущих для передачи информации); ширина и равномерность спектра хаотического сигнала являются ключевыми характеристиками с точки зрения приложения в системах связи и радиолокации.
Цель диссертационной работы состоит в (і) описании и анализе модели системы автоматической фазовой коррекции в оптическом волокне, исследовании различных структур связи с помощью таких систем между волоконными оптическими усилителями для обеспечения синфазности выходного излучения, в (іі) теоретическом исследовании различных схем связанных фазоуправляемых генераторов для осуществления их синхронизации и управления фазовыми распределениями (в приложении к задаче управления поворотом диаграммы направленности в антенных ре-
шетках), в (ііі) экспериментальном исследовании хаотической динамики малых ансамблей связанных фазовых систем и изучении спектральных свойств хаотических колебаний, генерируемых на выходе фазовых систем. Научная новизна. В работе рассмотрены актуальные задачи радиофизики (генерация широкополосных сигналов и фазирование в решетках излучателей оптического и радио- диапазонов), для решения которых предлагается использование коллективной динамики связанных фазовых систем.
Предложено использование решетки волоконно-оптических усилителей, связанных между собой с помощью электрооптических цепей фазовой автоподстройки, для решения задачи когерентного сложения мощностей. Представлен вывод и анализ математической модели электрооптической цепи фазовой автоподстройки в волоконном оптическом усилителе. Исследована точность фазирования в решетках таких усилителей с различными структурами связей между элементами решетки.
В приложении к задаче управления диаграммой направленности в активных антенных решетках проведено теоретическое исследование различных схем соединения генераторов с помощью фазовых систем. Получены новые результаты, свидетельствующие о возможности получения градиентных фазовых распределений и управления ими в рассматриваемых схемах связанных генераторов. Проанализированы недостатки схем нелинейного фазирования (увеличение времени переходных процессов, чувствительность к случайной расстройке управляющих параметров).
Впервые проведено экспериментальное исследование хаотической динамики в ансамблях связанных фазовых систем, показано, что ансамбли двух и трех каскадно-связанных фазовых систем демонстрируют различные хаотические режимы в широких областях пространства параметров. Получено хорошее согласование между результатами эксперимента и результатами теоретического исследования модели экспериментальной схемы. Изучены спектральные характеристики хаотических колебаний, генерируемых на выходе фазовых систем, для различных динамических режимов, показана возможность управления спектром. Предложен способ синтеза широкополосных хаотических сигналов с равномерным спектром.
Практическая значимость работы состоит в том, что полученные результаты могут быть использованы при разработке систем когерентного суммирования лазерного излучения, создании активных фазированных антенных решеток нового типа, проектировании широкополосных систем связи и радиолокации, основанных на использовании динамического хаоса. В работе рассмотрены важные с точки зрения приложений вопросы: проведен анализ точности фазирования в решетках связанных фазоуправ-ляемых усилителей и генераторов, изучены пределы управления поворотом диаграммы направленности, исследованы различные схемы нелинейного фазирования и проведено их сравнение, а также рассмотрен вопрос о скорости установления синхронного режима в активных антенных решетках со связями между элементами. При экспериментальном исследовании связанных фазовых систем также уделено внимание важным с точки зрения использования хаотических сигналов в радиосвязи вопросам: области
существования (в пространстве параметров) различных хаотических режимов, спектральные свойства генерируемых хаотических колебаний. Основные положения, выносимые на защиту:
Для решения задачи когерентного суммирования непрерывного лазерного излучения может быть использована схема из нескольких квантовых усилителей, связанных между собой с помощью систем фазовой автоподстройки. При использовании взаимных связей точность фазирования может быть не хуже, чем в схеме, в которой используется фазовая автоподстройка в усилителях относительно общего опорного сигнала.
Возможно осуществление управления стационарными и изменяющимися во времени градиентными фазовыми распределениям в режиме синхронизации в ансамблях связанных фазоуправляемых генераторов с помощью изменения параметров связей и начальных (собственных) частот генераторов. Данный эффект может быть использован для управления поворотом диаграммы направленности (в достаточно больших пределах, представляющих практический интерес) в активных антенных решетках различного частотного диапазона и мощности.
Экспериментально подтверждена эффективность использования ансамблей связанных фазовых систем для генерации хаотических колебаний в широких и однородных областях параметров. Управление величинами связей между элементами ансамбля позволяет выбирать тот или иной хаотический режим без изменения параметров самих элементов.
4. Хаотические колебания, генерируемые в ансамблях связанных фазовых систем, могут обладать широким спектром и резко-спадающей автокорреляционной функцией. Спектральные и корреляционные характеристики сигналов на выходе фазовых систем существенно зависят от динамического режима, реализуемого в ансамбле. Изменение параметров ансамбля (величины связи, начальные частотные расстройки генераторов) и выбор различных динамических режимов позволяют управлять спектральными свойствами хаотических сигналов. Возможно использование хаотической динамики цепочки локально-связанных фазоуправляемых генераторов для осуществления синтеза широкополосных сигналов с равномерным спектром, ширину которого можно регулировать.
Апробация работы и публикации. Основные результаты диссертационной работы были представлены на международных научных конференциях "Experimental Chaos - 8"(Florence, Italy, 2004), "IEEE ICCSC'04 Conference"(Москва, 2004), "Nonlinear Dynamics of Electronic Systems"(Pot-sdam, Germany, 2005), "Topical Problems of Nonlinear Wave Physics" (Нижний Новгород, 2005), конференция SPIE "Free-Space Laser Communications V" (San Diego, USA, 2005), "Laser Optics for young scientists - 2006"(Санкт-Петербург, 2006), а также на конференциях молодых ученых "Нелинейные в олновые процессы "(Нижний Новгород, 2004, 2006), "Научная конференция по радиофизике"(Нижний Новгород, 2003, 2004), "Нижегородская сессия молодых ученых (естественно-научные дисциплины)"(Нижний Новгород, 2005, 2006). Материалы диссертации обсуждались на научных семинарах кафедры теории колебаний и автоматического регулирования НН-
ГУ, Научно-исследовательского института радиотехники (НИИРТ), а также Института физики сложных систем им. М.Планка (Дрезден).
По теме диссертации опубликовано 15 научных работ, включая 4 статьи в рецензируемых физических журналах, 5 статей в сборниках трудов научных конференций, б тезисов докладов.
Математическая модель системы автоматической фазовой коррекции в оптическом волокне
На рис. 1.1 представлена схема системы автоматической фазовой коррекции оптоволоконного усилителя, использующая электрооптическую цепь обратной связи. Данная электрооптическая цепь автоматической подстройки представляет собой волоконно-оптический интерферометр Маха-Дендера [12,13] с обратной связью. На представленной схеме на вход двух одно-модовых оптических волокон, в которых может распространяться только мода НЕЦ, подается высококогерентное одночастотное оптическое излучение от одного твердотельного лазера. Одно из волокон используется для передачи опорной световой волны, другое активное волокно с лазерной накачкой является оптическим усилителем. В результате прохождения излучения по активному оптическому волокну, длина которого может составлять десятки метров, фаза излучения на выходе становится не предсказуемой, случайной, вследствие случайных деформаций волокна, флуктуации коэффициента преломления, обусловленной в свою очередь флуктуацией температуры и инверсии населенностей. Таким образом, при отсутствии взаимодействия между волокнами световые волны на выходе этих волокон не являются когерентными. Задача системы управления заключается в стабилизации фазы на выходе волоконного усилителя относительно фазы опорной волны. При этом желательно, чтобы в результате действия данной системы разность фаз между световыми волнами на выходе волокон принимала некоторое определенное значение, не зависящее от начальной разности фаз.
Опишем модель схемы (рис. 1.1). Пусть на первое плечо интерферометра Маха-Цендера (первый вход оптического соединителя 2x2) поступает излучение, используемое в качестве опоры. С помощью волоконного соединителя 1x2 меньшая часть излучения от усилителя (допустим 1%) попадает на второе плечо интерферометра. Электрические поля на входах интерферометра могут быть записаны в виде: (1.1) где Ei, Е% - амплитуды электрических полей, р\, у 2 - их фазы соответственно. Мы предполагаем отсутствие сдвига частоты в волокнах, поэтому частоты световых волн на выходе волокон равны частоте питающего твердотельного лазера и. Предполагается, что оптический соединитель 2x2 описывается следующей передаточной матрицей: интерференционной картины, j - коэффициент когерентности (І7І 1). Предполагаем, что ток в фотодетекторах линейно пропорционален интенсивности падающего света, а также считаем постоянным коэффициент усиления, тогда ток на выходе дифференциального усилителя: где (3 - коэффициент пропорциональности. Описанный выше дифференциальный метод обработки является одним из эффективных способов снижения шумов волоконного интерферометра [12,13]. В рассматриваемой схеме волоконный интерферометр вместе с дифференциальным усилителем играют роль фазового дискриминатора, позволяющего получить сигнал, являющийся функцией от разности фаз двух световых волн. После фазового дискриминатора сигнал проходит через фильтр с коэффициентом передачи К(р) (р = d/dt) и поступает на фазовый модулятор, который может быть реализован на основе пьезоэлектрического преобразователя. Считаем характеристику фазового модулятора линейной, тогда фаза волны на выходе волоконного усилителя (на входе интерферометра): где рУ$) - фаза на выходе волоконного усилителя в отсутствии управления, г - общая временная задержка электрооптического кольца обратной связи.
Отметим, что модуляция фазы может быть осуществлена непосредственно в активном волокне с помощью управления интенсивностью накачки. Как известно, в активных оптических кристаллах и волокнах коэффициент преломления зависит от температуры (тепловая компонента) и от инверсии населенности (электронная компонента, которая связана с отличием поляризуемости ионов активатора, находящихся в возбужденном состоянии [19]). Управление интенсивностью накачки приводит к изменению инверсии населенности и температуры активной среды, что ведет к изменению коэффициента преломления, а следовательно, к изменению фазового набега на выходе усилителя и может быть использовано для фазирования в решетках оптических усилителей [20].
Такой способ фазовой модуляции является достаточно перспективным благодаря простоте реализации и достаточно малой инерционности (в случае усилителя на активном оптическом волокне). Один из существенных недостатков данного метода заключается в зависимости коэффициента усиления от интенсив ности накачки, которая изменяется с целью управления фазовым сдвигом в усилителе. Здесь мы не будем рассматривать такой способ фазовой модуляции. В представленной схеме фазовый модулятор располагается перед активным волокном (как, например, в работе [11]), длина которого может составлять десятки метров. Таким образом, предполагается, что оптическая задержка может быть достаточно большой, чтобы заметно влиять на динамические процессы в кольце управления, поэтому ее учет представляется необходимым. Запаздывание может возникать также и в других элементах электрооптического кольца обратной связи, таких как: фотодетектор, фазовый модулятор. Без ограничения общности сделаем замену: ip\{t) - pi(t) — 7г/2, тогда в результате получим:
Управление поворотом диаграммы направленности в фазированных антенных решетках
Для отклонения диаграммы направленности на угол Ф от нормали к плоскости антенной решетки (рис. 2.1) необходимо обеспечить в элементах решетки градиентное распределение фаз колебаний: Здесь фп - фаза колебаний в n-ом элементе решетки, d - пространственный период решетки, Л - длина волны излучения. Таким образом, задача фазирования активной антенной решетки заключается в синхронизации генераторов и обеспечении градиентного (или близкого к нему) распреде В качестве базового элемента для схем нелинейного фазирования в активных антенных решетках рассмотрим генератор с кольцом фазовой автоподстройки частоты, представленный на рис. 2а. На данном рисунке: ФД - фазовый дискриминатор, Ф - фильтр низких частот, УЭ - управляющий элемент, который изменяет частоту генератора пропорционально входному напряжению. Управляющий элемент имеет дополнительный вход для внешнего изменения начальной частотной расстройки подстраиваемого генератора. Уравнение, описывающее динамику системы фазовой автоподстройки частоты [68] - [70], может быть представлено следующим образом: генератора, щ - начальная частота управляемого генератора, ujr - частота генератора опорных колебаний, ф - полная фаза колебаний на выходе управляемого генератора, фг - полная фаза опорного сигнала на входе фазовой системы, Q - максимальная разность начальной частоты управляемого генератора и опорного сигнала, при которой возможна синхронизация управляемого генератора. К(р) - коэффициент передачи фильтра низких частот, р = d/dt -оператор дифференцирования, Р{ф — фг) - нормированная характеристика фазового дискриминатора (рис. 2.26). Введем разность фаз р = ф — фг. Функция F(ip) обладает следующими свойствами: F(ip) — F(ip + 2тт), F((p) = -F(- p), F(0) = 0, F (0) 0, maxF(rf = 1, mmF{(p) = -1, на отрезке p Є [0,7г] функция имеет единственный максимум. Таким образом, функция F( p) описывает широкий класс физически реализуемых фазовых дискриминаторов. Динамика системы (2.2) главным образом определяется видом фильтра в кольце управления. Будем рассматривать случай фильтра первого порядка с коэффициентом передачи: где Т - постоянная времени фильтра. В таком случае уравнение, описывающее динамику фазовой системы, может быть записано следующим образом: где т = Ш - безразмерное время, 7 = [щ — шг)/& относительная начальная частотная расстройка, є = ОТ.
Кроме системы фазовой автоподстройки уравнение (2.4) также описывает динамику маятника с трением под действием постоянного внешнего момента силы, динамику сверхпроводящего Джозефсоновского контакта и другие системы. Уравнение (2.4) достаточно хорошо изучено [68] - [70], пространство параметров (e,j) можно разбить на три области -Di,2,3 качественно представленные на рис. 2.3. В области D\ единственным аттрактором на поверхности ( р, d(p/dt) модели (2.4) является устойчивое состояние равновесие, которое соответствует синхронному режиму работы фазовой системы. В области D единственный аттрактор - это вращательный предельный цикл, охватывающий цилиндр, в этом случае реализуется режим биений. В области 7 система является бистабильной, в зависимости от начальных условий реализуется либо синхронный режим, либо режим биений. Граница областей Di и D$ соответствует седло-узловой бифуркации исчезновения состояний равновесия (7 = 1), переход между D\ и D% осуществляется через бифуркацию петли сепаратрис седло-узла. Граница между областями D\ и Di определяется бифуркацией петли сепаратрис седла. Таким образом, инерционность в цепи управления приводит к тому, что область захвата в синхронный режим (область глобальной устойчивости синхронного режима D\) становится меньше области существования устойчивого синхронного режима D\ U D i. Система фазовой автоподстройки с фильтром первого порядка (2.3) является статической по фазе. Это означает, что в режиме синхронизации имеет место ненулевая остаточная разность фаз между сигналами на вхо де и выходе фазовой системы. Величина фазового сдвига определяется координатой устойчивого состояния равновесия уравнения (2.4). В случае стандартного фазового дискриминатора, характеристика которого является синусоидальной (рис. 2.26), фазовый сдвиг равен: ps = arcsin.7. Таким образом, путем изменения частоты подстраиваемого генератора щ в пределах полосы синхронизации \UJQ — шт\ Q, (\j\ 1) можно управлять фазовым сдвигом в пределах (—7г/2,7г/2). Максимальный фазовый сдвиг осуществляется, когда собственная частота управляемого генератора находится на границе полосы синхронизации. Пределы управления фазой можно увеличить, если использовать фазовый дискриминатор со специальной характеристикой, имеющей положительный наклон в большей области изменения разности фаз [58,59], например дискриминатор с пилообразной характеристикой (рис. 2.26):
Оценка точности фазирования при случайном отклонении управляющих параметров
Рассмотрим еще один важный с точки зрения приложений вопрос, касающийся точности фазирования при случайном разбросе управляющих параметров системы. Проведем исследование для трех схем фазирования: параллельное соединение несвязанных друг с другом фазоуправляемых генераторов (рис. 2.3), цепочка однонаправлено-связанных генераторов (рис. 2.6), описываемых системой (2.8) при F(cp) = sin /? и цепочка генераторов с симметричной взаимной связью (рис. 2.7), описываемая системой (2.14) при k = d=l. Предположим, что частотные расстройки генераторов п заданы с ошиб кой (п относительно значений, точно соответствующих требуемому градиентному распределению фаз. Пусть ошибки независимы в каждом элементе, имеют гауссовское распределение с нулевым средним и дисперсией и2г Случайное распределение частотных расстроек приводит к некоторому случайному отклонению установившихся фаз от точного градиентного распределения: rjn = рп — п в. Для оценки точности фазирования рассмотрим параметр порядка, который уже использовался в предыдущей главе:
В рассматриваемой нами задаче параметр порядка имеет физический смысл нормированной средней интенсивности поля в точке максимума диаграммы направленности. В аналитических оценках, представленных ниже, предполагается, что величины случайных фазовых отклонений г\п достаточно малы. Для первой схемы фазирования, в которой генераторы синхронизируются общим опорным сигналом и не связаны друг с другом, установившиеся фазовые ошибки являются независимыми в каждом генераторе. Дисперсия фазовой ошибки определяется следующим выражением: Легко показать, что параметр порядка имеет следующий вид: При N - сю параметр порядка не зависит от количества элементов в ансамбле. В случае однонаправленной связи дисперсия фазовой ошибки нарастает линейно вдоль цепочки генераторов. Дисперсия фазовой ошибки в п-ом элементе цепочки: Используя выражение (2.37) можно получить следующую оценку параметра порядка: Как видно, в приближении малой дисперсии ai и при большом значении N, параметр порядка приблизительно линейно убывает с увеличением количества элементов (рис. 2.14). Рассмотрим теперь влияние на точность фазирования случайной расстройки начальных частот генераторов в цепочке с симметричными взаимными связями (система уравнений (2.14), к — d = 1). В данном случае удается записать приближенное выражение для функции корреляции случайных фазовых сдвигов щ между соседними элементами цепочки Выражение (2.39) определяет дисперсию фазовых сдвигов а\п — (и ). График зависимости этой дисперсии от номера п представлен на рис. 2.13. Максимальная дисперсия относительной фазовой ошибки наблюдается для элементов в середине цепочки. Заметим, что рассматривать дисперсию абсолютной фазовой ошибки (rfc) некорректно, потому что не опреде Рис. 2.13:
Распределение дисперсии ошибки фазовых сдвигов между соседними элементами (п - номер фазового сдвига между элементами цепочки с номерами п + 1 и п). лено среднее значение фазовой ошибки (так как система уравнений (2.14) инвариантна относительно сдвига всех фаз на одинаковое значение). Выражение для параметра порядка в разностных переменных в приближении малых фазовых ошибок можно записать следующим образом: Так как корреляционная функция разностной фазовой ошибки известна (2.39), то можно считать, что мы получили общее выражение параметра порядка через дисперсию ошибок начальных частотных расстроек генераторов, выступающих в роли управляющих параметров. Для случаев однонаправленной и симметричной взаимной связи на рис. 2.14 представлены численно и аналитически полученные зависимости параметра порядка от размера цепочки. Параметр порядка для цепочки с взаимными связями нелинейно зависит от количества элементов и убы Рис. 2.14: Зависимость характеристики точности фазирования от размера цепочки при случайном разбросе начальных частотных расстроек генераторов с дисперсией а = 10 3, 7 = 0; 1 - симметричная взаимная связь, 2 - однонаправленная связь, х -результаты численного счета. вает качественно быстрее параметра порядка для цепочки с однонаправленной связью. В целом можно отметить, что организация связей между элементами ведет к ухудшению точности фазирования при случайном отклонении управляющих параметров. При этом наличие взаимных связей приводит к нелинейному росту дисперсии фазовой ошибки в отличие от случая однонаправленной связи.
Исследование хаотической динамики в экспериментальной схеме двух каскадно-связанных фазовых систем
В качестве фазовой системы в эксперименте используется широко распространенная микросхема ФАП 74НС4046А, предназначенная для синхронизации сигналов вида меандра. Данная микросхема позволяет конструировать кольцо управления ФАП, задавать частоту и полосу удержания подстраиваемых генераторов. Функциональная схема экспериментальной установки изображена на рис. 3.1, [85]. Рис. 3.1: Функциональная схема экспериментальной установки двух каскадно-связанных фазовых систем. На представленной схеме: О Г - опорный генератор, ФД - фазовый дискриминатор, ГУ HI,2 - генераторы разрывных колебаний, управляемые напряжением, 1,2,3,4,5( ) - коэффициенты передачи низкочастотных фильтров первого порядка (р — d/di), к - коэффициент связи. мкс (изменяемый параметр). Частота колебаний в ГУHI,2 при отсутствии внешнего сигнала и шума на входе: /1=/2- 71 КГц - центральная частота. В ходе экспериментальных измерений, частоты генераторов ГУ HI,2 не изменялись. Сигнал, поступающий на вход ФАП и генерируемый на выходе ФАП, представляет собой однополярный меандр с амплитудой 5 В. Максимальные частотные расстройки входного сигнала для ФАП1,2 относительно центральной частоты, при которых генераторы ГУ HI,2 могут быть синхронизованы (полосы удержания AFi$), имеют следующие значения: AFi = 13.85 КГц, AF2 = 27.7 КГц. Полоса удержания синхронизации в первой фазовой системе в два раза меньше, чем во второй в силу того, что в кольце управления первой системы перед управляемым генератором стоит делитель напряжения, уменьшающий амплитуду сигнала в два раза (рис. 3.1). В ходе экспериментальных измерений варьировались следующие величины: коэффициент обратной связи, направленной от цепи управления ФАП2 в цепь управления ФАП1 к (к = 0 — 1), частота опорного генератора /о и инерционность T i второго фильтра в кольце управления ФАП1. В экспериментальной схеме, представленной на рис. 3.1, фазовые системы имеют одинаковую структуру, близкие параметры управляемых генераторов и фильтров.
Отличие заключается в том, что в кольце управления ФАП1 имеет место аттенюатор, уменьшающий напряжение на входе ГУН1 в два раза. Вследствие этого полоса удержания первой системы ФАП вдвое меньше, чем для второй системы. В силу того, что обе фазовые системы (рис. 3.1) имеют одинаковую структуру кольца обратной связи, уравнения, описывающие их индивидуальную динамику должны быть одинаковыми, отличающимися только значениями параметров. Пусть #о полная фаза опорного колебания, 0\ - полная фаза колебания на выходе ГУ НІ (рис. 3.1). Для описания динамики изолированной системы ФАШ, когда к = 0, применим модель фазовой системы синхронизации непрерывных, синусоидальных сигналов. В соответствии с [70], уравнение модели в операторной форме имеет следующий вид: где р = d/dt - оператор дифференцирования, (р\ = в\ — во, Q,\ = 2nAFi - полоса удержания фазовой системы, К{р) — Ki{p)K2{p) - коэффициент передачи фильтра в кольце управления ФАШ, состоящего из двух низкочастотных фильтров первого порядка, соединенных через буферный каскад, F( p) - нормированная характеристика фазового дискриминатора, 7і = (/і — fo)/AFi - относительная частотная расстройка генератора в ФАП1. Фазовый дискриминатор реализует операцию булевой алгебры ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ (XOR). Нормированная модельная характеристика такого дискриминатора имеет следующий вид:
