Содержание к диссертации
Введение
1 Динамические режимы базового ансамбля из трех элементов 13
1.1 Автогенератор с фазовым управлением (ФАП) 13
1.2 Математическая модель каскадного соединения ФАП . 16
1.3 Синхронные режимы 22
1.4 Квазисинхронные режимы 31
1.5 Сценарии перехода к хаотическим колебаниям 41
1.6 Выводы 54
2 Области существования динамических режимов ансамбля из трех связанных генераторов 56
2.1 Анализ влияния связей и параметров цепей управления на динамику управляемых генераторов 56
2.2 Анализ областей генерации ХМК и характеристики ХМК . 71
2.3 Выводы 83
3 Динамические режимы ансамблей из четырех и пяти элементов 86
3.1 Ансамбль четырех связанных фазовых систем 87
3.2 Ансамбль пяти связанных фазовых систем 92
3.3 Особенности динамики ансамблей связанных систем ФАП с локальными связями 98
3.4 Выводы 105
4 Роль нелокальных связей в коллективной динамике малых ансамблей 107
4.1 Структура пространства параметров в случае нелокальной связи типа 108
4.2 Структура пространства параметров в случае нелокальной связи типа 116
4.3 Динамические процессы в длинных ансамблях 118
4.4 Выводы 131
Заключение 135
Литература 137
- Сценарии перехода к хаотическим колебаниям
- Анализ влияния связей и параметров цепей управления на динамику управляемых генераторов
- Особенности динамики ансамблей связанных систем ФАП с локальными связями
- Структура пространства параметров в случае нелокальной связи типа
Введение к работе
Одной из актуальных проблем современной радиофизики и нелинейной динамики является проблема анализа коллективной динамики систем, состоящих из взаимодействующих активных элементов. Одним из определяющих факторов для коллективной динамики ансамблей является выбор варианта связи между его элементами. Взаимодействие элементов в ансамбле может быть как локальным (взаимодействие только с ближайшими соседями), нелокальным (взаимодействие с удаленными в пространстве элементами), так и глобальными. Существенным фактором, влияющим на динамику ансамбля, является также индивидуальная динамика элементов его составляющих. Динамика элементов в отсутствии связей может быть как сравнительно простой, так и достаточно сложной, хаотической. При этом примечательным является то, что за счет введения связей в ансамблях активных элементов, демонстрирующих сложную собственную динамику, проявляется способность к самоорганизации. В частности, это проявляется в возможности взаимной синхронизации колебаний связанных осцилляторов, образовании неоднородных стационарных пространственных структур, когерентных волновых процессов, включающих фронты переключения, бегущие импульсы, спиральные волны и др [1]- [3].
Интерес к таким системам возник в связи с широким распространением систем, состоящих из большего числа идентичных или практически идентичных элементов. Одним из примеров подобной задачи являются цепочки джозефсоновских контактов и сети связанных лазеров [4]- [9]. Активный интерес со стороны исследователей вызывает изучение явлений и процессов в так называемых нейродинамических системах, т.е. системах, моделирующих структуру и свойства живых клеток, нейронов, нейронных ансамблей. Исследование динамики таких нейронных ансамблей так- же принадлежит к числу задач, связанных с рассмотрением коллективной динамики цепочек связанных активных элементов [10]- [14]. Остановимся еще на задаче синхронизации нескольких генераторов переменного тока, работающих на общую нагрузку, т.е. на задачи о синхронизации в энергосетях [15], [16]. Взаимодействие электрогенераторов позволяет достичь необходимой стабильности в энергосети. Интересно отметить, что именно энергосети весьма эффектно продемонстрировали возможность существования в сетях, наряду с режимом синхронизации, еще и сложных хаотических режимов [17], [18]. В качестве еще одного примера можно привести задачу об управлении элементами фазированных антенных решеток [17], [19], [20]. Здесь для ансамбля генераторов требуется обеспечить не только синхронность работы, но и управление фазовыми сдвигами. Межэлементные связи могут либо формироваться целенаправленно, например, с помощью сравнения фаз сигналов соседних элементов [21], либо осуществляться через общее поле излучения [22]. Другим примером таких ансамблей являются сети синхронизованных генераторов и систем автоматического управления [23], [24]. С другой стороны, такие сети можно трактовать как дискретные модели непрерывных неравновесных активных сред [25], [26].
Исследование кооперативных процессов в системах, состоящих из большего числа элементов, достаточно широко представлено в литературе. Обычно такая задача решается в предположении однородности ансамбля, что существенно упрощает исследование. Значительно меньше внимания в литературе уделено задачам, связанным с учетом неоднородности ансамбля, даже состоящего из небольшого числа элементов.
В настоящей работе рассматривается коллективная динамика малых ансамблей на примере каскадно-связанных генераторов с локальными цепями управления по фазе, т.е. систем фазовой автоподстройки частоты (ФАП) или фазовых систем. Такие системы являются основой для построения разнообразных устройств стабилизации частоты и фазы, создания устройств измерения параметров сложных сигналов, телекоммуникационных систем и т.д. Изучению динамики различных систем управления частотой и фазой посвящено множество работ ( В.В. Шахгильдян, Л.Н. Белюстина, М.В. Капранов, В.Н. Белых, В.П. Пономаренко, В.Д, Шалфеев, Г.А. Леонов, W. Lindsey, Н.Н. Удалов, Г.М. Уткин, Б.И. Шахтарин и др.). Однако в силу специфики решаемых системами ФАП задач, до недавнего времени основное внимание при исследовании их динамики уделялось изучению синхронных режимов и определению условий наступления и удержания этих режимов. Малоизученными оказались свойства поведения вне областей локальной устойчивости синхронных режимов, а также вопросы, связанные с исследованием областей существования, механизмов возникновения и развития автоколебательных режимов, возникающих в петле фазового управления, явлений сложной динамики и процессов возникновения хаотических колебаний.
Большой интерес к исследованию автоколебательных режимов в генераторах с фазовым и частотным управлением продиктован перспективой создания на основе таких систем устройств генерирования и обработки сложных регулярных и хаотических сигналов. Ряд работ, проведенных в этом направлении, показали возможность существования в изолированном кольце ФАП большего разнообразия регулярных и хаотических режимов [27]- [29]. Это достигается за счет усложнения локальной цепи управления системы, в частности, использования фильтров высокого порядка.
В настоящее время большое внимание уделяется изучению особенностей коллективного поведения в моделях взаимосвязанных систем с фазовым управлением. С применением различных структур взаимодействующих фазовых систем удается решить большой круг прикладных задач управления, передачи и обработки информации. К объединению систем ФАП прибегают для улучшения динамических характеристик устройств синхронизации, для решения специфических задач, например, связанных с обработкой сложных сигналов или с синтезом частот [30]- [34]. С другой стороны интерес к взаимосвязанным системам с фазовым управлением продиктован перспективой создания на основе таких систем устройств с новыми функциональными возможностями. Чрезвычайно большой интерес вызывают приложения динамического хаоса к проблемам обработки и передачи информации [36]- [39].
В настоящее время наблюдается интенсивное развитие исследований в области применения динамического хаоса в радиотехнике и связи. В частности, предложено множество вариантов организации систем связи на основе динамического хаоса [35]- [39]. Существует множество научных коллективов, занимающихся этими вопросами, среди которых из зарубежных организаций необходимо выделить Калифорнийский университет, Сан Диего, США (H.D.I. Abarbanel), Технический университет, Дублин, Ирландия (М.Р. Kennedy), Технический университет, Будапешт, Венгрия (G- Columban), Технический университет, Лозанна (М. Hasler) и др.
Среди отечественных организаций следует выделить Институт Радиотехники и Электроники РАН (А.С. Дмитриев, А.И. Панас, СО. Старков и др.), Нижегородский госуниверситет (В.Д. Шалфеев, В.В. Матросов и др.), Московский энергетический институт (М. В. Капранов, В.Н. Кулешов, Н.Н. Удалов), Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана (Б.И. Шахтарин). Основными проблемами на пути создания систем передачи информации на основе динамического хаоса являются создание эффективного генератора хаоса и вопрос синхронизации хаотических колебаний. Устройства передачи информации, использующие регулярные сигналы, обычно основаны на использовании систем фазовой автоподстройки для синхронизации сигналов как при передаче, так и при приеме. Они обеспечивают высокую точность, надежность, помехоустойчивость, способность работать на высоких и сверхвысоких частотах. Эти свойства, наряду с возможностью получения в ФАП хаотических колебаний делают эти системы весьма перспективными и для использования их в системах связи на основе хаотических сигналов. Но на этом пути есть ряд проблем, требующих своего решения. Одной из них является довольно узкие области хаотического поведения в пространстве параметров систем ФАП. Использование каскадного соединения нескольких фазовых систем является одним из возможных перспективных путей решения проблемы создания таких коммуникационных систем с использованием хаотической несущей [40], [41]. Кроме того, даже в простейшем случае двух связан- ных фазовых систем их коллективное поведение является более сложным и разнообразным по сравнению с индивидуальным поведением парциальных систем [42]- [46]. Следует отметить также, что при получения хаотических колебаний в связанных системах ФАП можно уменьшить число параметров, связанных с инерционностью фильтров, поскольку увеличение количества колец ФАП позволяет уменьшить сложность фильтров.
Таким образом, изучение динамических режимов в каскадных ансамблях фазовых систем является актуальной и важной задачей радиофизики, имеющей как фундаментальный, так и прикладной интерес.
На основании выше изложенного целью диссертационной работы является исследование динамических режимов ансамблей каскадно связанных генераторов, зависимости свойств режимов от параметров объединяемых систем, а также типа и силы, организуемых между ними связей. Исследования проводятся исходя из задач управления динамическими свойствами таких ансамблей.
Для достижения указанной цели необходимо решить следующие основные задачи:
Исследовать динамику малого ансамбля - трех локально связанных фазовых систем с каскадным типом соединения. Установить зависимость динамических режимов работы генераторов ансамбля от параметров объединяемых систем.
Исследовать зависимость динамического поведения ансамблей фазовых систем от параметров и структуры организуемых дополнительных связей.
Рассмотреть изменения, вносимые в параметрический портрет системы при увеличении числа элементов ансамбля. Провести сравнительный анализ поведения ансамблей различной длины, на основании которого сформулировать основные особенности коллективной динамики ансамблей при наличии между элементами различных типов связей.
Провести анализ процессов возбуждения в генераторах ансамблей каскадно связанных систем ФАП сложных (хаотических) автоколебательных режимов. Исследовать возможности управления и выявить степень влия- ния на эти режимы параметров дополнительных связей и цепей управления.
Научная новизна результатов работы
Впервые проведено комплексное исследование динамических режимов малых ансамблей связанных фазовых систем с каскадным типом соединения.
Исследована динамика ансамблей фазовых систем вне областей устойчивости синхронных режимов. Изучено влияние начальных частотных расстроек, параметров цепей управления и дополнительных связей на синхронизующие и автоколебательные свойства генераторов.
Обнаружена возможность генерации хаотических модулированных колебаний (ХМК) в ансамбле трех фазовых систем, обладающих простой (нехаотической) индивидуальной динамикой при наличии между ними дополнительных связей.
Исследованы сценарии возникновения как регулярных, так и хаотических колебаний в генераторах с фазовым управлением, объединенных в ансамбль. Обнаружен способ возбуждения хаотических колебаний в отдельных генераторах ансамбля за счет организации дополнительной связи.
Проведен анализ областей генерации ХМК в пространстве параметров исследуемых моделей. Установлено влияние параметров связей и цепей управления на однородность режимов генерации ХМК и возможность управления свойствами возбуждаемых хаотических колебаний.
Обнаружен эффект подавления колебаний вверх по цепочке в большом ансамбле однородных каскадно-связанных фазовых систем с дополнительными связями "назад".
На защиту выносятся следующие положения:
Каскадное соединение фазовых систем (ФАП) можно рассматривать как эффективный генератор хаотически модулированных колебаний. Генерация хаотических колебаний может быть получена при объединении в каскад трех фазовых систем с малоинерционными цепями управления и организации между ними дополнительных связей.
Параметры дополнительных связей обеспечивают возможность целенаправленно синтезировать новые режимы работы управляемых генераторов, объединенных в ансамбль. Изменения силы и структуры связей между подсистемами позволяют эффективно воздействовать на свойства возбуждаемых колебаний в системах каскадно-связанных колец ФАП.
В части элементов каскадной цепочки, состоящей из большего числа фазовых систем, находящихся в режиме биений, при организации между ними дополнительных межкаскадных связей |,назад,,по цепочке наблюдается подавление колебаний.
Теоретическая и практическая значимость В работе исследованы динамические режимы, наблюдающиеся в малых ансамблях систем фазовой автоподстройки частоты с каскадным типом соединения.
Результаты исследования (оценки областей существования различных динамических режимов и сведения о структуре этих областей, условиях реализации динамических режимов и их бифуркациях) представляют интерес для развития теории коллективной динамики систем. Результаты работы, связанные с анализом сложных режимов поведения фазовых систем имеют большое значение при решении задач создания на базе исследуемых систем устройств с новыми функциональными возможностями. В частности, полученные в диссертации результаты по вопросу генерации хаотически модулированных колебаний, а также анализ структуры областей существования хаотических колебаний в пространстве параметров могут служить рекомендацией для построения на практике новых систем передачи информации с использованием хаотической несущей.
Работа проводилась в рамках исследований, проводимых при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (гранты № 99-02-17742, № 00-15-96582, № 02-02-17573, № 03-02-06369).
Достоверность и обоснованность научных положений и выводов, полученных в диссертации, обеспечивается строгостью применяемого аппарата качественной теории колебаний и волн. Достоверность результатов работы подтверждается соответствием теоретических результатов с результатами численного моделирования, а также согласованием некоторых положений и выводов с результатами других авторов.
Публикации и апробация результатов Диссертация написана по материалам работ, которые велись на кафедре теории колебаний и автоматического регулирования радиофизического факультета Нижегородского государственного университета им. Н.И.Лобачевского.
Основные результаты диссертации изложены в статьях [65]- [67] и докладывались на следующих семинарах, конференциях и школах [68]- [80]: на 3-й, 4-й, 5-й и 6-й научных конференциях по радиофизике (ННГУ, 1999, 2000, 2001, 2002, 2003), на 5-й и 6-й Всероссийской конференциях "Нелинейные колебания механических систем "(Нижний Новгород, 1999, 2001), на школе-семинаре "Нелинейная динамика электронных систем"(Ярославль, 2000), на конференции "Нелинейные дни в Саратове "(Саратов, 1999), на 7-й и 8-й сессиях молодых ученных (Нижний Новгород, 2002, 2003), на на 11-й и 12-й школах по нелинейным волнам (Нижний Новгород, 2002, 2004), на международной конференции, посвященной 100-летию А.А.Андронова "Успехи нелинейной науки" {Нижний Новгород, 2001), на 58-й сессии РН-ТОРЭС им. А.С.Попова (Москва, 2003), на Всероссийской научной конференции "Сверхширокополосные сигналы в радиолокации, связи и акустике" (Муром, 2003), на международном симпозиуме "Topical problem of nonlinear wave physics" (Нижний Новгород, 2003).
Личный вклад автора Диссертанту принадлежит участие в постановке задачи, непосредственное проведение теоретических и компьютерных исследований и интерпретация результатов.
Содержание работы
Во введении дается общая характеристика работы, обсуждается актуальность темы диссертации, приводится краткий обзор литературы по данной тематике, определяются цели исследования, ставятся основные задачи, формулируются основные положения, выносимые на защиту.
В первой главе рассматриваются режимы динамического поведения трех каскадно-связанных генераторов с фазовым управлением. Приводится вывод математической модели рассматриваемого ансамбля. Устанавливается соответствие между аттракторами математической модели ансамб- ля и режимами поведения управляемых генераторов. Проанализированы сценарии возникновения колебательных режимов различной сложности.
Во второй главе проводится детальное исследование эволюции динамических режимов модели трех каскадно-связанных ФАП с малоинерци-оиными цепями управления в пространстве параметров. Изучено влияние параметров связей и начальной частотной расстройки на синхронные и квазисинхронные режимы. Рассмотрено поведение ансамбля при введении параметров инерционностей цепей управления. Исследованы области генерации хаотически модулированных колебаний (ХМК). Проведен анализ свойств ХМК в зависимости от параметров инерционностей цепей управления и дополнительных связей. Показано, что свойствами генерируемых колебаний достаточно эффективно можно управлять с помощью малых изменений параметров связей.
В третьей главе рассматриваются изменения в поведении локально-связанных фазовых систем при увеличении числа элементов, составляющих ансамбль. Особенности динамического поведения изучаются на примере ансамблей, состоящих из четырех и пяти локально связанных идентичных систем ФАП с малоинерционными цепями управления.Прослежена эволюция областей существования синхронных режимов при изменении параметров связей, обнаружены области отсутствия синхронных режимов, изучены сценарии нарушения режима синхроннизации при варьировании параметров системы. Установлена и объяснена достаточно сложная структура областей существования квазисинхронных режимов, в том числе и хаотических. Проведен сравнительный анализ, полученных параметрических портретов, который позволил выявить явления, связанные с увеличением числа звеньев и сформулировать ряд общих свойств коллективной динамики таких ансамблей.
В четвертой главе рассматривается динамика ансамблей в случае случае организации между элементами нелокальных связей различных типов. Изучение особенностей коллективного поведения проводится на примере малых ансамблей и цепочек, состоящих из большего числа связанных фазовых систем с малоинерционными цепями управления. Для малых ансамблей в пространстве параметров выделены области с синхронным и квазисинхронным поведением для определенных типов связей и длины цепочки. Проанализированы особенности динамического поведения генераторов ансамблей в каждом случае (число возможных синхронных режимов, наличие глобальных и частичных квазисинхронных режимов, явление мультистабильности, сценариев возникновения сложных движений). Для случая длинных цепочек изучается вопрос образования структур из элементов, функционирующих в различных режимах. Рассматривается зависимость эволюции образующихся структур от силы связи, для различных значений начальной частотной расстройки. В области больших частотных расстроек обнаружен эффект подавления колебаний в каскадной системе с дополнительными связями "назад"вверх по цепочке.
В заключении сформулированы основные результаты работы.
Сценарии перехода к хаотическим колебаниям
Представление о размере и взаимном расположении областей Ci, С4, Cg и Су существования синхронных режимов II,J ,IQ И /g в различных сечениях по параметру 7 дает рис. 1.5. Штриховой линией выделена область существования состояний равновесия Со- Линии Лі,Л-2»Лз,Л4) отвечающие смене устойчивости состояний равновесия в результате бифуркации Андронова-Хопфа, выделяют в Со области Ci, С4, CQ И Су, где устойчивы состояния равновесия OI,OA, OQ и Оу соответственно. Глобальные синхронные режимы Д,/з,/б и 8 определяемые устойчивыми состояниями равновесия 0\,OZ-,OQ и Og, различаются ошибками синхронизации, причем не обязательно всех трех генераторов.
Из рис. 1.5 видно, что введение дополнительных связей может привести к одновременному существованию двух синхронных режимов (в областях Сі_4—Сі П С4 и Сі_7=Сі Л Су). При этом, если сравнить координаты состояний равновесия Сі и Од, Oi и О7, то можно заключить, что в областях их пересечения система демонстрирует бистабильное поведение первых двух генераторов в области Ci_7 и вторых двух генераторов в области Ci_4- Каждый из генераторов каскадной системы может работать в двух различных синхронных режимах, различающихся ошибками слежения. С помощью параметров дополнительных связей любой генератор может быть переведен в один из этих режимов. Так для первого генератора это можно сделать выбрав параметры либо в областях Сі (Сі), либо С7(Се), для второго - Сі(Се) и С7(С4), а для третьего - Сі(С7) и С4(С6). Кроме того, существуют области параметров в которых неустойчивы все состояния равновесия, т.е. синхронный режим невозможен (при значениях «2 из диапазонов hi K2 min[/i2, Л3] и max [Лі, U4] 2 2) Частичным режимам синхронизации КФАП в фазовых пространствах отвечают либо предельные циклы, либо устойчивые инвариантные многообразия, которые могут быть как регулярными, так и хаотическими. Характерной особенностью аттракторов, отвечающих за режимы частичной синхронизации КФАП, является то, что хотя бы одна из двумерных проекций этих аттракторов на плоскость ((#, pj) представляет собой отрезок прямой длины І 2-7Г, параллельный оси абсцисс или оси ординат,где и могут принимать значения от 1 до 3. Примеры регулярных аттракторов, отвечающих за частичную синхронизацию в КФАП, представлены на рис. 1.6 Здесь рис. 1.6а отвечают установлению синхронного режима в первом и втором генераторах, а рис. 1.66,в,г - только в первом генераторе.
Режимы частичной синхронизации в КФАП могут реализовываться при полном отсутствии дополнительных связей Кі=к,2=0 либо при отсутствии одной из дополнительных связей «1=0, «2 ф 0 ИЛИ К\ ф 0, «2=0. В случае «і = «2 = 0 ПРИ І7і,2І 1 І7з 1 существует режим синхронизации первого и второго генераторов, режим синхронизации только первого генератора наблюдается при 7і 1,І72І 1- В случае к± = 0,«2 Ф О режим частичной синхронизации КФАП возможен только при синхронизации первого генератора, он реализуется для І7і 1. При к,\ ф 0, к2 = 0 синхронизоваться под опорный сигнал могут первый и второй генераторы одновременно, условия такой синхронизации совпадают с условиями глобальной синхронизации ансамбля из двух связанных генераторов [42]-[43]. Анализ глобальных синхронных режимов КФАП с инерционными цепями управления, основанный на анализе состояний равновесия модели (1.23), показывает, что даже незначительное увеличение параметров инерционностей ]_,Є2)єз влечет существенное уменьшение областей глобальной синхронизации КФАП (рис.1.7). При этом область существования состояний равновесия остается такой как и в случае КФАП с малоинерционными цепями управления. Наиболее сильно трансформируются области С$, Се и Су и эти изменения приводят к тому, что вырождаются области бистабильного синхронного поведения Сі_4 и Ci_r- Анализ аттракторов модели (1.23), отвечающих частичной синхронизации КФАП с фильтрами первого порядка, показывает, что введение инерционностей в локальную цепь управления ФАП, приводит к новым режимам ансамбля. Например, возможен режим, при котором один генератор находится в синхронном режиме, в то время как два других генерируют хаотические колебания.
При объединении трех генераторов в ансамбль их динамика претерпевает существенные изменения. Теперь, наряду с синхронными и регулярными режимами биений, генераторы способны демонстрировать сложные автоколебательные режимы, вплоть до хаотических. Результатом объединения генераторов является возникновение нового (несвойственного парциальной ФАП с фильтром первого порядка) квазисинхронного режима, при котором на выходе генератора имеют место колебания с угловой модуляцией со средней частотой, стабилизированной по опорной частоте. При этом модуляция колебаний может быть как регулярной, так и хаотической.
Также как синхронные режимы, квазисинхронные режимы могут ре-ализовываться как в отдельных, так и во всех генераторах ансамбля. В фазовых пространствах глобальному регулярному квазисипхронпому режиму КФАП, при котором на выходе всех генераторов ансамбля имеют место периодически модулированные колебания, отвечают регулярные колебательные аттракторы (ограниченные по фазовым координатам ъ 2 и (рз). Аналогично [61], аттракторы динамических систем с цилиндрическим (тороидальным) фазовым пространством, которые не охватывают фазовый цилиндр ни по одной из циклических фазовых координат, будем называть колебательными аттракторами. Аттракторы, которые охватывают фазовый цилиндр по одной или нескольким (не по всем) циклическим фазовым координатам, - колебательно-вращательными а, аттракторы, охватывающие фазовый цилиндр по всем циклическим координатам - вращательными.
Анализ влияния связей и параметров цепей управления на динамику управляемых генераторов
Однако введение сильной связи в рассматриваемом случае приводит к переходу первого генератора на режим одночастотных квазисинхронных колебаний, а второго и третьего генераторов на одночастотный режим биений. Фазовые проекции предельного цикла, отвечающего режиму регулярной частичной казисинхронизации КФАП типа [0,1,1], приведена на рис.1.14г. Этот режим остается неизменным до значений К2 1.13114, когда предельный цикл [0,1,1] проходит через бифуркацию удвоения периода. При дальнейшем увеличении параметра к бифуркации удвоения периода цикла повторяются и приводят к рождению хаотического аттрактора с индексом вращения [0,1,1]. На рис.1.14ж приведены фазовые проекции, спектр и автокорреляционная функция аттрактора с максимальным ляпу-новским показателем Атах=0.127, отвечающего за генерацию хаотически модулированных колебаний на выходе только первого генератора ансамбля.
Продолжение увеличения параметра т приводит к регуляризации колебаний управляемых генераторов в интервалах (1.37,1.57), (1.585,1.64) и (1.7,2.33167). При значениях параметра к,і из этих интервалов в фазовом пространстве VQ существует предельный цикл типа [0,1,1], а в КФАП реализуется режим частичной регулярной квазисинхронизации первого генератора. Выход из последнего интервала через границу к2=2-33167 сопровождается исчезновением предельного цикла [0,1,1] в петлю сепаратрис седла, и выходом системы (1.23) на колебательный предельный цикл. В КФАП устанавливается глобальный одночастотный квазисинхронный режим, который при дальнейшем увеличении К2 переходит в глобальный режим синхронизации.
В процессе исследований установлено, что связи в КФАП могут быть организованы таким образом, что система КФАП, состоящая из трех генераторов, сохраняет бифуркационные свойства двух последовательно связанных генераторов. Например, из [62] известно, что в модели ансамбля из двух ФАП при изменении силы дополнительной связи к от 1.38 до 1.4 реализуется механизм перехода к хаотическим колебаниям через перемежаемость первого рода [63]- [64]. Используя этот каскад из двух элементов в качестве второго и третьего генераторов КФАП со связью «2 — 1-38, задав параметры первого генератора в области синхронизации и силу связи кі = 0,2, получаем систему трех связанных ФАП, функционирующую в частичном квазисинхронном режиме. В фазовом пространстве системы (1.23) этому режиму соответствует устойчивый предельный цикл с индексом вращения [0,1,0] (рис.1.15а). Увеличение «2 в рассматриваемой системе КФАП приводит к исчезновению предельного цикла в результате касательной бифуркации и рождению хаотического аттрактора типа [0,1,0]. Развитие во времени фазовых переменных хаотического аттрактора вблизи бифуркационного значения параметра, содержит длинные ламинарные области, прерывающиеся короткими хаотическими всплесками, что характерно для аттракторов, возникающих через перемежаемость. Дальнейшее увеличение значений параметра к2 приводит к укорачиванию ламинарных участков и увеличению хаотических, при кч = 1.416 поведение фазовых переменных становится полностью хаотическим (рис. 1.156-д).
Если, использовать рассмотренный выше двумерный каскад в качестве первых двух генераторов ансамбля, а в качестве третьего генератора применить генератор, функционирующий в режиме биений, то подбором значений параметров 73 и г можно добиться генерации регулярных двух-частотных колебаний на выходе третьего генератора. Теперь увеличение связи к,\ (связи, которая в двухкаскадной системе приводила к касательной бифуркации) будет определять слияние и исчезновение устойчивого и неустойчивого инвариантных торов, т.е. переход к хаотическим колебаниям типа "тор-хаос". Здесь при исчезновении инвариантных торов в фазовом пространстве образуется хаотический аттрактор с индексом вращения [1,0,1]. Введение слабой связи ге2 качественно не меняет наблюдаемое бифуркационное явление. Рис Д. 16 иллюстрирует описанную выше бифуркацию разрушения инвариантного тора с образованием хаотического аттрактора.
Переход к хаотическим колебания через перемежаемость второго рода система (1.23) демонстрирует при 7і=7г—7з—0-5, Єі=2=Єз=1і «2=1-8 и п\ Є (—0.9185, —0.9186). При значениях к\— — 0.9185 в фазовом пространстве VQ существует устойчивый двукратный предельный цикл с мультипликаторами fj,lf2 = 0.0000005 ± г0.000004, /І3 = 0.000004, д4,5 = 0.1075 ± Ш.9904 (рис.1.17а). Это предельный цикл типа устойчивый фокус и фазовые траектории асимптотически приближаются к нему, порождая в сечении Пуанкаре скручивающиеся спирали. Уменьшение значений параметра к\ до -0.9186 приводит к тому, что предельный цикл теряет устойчивость в результате бифуркации Андронова-Хопфа (мультипликаторы М4,5 = 0.1147 ± г0.9947 оказываются за пределами единичного круга). Теперь фазовые траектории уходят от цикла, порождая в сечении Пуанкаре раскручивающиеся спирали. В результате бифуркации цикла траектории из его окрестности уходят, однако через сравнительно небольшое время они вновь возвращаются в покинутую окрестность неустойчивого предельного цикла, и далее процесс повторяется. В фазовом пространстве рождается хаотический аттрактор с характерной перемежаемостью -длительное пребывание фазовой траектории в окрестности неустойчивого предельного цикла сопровождается короткими хаотическими всплесками. На рис.1.17б-в представлены проекции фазового портрета и отображения Пуанкаре, спектр и автокорреляционная функция родившегося хаотического аттрактора. Свойства перемежаемости этого аттрактора можно наглядно проиллюстрировать, если воспользоваться точечным отображением Пуанкаре.
Особенности динамики ансамблей связанных систем ФАП с локальными связями
Границей области Gon, расположенной в диапазоне отрицательных связей «2 служит кривая седло-узловой бифуркации предельного цикла. При пересечении этой кривой в КФАП устанавливается либо режим глобальной синхронизации Д, либо глобальный режим биений (при пересечении участков лежащих вне области Со) Область t?on, существующая при сильной положительной связи / ограничена бифуркационной кривой двойных предельных циклов и кривой, соответствующей образованию петли сепаратрис седла или седло-фокуса Os, охватывающей фазовый тор VQ ПО координатам р2 и (/?3- При выходе из этой области в зависимости от направления изменения параметров связей к,1 и кч в системе реализуется либо глобальный синхронизации (области Сі или Gj), либо глобальный квазисинхронный режим (область D ), либо режимы биений, определяемые вращательными предельными циклами с различными набегами фазы.
При к,2 1 область С?оп пересекается с областью GW, ограниченной бифуркационными кривыми 1 и І?. В этой области режим, в котором функционирует КФАП отвечает квазисинхронной работе первых двух генераторов и асинхронной работе третьего относительно опорного сигнала.
В окрестности области пересечения Gon и C?ooi существует область с хаотическим аттрактором 5Лоп(рис.2.5в), возникающим в результате объединения аттракторов различных типов, приводящем к появлению аттрактора более сложной структуры (о чем свидетельствует размерность получившегося аттрактора). Область с хаотическим аттрактором на рисунке не приведена из-за малых размеров.
В области Gioo} расположенной между кривыми 1% и Ід в фазовом пространстве системы существует устойчивый колебательно-вращательный предельный цикл Lioo- В случае движения по предельному циклу 1/юо, охватывающему фазовый тор V$ в направлении ірі первый генератор находится в режиме биений, а второй и третий генераторы в квазисинхронном режиме относительно опорного сигнала. При пересечении кривой g этот цикл разрушается в результате седло-узловой бифуркации. При пересечении кривой 1 цикл Lioo проходит через серию бифуркаций удвоения периода, в результате чего возникает колебательно-вращательный хаотический аттрактор ЗАюо (рис. 2.56), который существует в области HIQQ.
Так как аттракторы, отвечающие установлению квазисинхронного режима в отдельных генераторах, могут реализовываться вне области Со, то в пространстве параметров области существования режимов частичной квазисинхронизации существенно больше областей глобальной квазисинхронизации. Этот факт наглядно подтверждает рис.2.2, где области Gon существенно больше областей D\, D4, Z?6, D-j. Сравнительный анализ представленных разбиений позволяет проследить эволюцию параметрического портрета системы (1.24) в плоскости параметров («ьм) при изменении параметра 7- Проведенный анализ показывает, что увеличение параметра 7 на интервале 0 у 1 приводит к уменьшению размеров областей режимов глобальной синхронизации С и CQ, областей биста-бильных синхронных режимов; увеличению областей существования частичной квазисинхронизации (область (?ои), а также появлению новых частичных квазисинхронных режимов - области С?юо (рис.2.16) и f?ooi (рис.2.2). Отметим, что с увеличением 7 (7 0.3) наблюдается переход от регулярных квазисинхронных режимов к хаотическим. В качестве иллюстрации данного факта на рис. 2.5 приведены изображения хаотических аттракторов, демонстрируемых системой на уровне 7=0.7 и для каждого из них приведены значения максимального ляпуновского показателя и размерности аттракторов, вычисленные по формуле Каплана-Йорка в соответствии с [54].
Для более полного понимания того, как меняется поведение КФАП при варьировании параметра 7э на рис.2.6 представлена диаграмма динамических режимов системы (1.24) при равенстве начальных частотных расстроек 7i = 72 — 7з — 7 и обратных связей к\ — «2 — « в плоскости параметров (к, 7) При данных упрощающих условиях система (1.24) инвариантна относительно замены (7, к, pi, Р2, з) на (—7) к- _{Ръ f2, —фг)- поэтому достаточно рассмотреть 7 0.
Модель (1.24) в рассматриваемом случае может иметь два синхронных режима: Д, определяемый состоянием равновесия ОІ и режим /4; определяемый состоянием равновесия 0±. Эти режимы отличаются ошибками синхронизации второго и третьего генераторов.
На плоскости параметров (к1 -у) (рис.2.6) состояние равновесия 0\ существует и является устойчивым при значениях параметров из области С\ = {0 7 mrn(7+ 7fti)h а состояние равновесия ОА - из области С± = {min(0,7м) 7 7+}- Здесь пунктирная линия 7+(к) — min{l, (1 — к + к2) г} ограничивает область существования состояний равновесия модели (1.24), а кривые 7=7fti(K) (линия 1) и 7=7/12( ) (линия 2) соответствуют потере устойчивости 0\ и 0± через бифуркацию Андронова-Хопфа. Между кривыми 7ftі и 7h2 синхронные режимы отсутствуют.
Точка а на кривой 7м разделяет ее на опасный и безопасный участки. При выходе из области С\ через участок кривой 7fti расположенный ниже точки а, происходит мягкая потеря устойчивости состоянием равновесия 0\, которая сопровождается рождением устойчивого колебательного предельного цикла LQ\ малой амплитуды. При увеличении параметра к (7) происходит рост амплитуды предельного цикла, а когда параметры системы достигают кривой 7—7сі(к) (линия 3) цикл LQI исчезает, сливаясь с седловым.
Структура пространства параметров в случае нелокальной связи типа
Карты динамических режимов, полученные в результате анализа процессов возбуждения ХМК в первом генераторе за счет введения дополнительного сигнала с выхода фазового детектора ФАГІ2 и ФАП3 представлены соответственно на рис.2.15(a) и 2.15(6).
В рассматриваемых случаях эффективные области генерации ХМК остаются практически одинаковыми (Щк — 0.739 для к = 0.05 и Щк = 0.755 для кп = 0.05), и не зависят от того, сигнал с какой системы ФАП поступает в цепь управления первого генератора. При этом, хотя количественные оценки областей генерации ХМК для первого генератора имеют достаточно большие значения, построенные карты динамических режимов (рис.2.15) свидетельствуют, что структура этих областей неоднородна и надежную генерацию хаотических колебаний можно ожидать лишь в области больших значений параметра инерционности.
В настоящей главе проведено исследование эволюции динамических режимов в модели трех каскадно связанных ФАП в пространстве параметров. В результате проведенного исследования построены параметрические портреты системы в плоскости различных параметров. Анализ полученных портретов системы позволил оценить области существования различных режимов, а также установить влияние параметров системы на режимы динамического поведения генераторов. Прослежена эволюция областей существования динамических режимов при изменении параметров связей и начальных частотных расстроек. Обнаружено, что каскадная система с малоинерционными цепями управления при введении дополнительных связей может иметь четыре различных синхронных режима, а при определенных соотношениях параметров связей допускает одновременное существование двух синхронных режимов. Также обнаружены области отсутствия синхронных режимов и изучены сценарии нарушения режимов синхронизации при варьировании параметров системы.
Установлено, что генераторы даже при отсутствии в цепях управления инерционности способны генерировать колебания с регулярной и хаотической модуляцией. Установлена и объяснена достаточно сложная структура областей существования квазисинхронных режимов, в том числе и хаотических. Проведенное исследование показало, что глобальные квазисинхронные режимы могут появляться при смене устойчивости синхронных режимов, а также из петель сепаратрис седел, не охватывающих фазовый тор. Области их существования не выходят за пределы области существования состояний равновесия. Частичные квазисинхронные режимы возникают в результате бифуркаций седло-узловых предельных циклов и петель сепаратрис, охватывающих фазовый тор по одной или двум координатам. Такие режимы могут существовать и вне области существования состояний равновесия, поэтому области их существования больше областей существования глобальных квазисинхронных режимов.
Выяснено, что при малых значениях частотной расстройки в однородной цепочке КФАГТ, наряду с синхронными режимами, существуют регулярные квазисинхронные режимы: глобальные и частичные с индексом квазисинхронизма [0,1,1]. Увеличение начальной частотной расстройки приводит к появлению новых режимов частичной квазисинхронизации с индексами квазисинронизма [0,0,1] и [1,0,0]; к хаотизации различных квазисинхронных режимов.
Введение инерционности в цепи управления приводит к появлению новых режимов (двухчастотные колебания), увеличению областей существования квазисинхронных режимов различных типов (при этом усложняется характер границ областей их существования) и их пересечению, что ведет к яркому проявлению гистерезисных явлений и свойств мультиста-бильности. При этом уменьшаются области синхронизации, исчезают области существования бистабильных синхронных режимов.
Выделены и изучены области параметров, при которых возможно использование системы в качестве генератора хаотически модулированных колебаний. Проведен анализ внутренней структуры областей генерации ХМК в плоскостях различных параметров. Разработан алгоритм построения двух-параметрических карт динамических режимов связанных фазовых систем. Алгоритм основан на построении и анализе отображения Пуанкаре, порождаемого фазовыми траекториями математических моделей ансамблей при пересечении глобальной секущей и вычислении показателей Ляпунова. Построены и проанализированы многочисленные карты динамических режимов ансамблей, состоящих из трех каскадно связанных фазовых систем, обладающих простой индивидуальной динамикой. Анализ карт динамических режимов выявил существенную неоднородность областей генерации ХМК в сечениях пространства параметров плоскостями, содержащими параметры связей - области состоят из нескольких подобластей, отвечающих генерации хаотических колебаний различных типов, а также содержат достаточно большие "окна"с регулярной динамикой. Сечения пространства параметров плоскостями, не содержащими параметры связей, демонстрируют достаточно высокую однородность режимов генерации ХМК определенного типа. Проведен анализ свойств ХМК в зависимости от параметров фазовых систем и параметров связей. Показано, что свойствами генерируемых колебаний достаточно эффективно можно управлять с помощью малых изменений параметров связей.
