Введение к работе
Актуальность темы работы
Данная работа посвящена исследованию различных режимов динамики смешанных систем, представляющих собой неоднородные ансамбли связанных динамических элементов, описываемых нелинейными обыкновенными дифференциальными уравнениями. Здесь рассматриваются три принципиально различных типа динамических элементов: возбудимые, автоколебательные и пассивные. Будучи связанными, эти элементы формируют смешанные ансамбли. Известен широкий спектр динамических режимов и эффектов, которые могут проявляться в подобных системах: структурообразо-вание, автоволны, синхронизация колебаний, хаос. В данной работе основное внимание уделяется эффектам, возникающим в результате взаимодействия элементов различного типа внутри ансамбля. Одним из наиболее важных исследуемых в работе процессов является синхронизация элементов в ансамбле. Синхронизация, как известно, очень широко наблюдается в природе и технике, обуславливая высокий интерес исследователей к данному явлению. Так, наиболее детальный обзор теоретических вопросов связанных с синхронизацией дан в монографии А. Пиковского, М. Розенблюма и Ю. Куртса1. В ней рассматриваются синхронизация периодических колебаний внешней силой, синхронизация двух и многих осцилляторов, синхронизация хаотических систем и др. Эта теория была положена в основу решения многих прикладных задач радиофизики, в частности, задач когерентного приема в системах связи, построения радиолокационных и навигационных систем, исследования динамики ансамблей сверхпроводящих джозефсоновских контактов и т.д. В другой монографии2 представлены всевозможные аспекты синхронизации в больших ансамблях конкретных динамических систем. Синхронизация мо-
'Пиковский А., Розенблюм М., Курте Ю., Синхронизация: Фундаментальное нелинейное явление //Техносфера, 2003, 496стр. ISBN 5-94836-020-2
2G. V. Osipov, J. Kurths, Ch. Zhou, Synchronization in Oscillatory Networks //Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York, 2007.ISBN 978-3-540-71268-8
жет наблюдаться в сетях связанных осцилляторов с различными топологиями связей. Например, самой известной работой, посвященной синхронизации в системе глобально связанных фазовых осцилляторов, является книга Ку-рамото3. В ней вводится понятие среднего поля ансамбля, служащего мерой когерентности его динамики. Позднее для подобного рода ансамблей было показано, что их высокоразмерная динамика фактически может быть описана небольшим числом переменных4. В случае же неидентичных фазовых осцилляторов подобный результат был получен в серии работ Отта и Антон-сена для некоторых специальных видов распределений собственных частот осцилляторов5.
Широкого внимания исследователей также заслужила синхронизация хаотических систем. Среди различных форм такой синхронизации рассматривают полную синхронизацию, фазовую синхронизацию, обобщенную синхронизацию. Важность задач, связанных с хаотической синхронизацией, обусловлена перспективными вариантами приложения изучаемых эффектов, например, для передачи информации.
Наряду с вышесказанным, не менее важным является исследование синхронизации в неоднородных распределенных осцилляторных системах с диффузионными локальными связями6. Подобные системы широко распространены, например, в биологии7, химии8 и экологии9. Их примерами служат системы с турбулентностью, ансамбли многомодовых лазеров, джозефсонов-
3Y. Kuramoto, Chemical Oscillations, Waves and Turbulence.// Springer, Berlin,1984, ISBN-10: 9780486428819
4Sh.Watanabe, S.H. Strogatz, Constants of motion for superconducting Josephson arrays//Physica D: Nonlinear Phenomena, 1994, vol.74, pp. 197-253.
5E. Ott, T.M. Antonsen, Low dimensional behavior of large systems of globally coupled oscillators //Chaos, 2008, vol.18, p.037113.
6S.C. Manrubia, A.S. Mikhailov, D.H. Zannette, Emergence of dynamical order: synchronization phenomena in complex systems// World Scientific Publishing, Singapore, 2004.
7A.T. Winfree, The Geometry of Biological Time//Springer, New York, 1980.
8F. Jiang, A. Munkholm, R.-V. Wang, S. K. Streiffer, Carol Thompson, P.H. Puoss, K. Latifi, K.R. Elder, and G.B. Stephenson, Spontaneous Oscillations and Waves during Chemical Vapor Deposition of InN.// Phys. Rev. Lett., 2008, vol.101, p.086102.
9B. Blasius, A.H., L. Stone, Complex dynamics and phase synchronization in spatially extended ecological systems// Nature, 1999, vol.399, pp.354-359.
ских контактов, микро- и наномеханических осцилляторов. Из-за наличия пространственной распределенности и неоднородности такие системы крайне тяжело поддаются аналитическому исследованию. Именно поэтому работы по данной тематике стали появляться относительно недавно, благодаря развитию вычислительной техники, и являются сейчас весьма актуальными. Так, Блазиус с соавторами исследовали пространственно-временную динамику фоточувствительной среды Белоусова-Жаботинского, состоящую из связанных осцилляторных элементов со случайно распределенными частотами10. На основе реального эксперимента и моделирования авторам удалось показать, что синхронизация в данной среде устанавливается в результате конкуренции нескольких источников, возникающих в следствие неидентичности индивидуальных частот элементов. В работе11 авторы изучали формирование паттернов в решетке неидентичных локально связанных фазовых осцилляторов. В данной системе установление синхронных режимов сопровождается возникновением концентрических волн. Причиной их появления исследователи называют «разрушение симметрии» функции взаимодействия, а также существенную неоднородность элементов решетки.
В то же время, в большинстве работ, опубликованных на данный момент и посвященных исследованию распределенных систем, изучаются преимущественно однородные ансамбли или ансамбли, где неоднородность представлена некоторой зависимостью (возможно случайной) какого-либо параметра системы от пространственной координаты12. Главной особенностью данной диссертационной работы является исследование неоднородных систем, состоящих из принципиально различных элементов, т.е. элементов с качественно неодинаковой динамикой. Так, в рамках данной работы рассматриваются ансамбли, состоящие из элементов трех основных типов: автоколебательных,
10O.U. Kheowan, Е. Mihaliuk, В. Blasius, I. Sendina-Nadal, К. Showalter, Wave Mediated Synchronization of Nonuniform Oscillatory Media// Phys. Rev. Lett., 2007, vol.98, p.074101.
nB. Blasius, R.Tonjes, Quasiregular Concentric Waves in Heterogeneous Lattices of Coupled Oscillators// Phys. Rev. Lett., 2005, vol.95, p.084101.
12T.W. Ко, G.B. Ermentrout, Bistability between sycnhrony and incoherence in limit-cycle oscillators with coupling inhomogeniety// Phys. Rev. E, 2008, vol.78, p.026210.
возбудимых и пассивных. Автоколебательные элементы, рассматриваемые в работе, имеют в фазовом пространстве единственный устойчивый предельный цикл и, таким образом, способны генерировать периодические колебания. Возбудимые элементы, напротив, имеют в своем фазовом пространстве устойчивое состояние равновесия и некоторое пороговое множество, которым могут быть, например, входящая сепаратриса седла или неустойчивая ветвь кривой медленных движений. Изображающая точка будет находится в окрестности устойчивого состояния равновесия неограниченно долго, если система изолирована. Однако, если в результате внешнего воздействия она будет выдвинута за границу по-рогового множества, то, прежде чем вернуться в состояние равновесия, она совершит некоторый обход в фазовом пространстве системы. Этот обход может быть достаточно большим, а система в таком случае называется возбудимой. Третий тип элементов, рассматриваемый в данной работе, - это пассивные системы. Такие системы также имеют единственное устойчивое состояние равновесия, однако, в отличие от возбудимых, не обладают пороговым множеством. Таким образом, будучи выведенными из состояния равновесия внешним стимулом, пассивные элементы не совершают обхода в фазовом пространстве, но сразу стремятся к исходному положению. Задачи, принимающие во внимание подобные смешанные ансамбли элементов различной природы, стали рассматриваться совсем недавно. Так в работе Дайдо13 был подробно исследован эффект, названный автором «переходом старения», который возникает в ансамбле глобально связанных осцилляторов Стюарта-Ландау. Эффект состоит в утрате некоторым числом осцилляторов возможности производить периодические колебания, что приводит к системе, состоящей из двух типов элементов: автоколебательных и возбудимых. Дальнейшее «старение» в данной системе может быть описано универсальной функцией масштабируемости. Пазо и Монтбрио продолжили исследования в данном направлении и изучил особенности динамики в
13Н. Daido, К. Nakanishi, Aging Transition and universal scaling in oscillator networks// Phys. Rev. Lett., 2004, vol.93, p.104101.
глобально связанном ансамбле автоколебательных и пассивных элементов, описывающих некоторые биологические системы14.
Заметим, что в отличие от этих работ, в задачах, решаемых в рамках данной диссертационной работы, связи между элементами являются локальными, что обуславливается исходными постановками задач и областью применения результатов. А именно, областью приложения изучаемых нами эффектов является динамика сердца на различных масштабах: органном, тканевом, клеточном. Сердечная мышца состоит из большого числа различных клеток. Основные клетки, осуществляющие сократительную активность и занимающие большую часть сердца, называются «миоцитами». Они являются возбудимыми и могут производить отклик на некоторый стимул, приходящий извне. Вторым типом клеток, крайне распространенным в сердце по численности, являются «фибробласты». Эти клетки пассивные и производить отклик на внешнюю стимуляцию не могут. Наконец, кроме миоцитоп и фибробластов, в сердце существует специальный тип клеток, которые могут генерировать периодические колебания и, таким образом, формировать ритм биения сердца. Они называются «пейсмейкерными». Все эти три типа клеток имеют определенную пространственную организацию в сердце и связаны друг с другом локальными диффузионными связями. Из-за наличия подобных связей, клетки сердца формируют, с точки зрения нелинейной динамики, распределенную систему неидентичных взаимодействующих элементов. В силу сложности динамики каждого из элементов системы, а также из-за пространственной распределенности и неоднородности, она может демонстрировать весьма богатый спектр динамических эффектов и режимов, исследование которых является целью данной работы. С точки зрения работы сердца, некоторые из исследуемых эффектов являются нормальными, т.е. соответствуют правильному режиму функционирования органа, другие, напротив, являются патологическими. Динамический подход к исследованию
14D. Pazo, Е. Montbrio, Universal behavior in populations composed of excitable and self-oscillatory elements// Phys. Rev. E, 2006, vol.73, p.055202(R).
этих режимов позволяет объяснить механизмы их формирования и предложить потенциальные способы управления ими, что является крайне актуальной задачей в современной кардиологии. Актуальность подобного рода исследований подтверждается также весьма большим числом публикаций по данной тематике в ведущих между-народных физических и биологических журналах.
Кроме синхронизации в данной диссертационной работе также изучаются и волновые эффекты, возникающие в смешанных средах. Всевозможные процессы, связанные с возникновением и распространением волновых структур, вызывают большой интерес среди исследователей в следствие своего широкого распространения в природе и технике . Несмотря на наличие обширных исследований волновых эффектов в однородных средах, решение подобных задач в неоднородных ансамблях связано с определенными трудностями, в частности, с невозможностью нахождения аналитических решений в подавляющем большинстве случаев. Как правило, основными подходами к решению данных задач являются эксперимент и численное моделирование. Так, например, на основе реального эксперимента Буб с соавторами исследовал процессы генерации спиральных волн в неоднородной возбудимой среде15. В то же время исследование влияния взаимодействия элементов различных типов на волновые процессы в распределенных смешанных ансамблях до сих пор не проводилось. Особенностью данной работы, является рассмотрение волн в таких в системах. В частности, отдельное внимание уделяется влиянию пассивных элементов на распространение волн в осцилляторных ансамблях, поскольку такая постановка задачи является релевантной по отношению к динамике сердечной мышцы и также является крайне важной и актуальной.
,5G. Bub, A. Shrier, L. Glass, Spiral Wave Generation in Heterogeneous Excitable Media// Phys. Rev. Lett., 2002, vol.88, p.058101.
Цель работы
Целью диссертационной работы является систематическое исследование коллективных динамических эффектов в смешанных ансамблях возбудимых, автоколебательных и пассивных элементов и их, возможного приложения к задачам кардиодинамики. Для достижения этой цели требуется решить следующие задачи:
1. Исследование коллективных динамических эффектов в смешанных ан
самблях с нестационарной связью:
-
Исследование синхронизации в ансамблях возбудимых и автоколебательных элементов;
-
Исследование эффекта "осцилляторной смерти "в ансамблях автоколебательных и пассивных элементов;
-
Исследование эффекта "спонтанной генерации колебаний"в ансамблях возбудимых и пассивных элементов;
2. Анализ влияния пассивных элементов на динамику осцилляторных ан
самблей:
-
Влияние пассивных элементов на порог и частоту синхронизации в ансамбле;
-
Влияние пассивных элементов на характеристики вол-новых процессов в ансамбле;
3. Исследование механизмов дистанционного взаимодействия осциллято
ров через пассивную среду:
-
Изучение свойств распространения сигналов по пассивной среде;
-
Изучение свойств синхронизации осцилляторов, взаимодействующих дистанционно через пассивную среду.
Научная новизна
Научная новизна работы заключается как в постановке ряда не решенных ранее задач, так и в полученных оригинальных результатах:
Впервые исследованы бифуркации (бифуркация петли сепаратрисы седло-узла, субкритическая бифуркация Андронова-Хопфа, седлоузло-вая бифуркация предельных циклов), приводящие к появлению (исчезновению) автоколебательного режима в модели Луо-Руди (1го и 2го типов);
Исследованы процессы формирования кластеров синхронизации и образования связанных с ними спиральных волн в неоднородных ансамблях, состоящих из автоколебательных и возбудимых элементов с меняющейся во времени связью;
Обнаружен и изучен эффект "осцилляторной смерти "в неоднородных ансамблях автоколебательных и пассивных элементов;
Обнаружен и исследован эффект генерации колебаний в изначально "ти-хой"среде, состоящей из возбудимых и пассивных элементов с растущей связью;
Впервые изучено влияние пассивных элементов на синхронизацию в осцилляторных ансамблях. Дано аналитическое описание наблюдаемых явлений с использованием модели фазового осциллятора и кусочно-линейного варианта модели ФитцХыо-Нагумо;
Проведено исследование влияния пассивных элементов на волновые характеристики синхронных режимов в осцилляторных ансамблях на моделях Луо-Руди;
Исследованы механизмы дистанционной синхронизации осцилляторных ансамблей, взаимодействующих через среду пассивных элементов. Предложена эквивалентная модель, описывающая дистанционную синхрони-
зацию в одномерном случае. Предложен универсальный каркас построения функций масштабирования основных характеристик дистанционной синхронизации: порога связи и частоты.
Достоверность результатов
При исследовании использовались качественные и асимптотические методы теории колебаний, а также численное моделирование с использованием параллельных вычислений на кластерных системах. Достоверность результатов подтверждается согласием результатов аналитических и численных расчетов, повторяемостью полученных результатов, а также непротиворечивостью с известными в литературе данными.
Научная и практическая значимость
Практическая значимость работы состоит в развитии теории синхронизации в ансамблях неоднородных систем. Рассматриваемые в работе системы являются классическими объектами нелинейной динамики. Поэтому полученные результаты дают ответы на ряд вопросов теории нелинейных динамических систем и теории синхронизации. Кроме того, представленные результаты могут иметь практическое применение в задачах, связанных с динамикой сердца и культур сердечных клеток. В частности, все полученные в работе результаты были получены как для феноменологических моделей Бонхоффера-Ван дер Поля, так и для моделей сердечных клеток Луо-Руди, Коля, Саксе. Более того, большинство исследованных задач имеют биологически релевантное обоснование, и результаты, полученные в ходе работы, хорошо согласуются с данными реальных биологических экспериментов.
Положения, выносимые на защиту
1. В неоднородных смешанных ансамблях возбудимых и автоколебательных элементов с растущей во времени связью режим глобальной синхро-
низации устанавливается через каскад режимов кластерной синхронизации. В пределах каждого из кластеров синхронный режим обуславливается наличием спиральной волны. Переход к глобальной синхронизации сопровождается переходом от спиральных волн к концентрической.
-
В смешанном ансамбле автоколебательных и пассивных элементов может наблюдаться эффект исчезновения колебаний, называемый «осцил-ляторной смертью». Зависимость числа «вымерших» элементов от параметра связи является экспоненциальной.
-
В ансамблях возбудимых и пассивных элементов возможна генерация колебаний при превышении параметром связи некоторого критического значения. Возникновение эффекта принципиально зависит от соотношения чисел возбудимых и пассивных элементов в системе, а также от координат состояния равновесия последних.
-
В зависимости от координат состояния равновесия пассивных элементов их влияние на неоднородный автоколебательный ансамбль может приводить как к уменьшению, так и к увеличению эффективной частотной расстройки между осцилляторами, и, таким образом, усиливать или ослаблять синхронизацию в системе.
-
Пассивные элементы с различными координатами состояний равновесия по-разному влияют на волновые свойства глобальных синхронных режимов в неоднородных осцилляторных ансамблях. А именно, может наблюдаться уменьшение или увеличение частоты синхронизации и скорости распространения волнового фронта в системе. Амплитуда волнового фронта уменьшается под воздействием пассивных элементов не зависимо от координат их состояния равновесия.
-
Основными механизмами, обуславливающими эффект дистанционной синхронизации осцилляторных ансамблей через среду пассивных элементов, являются: 1) уменьшение амплитуды сигнала, проходящего че-
рез пассивную среду, и 2) фильтрующее свойство пассивной среды, приводящее к квазигармоническому взаимодействию нелинейных осцилляторов. Данные механизмы приводят к 1) наличию порогового значения связи, при котором начинается взаимодействие осцилляторов; 2) синхронизации нелинейных систем на средней частоте; 3) существенному снижению частоты синхронизации с ростом связи.
Личное участие автора
Диссертант принимал непосредственное участие как в постановке задач, так и в аналитических расчетах, обсуждении и интерпретации результатов. Все программные комплексы, использованные для получения результатов моделирования, были созданы лично диссертантом. Результаты биологического эксперимента, приведенные в разделе 1.2 первой главы, получены группой исследователей Института физики Академии наук Тайваня во главе с проф. С.К. Чаном. Результаты моделирования раздела 1.4 первой главы получены совместно с Крюковым А.К. В совместных статьях [1,2,3,7] роль автора в выборе направлений исследований, постановке основных задач, получении и обсуждении результатов была ведущей; научные результаты в статьях [4,5,6] получены на паритетных началах с соавторами.
Апробация результатов и публикации
Основные результаты опубликованы в статьях в рецензируемых журналах: Chaos (2008, 2010), Phys. Rev. Е (2009,2010), Известия Вузов "Прикладная нелинейная динамика"(2010), в сборнике статей Springer Science!-Business Media B.V. (2009). Материалы диссертации были представлены и опубликованы в трудах конференций: XI науч-ной конференции по радиофизике ИНГУ, 2007; седьмой международной конференции семинара "Высокопроизводительные вычисления на кластерных системах 2007; International symposium on synchronization in complex networks SynCoNet, 2007, Leuven, Belgium; Ито-
говая научная конференция ВМК и Мехмата, 2007; 3rd International IEEE Scientific Conference on Physics and control, September 3rd-7th 2007 at the University of Potsdam, Germany, 2007; "Высокопроизводительные вычисления в Нижегородском Государственном Университете 2008; 17th International Workshop on Nonlinear Dynamics of Electronic Systems 2009, Rapperswill, Switzerland; International Symposium on "Complex Dynamical Systems and Applications Digha, India, December 4-6, 2009; конференции молодых ученых «Фундаментальные и прикладные задачи нелинейной физики»,2008; конференции молодых ученых «Фундаментальные и прикладные задачи нелинейной физики»,2010; 458th WE-Heraeus-Seminar "SYNCLINE 2010: Synchronization in Complex Networks 2010г. Материалы диссертации обсуждались на научных семинарах кафедры теории управления и динамики машин ВМК ННГУ, а также Потсдамского Института физики (Потсдам, Германия), Католического Университета Левена (Левен, Бельгия), Потсдамского Института Исследования Климата (Потсдам, Германия).
Работа выполнена при поддержке Федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России на 2009- 2013гг.» (контракты MI2018, П15, П2308, 2.740.11.5138, П942, 02.740.11.5188), при поддержке РФФИ (гранты 08-02-92004, 08-02-970049, 10-02-00940)
По теме диссертации опубликовано 18 научных работ, в том числе 7 статей из списка ВАК: 6 статей в международных физических журналах, 1 статья в рецензируемом российском физическом журнале, 5 публикаций в сборниках трудов конференций, 6 тезисов докладов.
Структура и объем работы
