Содержание к диссертации
Введение
1 Генератор квазипериодических колебаний с двумя независимыми частотами 23
1.1 Математическая модель генератора. Основные режимы колебаний 25
1.2 Бифуркация удвоения двумерного тора 36
1.3 Экспериментальная реализация генератора 41
1.4 Выводы по главе 1 45
2 Разрушение колебаний на Т4 под воздействием внешнего аддитивного шума 47
2.1 Хаотизация колебаний на четырехмерном торе 49
2.2 Выводы по главе 2 57
3 Синхронизация квазипериодических колебаний. Захват числа вращения на двумерном торе 59
3.1 Внешняя синхронизация квазипериодических колебаний 61
3.2 Взаимная синхронизация генераторов квазипериодических колебаний 68
3.3 Выводы по главе 3 70
4 Синхронизация резонансного предельного цикла на двумерном торе 79
4.1 Синхронизация резонансного предельного цикла в генераторе квазипериодических колебаний 82
4.2 Механизмы синхронизации резонансного предельного цикла на двумерном торе 95
4.2.1 Воздействие внешней периодической силы на резонансный предельный цикл в системе связанных генераторов Ван дер Поля 101
4.2.2 Основные бифуркации квазипериодических режимов при синхронизации резонансного предельного цикла 106
4.2.3 Особенности синхронизации резонансных предельных циклов при различных значениях числа вращения G 117
4.3 Выводы по главе 4 124
Заключение 127
Литература 131
Благодарности 144
- Бифуркация удвоения двумерного тора
- Хаотизация колебаний на четырехмерном торе
- Взаимная синхронизация генераторов квазипериодических колебаний
- Механизмы синхронизации резонансного предельного цикла на двумерном торе
Введение к работе
Квазипериодические колебания и их бифуркации па протяжении многих лет остаются предметом исследований специалистов по нелинейной динамике и турбулентности. Квазипериодическими колебаниями называют устойчивые решения динамических систем, которые зависят от конечного числа периодических функций 4>k{ukt) {к = 1> 2,...), имеющих период Tk — 27r/u)k по каждому аргументу. Квазипериодические решения описывают достаточно сложные процессы колебаний с п независимыми частотами u)k, которые в общем случае рационально не связаны. Эти частоты u)k представляют собой с физической точки зрения частотные моды парциальных колебательных систем, взаимодействующих между собой. Результатом такого взаимодействия и являются квазипериодические колебания.
Квазипериодические колебания с двумя и более независимыми частотами широко распространены в современном естествознании. Они возникают при модуляции электромагнитных колебаний информационными сигналами (радиотехника), описывают климатические колебания различного характера (климатология), описывают движение планет в космическом пространстве (теоретическая механика) и др. Квазипериодические колебания описывают биофизические, экологические и даже социальные эволюционные про-
цессы [1]- [9]. На сегодняшний день изучение квазипериодических колебаний, относящихся к наиболее сложным типам регулярных колебаний, представляет собой одну из интересных и актуальных задач нелинейной динамики. Интерес к квазипериодическим колебательным процессам связан также и с тем, что во многих системах различной природы возникновение квазипериодических режимов колебаний предшествует переходу к хаотическому поведению.
В частности, в результате исследования возникновения турбулентного поведения жидкости при увеличении числа Рейнольдса был предложен сценарий Ландау - Хопфа [10] [11], ставший первым сценарием перехода к нерегулярному поведению. Данный механизм предполагает постепенное нарастание размерности квазипериодических колебаний, т.е. последовательность бифуркаций, в результате которых в спектре возникают новые несоизмеримые частоты. При наличии большого количества независимых частот и флуктуации, всегда существующих в реальных физических системах, спектр колебаний становится сплошным, а сами колебания нерегулярными. Однако, данный сценарий неприменим к маломерным системам, в которых невозможно реализовать колебания с большим количеством независимых частот.
Альтернативой данному механизму является сценарий, предложенный в работах Д. Рюеля, Ф. Такенса и С. Ньюхауса [12] [13], в которых доказано, что хаотический аттрактор может возникать уже на трехмерном торе при малых возмущениях. При этом характер возмущения не конкретизируется. Согласно теоремам, приведенным в данных работах, в пространстве динамических ситем в окрестности тора Тп, где п ^ 3 - размерность тора, существует гиперболическое подмножество траекторий, содержащее нетривиальный ат-
трактор [14] [15], и малое возмущение может привести к возникновению хаотических колебаний, принадлежащих потоку на Тп и не разрушающих сам тор. Вопрос о реализации одного из приведенных механизмов разрушения квазипериодических колебаний остается не до конца ясным. После публикации соответствующих работ, появилось много заметок (см. например [16]) о существовании многомерных торов в различных системах, устойчивых к малым внешним возмущениям.
Во многих случаях существование в фазовом пространстве торов высокой размерности отмечалось при исследовении колебательных систем, состоящих из большого количества взаимодействующих периодических осцилляторов [17] [18]. Так, например, в работе [19] при исследовании систем различной размерности, состоящих из связанных отображений окружности, было показано, что при слабой связи в фазовом пространстве могут наблюдаться трех-и четырехмерные торы, однако с ростом интенсивности возмущений тип аттрактора может меняться. В работе [20] исследовались процессы синхронизации в системе, состоящей из связанных фазовых осцилляторов, частоты которых задавались случайным образом. С ростом связи между осцилляторами в системе образуются кластеры синхронизации, что соответствует уменьшению количества независимых частот в спектре. Явления, связанные с уменьшением размерности тора в системах периодических осцилляторов с расстройкой, исследовались в работах [21] [22]. Было показано, что увеличение размера кластеров синхронизации может сопровождаться возникновением в фазовом пространстве хаотических колебаний, однако далее, с увеличением связи в системе, устанавливается периодический режим. Несмотря на интенсивные
исследования в данной области в последние годы, многие вопросы, связанные с устойчивостью многомерных торов и резонансных структур на их поверхности к внешним возмущениям, остаются нерешенными.
Наиболее простым случаем квазипериодических колебаний являются колебания, соответствующие траекториям на двумерном торе, т.е. колебания с двумя независимыми частотами. Как известно, исследование бифуркаций двумерных торов требует двупараметрического анализа. Это связано с тем, что возникновение резонансов на торе обусловлено бифуркацией коразмерности 2 [23]. Если отношение частот является иррациональным, то колебания будут эргодическими и в фазовом пространстве будет наблюдаться двумерный эргодический тор. В случае рационального соотношения частот (в области резонансов) система будет демонстрировать резонансный предельный цикл на торе. Такое поведение системы соответствует существованию в пространстве параметров языков Арнольда [24] [25]. Возможные пути возникновения хаоса через разрушение резонансных колебаний на двумерном торе рассматривались в работах [26] [27] и нашли подтверждение во многих экспериментах [28] [29]. Как было показано в [30] переход от двумерного эрго-дического тора к хаосу всегда происходит через возникновение резонансных колебаний. Подобно предельному циклу торы могут претерпевать бифуркации удвоения периода [31]. Это явление было обосновано как в численном так и в физическом экспериментах. Однако подавляющее большинство исследований бифуркаций торов проводилось на примере неавтономных нелинейных колебательных систем, демонстрирующих различные механизмы переходов к хаосу. Вторая частота в таких системах навязывалась внешним воздействием.
Поэтому детали многих бифуркационных явлений, связанных с квазипериодическими колебаниями, до сих пор остаются во многом неясными.
В рамках нелинейной динамики можно выделить отдельную группу вопросов, связанных с явлением синхронизации. Исследованию этого свойства автоколебательных систем посвящено огромное множество работ. Явление синхронизации было открыто Гюйгенсом в XVII в, с тех пор на этот эффект обращали внимание авторы многих работ из совершенно различных областей знаний [32]- [39]. Так, например, было показано, что эффект синхронизации проявляется в поведении взаимодействующих клеток ткани [40], ансамблей нейронов [41]- [43], биологических популяций [44].
Механизмы и проявления эффекта синхронизации периодических автоколебаний изучены достаточно хорошо [45]- [54]. Как известно, при синхронизации характерные времена взаимодействующих подсистем становятся кратными. При этом в спектре мощности колебаний базовые частотные моды парциальных систем становятся кратными. В случае, если в спектре периодических колебаний присутствуют гармоники и субгармоники, они также "подтягиваются" за основной частотой, и в результате синхронизации в системе наблюдаются периодические колебания.
В фазовом пространстве при несинхронных колебаниях наблюдается двумерный тор, соответствующий квазипериодическим колебаниям с двумя независимыми частотами. Сечение Пуанкаре при этом имеет вид замкнутой кривой. При синхронизации на поверхности тора в результате седло-узловой бифуркации возникают устойчивый и седловой циклы [55]. В результате в фазовом пространстве системы происходит качественное изменение аттрактора,
и вместо эргодического тора наблюдается резонансный предельный цикл на торе, соответствующий в сечении Пуанкаре устойчивой точке. Захват колебаний может осуществляться и не на основной гармонике. В этом случае результатом синхронизации будет многообходный предельный цикл, с точки зрения качественной теории не отличающийся от цикла, возникающего при синхронизации на базовых частотах.
Различают внешнюю (вынужденную) и взаимную синхронизацию. В случае внешней синхронизации связь между колебательными подсистемами является односторонней. В результате синхронизации в такой системе частота результирующих колебаний равна или кратна частоте внешнего воздействия. В случае взаимной синхронизации частота колебаний может отличаться от собственной частоты каждой из подсистем и может являться результатом их . взаимодействия.
Постепенно классические представления о процессах синхронизации в природе были обобщены и на определенный тип хаотических колебаний [56]- [60]. Под термином хаотическая синхронизация можно понимать различные явления. Как известно, различают полную синхронизацию хаоса [61], обобщенную [62-65], частотную или фазовую [66-68] синхронизации. Наиболее часто в литературе встречается описание процессов синхронизации хаотических колебаний, наблюдающихся при взаимодействии идентичных хаотических осцилляторов [69]- [72]. С ростом связи колебания парциальных осцилляторов начинают полностью повторять друг друга. При этом временной сдвиг между колебаниями осцилляторов отсутствует, и наблюдаются синфазные колебания. Как и для периодических колебаний, для генераторов в режиме
спирального хаоса рассмотрены такие типы синхронизации как, например, захват и подавление частот, взаимная и вынужденная синхронизация [73]-[76]. Также были замечены более сложные типы синхронизации, связанные с возникновением какой-либо функциональной взаимосвязи между парциальными системами - обобщенная синхронизация. В ансамблях автогенераторов можно выделить глобальную и кластерную (частичную) синхронизации (см., например, [77]- [79]). Случаю частичной синхронизации соответствует существование в системе кластеров, состоящих из синхронных осцилляторов; при глобальной синхронизации все осцилляторы системы синхронны.
Несмотря на большое количество работ о синхронизации регулярных и хаотических колебаний, явление синхронизации квазипериодических колебаний очень мало изучено. С одной стороны, квазипериодические колебания относятся к регулярному типу поведения системы, и, следовательно, должны подчиняться сложившимся классическим представлениям о синхронизации периодических колебаний. С другой стороны, такие колебания описываются несколькими характерными временами (частотами), и соотношения между ними могут быть как рациональными, так и иррациональными. До сих пор остается открытым вопрос о том, каким образом происходит синхронизация эргодических колебаний с двумя независимыми частотами, возможен ли захват числа вращения на двумерном торе подобно захвату частоты предельного цикла, так как именно в этом случае можно говорить о полной синхронизации двухчастотных квазипериодических колебаний.
Если соотношения между характерными временами системы являются рациональными, то ее колебания являются строго периодическими, а в фазовом
пространстве им соответствует предельный цикл. Будет ли процесс синхронизации предельного цикла внешним периодическим воздействием подчиняться классическим закономерностям, установленным для периодических колебаний, если этот предельный цикл лежит на поверхности тора? Возможно ли синхронизировать такой цикл, и, если да, то каков механизм захвата, и какие бифуркации режимов при этом имеют место?
Для ответа на указанные вопросы необходимо создать такую автономную систему, которая бы демонстрировала устойчивые двухчастотные квазипериодические колебания. При этом значения базовых частот и, следовательно, значение числа вращения колебаний, реализуемых системой, должны зависеть только от внутренних управляющих параметров системы. С другой стороны такая система должна демонстрировать бифуркации торов и переходы к хаосу при их разрушении как для случая эргодических колебаний, так и для случая резонансов на торе. Особый интерес представляет исследование бифуркации удвоения двумерного тора.
Все вышесказанное обосновывает актуальность исследований в этой области и служит основанием для постановки цели и задач диссертационного исследования.
Целью диссертационной работы является: реализация автономной маломерной динамической системы, генерирующей устойчивые двухчастотные колебания, изучение влияния внешнего шумового воздействия на многочастотные квазипериодические автоколебания, а также исследование явления синхронизации колебаний на торе для случаев рационального и иррациональ-
ного соотношения базовых частот исходных колебаний.
Для достижения указанной цели необходимо решить следующие основные задачи:
Разработать математическую и физическую модель автономного генератора, демонстрирующего колебания на двумерном торе и переходы к хаосу через разрушение квазипериодических колебаний. Создать набор программных средств, необходимых для проведения численных экспериментов, а также программное обеспечение для обработки аналоговых сигналов в радиофизическом эксперименте с генератором. Исследовать основные режимы работы генератора и бифуркационные механизмы переходов между ними при изменении управляющих параметров системы.
Исследовать динамику системы из двух связанных генераторов квазипериодических колебаний. Найти режимы, соответствующие торам различной размерности. Исследовать устойчивость системы в этих колебательных режимах в условиях внешнего шумового воздействия.
Исследовать явление взаимной и внешней синхронизации квазипериодических колебаний в системе двух связанных генераторов в режиме эргодических торов. Установить, возможен ли эффект полной синхронизации квазипериодических колебаний и, следовательно, захват числа вращения системы для режимов синхронизации.
Исследовать внешнюю синхронизацию устойчивого предельного цикла в условиях резонансов на торе, отвечающих значениям числа вращения
0 = m : n (где т,п — целые числа). Установить бифуркационные механизмы захвата частоты и исследовать основные режимы, возникающие при синхронизации в численном и физическом эксперименте.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка цитируемой литературы.
Во Введении обосновывается актуальность работы, определяются цели исследования, ставятся основные задачи, раскрывается научная новизна полученных результатов и формулируются положения, выносимые на защиту.
В первой главе На основе генератора Анищенко - Астахова вводится в рассмотрение математическая модель автономного генератора квазипериодических колебаний. Математическая модель представляет собой диссипа-тивную систему из четырех дифференциальных уравнений первого порядка, описывающую осциллятор Ван дер Поля с дополнительной обратной связью, состоящей из нелинейного элемента и колебательного контура. Показана возможность мягкого рождения двумерного тора в результате бифуркации Неймарка - Сакерса. Числом вращения реализуемых в системе устойчивых двухчастотных квазипериодических колебаний можно управлять посредством изменения ее параметров. Также предлагается электронная схема для физической реализации генератора квазипериодических колебаний. Показано, что разработанная электронная модель генератора допускает описание в виде предложенной математической модели.
В рамках данной главы исследованы основные режимы колебаний, которые реализуются в генераторе при вариации параметров. За счет мягкой би-
фуркации Неймарка-Сакерса в системе могут возникать устойчивые двухча-стотные колебания, которые отвечают Т2. С изменением параметров системы квазипериодические колебания разрушаются, и в результате в фазовом пространстве возникает хаотический аттрактор. Система может генерировать как эргодические колебания так и резонансные, возникающие на поверхности тора в результате седло-узловой бифуркации. Впервые на примере автономной системы детально исследована бифуркация удвоения двумерного тора.
Показано, что в окрестности точки бифуркации удвоения двумерного тора в автономной системе резонансных колебаний не наблюдается. В точке бифуркации три старших показателя Ляпунова равны нулю, далее в системе возникает двумерный тор удвоенного периода. Разработанная модель может рассматриваться в качестве одной из простейших базовых моделей нелинейной динамики для изучения свойств двухчастотных квазипериодических колебаний.
Вторая глава посвящена исследованию влияния внешнего шумового воздействия на многочастотные квазипериодические автоколебания. Предметом изучения является система из двух симметрично связанных генераторов квазипериодических колебаний, предложенных в первой главе данной работы. Посредством анализа спектров мощности колебаний и спектров Ляпуновских характеристических показателей выявляются значения параметров, соответствующие режиму четырехмерноого тора и резонансным структурам на нем в виде трехмерного и двумерного торов.
По спектрам мощности исследуется реакция системы, находящейся в ука-
занных режимах колебаний, на внешнее воздействие белым шумом. С помощью расчета старшего показателя Ляпунова колебаний системы с шумом исследуется зависимость интенсивности шума, необходимой для разрушения квазипериодических колебаний, от размерности тора.
Показано, что все рассмотренные режимы колебаний на двумерном, трехмерном и четырехмерном торе устойчивы и не разрушаются при малом шумовом возмущении. С ростом интенсивности возмущения движение на четырехмерном торе хаотизируется. Резонансные структуры в виде трехмерного и двумерного торов препятствуют эффекту хаотизации. Однако с ростом возмущения и в окрестности этих структур возникают хаотические колебания.
Результаты описанных исследований находятся в соответствии с теоремой Рюэля-Такенса-Ныохауса, подтверждая экспериментально факт хаотизации фазовых траеткорий на четырехмерном торе при возмущении. При этом установлено, что эффекты синхронизации в виде резонансных структур на четырехмерном торе для перехода к хаосу требуют увеличения интенсивности возмущений.
В третьей главе исследуется явление синхронизации квазипериодических колебаний. Рассматривается система из двух генераторов квазипериодических колебаний с расстройкой по одному из параметров, определяющему число вращения системы. Значения параметров каждого из парциальных генераторов соответствуют режиму двумерного эргодического тора. Соотношение базовых частот каждой из подсистем является иррациональным. Рассматривается случай однонаправленной связи (вынужденная синхронизация) и симметричной связи (взаимная синхронизация).
Исследования проводятся посредством расчета базовых частот парциальных генераторов и расчета спектра Ляпуновских характеристических показателей. С использованием перечисленных методов выявляются закономерности захвата числа вращения квазипериодических колебаний. Согласно обнаруженным в процессе исследования режимам, вводятся понятия полной и частичной синхронизации квазипериодических колебаний.
В физическом эксперименте рассматривается генератор квазипериодических колебаний под воздействием внешнего амплитудно-модулированного сигнала с иррациональным соотношением частот. Подтверждаются результаты, полученные в численном эксперименте, а также выявляется зависимость взаимного расположения областей синхронизации от глубины модуляции сигнала воздействия.
Как для случая внешней так и для случая взаимной синхронизации установлено новое явление - эффект "захвата числа вращения" на двумерном торе, в результате которого в системе наблюдается явление полной синхронизации квазипериодических колебаний. Захвату числа вращения отвечает классический эффект захвата обеих базовых частот квазипериодических колебаний, при котором их соотношение остается постоянным в конечной области значений параметров (в области синхронизации). Установлено, что диагностировать режимы синхронизации квазипериодических колебаний можно с помощью расчета полного спектра ЛХП.
Области синхронизации несущих частот и частот модуляции в рассматриваемой системе из двух генераторов с симметричной связью не совпадают, поэтому при вариации параметров можно реализовать колебания на четырех-
мерном торе и наблюдать резонансные структуры на нем в виде трехмерного и двумерного торов. При этом все перечисленные режимы устойчивы и не разрушаются при малом шумовом возмущении.
Четвертая глава полностью посвящена исследованию явления синхронизации периодических колебаний, соответствующих резонансу на двумерном торе, внешним периодическим воздействием. Рассматривается генератор квазипериодических колебаний в режиме резонанса 1:4 (в численном эксперименте) и 1:3 (в физическом эксперименте) под внешним периодическим воздействием. Показано,-что для полного захвата резонансного цикла необходим двучастотный сигнал.
На примере модели из двух связанных осцилляторов Ван дер Поля в режиме резонанса 1:1 и 1:3 исследуется бифуркационный механизм синхронизации резонансного предельного цикла на двумерном торе внешним периодическим воздействием. Подтверждается эффект, полученный для модели генератора квазипериодических колебаний. Устанавливаются основные режимы, возникающие в системе при переходе к полной и частичной синхронизации колебаний.
В результате исследований в рамках данной главы установлено, что в общем случае резонансный цикл на двумерном торе невозможно синхронизировать внешним гармоническим сигналом. Под воздействием внешнего сигнала резонанс на двумерном торе разрушается, колебания становятся квазипериодическими с тремя независимыми частотами. Далее имеет место захват одной из базовых частот системы. Согласно результатам бифуркационного анализа при разрушении внутренней синхронизации в системе происходит седло -
узловая бифуркация устойчивого и седлового двумерных торов на поверхности трехмерном тора. Эта бифуркация установлена и исследована впервые и представляет интерес с точки зрения качественной теории дифференциальных уравнений.
В заключении сформулированы основные результаты диссертационной работы.
Материалы диссертации изложены на 144 страницах, содержат 51 рисунок и список цитированной литературы из 98 наименований.
Научная новизна результатов работы:
Сформулирована математическая модель и разработан радиофизический макет оригинального генератора двухчастотных квазипериодических колебаний. Генератор реализует бифуркацию Неймарка - Сакерса мягкого рождения двумерного тора, бифуркацию удвоения периода тора и переходы к хаосу через двухчастотные колебания. Предложенный и исследованный генератор может служить одной из базовых моделей теории колебаний для изучения свойств квазипериодических колебаний.
Впервые численными экспериментами подтвержден теоретический результат Рюэля - Такенса - Ныохауса о нейустойчивости движений на четырехмерном торе. Показано, что частичные резонансы на четырехмер7 ном торе способствуют повышению устойчивости системы к внешнему шумовому воздействию.
Установлены закономерности внешней и взаимной синхронизации квазипериодических духчастотных колебаний. Показано, что области син-
хронизации базовых частот системы не совпадают и имеют вложенную структуру. Обнаружен и исследован новый эффект: захват числа вращения на двумерном торе, являющийся обобщением эффекта синхронизации предельного цикла на случай двухчастотных колебаний.
4. Впервые вскрыты и исследованы бифуркационные механизмы синхронизации двухчастотных колебаний внешним гармоническим сигналом. Установлен новый тип бифуркации - седло - узловая бифуркация двумерных торов, лежащих на поверхности трехмерного тора. Этот результат обобщает известный тип седло - узловой бифуркации резонансных предельных циклов на двумерном торе на случай резонансов на трехмерном торе.
Достоверность научных выводов подтверждается соответствием научных выводов аналитических, численных и физических экспериментов. А также сопоставлением части результатов с аналогичными, представленными в литературе.
На защиту выносятся следующие положения и результаты:
На конкретном примере подтвержден результат Рюэля - Такенса - Нью-хауса о неустойчивости квазипериодических фазовых траекторий на четырехмерном торе по отношению к шумовому возмущению. Резонансные структуры на торе повышают степень устойчивости движения.
Внешняя и взаимная синхронизация двухчастотных эргодических колебаний реализуется при воздействии на систему двухчастотным сигналом и приводит к эффекту «захвата числа вращения». При этом осуществ-
ляется последовательный захват вначале одной, а затем второй базовой частоты системы.
Для синхронизации резонансного предельного цикла на двумерном торе в общем случае необходимо двухчастотное воздействие. Однако в условиях резонанса 1:1 и сильных резонансов 1:3 и 1:4 при достаточной степени связи взаимодействующих осцилляторов синхронизация возможна и при одночастотном воздействии. При этом внутренняя синхронизация в системе может разрушаться, далее следует последовательный захват вначале одной, а затем второй базовой частоты системы.
Бифуркационный механизм частичной синхронизации трехчастотных квазипериодических колебаний в общем случае связан с седло-узловой бифуркацией устойчивых и седловых двумерных торов, лежащих на поверхности трехмерного тора. Этот механизм является обобщением классического механизма синхронизации предельного цикла на случай двухчастотных квазипериодических колебаний.
Научно-практическая значимость результатов: Совокупность научных результатов диссертации развивает и дополняет фундаментальные представления современной теории колебаний и теории динамических систем. Разработанный и исследованный генератор двухчастотных квазипериодических колебаний может быть использован в качестве одной из базовых моделей для анализа основных бифуркаций двухчастотных автоколебаний в рамках современной нелинейной теории колебаний. Установленные в диссертации закономерности и особенности синхронизации двухчастотных колебаний суще-
ственно дополняют раздел теории синхронизации в рамках теории колебаний и могут быть включены в соответствующие образовательные программы. Установленные различия в процессах синхронизации периодических колебаний и резонансных двухчастотных колебаний могут быть использованы в экспериментальных исследованиях для диагностики существования в системе двумерного тора.
Апробация работы и публикации. Основные результаты работы докладывались на:
международной конференции "Nonlinear Dynamics of Electronic Systems" (Germany, Potsdam, 2005),
международной конференции "Nonlinear Theory and its Applications" (Belguim, Bruges, 2005),
международной конференции "Nonlinear Dynamics, Chaos, and Applications" (Украина, Крым, 2006),
школе-конференции "Нелинейные дни в Саратове для молодых" (Россия, Саратов, 2005),
школе-конференции "Нелинейные дни в Саратове для молодых" (Россия, Саратов, 2006),
конференции "Ломоносов - 2006" (Россия, Москва, 2006),
международной конференции "International Symposium on Synchronization in Complex Networks" (Belgium, Leuven, 2007).
а также на научных семинарах кафедры Радиофизики и Нелинейной Динамики Саратовского Государственного Университета и научных семинарах на физических факультетах Гумбольдского и Потсдамского университетов Германии.
Работа частично поддерживалась из средств BRHE (SR-006-XI), РФФИ (Е 02-3.2-345), а также Министерства образования и науки РФ в рамках программы "Развитие научного потенциала высшей школы".
По теме диссертационной работы в международной и российской печати опубликовано 9 работ (из них 6 статей и 3 тезиса докладов конференций).
Бифуркация удвоения двумерного тора
Помимо описанных выше бифуркаций периодических и квазипериодических колебаний и сценариев перехода к хаотическим колабениям предложенная автономная система может реализовать бифуркации удвоения двумерных эргодических торов, представляющие особый интерес. Такие бифуркации наблюдаются в области между линиями lt и 1и (рис. 1.4).
Зафиксируем значения параметров д = 0.5, d = 0.001 и 7 = 0.2 и рассмотрим эволюцию режима тора в области значений параметра т между указанными линиями It и 1и. На рис. 1.8 (а-г) представлены проекции аттракторов на плоскость и соответствующие спектры мощности при прохождении точек бифуркаций удвоения двумерного тора. Об удвоении четко свидетельствуют изменения в структуре сечений Пуанкаре. Бифуркации удвоения периода тора здесь соответствует бифуркация удвоения периода модуляции (или бифуркация удвоения периода цикла в отображении Пуанкаре). Проекции аттракторов системы (1.5) и соответствующих сечений Пуанкаре на плоскость, а также их спектры мощности, при изменении параметра т для значений d = 0.001, 7 = 0.2, д = 0.5: а) т = 0.065, б) т = 0.067, в) т = 0.0693, г) т = 0.07. Для ответа на вопрос о механизме удвоения двумерного тора производился расчет полного спектра показателей Ляпунова при прохождении бифуркационных точек. Как видно из рис. 1.9, в точках бифуркаций (точки В, С, D) в ноль обращаются сразу три старших показателя Ляпунова (Лі = Л2 = Лз = 0). Бифуркационный переход характеризуется следующем изменением сигнатуры спектра Ляпуновских характеристических показателей: 0,0,-,- =Ф- 0,0,0,- = 0,0,-, ТОр2 ТОрз ТОР2 Расчеты проводились с очень малым шагом по параметру т (Am = 3 х 10_6) и свидетельствуют о том, что при прохождении точки бифуркации рождение предельного цикла (спектр показателей Ляпунова 0, —, —, —) не наблюдается! Приведенные данные еще раз подтверждают результаты работы [86], в которой этот вывод был сделан впервые на примере неавтономной системы. Бифуркацию удвоения периода претерпевает эргодический тор; резонансных циклов в численном эксперименте не наблюдается. Полученный результат подтвердился также и в физическом эксперименте.
Отметим, что несмотря на реализацию каскада бифуркаций удвоения торов, переход к хаосу в системе (1.5) в результате бесконечного накопления таких бифуркаций, аналогично сценарию Фейгенбаума [87], обнаружить не удалось. Как показали исследования, переходу к хаосу предшествует искривление поверхности эргодических торов, которым в сечении Пуанкаре соответствуют многообходные предельные циклы. На рис. 1.10 изображены проекции сечений Пуанкаре двумерных торов в виде циклов периода 8, как видно из ри -39 -0,1
Экспериментальная реализация генератора квазипериодических колебаний, соответствующая схеме генератора Апищенко - Астахова (рис. 1.1), с учетом предложенных изменений (рис. 1.2 (а, б)) представляет собой RC-генератор с дополнительной обратной связью, состоящей из квадратичного детектора и LCR-контура. При этом сигнал с дополнительной обратной связи модулирует коэффициент усиления усилителя RC-генератора.
На рис. 1.11 представлена электронная схема генератора квазипериодических колебаний. RC-генератор включает RC-цепь, состоящую из элементов Ri, Сі, і?2, Съ и операционный усилитель U1A, коэффициент усиления которого определяется подстроечным резистором Rpi и сопротивлением RQ полевого транзистора Q\. Дополнительная обратная связь состоит из усилителей U1В и U2B, однополупериодного квадратичного детектора, в качестве которого используется полевой транзистор Q2, и LCR-контура (элементы Li, Сз и Rp2).
Были введены следующие переобозначения: т = Rpi, /2( ) = - + RQ, 7 = RC- 1, д — f--, параметр d характеризует диссипативную нелинейность усилителя RC-генератора и ограничивает амплитуду колебаний в контуре. Как и в случае генератора Анищенко - Астахова (1.1), в генераторе квазипериодических колебаний (1.8) с ростом параметра возбуждения га растет амплитуда колебаний и, соответственно, сигнал на выходе дополнительной обратной связи (функция /2 ( )), который начинает оказывать все большее влияние на параметр возбуждения га. В результате система претерпевает бифуркацию мягкого рождения тора, который характеризуется двумя основными частотами, одна из которых определяется RC-цепью генератора, а вторая - LCR-коитуром в дополнительной обратной связи. При этом число вращения генератора будет пробегать множество рациональных значений, соответствующих резонансам на торе. В качестве примера на рис. 1.12 приведен график зависимости числа вращения 0 от параметра 7, на котором выделена область резонанса 0 = 1 : 3. В этой области на экране осциллографа наблюдается трехтактный предельный цикл. В ходе экспериментов было установлено, что помимо бифуркаций рождения тора и перехода к хаосу через его разрушение, предложенная установка (рис. 1.11) демонстрирует также последовательность бифуркаций удвоения квазипериодических колебаний.
Хаотизация колебаний на четырехмерном торе
Будем исследовать, каким образом уменьшение размерности тора влияет на его устойчивость к возмущениям. В соответствии с результатом Рюэля-Такенса при возмущении четырехмерного тора должна последовать хаотизация траекторий. Характер возмущений в теореме не конкретизируется. Коэффициент \/2D определяет интенсивность шумового воздействия, она одинакова для каждого из генераторов системы (2.1). Функции i() и &С0 случайные статистически независимые -коррелированные функции времени с нормальным распределением и нулевым средним.
Зафиксируем следующие значения параметров системы: га = 0.06, 7 = 0.2, d = 0.001, к — 0.003, 7i = 0.55. Рассмотрим влияние белого шума интенсивности y2D на три выбранных режима (2.2). Все перечисленные режимы устойчивы к воздействию мало -51 го шума (V2Z) 0.0001). На рис. 2.1 (а, б) изображены спектры колебаний при д = 0.5505. Данное значение параметра отвечает режиму двумерного тора в отсутствии шума. На рис. 2.2 (а, б) показаны спектры колебаний при д — 0.555, что соответствует режиму трехмерного тора. Спектры колебаний при значении д = 0.565, отвечающие режиму четырехмерного тора, показаны на рис. 2.3 (а, б). Как видно из приведенных рисунков малый шум (y/2D — 0.0001) не разрушает установившихся для данных значений параметров квазипериодических колебаний. При большом шуме {y/2D = 0.01) все три режима становятся хаотическими. Важным является выяснить: как зависит величина интенсивности шума, необходимая для перехода от квазипериодических колебаний к хаотическим, от размерности тора?
Для ответа на поставленный вопрос производился расчет старшего показателя Ляпунова выбранных режимов при увеличении интенсивности шума в системе. Результаты представлены на рис. 2.4. Как видно из рисунка при увеличении интенсивности шума все рассматриваемые режимы разрушаются, и во всех случаях система переходит к режиму хаотических колебаний. Пунктирная линия на данном рисунке соответствует ошибке вычислений, которая составляла ЛЛ 5х 10 5. На рис. 2.5 представлена зависимость критических интенсивностей шума, отвечающих переходу к хаосу для торов различной размерности. При увеличении интенсивности шума сначала разрушается квазипериодический режим с четырьмя независимыми частотами, затем - с тремя независимыми частотами, а затем - с двумя.
Действию малого шума. Однако, с увеличением его интенсивности во всех случаях происходил переход к хаосу. Малого шума {s/2D 0.0001) недостаточно, чтобы возник хаотический режим колебаний. При увеличении уровня шума, начиная с определенной амплитуды в системе устанавливается хаотический режим колебаний. Вначале, при малых интенсивностях шума, хаос возникает в окрестности четырехмерного тора. Резонансные структуры в виде трехмерного и двумерного торов оказываются более устойчивыми к шумовому воздействию. С ростом интенсивности шума вначале хаос возникает в окрестности трехмерного тора и, наконец, в окрестности двумерного тора. Отметим одно важное обстоятельство. Воздействие шума может привезти к попаданию фазовой траектории в бассейн притяжения другого, хаотического аттрактора, который может существовать в окрестности тора. Тор при этом может существовать и быть устоуйчивым. С помощью специальных расчетов с изменением начальных условий в окрестности тора других притягивающих множеств обнаружить не удалось. Поэтому можно заключить, что воздействие шума приводит к хаотизации траекторий на четырехмерном торе.
Взаимная синхронизация генераторов квазипериодических колебаний
Подадим на генератор внешний амплитудно-модулированный сигнал с частотой огибающей /ie = 3.06 кГц и коэффициентом модуляции Km0d = 0.5. При этом значения параметров генератора соответствуют коэффициенту модуляции 0.3, собственная частота несущей fog — 10.69 кГц, собственная частота модуляции f\g = 2.82 кГц. Будем менять частоту несущей внешнего воздействия /ое в диапазоне /ое = 10 -т-11 кГц.
Как и в случае синхронизации двух генераторов, в данном случае при изменении частоты несущей внешнего сигнала сначала захватывается частота несущей генератора, а затем его частота модуляции. На рис. 3.5 (а-в) показаны соответствующие спектры мощности колебаний генератора для трех режимов: а) несинхронный режим, при котором наблюдаются четыре независимые частоты; б) частично синхронный режим, при котором наблюдаются три независимые частоты (несущая и две частоты модуляции); в) режим полной синхронизации, две независимых частоты (несущая и модуляция).
На рис. 3.6 (а,б) представлены области синхронизации соответствующих частот генератора и внешнего воздействия в зависимости от параметра связи, снятые при различных значениях глубины модуляции внешнего воздействия. Как видно из рисунка, взаимное расположения областей захвата несущей частоты и частоты модуляции зависит не только от параметра связи, но и от глубины модуляции. На рис. 3.7 представлены области захвата несущих частот и частот модуляции в зависимости от глубины модуляции. Увеличение глубины модуляции не влияет на ширину области захвата несущей частоты, тогда как ширина области захвата частоты модуляции растет.
Следует также отметить тот факт, что в ходе эксперимента не удалось выявить режимы, при которых ширина области захвата частоты модуляции была бы шире области захвата несущей частоты. С дальнейшим ростом коэффициента модуляции области захвата несущей частоты и частоты модуляции начинают совпадать.
При вычислениях зафиксируем значения параметров т = 0.06, 7 0-2, 7i = 0.55, d = 0.001 и будем изменять параметр связи к и параметр д2} ответственный за расстройку чисел вращения 9\ и в2. Результаты расчетов приведены на рис. 3.8 и 3.9.
Структура областей синхронизации рис. 3.8 аналогична случаю внешней синхронизации (рис. 3.1), но является более симметричной относительно расстройки. Как и в случае внешней синхронизации (рис. 3.2), наблюдается эффект захвата числа вращения (рис. 3.9).
Представленные на рис. 3.1 - 3.9 результаты были получены путем детального анализа временных реализаций и спектрального состава колебаний.
Эффекты частичного и полного захвата можно диагностировать как совпадение базовых частот и частот модуляции в спектре мощности колебаний, однако, в результате наличия большого количества гармоник на неосновных частотах данный метод не всегда удобен, поэтому вычисление частот колебаний производилось по временным реализациям колебаний системы. С использованием модели генератора (1.5) исследовано явление внешней и взаимной синхронизации квазипериодических колебаний с двумя независимыми частотами. Установлено новое явление - эффект захвата числа вращения на двумерном торе, в результате которого в системе наблюдается явление полной синхронизации квазипериодических колебаний. Данное явление подтверждено как для случая внешней синхронизации в численном и физическом эксперименте, так и для случая взаимной синхронизации двух генераторов квазипериодических колебаний. Установлено, что диагностировать режимы синхронизации квазипериодических колебаний можно с помощью расчета полного спектра ЛХП.
Области синхронизации несущих частот и частот модуляции в рассматриваемой системе из двух генераторов с симметричной связью не совпадают, поэтому при вариации параметров можно реализовать колебания на четырехмерном торе и наблюдать резонансные структуры на нем в виде трехмерного и двумерного торов. При этом все перечисленные режимы структурно устойчивы при малом шумовом возмущении.
Механизмы синхронизации резонансного предельного цикла на двумерном торе
Представленные в предыдущей части результаты численных и физических экспериментов уаказывают на существенные отличия в реакции резонансных и нерезонансных периодических колебаний на внешнее воздействие и описывают режимы колебаний, возникающие в системе (4.2) при изменении частоты внешнего воздействия. Однако остаются неясными механизмы описанных перестроений в фазовом пространстве. Для детального понимания процессов, происходящих при синхронизации резонансного предельного цикла необходим бифуркационный анализ. Рассмотрим сначала детали классического механизма синхронизации двух связанных генераторов периодических колебаний. Рассмотрим режимы автоколебаний в системе (4.4) при значениях параметров 777. — 0.1, а\ = 1, к = 0.02. Параметр 0 будем изменять в пределах 0.98 СК2 1.02, исследуя влияние расстройки парциальных частот /і и /2 на динамику системы. На Рис. 4.9 представлен результат расчета области синхронизации, которая характеризует эффект захвата частоты на основном тоне. Первый генератор (ai = 1) захватывает частоту второго и в результате в области синхронизации (область I на Рис. 4.9) частоты взаимодействующих генераторов равны: /і = /2- При этом частота /2 в общем случае не совпадает с парциальной частотой второго генератора в отсутствии связи (к = 0). Рис. 4.9 иллюстрирует эффект взаимной синхронизации двух генераторов путем захвата частоты. Область синхронизации I на плоскости параметров связь (к) - расстройка (а2) представляет собой "клюв" или "язык" Арнольда с числом вращения Пуанкаре 0 = 1:1, что отвечает синхронизации на основном тоне. Вне области синхронизации (на Рис. 4.9 это области II) наблюдаются режимы двухчастотных колебаний или биений, при которых частоты парциальных генераторов не совпадают (Д ф /2).
Рассмотрим этот эффект с точки зрения качественной теории дифференциальных уравнений. В области II образом автоколебательного режима является нерезонансный (в общем случае) эргодический двумерный тор, отвечающий режиму двухчастотных квазипериодических колебаний. При входе в область I из области II (с пересечением бифуркационных линий ls) на двумерном торе рождается структура в виде устойчивого и седлового предельных циклов, лежащих на поверхности тора. Устойчивый цикл отвечает режиму взаимной синхронизации двух генераторов, характеризуя устойчивое периодическое движение с частотой Д = /г в режиме захвата частоты.
Вышесказанное иллюстрирует Рис. 4.10, где представлены проекции фазовых портретов двумерного тора Т2 (Рис. 4.10, а) и устойчивого (LQ) и седлового (LQ) резонансных предельных циклов на нем (Рис. 4.10, б). Отметим весьма важное обстоятельство: тор Г2 существует как в области II так и в области I! В эксперименте в области I мы видим только устойчивый предельный цикл Lo- Однако этот цикл лежит на поверхности двумерного тора. Чтобы показать это, рассмотрим сечение Пуанкаре плоскостью х = 0 как для режима Рис. 4.10 (а), так и Рис. 4.10 (б). Результаты представлены на Рис. 4.11. Рис. 4.11 (а) иллюстрирует замкнутую инвариантную кривую I как образ Т2 в сечении Пуанкаре. Рис. 4.11 (б) необходимо пояснить более детально. В области синхронизации I (Рис. 4.9) на торе существуют два предельных цикла: устойчивый и неустойчивый (Рис. 4.10 (б)). Проекции фазовых траекторий на плоскость переменных {х\, у\, х2) системы (4.4) для значений параметров т = 0.1, к — 0.02, а.\ = 1 для области II (а, а2 = 1.003) и области I (б, а2 = 1.0015). Проекция двумерного тора вне резонанса изображена серым, устойчивый (L0) и седловой (LQ) циклы на торе в области резонанса мкнутую инвариантную кривую. Эта кривая и есть образ двумерного тора в области синхронизации. Если двигаться в плоскости параметров области I в направлении к бифуркационным линиям ls (Рис. 4.9), то имеет место следующая картина: седло Q и узел Р идут на сближение, на бифуркационных линиях ls они сливаются и с входом в область II они исчезают в результате седло-узловой бифуркации. Таким образом режиму синхронизации отвечает область существования устойчивого и седлового предельных циклов на двумерном торе, а разрушению режима синхронизации - седло-узловая бифуркация этих циклов.
Изложенная качественная теория взаимной синхронизации двух генераторов описывает и режим внешней синхронизации, который отличается лишь тем, что частота синхронных (захваченных) колебаний всегда будет совпадать с частотой внешнего воздействия. Кроме того, изложенный механизм синхронизации на основном тоне (G = 1 : 1) полностью идентичен и случаю 0 = р : q, где р и q - рациональные числа. В этом случае седло-узловые бифуркации будут иметь место для более сложных (многообходных) циклов, что не имеет принципиального значения.
