Содержание к диссертации
Введение
1 Нелинейная динамика однокольцевой системы ФАП 32
1.1 Математические модели ФАП 32
1.2 Динамические режимы и характеристики системы ФАП . 35
1.3 Динамика системы ФАП с фильтром первого порядка 38
1.4 Бифуркационный анализ системы ФАП с фильтром второго порядка 40
1.4.1 Динамика модели ФАП с симметрией (случай 7 = 0) . 42
1.4.2 Влияние начальной частотной расстройки 7 н& динамику системы ФАП с фильтром типа [0/2] 48
1.4.3 Особенности динамического поведения модели ФАП с фильтром типа [2/2] 53
1.4.4 Влияние формы характеристики фазового детектора . 58
1.5 Анализ областей генерации автомодуляционных режимов . 60
1.6 Характеристики модулирующих колебаний 69
1.7 Выводы 72
2 Особенности нелинейной динамики системы ФАП с дополнительным управлением по частоте 74
2.1 Структурная схема и математические модели ЧФАП 75
2.2 Динамика модели ЧФАП с идентичными фильтрами 1-го порядка в цепях управления 78
2.2.1 ЧФАП с обычной характеристикой частотного дискриминатора 78
2.2.2 ЧФАП с инвертированной характеристикой частотного дискриминатора 81
2.3 Система ЧФАП с фильтрами 1-го порядка при ТхфТъ 86
2.3.1 ЧФАП с неинвертированной характеристикой ЧД 87
2.3.2 ЧФАП с инвертированной характеристикой ЧД 97
2.4 Моделирование динамики ЧФАП с фильтрами второго порядкаЮЗ
2.4.1 Влияние частотного кольца на динамику ЧФАП 103
2.4.2 Влияние параметров фильтров на динамику ЧФАП 108
2.5 Выводы 111
3 Нелинейная динамика двух каскадно связанных ФАП 114
3.1 Математические модели двух каскадно связанных ФАП 114
3.2 Динамические режимы связанных ФАП 118
3.3 Нелинейная динамика связанных ФАП без дополнительных связей 122
3.3.1 Динамика ансамбля с малоинерционными цепями управления 122
3.3.2 Влияние параметров фильтров 126
3.4 Влияние дополнительных связей на синхронные и автомодуляционные режимы связанных ФАП с малоинерционными цепями управления 133
3.4.1 Синхронные режимы 133
3.4.2 Автомодуляционные режимы в ансамбле с дополнительной связью "назад". Случай 7і=72—7> ft ^ 0, <5 = 0 136
3.4.3 Роль дополнительной связи "вперед". Случай 7і=72=7? к>0, 5ф0 143
3.4.4 Особенности динамики в случае ъФъ,к ф 0,5 ф 0 151
3.5 Динамика ансамбля с фильтрами первого порядка 160
3.5.1 Синхронные режимы 161
3.5.2 Бифуркационная диаграмма динамических режимов 166
3.5.3 Развитие динамических режимов генераторов ансамбля при вариациях параметров связей 173
3.5.4 Сценарии возбуждения и области существования ХМК в пространстве параметров 178
3.6 Хаотические колебания в ансамбле ФАП с фильтрами второго порядка 185
3.6.1 Возбуждение хаотических колебаний 186
3.6.2 Области хаотических колебаний в пространстве параметров 189
3.6.3 Анализ областей существования автомодуляционных колебаний в пространстве параметров 194
3.7 Экспериментальное исследование ХМК в ансамбле двух каскадно связанных ФАП 200
3.8 Выводы 207
4 Особенности нелинейной динамики трех каскадно связанных ФАП 211
4.1 Математические модели и динамические режимы каскадного соединения трех ФАП 211
4.2 Синхронные режимы 215
4.3 Регулярные квазисинхронные режимы и механизмы их возникновения 218
4.4 Бифуркационные переходы к хаотическим колебаниям . 227
4.4.1 Переход к хаосу через каскад удвоения периода предельного цикла 228
4.4.2 Переход к хаосу через перемежаемость 231
4.4.3 Бифуркация тор-хаос 234
4.4.4 Переход к хаосу через удвоение инвариантных торов . 236
4.4.5 Возбуждение хаотических колебаний за счет организации дополнительной связи 238
4.5 Асинхронные режимы и их роль при генерации квазисинхронных режимов различной сложности 239
4.6 Анализ структуры пространства параметров 240
4.6.1 КФАП с малоинерционными цепями управления при идентичных дополнительных связях «і = «2 242
4.6.2 КФАП с малоинерционными цепями управления при не идентичных дополнительных СВЯЗЯХ К\ ф «2 248
4.6.3 Области генерации ХМК в КФАП с инерционными цепями управления 251
4.7 Выводы 258
5 Нелинейная динамика двух параллельно связанных ФАП (ПФАП) 261
5.1 Структурная схема, математические модели и динамические режимы двух параллельно связанных ФАП 262
5.2 Синхронные режимы и точность синхронизации 265
5.2.1 ПФАП с единичными фильтрами 265
5.2.2 ПФАП с фильтрами первого порядка 268
5.3 Динамика ансамбля с малоинерционными цепями управления 271
5.3.1 Динамические режимы и структура пространства параметров в случае слабых связей 271
5.3.2 Динамические режимы и структура пространства параметров при наличии сильных связей 273
5.4 Влияние параметров фильтров на динамические режимы ансамбля 280
5.4.1 Эволюция динамических режимов и структуры пространства параметров ПФАП с фильтрами первого порядка 280
5.4.2 Эволюция динамических режимов ПФАП с фильтрами второго порядка 288
5.5 Анализ областей генерации автомодуляционных режимов 292
5.5.1 ПФАП с фильтрами первого порядка 293
5.5.2 ПФАП с фильтрами второго порядка 299
5.6 Выводы 303
6 Моделирование динамических процессов двухкольцевой системы ФАП 306
6.1 Исследуемая система и ее математические модели 306
6.2 Анализ синхронных режимов 310
6.3 Динамика ДФАП с малоинерционными цепями управления парциальных систем (єі <С 1, ч «С 1) 311
6.3.1 Динамика ДФАП в отсутствии дополнительной связи а=0 312
6.3.2 Динамика ДФАП при а>0,6 < 1 314
6.3.3 Особенности динамика ДФАП при а>0, Ъ <С 1 321
6.3.4 Динамика ДФАП при а>0, Ь > 1 325
6.3.5 Особенности динамика ДФАП при а>0,6 > 1 332
6.4 Исследование динамических режимов ДФАП в зависимости от параметра инерционности Є2 335
6.4.1 Эволюция параметрического портрета {7, (3} 335
6.4.2 Особенности параметрического портрета {2, (3} 339
6.5 Динамические режимы и бифуркации системы при изменении i 353
6.5.1 Параметрический портрет {єі,/?} при а = 0 353
6.5.2 Особенности параметрических портретов {єі,(3} систем при а> 0 366
6.Q Выводы 379
7 Регулярные и хаотические колебания в автогенераторных системах с частотным управлением 383
7.1 Математические модели исследуемой системы 385
7.2 Бифуркационный анализ моделей ЧАП 386
7.2.1 ЧАП с отрицательной обратной связью в петле управления 386
7.2.2 ЧАП с положительной обратной связью в петле управления 390
7.2.3 Регулярные и хаотические колебания системы ЧАП с комбинированным дискриминатором 394
7.3 Анализ областей существования автомодуляционных режимов 417
7.3.1 ЧАП с отрицательной и положительной обратной связью в петле управления 418
7.3.2 ЧАП с комбинированным дискриминатором 422
7.4 Автомодуляционные колебания в ансамбле связанных ЧАП 427
7.5 Выводы 431
8 Моделирование процессов синхронизации ХМК и передачи информации с использованием ХМК 435
8.1 Синхронизация ХМК однокольцевых ФАП 436
8.2 Синхронизация ХМК ансамблей ФАП 443
8.3 Моделирование процессов передачи информации на хаотической несущей 448
8.4 Выводы 451
Заключение 453
Список работ, опубликованных по теме диссертации 458
Цитируемая литература
- Бифуркационный анализ системы ФАП с фильтром второго порядка
- Динамика модели ЧФАП с идентичными фильтрами 1-го порядка в цепях управления
- Динамика ансамбля с малоинерционными цепями управления
- Регулярные квазисинхронные режимы и механизмы их возникновения
Введение к работе
Актуальность темы. Одним из наиболее ярких событий в нелинейных науках последних десятилетий явилось открытие динамического хаоса - колебаний детерминированного происхождения, обладающих свойствами случайных процессов: сплошным спектром, конечным временем корреляции, высокой чувствительностью к возмущениям, непредсказуемостью поведения на больших временных интервалах и т.д. Такие движения возникают в нелинейных системах и их свойства полностью определяются свойствами динамической системы. Осмысление того факта, что в нелинейных системах при полном отсутствии каких-либо случайных воздействий возможно возникновение сложного нерегулярного поведения - динамического хаоса, привело к существенному изменению традиционных взглядов на колебательно-волновые явления..Стало понятным, что для большинства физических, химических, биологических и других природных систем простые периодические автоколебания являются скорее исключением, а правилом для реально наблюдаемых систем являются хаотические автоколебания с той или иной степенью хаотичности.
Изучение фундаментальных свойств динамического хаоса породило естественный интерес к прикладной стороне этого явления, связанной с возможностью построения технических систем, в основе функционирования которых использовались бы свойства динамического хаоса. Одним из перспективных направлений использования динамического хаоса является применение его в системах связи. Динамический хаос обладает многими привлекательными свойствами, которые могут быть полезны при передаче информации1: сигналы, сформированные на базе динамического хаоса, обладают большой информационной емкостью, устойчивы к замираниям при многолучевом распространении, позволяют обеспечить управление хаотическими режимами с помощью малых изменений параметров систем, предоставляют возможность организации конфиденциальной связи и т.д.
Направление, связанное с использованием динамического хаоса в связи, начало развиваться в начале 90-х годов прошлого века во многом благодаря достигнутым к этому времени результатам по созданию генераторов хаотических колебаний (генераторы Астахова-Анищенко, Дмитриева-Кислова, Кияшкс-Рабиновича-Пиковского, Чуа и др.) и открытию явлений хаотиче-
1 Дмитриев А.С., Панас А.И. Динамический хаос: новые носители информации для систем связи. М.: Изд. Физико-математической литературы, 2002.
ской синхронизации2 и хаотического синхронного отклика3. Начиная с 1992 года был предложен ряд способов передачи информации, использующих хаотические сигналы: хаотическая маскировка (chaotic masking), переключение хаотических режимов (chaos shift keying), нелинейное подмешивание (nonlinear mixing) и другие. С их помощью была продемонстрирована возможность применения хаоса для передачи информации и тем самым созданы предпосылки для развития нового направления в системах связи.
Первые эксперименты по передаче информации (Дмитриев А.С, Панас А.И., Старков CO., Chua L.O., Kocarev L., Eckert К., Cuomo К., Oppenheim A., Hasler M., Kennady M.P., Kolumban G. и др.) продемонстрировали принципиальную возможность передачи информации с использованием хаоса, однако дальнейшее развитие этой идеи натолкнулось на серьезные проблемы. Во-первых, оказалось, что схемам связи, построенным на использовании явления самосинхронизации хаотических колебаний, свойственна высокая чувствительность к искажениям в канале, шумам и неполной идентичности генераторов хаоса в передатчике и приемнике. Во-вторых, при использовании динамического хаоса в качестве поднесущих колебаний, модулирующих высокочастотный носитель, существенно терялась такая привлекательная черта хаоса, как его широкополосность, обеспечивающая высокие скорости передачи информации сигналов с большой базой. Появилось понимание того, что для дальнейшего развития хаотических систем связи необходимо решить ряд проблем, среди которых: разработка высокоэффективных генераторов хаоса, непосредственно работающих в широком частотном диапазоне, охватывающем высокие и сверхвысокие частоты; разработка способов, обеспечивающих устойчивую синхронизацию хаотических колебаний.
Для разрешения вышеуказанных проблем представляется перспективным обратиться к использованию фазовых и частотных систем [19]. Как известно, в устройствах передачи информации, использующих регулярные сигналы, широко применяются фазовые (системы фазовой автоподстройки - ФАП) и частотные (системы частотной автоподстройки -ЧАП) системы. Эти системы изначально разрабатывались для решения задач синхронизации, стабилизации и управления частотой и фазой радиоколебаний, филь-
'Fujisaka Н., Yamada Т. Stability theory of synhronized motion in coupled oscillator systems Ij Prog.Theor.Phys. 1983. V.69, №1, pp.32.; Pikovsky A.S. On the interaction of strange attractors. - Z.Physik B. 1984. V.55. P.149; Афраймович B.C., Веричев H.H., Рабинович М.И. Стохастическая синхронизация колебаний в диссипативных системах // Изв.вузов. Радиофизика. 1986. Т.29, .№9. С.795.
'Pecora L.M., Carrol} T.L. Synchronization in chaotic system // Phys. Rev.Lett. 1990. V.64, JV>8. P.821.; Волковский A.P., Рульков Н.Ф. Синхронный хаотический отклик нелинейной колебательной системы как принцип детектирования информационной компоненты хаоса // Письма в ЖТФ. 1993. Т.9, №3. С.71-75.
трации, демодуляции, формирования и обработки сигналов и многих других задач. Высокая точность, надежность, помехоустойчивость, управляемость, способность работать на высоких и сверхвысоких частотах, технологичность сделали эти системы неотъемлемой частью практически любых систем связи. Естественно, что вышеперечисленные свойства делают такие системы весьма привлекательными для создания на их основе новых систем связи, использующих не регулярные, а хаотические сигналы.
К настоящему времени теория фазовых и частотных систем для регулярных сигналов достаточно хорошо развита благодаря работам В.В. Шах-гильдяна, М.В. Капранова, А.А. Ляховкина, Л.Н. Белюстиной, Ю.Н. Бакаева, В.Н. Белых, В.Н. Кулешова, Г.А. Леонова, В.И. Некоркина, В.П. По-номаренко, В.И. Тихонова, Н.Н. Удалова, В.Д. Шалфеева, Б.И. Шахтари-на, W.C. Lindsey, A.J Viterbi и др. Что касается вопросов использования ФАП и ЧАП для передачи информации на основе хаотических сигналов, то теоретические основы этого направления практически отсутствуют. Объем результатов в области теории динамического поведения таких систем в асинхронных режимах явно недостаточен для объяснения многочисленных явлений, которые демонстрируют эти системы вне областей существования и устойчивости синхронного режима (в области существования автомодуляционных режимов), для определения динамических характеристик хаотических сигналов, для целенаправленной разработки радиофизических устройств, использующих хаотические свойства систем ФАП и ЧАП.
Характерной особенностью рассматриваемого класса систем является наличие цепей управления по фазе или частоте. Именно эти цепи позволяют решать задачу стабилизации частоты управляемых генераторов относительно регулярных опорных сигналов в большом диапазоне начальных рассогласований. Однако эти же цепи вне области синхронизации предоставляют широкие возможности для возбуждения разнообразных автомодуляционных колебаний, в том числе и хаотических. Примечательно, что формируемые на выходе управляемых генераторов хаотические сигналы могут передаваться в канал связи непосредственно после своего формирования, не подвергаясь никаким дополнительным преобразованиям. К преимуществам рассматриваемых систем следует отнести и тот факт, что они легко объединяются в ансамбли управляемых генераторов путем организации различных связей. Возникающие в результате объединения генераторов новые свойства расширяют функциональные возможности этих систем как в традиционных, так и в нетрадиционных направлениях. В обычных приложениях к объединению рассматриваемых систем в ансамбли прибегают, например, для разрешения противоречивых требований, предъявляемых к различным характеристикам систем - полосе захвата, фильтрующим свойствам, быстродействию,
вероятности срыва слежения и т.д. Существует также ряд задач, где принципиально необходимо объединение нескольких систем в ансамбль, например, оптимальный прием и следящая оценка параметров сложных сигналов. Для новых приложений, в частности для хаотических систем связи, представляют интерес реализующиеся в ансамблях сложные автомодуляционные колебания. Для ансамблей примечательно то, что здесь динамические свойства автогенераторных систем определяются не только параметрами самих систем, но и структурой и силой связей между системами.
Следует отметить, что рассматриваемые ансамбли взаимосвязанных управляемых генераторов являются одним из видов многоэлементных автоколебательных систем, к которым в настоящее время проявляется большой интерес не только в радиофизике, но и в биологии, химии, "экономике и т.д. Нелинейные явления коллективной динамики, демонстрируемые такими моделями (процессы синхронизации, автоколебательные регулярные и хаотические режимы), во-первых, имеют большое значение для установления основных закономерностей динамического поведения взаимосвязанных управляемых систем, а во-вторых, могут быть полезными при исследовании других объектов (многоэлементные фазированные антенные решетки, джо-зефсоновские соединения, энергетические сети, системы пространственно-временной обработки и т.д.).
Все вышесказанное делает актуальным исследование сложных режимов нелинейной динамики автогенераторных систем с частотным и фазовым управлением и их ансамблей.
Цель работы - развитие теории динамического поведения нелинейных систем с частотным и фазовым управлением и малых ансамблей таких систем, а также её приложений к задачам генерации и синхронизации сложных автомодуляционных колебаний в связи с перспективой их применения для передачи информации. Приоритетными фундаментальными задачами являются:
разработка способов и подходов к исследованию автомодуляционных режимов автогенераторных систем с фазовым и частотным управлением;
исследование нелинейной динамики однокольцевых автогенераторных систем с фазовым и частотным управлением: изучение механизмов возникновения автомодуляционных режимов и их хаотизации, определение областей существования динамического хаоса в пространстве параметров, анализ размеров и структуры областей существования хаоса в зависимости от типа нелинейностей и параметров цепей управления;
исследование динамических процессов и бифуркационных явлений в, малых ансамблях генераторов с фазовым и частотным управлением, выяснение общих закономерностей коллективного поведения: изучение син-
хронных режимов, процессов возникновения и хаотизации автомодуляционных режимов, исследование свойств хаотических режимов, определение областей захвата в синхронный режим, определение областей возбуждения динамического хаоса и анализ их структуры, изучение зависимости динамических режимов от параметров цепей управления и от структуры и силы связей;
исследование процессов синхронизации хаотических колебаний в системах с фазовым и частотным управлением, изучение возможностей управления этими процессами в целях использования генерируемых хаотических колебаний для передачи информации;
компьютерное моделирование процессов передачи информации с использованием хаотических колебаний, генерируемых фазовыми и частотными системами.
Научная новизна работы. В диссертации впервые проведено систематическое исследование сложных режимов нелинейной динамики класса автогенераторных систем с частотным и фазовым управлением. Получены следующие новые результаты.
Проанализированы автомодуляционные режимы однокольцевых генераторов с фазовым и частотным управлением. Изучены механизмы возникновения автомодуляционных колебаний и процессы их хаотизации. Проанализированы свойства и области существования хаотических колебаний в зависимости от формы нелинейности и параметров цепей управления. Установлено, что фазоуправляемый генератор с фильтрами второго порядка и частотноуправляемый генератор с фильтром третьего порядка характеризуются высокой степенью мультистабильности, области существования хаотических колебаний этих систем сравнительно малы.
Проведено моделирование динамических процессов малых ансамблей фа-зоуправляемых систем с различными типами соединений (каскадным, параллельным, перекрестным). В результате установлены общие закономерности коллективного поведения, определяемые собственными параметрами систем и связями между подсистемами ансамблей. Изучены условия реализации и характеристики синхронных режимов, процессы возникновения и развития автомодуляционных режимов, сценарии хаотизации автомодуляционных режимов, характеристики и области существования хаотических колебаний. В процессе численных экспериментов с моделями ансамблей зафиксированы практически все известные в настоящее время сценарии перехода от регулярных колебаний к хаотическим. Обнаружен новый механизм перехода от синхронного режима к квазисинхронному режиму в отдельных генераторах ансамблей. Новый механизм проявляется при установлении связи "назад" между однонаправлено связанными генераторами,
функционирующими в синхронном и асинхронном режимах соответственно. Он аналогичен возникновению вынужденных колебаний, но имеет свою специфику, обусловленную наличием обратной связи с "внешним" источником колебаний. В фазовом пространстве динамических моделей новый механизм возбуждения квазисинхронных колебаний не связан с бифуркациями особых траекторий, а сопровождается изменением формы аттрактора. Проанализированы свойства хаотических колебаний генераторов ансамблей в зависимости от параметров цепей управления и от структуры и силы связей. Установлено, что переход к коллективной динамике предоставляет широкие возможности по генерации разнообразных хаотических колебаний, в том числе хаотически модулированных колебаний с несущей, стабилизированной по опорной частоте, объединение генераторов в ансамбль позволяет существенно расширить области генерации хаотических колебаний. Получены сведения, позволяющие осуществить эффективное управление свойствами генерируемых колебаний.
Проведено исследование хаотических колебаний в ансамбле двух каскадно связанных генераторов с частотным управлением. Изучены свойства хаотических колебаний и механизмы их возбуждения. Установлено, что принципы возбуждения хаотических колебаний за счет объединения нескольких систем в ансамбль для частотных и фазовых систем являются общими. Показано, что свойствами хаотических колебаний в ансамблях частотных систем можно эффективно управлять с помощью параметров связей.
Рассмотрены вопросы синхронизации хаотических колебаний фазовых систем. Предложено использовать для синхронизации хаотических колебаний принцип автоподстройки. Продемонстрировано, что применение принципа автоподстройки позволяет повысить точность синхронизации хаотических колебаний, а также расширить области существования режима хаотической синхронизации в пространстве параметров как однокольцевых генераторов, так и генераторов объединенных в ансамбль. Установлено, что для процесса синхронизации хаотических колебаний характерна гистерезис-ность.-
Практическая значимость работы. Результаты изучения областей существования динамических режимов, условий их устойчивости и реализации могут использоваться как при создании радиотехнических устройств синхронизации и слежения регулярных сигналов, так и при конструировании генераторов хаотических колебаний.
Проведенные в диссертации исследования выполнены на основе моделей, являющихся базовыми в теории нелинейных колебаний, поэтому результаты представляют интерес для других приложений (взаимосвязанные джо-зефсоновские контакты, объекты типа "взаимосвязанные ротаторы", сети
генераторов, кольцевые автоколебательные системы и т.д.).
Результаты работы используются в учебном процессе на радиофизическом факультете ННГУ им. Н.И.Лобачевского. Методическая база и программные средства созданного программного комплекса моделирования нелинейной динамики многомерных систем предоставляют широкие возможности для поддержки процесса обучения по различным дисциплинам: теория колебаний и волн, теория управления, дифференциальные уравнения, математические модели естествознания и техники и др. Разработанные подход и средства моделирования могут быть использованы при изучении режимов поведения и расчета динамических характеристик различных типов конкретных динамических систем. В настоящее время созданный программный комплекс используется на радиофизическом факультете и факультете вычислительной математики и кибернетики ННГУ, ИПФ РАН, НИИ прикладной математики и кибернетики, ИМАШ РАН.
Основные положения и результаты, выносимые на защиту.
-
Подход к исследованию автомодуляционных режимов генераторов с частотным и фазовым управлением.
-
Основные свойства нелинейной динамики фазовой системы с фильтром второго порядка: сведения об автомодуляционных режимах и областях их существования в пространстве параметров, информация о зависимости областей с хаосом от вида нелинейной характеристики фазового дискриминатора и параметров цепей управления.
-
Основные свойства нелинейной динамики малых ансамблей фазовых систем с фильтрами первого и второго порядков: сведения о синхронных и автомодуляционных режимах, об областях их существования в пространстве параметров, информация о зависимости областей с хаосом от параметров цепей управления, структуры и силы связей.
-
Анализ хаотических колебаний в однокольцевых и малых ансамблях генераторов с частотным управлением: сведения о размерах и структуре областей существования хаотически модулированных колебаний, а также характеристики автомодуляционных колебаний в зависимости от вида нелинейной характеристики частотного дискриминатора, параметров цепей управления и связей.
-
Использование принципа автоподстройки для синхронизации хаотических колебаний.
Публикации и апробация результатов. Основные результаты представлены публикациями в российских научных журналах, рекомендованных ВАК. Результаты диссертации отражены в 130 публикациях, в том числе в 2 коллективных монографиях, 2 учебных пособиях, 29 статьях в центральных рецензируемых журналах, 9 статьях в научно-технических сборниках,
23 публикациях в сборниках трудов российских и международных конференций.
Результаты диссертации докладывались на Всероссийских (Всесоюзных) конференциях "Повышение качества и эффективности устройств синхронизации" (Каунас, 1982, Ярославль, 1993), "Качественная теория дифференциальных уравнений" (Иркутск, 1986), "Развитие и совершенствование устройств синхронизации в системах связи" (Горький, 1988), "Нелинейные колебания механических систем" (Н.Новгород, 1990, 1993, 1999, 2002, 2005), Научных сессиях НТОРЭС им.А.С.Попова, посвященных Дню радио (Москва, 1987, 1989, 1991, 1997, 1999, 2001, 2003, 2005, 2006), Научно-технических конференциях "Применение вычислительной техники в научных исследованиях" (Киев, 1989, Севастополь, 1990), Всесоюзной школе по стабилизации частоты (Канев, 1989), на Международных конференциях "Dynamic and stochastic wave phenomena- DSWP'94" (N.Novgorod, 1994), "Nonlinear Dynamics of Electron Systems - NDES" (Dublin, 1995, Seville, 1996, Moscow, 1997), "Contemporary Problems in the Theory of Dynamical Systems -CPTDS'96" (N.Novgorod, 1996), "Control of Oscillations and Chaos -COC'97" (St.Petersburg, 1997), "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления"(Москва, 1998), "IEEE Int. Conf. on Circuits and Systems for Communications" (New York, 1998, Moscow, 2004), "Int. Conf. dedicated to the 100th Anniversary of A.A. Andronov" (N.Novgorod, 2001), "Topical problem of nonlinear wave physics" (N.Novgorod, 2003, 2005), "Frontiers of Nonlinear Physics" (N.Novgorod, 2004), "8-th experimental chaos conference" (Florence, 2004), на Всероссийских научных конференциях "Нелинейные дни в Саратове" (Саратов, 1999), "Современные проблемы электроники и радиофизики СВЧ" (Саратов, 2001), "Устройства синхронизации, формирования и обработки сигналов для связи и вещания", (Н.Новгород, 2002, Самара, 2005), "Сверхширокополосные сигналы в радиолокации, связи и акустике" (Муром, 2003, 2006), на школах по нелинейным волнам (Н.Новгород, 2002, 2004, 2006), международных школах-семинарах "Хаотические автоколебания и образование структур" (Саратов, 1998, 2004), на научных конференциях по радиофизике (ННГУ, 1998-2003, 2005, 2006).
Личный вклад соискателя. В совместных работах [6-8,10,22,23,25,27, 30] соискателю принадлежит ведущая роль в постановке задач, объяснении и интерпретации рассматриваемых процессов и явлений. В остальных работах вклад соискателя эквивалентен вкладу соавторов. Все расчеты, связанные с компьютерным моделированием исследуемых систем, выполнены на основе разработанного соискателем программного комплекса лично автором, либо при его непосредственном участии. Участие в физических экспериментах заключалось в формулировке основных задач, выборе оптималь-
ных вариантов реализации эксперимента, обсуждении и сравнении результатов с теоретическим исследованием и компьютерным моделированием.
Структура и объем диссертации
Диссертация состоит из введения, восьми глав, заключения, списка литературы и изложена на 483 страницах, включает 222 рисунка. Список литературы содержит 221 наименования и занимает 25 страницы.
Бифуркационный анализ системы ФАП с фильтром второго порядка
Рассмотрение динамики модели ФАП с фильтром второго порядка начнем со случая \i . 1. При \х С тах(є, 1) система (1.3) является динамической системой с малыми параметрами при производной dz/dr. Полное движение в фазовом пространстве U разбивается [94] на "быстрые" и "медленные" движения. Поверхность UQ медленных движений, определяемая уравнением 7 — F(ip) — (1 -Ь nF ((p))y — ez = 0 является устойчивой по отношению к быстрым движениям. Уравнения медленных движений на поверхности UQ совпадают с уравнениями (1.2). Таким образом динамика системы ФАП с фильтром второго порядка при /J « 1 эквивалентна динамике ФАП с фильтром первого порядка.
При /J, не малых динамические процессы в системе (1.3) существенно усложняются. Появляются новые стационарные режимы, несвойственные двумерной модели (1.2), в частности хаотические. В силу существенной нелинейности и высокой размерности модели (1.3) ее исследование проводилось путем численного моделирования, основанного на методах теории колебаний и теории бифуркаций. При этом широко использовались результаты исследования системы (1.3), полученные при различных предположениях и различными методами [79-85j 4. Прежде всего это сведения о бифуркационных поверхностях, разделяющих пространство параметров системы (1.3) на области, где система глобально асимптотически устойчива, содержит циклы первого и второго рода, а также имеет счетное множество седловых циклов [81,84]. Что касается хаотических движений, то информация о них в ранних работах отсутствует. Одной из первых работ, где рассматривались хаотические аттракторы, является работа [А15]. В ней для системы (1.3) в случае F( p) = sirup, щ = щ = 0 путем численного моделирования установлено существование колебательных, вращательных и колебательно-вращательных хаотических аттракторов, и на плоскости параметров (/І, 7) при фиксированных є выделены области их существования. 8 работах [А20,А21,А31,А37,А47,А49,А65,А66] эти исследования были про должены. Исследованию хаотической динамики различных моделей ФАП посвящены работы [86-93]. Ниже представлены результаты исследования нелинейной динамики модели (1.3). Согласно [84] модель (1.3) обладает бесконечным числом бифуркаций, 4Более полный список работ, посвященных исследованию системы ФАП с фильтром второго порядка, можно найти в [44-47]. следовательно полный бифуркационный анализ не возможен. Проводимое ниже численное исследование не ставило своей целью нахождение наибольшего числа бифуркационных поверхностей, а было направлено на выделение в пространстве параметров модели областей с качественно различным динамическим поведением системы и изучение эволюции выделенных областей при изменении параметров модели. Анализ пространства параметров проводился в два этапа. На первом этапе для фиксированной характеристики ФД путем построения параметрических портретов в различных сечениях пространства параметров рассматривалась роль параметров фильтров и начальной частотной расстройки. На втором этапе анализировались изменения установленных структур при изменении формы характеристики ФД.
Изучение влияния параметров фильтра на динамические режимы будем проводить для синусоидальной характеристики фазового детектора, т.е. когда в уравнениях (1.3) F(ip) = smip в случае щ = ni = 0. При сделанных предположениях динамика модели (1.3) зависит от трех параметров 7, , Ц.. Уменьшим число параметров, положив 7 = 0. При сделанных предположениях система (1.3) обладает свойством симметрии относительно замены Пі : (ip,y,z) — (—ip,—y,—z). Представление о возможных режимах поведения системы (1.3) в этом случае дает бифуркационная диаграмма {/І,}, приведенная на рис.1.6. На этой диаграмме линия I, определяемая равенством /І = є, соответствует смене устойчивости состояния равновесия Oi{ip=0,y=0,2=0) и рождению колебательного предельного цикла LQ. Линия II отвечает мягкому отрождению от цикла LQ пары асимметричных колебательных циклов Loi и LQ2, при этом цикл LQ становится неустойчивым. Линия III ограничивает снизу область существования циклов LQI И 02- Линия IV соответствует возникновению в фазовом пространстве системы (1.3) колебательных аттракторов с проворотом.
Динамика модели ЧФАП с идентичными фильтрами 1-го порядка в цепях управления
Рассмотрим динамику модели ЧФАП с инвертированной нелинейной характеристикой частотного дискриминатора, т.е. когда в (2.5) /3 0,Ь 0 [А44]. Будем исследовать влияние параметра Ь, характеризующего степень влияния петли частотного управления на устойчивость синхронного режима. Система (2.5) при 0 7 1 имеет два состояния равновесия Oi( i, 0) и ОгО/ 0)-Состояния равновесия ( есть седло, а состояния равновесия 0\ устойчиво при Ь bs — -1/(2(3) и неустойчиво при b bs. Смена устойчивости 01 происходит в результате бифуркации Андронова-Хопфа. Поскольку первая ляпуновская величина L = 97г4л/1 — 72(/ )3 в рассматриваемом случае {р 0) отрицательна, то смена устойчивости происходит мягко, т.е. сопровождается рождением устойчивого колебательного предельного цикла LQ. Таким образом, введение в ФАП дополнительной положительной обратной связи по частоте может приводить к возникновению квазисинхронных колебаний. Другие особенности динамического поведения рассматриваемой модели в зависимости от параметров 6,7 проиллюстрированы на рис.2.За качественно, поскольку реальные размеры областей существования большинства фазовых структур крайне малы, о чем свидетельствует рис.2.Зб,в. На рис.2.3 бифуркационные кривые, в обозначениях которых в нижнем индексе присутствует буква р, соответствуют петлям сепаратрис, а кривые с индексом с - двукратным предельным циклам. При этом ноль в нижнем индексе означает, что эта петля или двойной предельный цикл не охватывают фазовый цилиндр, а единица и двойка обозначают петли сепаратрис или двойные предельные циклы второго рода, расположенные на фазовом цилиндре UQ В областях х 0 и х 0 соответственно. Прямая 7 = 7s отвечает бифуркации Андронова-Хопфа, а штрих пунктирная прямая 7 = 1 является границей области существования состояния равновесия. Точка А лежит на прямой 7 = Ъ\ и соответствует обращению в ноль седловой величины а в ноль. Слева от точки А а 0, здесь при пересечении кривой В зависимости от значений параметров в системе может реализовывать-ся четырнадцать различных типов фазового портрета. Характер перестроек фазового портрета и режимов динамического поведения системы при изменении параметров представлен в таблице 2.1, из которой следует, что в зависимости от значений параметров и собственного начального состояния системы возможно четыре различных исходов динамического поведения ЧФАП с инвертированной характеристикой ЧД: установление синхронного режима синхронизации /s, квазисинхронного режима Д и режимов биений 1\ или 1ч.
Из представленных результатов исследования следует, что при малых значениях Ь поведение ЧФАП качественно не отличается от поведения ФАП. Увеличение Ь приводит к мягкой потере устойчивости синхронного режима и возникновению на выходе управляемого генератора модулированных колебаний, стабилизированных опорным сигналом. Смена устойчивости синхронного режима влечет за собой большое разнообразие динамического поведения системы ЧФАП.
Рассмотрим случай, когда инерционности частотной и фазовой цепей управления неодинаковы, т.е. параметр є ф 1 и динамические процессы, протекающие в ЧФАП описывается моделью (2.2). Динамика ЧФАП в асимптотических случаях, когда постоянные времени фильтра в частотном или фазовом кольцах, малы рассмотрены в работах [97] и [98] соответственно. Показано, что в обоих случаях задача изучения динамики сводится к изучению нелинейного дифференциального уравнения третьего порядка с ма лым параметром при старшей производной, дано качественное исследование системы на поверхности медленных движений. Поскольку на поверхности медленных движений динамика системы описывается уравнением второго порядка, то в рассмотренных асимптотических случаях колебания на выходе управляемого генератора могут быть только регулярными. В [98] установлено, что в системе ЧФАП с малоинерционной фазовой цепью управления полосы захвата и удержания синхронного режима совпадают. В [97] показано, что дополнение ФАП малоинерционной частотной цепью управления приводит к увеличению полосы захвата при сохранении характера перестроек динамики на границе. Таким образом, сложная динамика в системе ЧФАП с фильтрами первого порядка если возможна, то она должна реализовываться при небольших рассогласованиях постоянных времени фильтров в частотном и фазовом кольцах. Ниже представлены результаты компьютерного моделирования модели (2.2), которые свидетельствуют, что при небольших рассогласованиях 7\ и Ті система ЧФАП может демонстрировать автомодуляционные колебания различной сложности, вплоть до хаотических [А69].
Динамика ансамбля с малоинерционными цепями управления
Исследование динамических свойств рассматриваемых автогенераторных систем по их математическим моделям базируется на взаимно однозначном соответствии между динамическими режимами управляемых генераторов и аттракторами математических моделей, определенными в соответствующих фазовых пространствах. Фазовые пространства моделей систем ФАП имеют характерную особенность, а именно они содержат угловую (циклическую) координату (р. Это отражается на характере поведения фазовых траекторий и соответственно на динамических режимах как одиночных систем ФАП, так и ансамблей ФАП.
Модели одиночной ФАП определены в цилиндрических фазовых пространствах с одной угловой координатой /?. Аттракторы, существующие в таких пространствах, разделяются на два класса [10G, 110], охватывающие и не охватывающие фазовый цилиндр. Аттракторы, не охватывающие фазовый цилиндр (ограниченные по угловой координате с,?), называются колебательными. Они соответствуют квазисинхронным режимам, в которых на выходе ФАП имеют место модулированные колебания со средней частотой, стабилизированной по опорной частоте1.
Аттракторы, охватывающие фазовый цилиндр (не ограниченные по р), называются вращательными и соответствуют режимам биений, в которых разность фаз подстраиваемого и опорного сигналов постоянно растет, а средняя разность частот равна, некоторой постоянной величине. исключение составляют устойчивые состояния равновесия, соответствующие режиму синхронизации генератора опорным сигналом.
Модели, описывающие коллективную динамику ансамблей из п систем ФАП, определены в цилиндрических фазовых пространствах, содержащих п угловых координат. В силу этого число различных классов аттракторов у таких моделей равно 2П, что определяет большое разнообразие режимов коллективного поведения ансамблей, в том числе и хаотических [А53]. Коллективная динамика ансамблей ФАП определяется аттракторами в глобальных фазовых пространствах соответствующих математических моделей. Динамика отдельных ФАП, входящих в состав ансамбля, определяется проекциями аттракторов на соответствующие локальные подпространства. Для рассматриваемого ансамбля, состоящего из двух ФАП с фильтрами второго порядка, динамика ФАПі зависит от вида проекции аттрактора модели (3.3) на локальное подпространство V\ — { i(mod27r),?/i,zi}, ФАП2 - от вида проекции аттрактора на локальное подпространство Vi = { 2(mod27r), 2/2) 2}- Размерность локального подпространства определяется числом фазовых переменных, с помощью которых описывается состояние отдельной системы ФАП в ансамбле. Поскольку в модели (3.3) состояние j—го генератора характеризуется тремя фазовыми переменными pj, г/j и z$, то размерность локальных подпространств dim(Uj) = 2. В модели (3.4) состояние j-ro генератора характеризуется двумя фазовыми переменными pj и Uj, а в модели (3.5) - одной переменной pj, поэтому размерность локальных подпространств для этих моделей соответственно равны dimiVj) = 2 и dim(Tj) = 1, где j = 1,2. Если проекция аттрактора на соответствующее локальное подпространство ограничена по pj, то это означает, что j—я система ФАП функционирует либо в синхронном, либо в квазисинхронном режиме, в противном случае j—я система ФАП находится в режиме биений. Для ФАП, находящихся в синхронных режимах, проекции аттракторов на соответствующие локальные подпространства представляют собой точку. Коллективное поведение ансамбля, состоящего из п ФАП, можно характеризовать индексом вращения (индексом квазисипхроппзма) [Іі,І2,Із,—,Іп] где //=1, если по координате ipj происходит вращение, и lj=0 в противном случае. Отсутствие вращения по координатам pj означает, что генераторы работают в квазисинхронном режиме, когда остальные генераторы находятся в режиме биений. При этом если аттрактор хаотический, то на выходе генераторов имеют место либо ХМК, либо хаотпм -кие биения.
На рис.3.2 в качество примера приведены двумерные проекции некоторых аттракторов модели (3.3), отражающие различные режимы коллективного поведения рассматриваемого ансамбля. Аттракторы на рие.3.2а,в,д имеют индекс вращения [0,0], при этом рис.3.2а соответствует режиму синхронизации ФАПі и регулярному квазисинхронному режиму ФАІІ2, рис.3.26 - регулярным квазисинхронным режимам ФАПі и ФАП2, рпс.3.2д - режимам ХМК на выходе ФАЩ и ФАП2. Аттракторы на рис.3.2б,е имеют индекс вращения [0,1]. Здесь рис.3.26 соответствует режиму синхронизации ФАПі и регулярному режиму биений ФАГІ2, рис.3.2е представляет режим ХМК в системе ФАПі и режим хаотических биений в ФАГІ2. Аттрактор с индексом [1,0] на рис.3.2г отражает регулярный режим биений в системе ФАЩ и регулярный квазисинхронный режим в системе ФАПі. Наконец, аттракторы на рис.3.2ж,з имеют индекс вращения [1,1] и соответствуют регулярным и хаотическим режимам биений. Из представленных иллюстраций видно, что система двух каскадно связанных ФАП обладает большим разнообразием режимов коллективного поведения, при этом распознать эти режимы по виду проекций аттракторов на локальные подпространства не всегда представляется возможным. Для достоверного установления типа динамического режима необходимо привлечение дополнительных вычислительных процедур, например, вычисление ляпуновских показателе;!. Определение индекса вращения в совокупности с вычислением максимального ляпуновско-го показателя позволяет однозначно определить режим функционирования генераторов ансамбля.
Исходя из выше сказанного динамические режимы ансамбля могут быть классифицированы следующим образом: режим глобальной синхронизации - режим, при котором все управляемые генераторы синхронизированы относительно опорного сигнала. Этому режиму в фазовых пространствах соответствующих математических моделей отвечают устойчивые состояния равновесия. режимы частичной синхронизации - режимы, когда синхронизированы лишь отдельные генераторы. Этому режиму отвечают колебательно-вращательные аттракторы, у которых хотя бы одна,, из проекций на локальные подпространства вырождается в точку. глобальный квазисинхронный режим - режим, и котором на выходе всех генераторов ансамбля имеют место модули] она иные колебания. Этому режиму отвечают колебательные аттракторы.
Регулярные квазисинхронные режимы и механизмы их возникновения
Система (3.5) при 5 ф0, аналогично случаю 6 = 0, инвариантна относительно преобразования Пі и ее динамику достаточно рассматривать в области 7 0. Введение дополнительной связи "вперед" при к, = 0 не вносит существенных изменений в динамику ансамбля, поэтому основное внимание сосредоточим на изучении влияния параметра 8 при к ф 0.
В случае 5 ф 0 и к ф 0 система (3.5) имеет четыре состояния равновесия, определяемые выражениями (7.7) и (3.10). Анализируя условия локальной устойчивости (3.12) устанавливаем, что состояние равновесия 0\ является устойчивым в области состояние равновесия ( устойчиво в области устойчиво в области CS2 где кривые 7sb7s2 смены устойчивости определяются выражением (3.13). Таким образом область Cs состоит из четырех подобластей CS=CS\ U CS2 U Csz U CS4, где реализуются синхронные режимы Isi, Is2i hbi ISA Рассмотрение влияния дополнительной связи "вперед" на автомодуляционные режимы начнем со случая, когда эта связь положительная и слабая. На рис.3.14 представлен фрагмент плоскости (к,7), содержащий основные бифуркации модели (3.5) при 5 = 0.1. На нем сохранены обозначения кривых и областей, принятые ранее для параметрического портрета в случае 5 = 0. Сравнение параметрических портретов на рис.3.12 и рис.3.14 свидетельствует, что введение слабой дополнительной связи "вперед" не приводит к качественным изменениям в структуре приведенного фрагмента пространства параметров, изменения в этой области параметров носят количественный характер. Качественные изменения в системе происходят в области к 1/5, где появляется подобласть CQ2, при значениях параметров из которой в ансамбле устанавливается глобально устойчивый синхронный режим IS2- Режиму IS2 в фазовом пространстве модели (3.5) соответствует устойчивое состояние равновесия (.
Приведенный на рис.3.14 параметрический портрет дает представление о характере и взаимном расположении областей с различными динамическими режимами каскадной системы, позволяет выделить области захвата в синхронные режимы Isi и І53) определить характер их границ, проанализировать возможные перестройки динамических режимов при выходе системы из областей захвата. Область захвата в синхронные режимы Dz при 5 = 0.1 состоит из трех областей: Dz\ = {0 7 nrinfroi» 7s»7oi» Й% гДе захват осуществляется в режим Is\, Dzz — {max(0,7si) 7 тпі(7іо fef)} с синхронным режимом Іаз и Dz2 - {0 7 і[ї г к V } с синхронным режимом IS2. Границами этих областей являются кривые, отвечающие бифуркациям петель сепаратрис седла 02, двойным предельным циклам, смене устойчивости и исчезновению состояний равновесия Так как слои гарантированной синхронизации между областями Dij являются весьма узкими, то при выделении области захвата они не учитываются, а в качестве границы области гарантированной синхронизации используется кривая 7Г Бифуркационная кривая 7 = 1д{&, $) соответствует совпадению сепаратрисы R,2 седла 02 и сепаратрисы седла 04, к этой кривой примыкают области Д_ід,г = 1,2,3....
Теперь рассмотрим эволюцию параметрического портрета {7, к} модели (3.5) при изменении параметра S. Здесь прежде всего будем интересоваться областями существования и устойчивости (областями захвата) синхронных и квазисинхронных режимов. Эволюцию областей существования синхронных и квазисинхронных режимов при увеличении 5 иллюстрируют рис.3.15. Увеличение параметра 5 на интервале когда связь можно считать слабой, ведет к следующим изменениям динамических характеристик: область 0Q2 увеличивается, при этом синхронный режим /52 остается глобально устойчивым, а область его существования совпадает с областью захвата DZ2 = 002;
Изменения в характере границ связаны с тем, что при увеличении 8 из состава области Dz\ уходит область Вт, а также с последовательным вымиранием областей Д),і (при 8 = 0.27), D\ (при 8 = 0.49), 2)2,3 (при 8 = 0.61), 1 з,4 (при 8 = 0.67) и т.д.; - область существования Соз синхронного режима /51 и область Ck квазисинхронного режима 1% уменьшаются.
При 5=1 второе уравнение модели (3.5) не зависит от ірі и все сведения о динамике модели можно получить на основе одного уравнения (3.7). При 5=1 колебания на выходе ФАПі и ФАЩ идентичны: если 7 1, в ансамбле реализуется режим синхронизации с ошибками ір\ = pl, при режим биений.
Увеличение параметра 5 в интервале 5 1 влечет за собой возникновение областей Дц И Difi, т.е. в ансамбле возникают частичные квазисинхронные режимы, причем появляются эти области вне области С5, следовательно, области Ск\ и Cki существования квазисинхрониых режимов в ФАПі и ФАЩ соответственно, при значениях 5 незначительно превышающих единицу, являются областями захвата в эти режимы iju и fa (С&і — Си, Gk2 — СЫ-Дальнейшее усиление связи вперед приводит к проникновению областей Д-j в область существования синхронных режимов - сначала в область СЬг, а затем в область Сої- В результате нарушается глобальная устойчивость синхронных режимов, теперь области захвата в синхронные режимы не совпадают с областями их существования. Области Си и С\а существования квазисинхронных режимов расширяются и проникают в область Cs. Это, с одной стороны, нарушает устойчивость синхронных режимов, с другой стороны, синхронные режимы нарушают глобальную устойчивость квазисинхронных режимов. Области захвата в квазисинхронные режимы fa и fa теперь соответственно равны Си = Си \ (Са ПСи) и Си = Си \ (С8 ПСи). Отметим, что возникающие области Д-j, аналогично случаю 5 1, образуют "слоистую" структуру пространства параметров и примыкают в области Со2 к кривой 7 = 7рі(я ) а в области Сої к кривой 7 = 7 ( )- Кривые Тої и т#2 соответствуют совпадениям сепаратрис седел Сі, Сз и Ог, Сі, не охватывающим тор Г. Эти кривые могут рассматриваться в качестве границ области захвата.
