Введение к работе
Актуальность раоотн. Современный зтап развития теории автоматического управления характеризуется как стремлением к анализу и пзреосшелонига огромного материала, накопленного этой наукой, так и созданием новых, более общих и содержательных точек зрения и методов исследования. Здесь актуальными и важными являются такие направления исследований, как анализ и обобщение основных понятий теории управления (таких, например, как "система", "состояние", "передаточная функция", "импульсная характеристика" и т.п.), разработка новых общих математических моделей современных-сложных систем управления, разработка качественных и приближенных методов исследования динамики таких систем. .Указанным направлениям исследований посвящены многочисленные статьи и монографии.
Среди возникших в последние годы и уже нашедших многочисленные приложения- общих методов описания и анализа широких классов современных сложных систем управления следует упомянуть методы исследования бинарных систем, иерархических структур, рассинхронизировеняых- систем, .систем с гистерезисом (С.В.Емельянов, М.'А.Красносельский, Н.А.Кузнецов, Н.Н.Моисет -ев, А.В.Покровский-и др.).
Классические постановки задач теории управления обычно предполагают, что'будущие состояния рассматриваемой системы не зависят от прошлых состояний и определяются только её настоящим. Однако, при более-тщательном анализе часто становится очевидным, что такое предположение - это лишь первое приближение к истинной ситуации, и более реалистическая модель должна включать некоторые из предшествующих состояний -системы. Более того, многие задачи теряют смысл,-если ке учитываются зависимости от промого.
По-видимому, одним из первых, кто ясно указал на важ- . ность учёта запаздываний в математических моделях сложных систем управления, был Н.минорски ( У. Ml п, о Г sky ), который в появившихся в конце-тридцатых и начало сороковых годов
- 2 -работах, посвященных стабилизации курса корабля и автоматическому управлению его движением, ввёл в рассмотрение запаздывания в механизме обратной связи. Его работы вызвали большой интерес к теории автоматического регулирования у математиков и способствовали быстрому развитию теории дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом.
Основы общей теории линейных систем с запаздыванием были заложены А.Д.Мышкисом, который ввёл в рассмотрение общий класс уравнений с запаздывающим аргументом. Существенный вклад в развитие теории таких уравнений внесли работы Р.Бел-лмана, А.М.Зверкша, К.Кука, Дж.Хэйла, Л.Э.Эльсгольца и других математиков.
Значительный интерес математиков к теории управления вызывается , в первую очередь, большим количеством математических задач, возникающих в сзязи с исследованием конкретных систем, содержащих запаздывания. Обычно для каждой такой системы конструировалась своя описываемая тем или иным типом уравнений с запаздывающим аргументом математическая модель, по которой затем определялись основные характеристики системы и разрабатывались методы исследования её динамики. Новые приложения продолжают возникать и требуют изменения (или даже определения заново) основных уравнений. Это обычно приводит к необходимости существенного пересмотра старых или разработки новых методов исследования таких систем.
Представляется актуальным и важным рассмотрение задач исследования систем управления, содержащих запаздывания, с единых и достаточно общих позиций, позволяющих, с одной стороны, охватить возможно более широкий класс возникающих в приложениях систем, а с другой стороны, являющихся естественным продолжением классических подходов к исследованию систем управления. Здесь особенно актуальны исследования линейных звеньев, изучение основных свойств их характеристик, а также разработка методов вычисления этих характеристик.
Одной из основных при исследовании динамики системы управления является задача о ее периодических колебаниях. Естественными в периодической задаче являются вопросы о том, при
- з -каких услс: .<:: з рассматриваемой системе исгут возникать (или, наобс-:;'/.", отсутствовать) периодические колебания, устойчивы ли они, каковы их период и амплитуда и т.п. Эффективные методы исследования периодических задач разработаны и детально изучены в работах Н.Н.Боголюбова, Ю.А.Митрополь-ского, И.Г.Малкина, Ю.И.НеЗмарка, Е.П.Попова, И.Г.Пальтова, Е.Н.Розенвассера и других авторов. Детальное исследование задач о периодических режимах широкого класса регулируемых систем с последействием было проведено В.Б.Колмановским и В.Р.Носовым.
Важным понятием в периодической задаче для систем управления является понятие импулъсно-частотной характеристики линейного звена и связанного с ним оператора периодической задачи. Представляется актуальным проведение анализа и изучение обишх свойств оператора периодической задачи и импулъсно-частотной характеристики линейного звена, содержащего запаздывания, а также разработка новых общих методов вычисления этих характеристик.
В периодической задаче для автономных систем одним из наиболее интересных (и важных с точки зрения приложений) является вопрос о возникновении незатухающих периодических колебаний малой амплитуды вследствие потери устойчивости стационарных состояний системы. Возникновению автоколебаний из стационарных состояний в математической постановке отвечает бифуркация Андронова-йопфа. Исследованию указанного явления посвящено большое число работ (как теоретического, так и прикладного характера).
Особый интерес в задаче о бифуркации Андронова-Хопфа вызывают вопросы приближенного расчета бифурцирующих решений, их перио' і и значений параметров. Известные алгоритмы основаны на бифуркационных формулах, на методах усреднения, на методе неопределенных параметров. В то же время, практически не применяются итерационные процедуры; последнее связано в основном с неизолированностью бифурцирующих решений. Поэтому представляет интерес разработка итерационных процедур численного исследования бифуркации на основе предложенного
-_4_-M.А.Красносельским метода функционализавди параметра, который позволяет переходить от задач с континуумами решений к эквивалентным в естественном смысле задачам с изолированны- -ми решениями.
Одним из наиболее эффективных методов исследования вынужденных колебаний нелинейных систем управления является метод гармонического баланса. Вызывает интерес изучение достаточно общих условий реализуемости этого метода в задаче приближенного исследования вынужденных колебаний сложных нелинейных систем с запаздыванием. .-'*'"
Цель работы.Исследование процессов функционирования систем управления, содержащих сложные запаздывания. Построение и анализ математических моделей линейных звеньев со сложными-запаздываниями, изучение основных свойств и разработка методов ВЫЧИСЛЭНВЯ ЕХ ЖЗрайїврИСЇІІК.
Анализ и изучение общих свойств оператора периодической , задачи и импульсно-чаЬтотной характеристики (ИЧЇ) линейного звена со сложными загаздавашшш, разработка методов построения ИЧХ. Исследование признаков знакоопределенности ІЇЧХ, приложения в задаче о положительных периодических колебаниях нелинейных систем, содэраащих сложные запазднвакият
Разработка итерационных процедур- численного исследования бифуркации Андршова-Хопфа в системах, как содержащих сложные запаздывания, так н не содержащих таковых.
Изучение условий реализуемости и сходимости метода гар-.монического баланса в задача приближенного исследования вынужденных колебаний сложных нелинейных систем' с аапаздывани-
ЯМИ. ._ ;. .
Научная новизна. Разработаны и исследованы новые ьатема-ткческие модели систем управления, содержащих сложные запаздывания. Изучены процессы функционирования линейных звеньев , со сложными запаздываниями, разработаны методы построения импульсных характеристик таких звеньев.
Исследованы свойства оператора периодической 'задачи для линейного звена со сложными запаздываниями в различных функциональных пространствах, изучены общие функциональные свой-
-5--ства импульс::':-частотных характеристик (ИЧХ) таких звеньев. Получены разложения ИЧХ в ряды по экспоненциальным решениям однородных уравнений.
Установлены признаки знакоопределенности и высокочастотной знакоопределенности ИЧХ. Изучены вопросы существования положительных периодических колебаний нелинейных систем со сложными запаздываниями.
Разработаны новые, итерационные процедуры исследования бифуркационных задач для нелинейных автономных систем, содержащих сложные запаздывания и не содержащих таковых. Установлена сходимость, скорость сходимости к бифурцирующим решениям. На основе предложенных итерационных процедур разработаны алгоритмы и программы численного исследования бифуркации.
Исследованы условия реализуемости и равномерной сходимости метода гармонического баланса в задаче приближенного исследования вынужденных периодических колебаний сложных нелинейных систем, содержащих запаздывания.
Практическая и теоретическая ценность. Работа теоретическая. В ней проведен анализ процессов функционирования систем управления, содержащих сложные запаздывания, разработаны методы исследования периодических колебаний таких систем, предложены процедуры их приближенного построения. Развитые в работе методы могут быть использованы при исследовании конкретных регулируемых систем с запаздываниями, предлагаемые процедуры и алгоритмы приближенного расчета периодических колебаний могут служить основой для разработки программ численного исследования колебательных процессов в сложных нелинейных системах.
Методы исследования. 3 работе использованы общие методы теории управления, теории систем, теории дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом, функционального анализа, теории функций, комплексного анализа, обобщенных функций, приближенные методы решения операторных уравнений.
Апробация работы. Отдельные части диссертационной работы докладывались на XI Всесоюзном совещании "Проблемы упра-
вления-89" (г. Ташкент, 1989 г.), на Всесоюзной конференции по теории и приложениям функдаонально-даффэренциальных уравнений (г. Душанбе, 1987 г.), на посвященной памяти Т.Собинова научной конференции "О некоторых применениях функционального анализа в теории дифференциальных уравнений" (г. Душанбе , 1990 г.), на научной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения" (г. Куляб, I9SI г.), на научной конференции "Комплексный анализ уравнений в частных производных" (г. Душанбе, 1992 г.), на научной конференции по нелинейным проблемам дифференциальных уравнений и математической физики (вторые Боголюбовские чтения) (г. Душанбе, 1992 г.), на посвященной семидесятилетию М.А.Красносельского научной конференции (г. Воронен, 1990 г.), на научных семінарах Института проблем управления Российской Академии наук (1986-1992 гг.), Института проблем передачи информации Российской Академии наук (1990-1992. гг.), Математического института с Вычислительным центром Академии наук Республики Таджикистан (1985-1992 гг.), Таджикского госуниверситета (1986-1992 гг.).