Введение к работе
Актуальность томн и цель работы. Во многих областях науки и техшїкй-чйБто" ТиТГшїкаіо^ТплаодТПкоторио приводят к реобходимости решения интегральных уравнений шрного рода
г
/!KL'2] -- Г K(xte)z(s)cLa = u(x) , -Kr
-1 где 2Г(х,а) непрерывно по совокупности переменных в области
{-t4T.«
К таким задачам, имоицим вазкноо практическое значение, относятся: обработка и интерпретация .геофизических наблюдение, задача о восстановлении формы сингалов, искаженных приборами или OKpyscwii»3 сі.";д,от*, яудача шчттоліттельной томография и т.н.
кінла-ш (і) нрипадлоамт классу некорректно постаплоппих надам, т.о. іл;усголчвшх о'ЛіОейтолши мялш домошний входящих данных, поэтому для ее устойчивого приближенного решения применяют метод регуляризации, осноьашшй на Ж'полыювании дополнительной информации оО искомом решения.
НнпрерШ'лшо ііли дафїорніщтіруймиу рі;;'!.'у.'!ярі>.';.ирг.іггіііе решения уравнения (1) можно получить , минимизируя еглаквдакгдим фушециопал вида:
fHz,u] - \akvA - up і- ОШ'З] , (г)
когда стабилизирующий функционал Q[z] (стабилизатор) ялляотся
нормой пространства Гь или їС (п>1), соотнетотгенпо, а невязка берется г.<. нормо пространства L.,. Использование традидаошшх
рогуляризаторон (норм пространств 1ц и ?^) но дает нужной точности при любих значениях а>о - параметра регуляризации ь случав, когда точное решение имеет разриш нерього или нторого рода. При малчх а возникают осцилляции, а іфи больших - заглаотвашю в окрестности раарняои.
Построение разришіїх. регул.призонашшх решений интегрального урзвнония протерпело сужистногаїую эволюцию. Вначале регуляризован -
вне решения строились в предположении априори задаваемых коорданш точек разрнвов первого рода и величин скачков [1]. В работе [5] возможность разрнвов первого рода у функции предполагалась точках заданного множества (как правило в точках выбранной сетки] и уже но требовалась информация о величине скачка. Одаим иї способов построения регуляризовшншх решений, имеющих разрыв} первого рода - было использование в стабилизаторе нормі эквивалентной вариации i3j, но ато не позволило строит: регуляризоЕяшшо решения, имеющие разрывы второго рода и перейти ; многомерному случаю. Дальнейшее снятие ограничений и возможном рассмотрения многомерных; регуляризованнпх решений, имеющих разрнв как первого, так и второго рода было проведені в [2,4]. В не впервые было показано, что использование норм пространст Никольского-Бесова для невязки и стабилизатора функционала (2 позволяет получить разрывные и неограниченные решешш дл интегральных уравнений типа свертки
К * z = и , (3)
в котором К и и заданы, a z - искомая.
Целью диссертации является построение и иселедоваш разрывных регуляризованных решений уравнения (3) с неточі заданным ядром и правой частью в периодическом и в непериодическ случаях, я также разработка алгоритма нахождения приближенно решения в пространствах Никольского-Бесова для уравнения (1 заданного на конечном интервале. При этом ми характериоу априорную информацию о точном решении уравнений (1) и ( включо-нием его в то или иное пространство Никольского-Бесова с т или иным (в том числе малым) порядком гладкости.
Методика исследования. Рассмотренные задачи обуславлнв?
необхЬдашооть"П^"6льяовашя теории преобразования Фурье, ря,і
Фурье, функциональных пространств и аппарата вариационна
исчисления.
Научная новизна и практическая ценность. Результ;
диссертации являются новыми. В диссертационной работе:
-
Определены и изучены новые регуляризованные решения уравнений типа свёртки для периодических функций, когда правая часть задана с погрешностью. Установлены классы гладкости регуляризованных решений уравнения типа свёртки с ядрами степенного типа. Для уравнении с указанным типом ядер установлены оценки уклонения регуляризованного решения от точного в пространствах Никольского - Бесова.
-
Определены и изучены новые регуляризованные решения уравнений типа свертки с неточно заданными ядром и правой частью в периодическом и непериодическом случаях. Здесь такие получены оценки уклонения регуляризованного решения от точного в пространствах Никольского - Бесова.
-
Получено уравнение Эйлера для сглаживающего функционала, записанного в нормах пространств Никольского -
- Бесова, для общего интегрального оператора с непрерывным ядром на конечном интервале.
4. Приведены примеры практических задач с результатами
численных расчетов на ЭВМ, использующих дискретный аналог
норм пространств Никольского - Бесова в сглаживаживающем
функционале.
Результаты диссертации могут быть использованы для построения и обоснования новых численных методов приближённого решения интегральных уравнений первого рода.
Апробация работы. Результаты по мере их получения докладывались на научных сешшарах кафедры дифференциальных уравнений и функционального анализа РУДН, ежегодных научных конференциях факультета физико-математических и естественных наук РУДН, а также на конференциях молодых ученых и специалистов РУДН.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [8-13].
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, состоящих из 15 параграфов, заключения и
сішска литературы, содержащего 56 наименований. Обший объем диссертации - 116 страниц машинописного текста.
