Введение к работе
Актуальность темы. В течение нескольких последних десятилетий в различных областях науки и техники вс г более широкое распространение получают так называемые композиционные материалы или композиты, то есть неоднородные материалы, состоящие из чередующихся (в т.ч. и периодически повторяющихся) фрагментов определенной структуры. Исследование процессов в такого рода средах приводит к дифференциальным уравнениям с периодическими коэффициентами. И поскольку размеры ячейки периодичности, как правило, существенно меньше глобальных размеров исследуемого объекта, то численное решение подобных уравнение требует большого количества вычислений и становится практически невозможным.
Развитый в последнее время метод осреднения, основанный на идее разделения быстрых и медленных составляющих решения позволяет получать уравнения с т.н. эффективными коэффициентами, которые либо постоянны, либо меняются слабо. Численное решение осредненных задач существенно менее трудоемко, нежели исходных.
К настоящему времени накопилось огромное количество работ, связанных с исследованием дифференциальных уравнений с быстроосциллирующими коэффициентами с помощью метода осреднения. Сюда относятся труды E.De Giorgi, E.Sanchez-Palencia, J.L.Lions, Н.С.Бахвалова, В.В.Жикова, О.А.Олейник и других.
Особый случай представляют ситуации, когда хотя бы один из размеров тела сопоставим по порядку с характерным разме-
ром ячейки периодичности. В работе D.Caillerie [6] рассмотрена система уравнений теории упругости в тонком неоднородном цилиндре, когда период неоднородностей и высота цилиндра одного порядка. В работах Г.П.Панасенко [2], М.В.Резцова [4] исследуются задачи теории упругости в неоднородной пластине толщины є с характерным периодом неоднородностей также е.
Наконец, с начала 80-х годов стали появляться работы, в которых рассматриваются композиты с двумя малыми параметрами, характеризующими ячейку периодичности (см., например, работы Г.И.Пшеничнова [3], М.В.Резцова [5]). Такая структура среды, естественно, влечет за собой необходимость асимптотического исследования решений соответствующих задач в зависимости от двух малых параметров. Эта проблема и является предметом изучения в данной диссертации.
Цель работы и общие методы исследования. Целью работы является построение полного асимптотического разложения решения стационарной задачи теплопроводности в композитах с несколькими малыми параметрами. Формальное построение ведется с помощью метода осреднения, предложенного Н.С.Бахва-ловым ([1]). Доказательство эллиптичности осредненного уравнения и оценки близости точного и приближенного решений проводятся с использованием методов вариационного исчисления и теории дифференциальных уравнений с частными производными.
Научная новизна. В диссертации получены следующие новые результаты:
1) На основе метода осреднения разработан и обоснован метод построения приближенного решения любого порядка для случая композита с несколькими малыми параметрами;
(
2) Изложена процедура построения формального аснмпто-
, тического решения стационарного уравнения теплопровод
ности, заданного в различных композиционных средах с
двумя и с тремя малыми параметрами; \
-
Для каждой задачи доказаны симметрия и положительная определенность системы коэффициентов главной части осредненного уравнения;
-
В интегральных нормах доказаны оценки близости точного и приближенного решений.
Теоретическая и практическая ценность. Разработанный метод дает возможность в случае гладких и ряда разрывных коэффициентов получить осредненное уравнение желаемого порядка точности и построить асимптотическое решение задачи, минуя операции с малыми параметрами и не прибегая к численному решению трехмерного эллиптического уравнения на ячейке периодичности. Более того, в случае трех параметров все ячеечные задачи решаются аналитически, что позволяет отыскать
осредненные коэффициенты уравнения и нулевое приближение,
не вычисляя компоненты ряда, зависящие от быстрых перемен-
ных. Результаты диссертации могут быть также использованы
при чтении спецкурсов по численно-асимптотическим методам в различных высших учебных заведениях.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на:
конференции молодых ученых МФТИ (ноябрь 1992г.);
научно-исследовательском семинаре НИВЦ МГУ под руководством д.ф.-м.н. Жилейкина Я.М. (февраль 1994г.);
- научно-исследовательском семинаре под руководством .
д.ф.-м.н. Пшеничнова Г.И. в Вычислительном центре РАН (февраль 1994г.);
научно-исследовательском семинаре кафедры спецкурсов высшей математики Московского Энергетического Института (март 1994г.);
научно-исследовательском семинаре кафедры математического моделирования Московского Энергетического Института (апрель 1994г.);
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [7]-[9].
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы из 29 наименований, включая работы автора. Объем работы составляет 142 машинописных страницы.
