Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1 Теоретические исследования 25
1. Постановка краевой задачи 25
2. Краевая задача для «квазилинейного» случая 29
3. Исследование нелинейного дифференциального уравнения дивергентного типа 37
3.1. Преобразование Лежандра 37
3.2. Поиск частных решений 41
3.3. Поведение решения 45
3.4. Условие эллиптичности 49
3.5. Замечания 52
4. Краевая задача для нелинейного дифференциального уравнения 54
4.1. Оценка |Vw| для краевой задачи 54
4.2. Численный алгоритм решения краевой задачи 62
5. Исследование задачи магнитостатики в окрестности угловой точки ферромагнетика 68
5.1. Возможность построения решения задачи магнитостатики с неограниченным |Vw| 68
5.2. Оценка роста магнитного поля в окрестности угловой точки 76
5.3. Метод сгущения сетки в окрестности угловой точки 80
ГЛАВА 2 Численные расчеты 84
1. Модельная задача для области с углом 84
2. Расчет магнитного поля в окрестности угловой точки 89
3. Моделирование магнитной системы СП-94 для эксперимента Дельта-Сигма (ЛВЭ, ОИЯИ) 91
Заключение
Литература
- Исследование нелинейного дифференциального уравнения дивергентного типа
- Краевая задача для нелинейного дифференциального уравнения
- Исследование задачи магнитостатики в окрестности угловой точки ферромагнетика
- Моделирование магнитной системы СП-94 для эксперимента Дельта-Сигма (ЛВЭ, ОИЯИ)
Введение к работе
Актуальность проблемы
Во многих физических установках используются магнитные системы различной конфигурации. Примером могут служить ускорители, в состав которых входят дипольные (поворотные) и квадрупольные (фокусирующие) магниты. С практической точки зрения, очень важно решить задачу моделирования конфигурации магнитной системы, с целью получения необходимого вида магнитного поля (обратная задача), а также уметь с хорошей точностью находить распределение магнитного поля, создаваемого такой системой.
Реально проблема сводится к постановке задачи магнитостатики о нахождении распределения магнитного поля рассматриваемой магнитной системы. В настоящее время существует множество методов решения таких задач. Среди них условно можно выделить три типа постановок по виду используемых в них уравнений - дифференциальных, интегральных, дифференциальных и граничных интегральных (комбинированная постановка). Вот названия некоторых из них: постановка относительно векторного потенциала, постановка относительно одного и двух скалярных потенциалов, постановка относительно модифицированного скалярного потенциала и т.д. Из-за сложной конфигурации магнитной системы решение задачи обычно ищется численными методами. Очень часто при расчете конкретной магнитной системы область, в которой решается краевая задача, имеет всюду гладкую границу, за исключением конечного числа угловых точек, в окрестности которых граница образована пересечением двух гладких кривых. В таких случаях решение задачи или производные решения могут иметь особенность. Примером может служить краевая задача Дирихле для уравнения Лапласа в области, изображенной на рис.1.
КОС. НАЦИОНАЛЬНАЯ БИБЛИОТЕКА C-netepeyjiV-y;,—1
' НІ! пи*
Ди = 0, peQ,
«|г, =0, (1)
и|г = sin 2^/3.
{г,(р) - полярная система координат; область
Рис.1
1 = {(г,р): 0<г<1, 0«р<Зж/2},
граница Г, = Г' и Г", где
Г' = {(г,р): 0<г<1, <р = 0\, Г' = {(г,<р): 0<г<,\, <р = Зж/2}, а граница
Задача (1) имеет решение и = r^3 sin2
Запишем производные их и иу.
Получим и, = - (2/3) r"V3 sin )/3, иу = (2/3) r""3 cos д>/3. При г -> 0 производные
IT, и « неограниченно растут. Поэтому, при решении таких задач численными
методами необходимо учитывать характер поведения ее решения в окрестности угловой точки.
Цель и задачи исследования
Целью настоящей работы было изучение вопроса о поведении магнитного поля в окрестности угловых точек и построение эффективных алгоритмов, дающих улучшение точности при численном решении задачи магнитостатики.
Научная новизна
При помощи нелинейного преобразования Лежандра исследование нелинейной задачи магнитостатики в области ферромагнетика было сведено к рассмотрению свойств краевой задачи для линейного дифференциального уравнения. Показано существование решений с неограниченно растущим |V«| в
окрестности угловой точки ферромагнетика. Исследованы свойства таких решений. Для краевой задачи Дирихле в области с углом построена разностная схема, дающая существенное улучшение точности решения.
Исходя из интегральной постановки задачи магнитостатики сделана верхняя оценка допустимого роста магнитного поля вблизи угловой точки в области ферромагнетик / вакуум. На основании полученной оценки предложен метод сгущения разностной сетки в окрестности угловой точки. В случае, когда при достаточно больших полях функция магнитной проницаемости принимается равной I доказана теорема об ограниченности магнитного поля в окрестности угловой точки.
Произведены расчеты модельных и практических задач с использованием полученных методов.
Практическая значимость
Полученные результаты могут быть использованы при решении нелинейной задачи магнитостатики в области с кусочно-гладкой границей.
Решена практическая задача моделирования конфигурации магнитной системы с использованием разработанных алгоритмов.
Основные положения, выносимые на защиту
Исследование нелинейной задачи магнитостатики для области ферромагнетика при помощи нелинейного преобразования Лежандра было сведено к рассмотрению линейной краевой задачи. Найдены решения с неограниченно растущим |Vu|, а также исследованы их свойства. Построена разностная схема для краевой задачи Дирихле в области с углом. При численных расчетах такая разностная схема дает уменьшение относительной погрешности на порядок.
Получена верхняя оценка допустимого роста магнитного поля вблизи угловой точки в области ферромагнетик / вакуум. Исходя из сделанной оценки предложен метод сгущения разностной сетки в окрестности угловой точки. В случае, когда при достаточно больших полях функция магнитной проницаемости принимается равной 1, доказана теорема об ограниченности магнитного поля в окрестности угловой точки.
Произведено моделирование конфигурации спектрометрического магнита СП-94, используемого в эксперименте Дельта-Сигма (ОИЯЙ).
Апробация работы
Основные результаты и положения диссертационной работы доложены и обсуждены на:
четвертой международной конференции "Beam Dynamics and Optimization",
Дубна, Россия, 13-17 октября 1997 г.; первой международной конференции
"Modern Trends in Computational Physics", Дубна, Россия, 15-20 июня 1998 г.; II
открытой научной конференции молодых ученых и специалистов ОИЯИ,
Дубна, Россия, 2-6 марта 1998 г.; пятой международной конференции "Beam (
Dynamics and Optimization", Санкт-Петербург, Россия, 29 июня-3 июля 1998 г.; XXXV всероссийской научной конференции по проблемам физики, химии, математики, информатики и методике преподавания, Москва, Россия, 24-28 мая 1999 г.; научных семинарах по вычислительной математике в 2000, 2001, 2002, 2003 г. (ЛИТ ОИЯИ, Дубна); восьмой международной конференции "Beam Dynamics and Optimization", Саратов, Россия, 25-30 июня 2001 г.; международном конгрессе по математическому моделированию, Дубна, Россия, октябрь 2002; VII открытой научной конференции молодых ученых и специалистов ОИЯИ, Дубна, Россия, 2-6 февраля 2003 г.; объединенном научном семинаре ЛВЭ-ЛФЧ ОИЯИ, Дубна в 2003 г.
По теме диссертации опубликовано 8 работ.
Структура и объем диссертации
Диссертация состоит из введения, двух глав (теоретические исследования, численные расчеты), заключения и списка литературы. Диссертация содержит 118 машинописных страниц, 5 таблиц, 17 графиков, 24 рисунка. Список литературы содержит 103 работы, из них 88 на русском и 20 на иностранных языках.
Исследование нелинейного дифференциального уравнения дивергентного типа
Проверим, существуют ли решения уравнения (3.1), удовлетворяющие свойству (3.2). Для этого найдем частные решения этого уравнения. Исходное уравнение является нелинейным, поэтому воспользуемся преобразованием Лежандра, О которое позволяет привести его к линейному. Суть преобразования Лежандра заключается в следующем. Рассмотрим поверхность в пространстве х,у,и. Такая поверхность может быть задана в качестве функции и[х,у). С другой стороны, поверхность может быть описана множеством касательных к ней плоскостей. Запишем уравнение касательной плоскости к этой поверхности. Пусть х,у,й- текущие координаты на плоскости, тогда уравнение плоскости примет вид о Значения ,г,со назовем координатами этой плоскости. Уравнение плоскости, касающейся поверхности и(х,у) в точке (х,у,и), имеет вид О следовательно, ее координаты равны Аналогично можно задать повержность через со как функцию от и Г). Для этого найдем зависимость со( ,Г) от и(х,у), определяя х и у из уравнений: в результате получим Наоборот, чтобы определить координаты точки по координатам касательной плоскости, мы найдем частные производные функции со(,г). Так как = их и г\ = иу, мы имеем В результате можно записать Такое преобразование поверхности от координат точки к координатам плоскости называется преобразованием Лежандра для функции двух переменных. Оно отличается от простого преобразования координат тем, что ставит в соответствие не точке точку, а элементу поверхности (х,у,и,их,иу) элемент поверхности (,г,со,со соп). Преобразование Лежандра всегда возможно, если уравнения их=,, иу-у\ могут быть разрешены относительно х и у. Для этого необходимо, чтобы не обращался в нуль в точках рассматриваемой поверхности. Наконец, чтобы применить преобразование Лежандра к дифференциальному уравнению второго порядка (3.1), мы найдем, как преобразуются вторые производные функции и(х,у) и со(,Г)). Для этого продифференцируем уравнения , = их, Ц = иу по и rj, получим В этом пункте излагается метод нахождения частных решений уравнения (3.1), основанный на преобразовании Лежандра. Применим нелинейное преобразованием Лежандра (3.3), (3.5) к уравнению (3.1), получим: где f(r ) = —7\» г \ 2 + "Л2 Обратим внимание на то, что полученное уравнение (3.6) является линейным в отличие от уравнения (3.1) Перейдем в полярную систему координат в плоскости ( , rj) Исследуем поведение решения уравнения (3.8) для радиальной составляющей R{r )- На поведение решения уравнения (3.8) оказывают влияние полюса коэффициентов этого уравнения. Функция а (А )- аналитична, т.к. /(/ )- аналитична в силу аналитичности Ц ( " ) Из аналитической теории дифференциальных уравнений [51,52] следует, что решение дифференциального уравнения (3.8) представимо в виде разложения в ряд в точке, являющейся полюсом коэффициентов уравнен результате получим Наоборот, чтобы определить координаты точки по координатам касательной плоскости, мы найдем частные производные функции со(,г). Так как = их и г\ = иу, мы имеем В результате можно записать Такое преобразование поверхности от координат точки к координатам плоскости называется преобразованием Лежандра для функции двух переменных.
Оно отличается от простого преобразования координат тем, что ставит в соответствие не точке точку, а элементу поверхности (х,у,и,их,иу) элемент поверхности (,г,со,со соп). Преобразование Лежандра всегда возможно, если уравнения их=,, иу-у\ могут быть разрешены относительно х и у. Для этого необходимо, чтобы не обращался в нуль в точках рассматриваемой поверхности. Наконец, чтобы применить преобразование Лежандра к дифференциальному уравнению второго порядка (3.1), мы найдем, как преобразуются вторые производные функции и(х,у) и со(,Г)). Для этого продифференцируем уравнения , = их, Ц = иу по и rj, получим В этом пункте излагается метод нахождения частных решений уравнения (3.1), основанный на преобразовании Лежандра. Применим нелинейное преобразованием Лежандра (3.3), (3.5) к уравнению (3.1), получим: где f(r ) = —7\» г \ 2 + "Л2 Обратим внимание на то, что полученное уравнение (3.6) является линейным в отличие от уравнения (3.1) Перейдем в полярную систему координат в плоскости ( , rj) Исследуем поведение решения ия (3.8) где г0 - полюс (в нашем случае г0 = 0), 0, - корень с наибольшей действительной частью характеристического уравнения Если 02 отличается от Э, не на целое число и не совпадает с ним, тогда второе линейно независимое решение может быть записано в виде в противном случае
Краевая задача для нелинейного дифференциального уравнения
Рассмотрим краевую задачу Дирихле для уравнения (3.1) в «области с углом» (см. рис.5). Угол между касательными к границам О Пусть и(р) решение краевой задачи (4.1), (4.2), (4.3), удовлетворяющее условию (3.2). Оценим VM[ В окрестности точки Q (начало координат). Пусть относительно решения и(р) выполнено следующие условие Заметим, что такие решения существуют - это видно из пункта 3.2. Сначала рассмотрим случай, когда Vw неограниченно растет в окрестности S& ( 2) п(ПиГ). Применим преобразование Лежандра для функции и(р) при р є Ss (Q) n (Q u Г). При отображении «граница Г,» (о)п=0, а 0, = 0) перейдет в «границу Г,», а «граница Г2» (с0=О, о п 0, Ц = 0) перейдет в «границу Г2». Для «границы Г,» остается открытым вопрос о знаке r\ = uy(x,Q), а для «границы Г2»- вопрос о знаке , = их{0,у). Рассмотрим случай, когда rj 0 а О соответственно для границ Г, и Г2. Тогда при отображении получим область Q,, изображенную на рис.6 или Cl2, изображенную на рис.ба. Рассмотрим сначала область Q2. Сделаем замену переменных: г --, v(r ,(p ) = v -,ф =w(f,q ). Таким образом, придем к следующей краевой задаче (см. рис.7): ,, где Г = Г,иГ2иГ3, a ed f). Функция Ч определяется по м(р) из преобразования Лежандра. Будем решать задачу (4.5) методом разделения переменных: В силу граничного условия Т(0) = 0 функции 7 (/) будут отсутствовать при разложении в ряд решения задачи (4.5). Коэффициент ряда с12Ф0 (это проверяется непосредственной подстановкой функции 7 2 (f) в уравнение (4.6) и приравниванием коэффициентов при одинаковых степенях по /). В результате решение примет вид » ( .Ф )=СЛ"( )Ф.( Р ) Таким образом, для функции v(r ,q/) при г г0 (где l/r0=t0), получим: о Т.к. А,, =2, то скорость роста градиента для краевой задачи (4.1), (4.2), (4.3) в окрестности «угловой точки» будет порядка г ", т.е. такой же, как и для аналогичной краевой задачи с уравнением Лапласа [48].
Если рассматривать вместо области Q2 (рис.6) область Q, (рис.ба), то нарушается однозначность отображения. Действительно, в этом случае функции Фк (ф ) примут вид фДф БІпА ф , =2 /3, Л: = 1,2... где 0 ф Зтг/2. Для границы Г2 (ф = 0, г - оо) получаем: = 0, sgn(,y) = sgn(C,). Границе Г2 соответствуют условия соп 0, т.е. Сх О. Точка peQ, после отображения Лежандра должна перейти в точку peQ. Пусть р имеет координаты (гр,Ц р) = (г0,п/4), тогда хр 0, Ур 0, т.е. p&Q. Таким образом, взаимооднозначность отображения нарушается. Случай, когда г 0 а 0 соответственно для границ Г, и Г2, полностью аналогичен первому случаю (rj 0, 0). Для него справедлива такая же оценка на VM . Аналогичным образом рассматриваются случаи, г 0 для Г,, % О для Г2; г) О для Г,, О для- Г2; приводящие к нарушению взаимооднозначности отображения. В случае, когда Vw- ограниченная величина, можно показать, что limVw(/?) = 0. Для этого рассмотрим поведение функции ц(Н) в окрестности угловой точки. Заметим, что из вида функции и(//) О (см. рис.8) следует неоднозначность определения значения Н при заданном значении \xQ. Покажем, что функция H(p)eC(Ss(Q)riQ.} и, следовательно, значение Н «в точке Q » определено. В точке Q функция ц определена и равна \xQ. В окрестности - ( —\ Ss(Q)r\Q функция ц непрерывна, т.к. Н{р)еС Ss(Q)nQ . Следовательно, ї(р) = ц(я(р))єС(5 5( )пП). Т.к. функция ц(//) является непрерывной по Я и, в то же время, ц = Д(/ ) непрерывна по ps(Ss((2)r\Q\, значит, Н непрерывна по р є (Sg (Q) n Q). Таким образом, значение Н «в точке Q» определено. Теперь покажем, что limVw(/?) = 0. Применим преобразование Лежандра для нашей задачи в окрестности угловой точки. В результате получим два возможных варианта отображения нашей окрестности. Покажем, что возможен только второй вариант (рис.10). В первом варианте (рис.9) на границе Г,2 должны быть выполнены условия coL =0 и VcoL =0. Уравнение для со(г ,ф ) имеет вид: Используя метод разделения переменных со(г ,ф ) = /?(г )ф(ф ), получим следующие уравнения: Точка г = г не является особой для уравнения (4.7), и, следовательно, решением такой задачи Коши будет 7?(г )н=0. Это означает, что со(г ,ф ) =
О, чего не может быть. Остается второй вариант. Действительно, в этом случае мы получим решения: Построение разностной схемы для задачи (4.1), (4.2), (4.3) проведем по аналогии с работой [48] для уравнения Лапласа. Построим в области Q (см.рис.П) прямоугольную сетку границы расчетной области являются узловыми линиями. На рис.9 изображена ячейка сетки, окружающая внутренний узел (т,п). Проинтегрируем уравнение (4.1) по площади v0 такой ячейки (см. рис. 12). Получим: где у- граница области v0 и y = l Jym . Для простоты рассмотрим т=\ ди аппроксимацию только \\х—dx, по остальным контурам аппроксимация делается аналогично. Введем некоторые обозначения. Пусть при отображении Лежандра функция Р(г,ф) получается из функции m,n-l где Ci = Const, подлежащая определению; QecQ, QeQ.Q (на рис. 11 граница области ClQ изображена пунктиром). Обозначим усредненные значения от Ga следующим образом где As-p - отрезок параллельный оси ОХ или OY при р = 1 или Р = 2 соответственно. Будем считать, что функция JI(VH) является кусочно-постоянной на сегментах sif / = 1...4 (см. рис.12) и равна соответственно ц,., / = 1...4. ди , ди , "+ r/2aw Гц— &«ц., Г — /х + ц2 — с (4.11) Рассмотрим только первый интеграл, для второго все делается аналогично. ди Г — &«С, Г G2dr = Ay,GJC,, As, u{xm,yn)-u(xm,yn_x)= j—(xm,y)dy Cl $G2dy = qAs2Gl, Уп-х У.-І где ЛУ2 = hyn, отсюда С и l Um,n Um,n-\ G\ К В результате получаем о Л№ V-2 J т; ед2(м -м«,н) ди І ду о Аналогичные выражения получаются для остальных контуров, в результате выражение (4.9) примет вид:
Исследование задачи магнитостатики в окрестности угловой точки ферромагнетика
В главе 1 1 была поставлена краевая задача (5.1) для нахождения распределения магнитного поля в окрестности «угловой точки» ферромагнетика (см. рис.1). В 3 было показано, что решение уравнения Л УГЦ(УИ2)УИ21 = 0, входящее в постановку задачи (5.1), может иметь неограниченно растущие производные их и иу в окрестности «угловой точки». В Введение аналогичный результат приведен для линейного О уравнения Дм О, входящего в постановку задачи (5.1). Таким образом, возникает вопрос: возможно ли построить такое решение задачи (5.1), которое обладало бы неограниченно растущими производными их и иу в окрестности «угловой точки»? Отметим, что похожая задача была рассмотрена в 2, [95] как квазилинейный случай задачи (5.1). Там же приведено доказательство теоремы об ограниченности производных их и иу. В этом параграфе будет показано, что невозможно построить О решение задачи (5.1), обладающее неограниченными производными, из решений, которые были получены для уравнения Й?/УГЦ(УМ2)УИ21 = 0 (в 3) и решений, известных для уравнения Ди = 0 с неограниченным Vw ([39], вид особенности и(г,ду) = Агх \пр rO( p) + w, где Л 1, р -целое положительное число, Ф( ) бесконечно дифференцируемая функция, W-«достаточно» гладкая функция, Л-постоянная величина (г, р)-полярная система координат с центром в угловой точке) [97]. О Рассмотрим краевую задачу (5.1) в области , изображенной на рис.10. Обозначим Г0 = Г,иГ2. Область Q, = (г,ф): 0 г г0, Зл/2 ф 2л} соответствует области вакуума, Q2=[(r,cp): 0 г / 0, 0 ф Зтс/2 соответствует области ферромагнетика. Г,= (г0,ф): — ф 2тс , Г2 = (г0, ф): 0 ф — . Г - граница раздела сред ферромагнетик \ О вакуум. Функция ц(Н) удовлетворяет условиям (1.4-6) и в точке Q ее значение определено. Будем рассматривать случай, когда существует сколь угодно малая 5 - окрестность точки Q, в которой не найдется двух точек P\i Рг ( Л Рг є Ц п $б (?) = 1 2) с одинаковым магнитным полем /?(/?,) = В[р2) при рх Рг- Формально такое условие запишется так: Также считается, что в б- окрестности точки Q в соответствии с уравнением divB = 0 (см. главу 1, 1) выполнено условие О где S- граница некоторой области VcSs(Q) (QeV). Величина dS = ndS, где Я- вектор внешней нормали к границе S области V. Нарушение условия (5.3) приводит к существованию в точке Q магнитных зарядов. Итак, предположим, что при выполнении указанных выше условий VM в окрестности «угловой точки» будет неограниченно расти. О Далее воспользуемся преобразованием Лежандра где r = J,2+r)2, f(r )= ,,.,.
Отметим, что полученное ц(г)г уравнение (5.6) является линейным, в отличие от исходного уравнения //V(J.VM2) = 0. Так как г = \Vu (р)[ - с» при p- Q, то, делая дополнительное преобразование координат Будем также обозначать Г, как границы областей Cln где / = 1,2. Границы Г±- есть обозначение «границы Г» после отображения Лежандра. Покажем, что при отображении угол а между касательными векторами т, и т2 к границам Г+ и Г_ соответственно, в точке Q равен нулю (см. рис. 3). Отображение (5.8) сохраняет угол между границами Г + и Г _ в точке Q, поэтому для простоты выкладок рассмотрим Г],5 и rj2. в координатной системе (,л) Из граничных условий известно, что i =2= 4, Лі = й(г2 )л2» гДе гг= №+ї\г поэтому Отметим, что \ima(t) = l, следовательно, уравнение (5.11) в начале i- 0 v координат принимает вид уравнения Лапласа. В 3 были получены решения уравнения (5.11) в виде факторизованного ряда в О окрестности угловой точки Q. В данном случае можно записать описывает множество всех решений уравнения (5.11), и оно налагает определенные условия на гладкость решения на границе области. Линейные дифференциальные уравнения в области с углом исследовались во многих работах. Например, в [39]. было показано, что при определенных условиях на гладкость граничных условий решение в окрестности угловой точки представимо разложением в факторизованный ряд вида: коэффициенты которого бесконечно дифференцируемые функции, являющиеся линейными комбинациями тригонометрических функций. Например, если q = 0, то Р = 2?sin(/mp). Таким образом, мы хотим посмотреть, возможно ли из таких решений построить решение задачи (5.1), обладающее указанными выше свойствами. Покажем, что из условий на границе Г задачи (5.1) следуют
Моделирование магнитной системы СП-94 для эксперимента Дельта-Сигма (ЛВЭ, ОИЯИ)
Стреттон Дж.А. Теория электромагнетизма: Пер. с англ. М.: Мир, 1948. Айрян Э.А., Жидков Е.П., Федоров А.В., Хоромский Б.И., Шелаев И.А., Юдин И.П., Юлдашев О.И. Численные алгоритмы расчета магнитных систем ускорителей заряженных частиц. ФЭЧАЯ, т.21, вып. 1, 1990. Coulomb J.L. IEEE Trans, on Magnetics. 1981. Vol. MAG-17, N6, pp. 3241-3246. Demerdash N.A., Nehl T. W., Mohammed O.A. e.a. Ibid, pp.3408-3410. Compumag 3, Chicago 1981 IEEE Trans, in Magnetics. 1983. Vol. MAG-18, N2. Kotiuga R.P., Silvester P.P. J.Appl.Phys. 1982. Vol. 53(11). pp. 8399-8401. Chari M.V.K., Konard A., Palmo M. A. e.a. See [5]. pp. 436-446. Csendes Z.J., Weiss J., Hoole S.R.H. See [5]. pp. 367-372. Ильин В.П. Численные методы решения задач электрофизики. М.: Наука, 1985. Дойников Н.И. Препринт НИИЭФА. Обзор ОБ-42. Л., 1981. И. Рапоцевич Е.П., Урванцев А.Л. Препринт ВЦ СО АН СССР Д481.Ш.С.142-148. Демирчан К.С. и др. Изв. АН СССР. Сер. энергет. и трансп. 1974. Урванцев А.Л. Численное решение нелинейных магнитостатических задач методом конечных элементов: Автореф. дис. на соиск. учен, степени канд. физ.-мат. наук. Новосибирск, 1981 (ВЦСО АН СССР). Ворожцов СБ., Закамская Л.Т., Заплатин П.Л. Препринт ОИЯИ 19-5013. Дубна. 1970. Айрян Э.А., Жидков Е.П., Федоров А.В. и др. Алгоритмы и программы для решения некоторых задач физики. Будапешт, ЦИФИ-ОИЯИ. 1987. Вып.5.с.2-29. Корн Г., Корн Т. Справочник по математики для инженеров и научных работников. Пер. с англ. М.: Наука, 1978. Айрян Э.А., Жиков Е.П., Хоромский Б.Н. и др. Сообщения ОИЯИ Р11-82-871, Дубна, 1982. Айрян Э.А., Жиков Е.П., Хоромский Б.Н. и др. Сообщения ОИЯИ Д11-87-49, Дубна, 1987. Курбатов П.А., Аринчин СА. Численный расчет электромагнитных полей. М.: Энергоатомиздат, 1984. McDonald В.Н., Wexler A. IEEE Trans, on Microvave Theory and Techniques. 1972. Vol. MTT-20, N12. pp. 842-847. Halacsy А.А. Рос 3rd Intern. Conf. On Magnet. Technology, Hamburg, 1970 (DESY, Hamburg, 1972) pp. 15-18. Абрамов А.Г., Дайковский А.Г. и др. Препринт ИФВЭ 82-87. Серпухов, 1982. Simkin J., Trowbridge CW. Inter. J. Numer. Meth. Engng. 2970. Vol. 14. pp. 423-440. Дойников Н.И., Симаков A.C ЖТФ, 1971, т.41, N4, ее. 835-838. Colonias J.S. Particle Accelerator Design: Computer Programs. N.Y.-Lond.: Academic Press, 1974. Акишин П.Г., Ворожцов СБ., Жидков Е.П. Препринт ОИЯИ Е9-11859. Дубна, 1978. Акишин П.Г. Сообщения ОИЯИ Р11-85-522. Дубна, 1986. по Борисовская З.В., Ворожцов СБ., Дударева Т.Н. Сообщения ОИЯИ 9-81-304. Дубна, 1981. Канторович Л.В., Акимов Г.П. Функциональный анализ. Изд. 3-е М.: Наука, 1984. ее. 609-731. Ортега Дж.. Рейнболдт В. Итерационны методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными. Пер. с англ. М.: Мир, 1975. Бахвалов Н.С. численные методы. М.: Наука, 1973. Жидков Е.П., Хоромский Б.Н. ДАН СССР. 1976 т.32 N5. сс.1692-1696. Фуфаев В.В. К задаче Дирихле для областей с углами. Док. АН СССР т. 131, №1,1960г. Волков Е.А. О решении краевых задач для уравнения
Пуассона в прямоугольнике. Док. АН СССР т. 147, №1,1962г. Эскин Г.И. Общие краевые задачи для уравнений главного типа в плоскости с угловыми точками. УМН 18, вып. 3, 1963, се. 241-242. Волков Е.А. О дифференциальных свойствах решений краевых задач для уравнений Лапласа и Пуассона в прямоугольнике. Тр. Матем. ин-та АН СССР, 77,1965. Волков Е.А. О дифференциальных свойствах решений краевых задач для уравнений Лапласа на многоугольниках. Тр. Матем. ин-та АН СССР, 77, 1965. Волков Е.А. Метод сеток и бесконечных областей с кусочно-гладкой границей. ДАН СССР, 168, N3, 1966. Кондратьев В. А. Краевые задачи для эллиптических уравнений в конических областях, Доклады АН СССР т. 153, №1, 1963. пі Оганесян Л.А., Руховец Л.А. О вариационно-разностных схемах для линейных эллиптических уравнений второго порядка в двумерной области с кусочно-гладкой границей. ЖВММФ, 8, N1,1968. Babuska J. Finite element method for elliptic equations with corners. Computing, 6, N3,1970. Babuska J. and Rozenzweig M.B. A Finite Scheme for Domains with Corners. Numer Mathem., 20, N1, 1972. Шайдуров В.В. Численное решение задачи Дирихле в области с углами, Вычислительные методы в прикладной математике, Наука, Новосибирск 1982. Fix G. Higher order Rayleigh-Ritz approximations. J.Math. and Mech., 18, N7,1969. Оганесян Л.А., Ривкинд В.Я., Руховец Л.А. Вариационно-разностные методы решения эллиптических уравнений. Часть I, Труды семинара «Дифференциальные уравнения и их применение», выпуск 5, Вильнюс 1973. Оганесян Л.А., Ривкинд В.Я., Руховец Л.А. Вариационно-разностные методы решения эллиптических уравнений. Часть И, Труды семинара Дифференциальные уравнения и их применение, выпуск 8, Вильнюс 1974. Самарский А.А., Фрязинов И.В. О разностных схемах решения задачи Дирихле в произвольной области для эллиптического уравнения с переменными коэффициентами. ЖВММФ, 11, N2, 1971. Фрязинов И.В. Разностные схемы для уравнения Лапласа в ступенчатых областях. ЖВМиМФ, том 18, N5,1978г., ее. 1171-1185. Ладыженская О.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. Наука, Москва 1964. Курант Р. Уравнения с частными производными. Мир, т. 2, 1964. E.A.Coddington, N.Levinson. Theory of ordinary differential equations. New York Toronto London, 1955. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1970. Akulov N. Theorie der Feinstruktur der Magnetisie rungskurven der Einkristalle. -"Zeitschr. Phys.", 1931, Bd 69. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. М.: Мир, 1977. Жидков Е.П., Пузынин И.В., ЖВМиМФ, 1967, т.7. ее. 1086. Zhidkov Е.Р., Andreev S.V.,Perepelkin Е.Е., Polyakova R.V., Shavrin Т.V., Yudin LP. Calculation of the SP-94 magnet field for the ECHARM setup. BD097, Dubna, Russia, October 13-17, 1997. Zhidkov E.P., Andreev S.V., Perepelkin E.E., Polyakova R.V., Shavrin T.V., Yudin LP. Change of field distribution for the spectrometric SP-40 magnet. BD097, Dubna, Russia, October 13-17,1997. Кулакова E.M. Расчет поворотно-фокусирующих систем из магнита с градиентом и магнитных квадрупольных линз. 9-4386, Дубна, 1969. Тихонов А.Н. ДАН СССР, т. 153, N1,49-52,1963. Сычевский С.Е., Белов А.В., Кухтин В.П., Ламзин Е.А., Севергин Ю.П., Филатов О.Г. Численный алгоритм построения силовых линий магнитного поля в пространстве по из данным распределения его компонент. Препринт, Санкт-Петербург, 2002,9 стр. Самарский А.А. Теория разностных схем. Изд. «Наука», М., 1977. Самарский А.А. Введение в теорию разностных схем. Изд. «Наука», М., 1971. Самарский А.А., Андреев В.Б. Разностные методы для эллиптических уравнений. Изд. «Наука», М., 1976. Вазов В., Форсайт Дж. Разностные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных. Изд. Иностранной лит-ры, М. 1963. Петровский И.Г. Лекции об уравнениях с частными производными. М.: Физматгиз, 1961. Яненко Н.Н., Рождественский Б.Л. Системы квазилинейных уравнений. М.: Наука, 1968. Годунов С.К., Рябенький B.C. Введение в теорию разностных схем. М.: Физматгиз, 1962. Годунов С.К., Рябенький B.C. Разностные схемы. М.: Наука, 1973. Ильин В.Н. Разностные методы решения эллиптических уравнений. Новосибирск: Изд-во НГУ, 1970. Марчук Г.И. Методы и проблемы вычислительной математики. Международный конгресс математиков в Ницце. 1970. Доклады советских математиков. М.: Наука, 1972. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. Новосибирск: Наука, 1973. Самарский А.А. Введение в численные методы. М.: Наука, 1982. Лненко Н.Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики. Новосибирск.: Наука, 1967. Самарский А.А. О монотонных разностных схемах для эллиптических и параболических уравнений в случае не самосопряженного эллиптического оператора. ЖВМ и МФ. 1965.T.5,N3. Самарский А.А. О точности метода сеток для задачи Дирихле в произвольной области. Appl., Math. vol. 10, N3,1965. Самарский А.А. Некоторые вопросы теории разностных схем. ЖВМ и МФ. т. 6, N4,1966. Тихонов А.Н., Самарский А.А. О разностных схемах для уравнений с разрывными коэффициентами. ДАН СССР. т. 108, N3, 1965. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Об однородных разностных схемах.ЖВМиМФ.т.1,1ЧГ1, 1961. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Однородные разностные схемы на неравномерных сетках. ЖВМ и МФ. т.2, N5, 1962. Марчук Г.И., Агошков В.И. О выборе координатных функций в обобщенном методе Бубнова-Галеркина. ДАН СССР, т.232, N6,1977. Марчук Г.И., Агошков В.И. Введение в проекционно-сеточные методы. М.: Наука, 1981. Андреев В.Б. О сходимости разностных схем, аппроксимирующих вторую и третью краевые задачи для эллиптических уравнений. ЖВМ и МФ. т.8, N6, 1968. Ладыженская О.А. Метод конечных разностей в теории уравнений с частными производными. УМН. т. XII, N5, 1957. Самарский А.А. Некоторые вопросы общей теории разностных схем. Дифференциальные уравнения с частными
