Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Задача оптимального управления для параболичесих уравнений при наличии интегрального ограничения 24
1. Постановка задачи и вопросы корректности 24
2. Разностная краевая задача 32
3. Разностная аппроксимация задачи оптимального управления 51
ГЛАВА II. Задача оптималъного управления для гиперболических уравнений при наличии интегрального ограничения . 77
I. Постановка задачи и вопросы корректнооти 77
2. Разностная краевая задача 84
3. Разностная аппроксимация задачи оптимального управления 100
ГЛАВА III. Алгоритмы и описание программы решения задач оптимального управления 123
1. Алгоритм и описание программы решения задачи оптимального управления для параболического уравнения 123
2. Алгоритм и описание программы решения задачи оптимального управления для гиперболического уравнения 148
Приложение I. Программа решения задачи оптимального управления для параболического уравнения 165
Литература 177
- Разностная аппроксимация задачи оптимального управления
- Разностная аппроксимация задачи оптимального управления
- Алгоритм и описание программы решения задачи оптимального управления для параболического уравнения
- Алгоритм и описание программы решения задачи оптимального управления для гиперболического уравнения
Введение к работе
Теория оптимального управления систем с распределенными параметрами является одним из ведущих разделов твории оптимизации и имеет широное приложение в различных областях практики.
Основными вопросами теории оптимального управления являются: исследование корректности решения рассматриваемых задач оптимального управления, установление необходимых и достаточных условий оптимальности и разработка численных методов для нахождения решения. Задачи оптимального управления с распределенными параметрами изучены в работах [б], [?], [ 9], [is], Lie]. [l9], [27], [28] и др.
В настоящее время мало разработаны численные методы решения задач оптимального управления систем с распределенными параметрами. В этом направлении озмезвд работы Б.М.Будака, Е.М.Бер-ковича, Е.Н.Соловьева, Ф.П.Васильева, В.П.І^ленко, Ю.М.Ермольева, М.М.Потапова, А.З.Ишмухаметова, Б.Ш.Мордуковича, Л.Д.Ивановича, А.А.Вулешова, Б.Л.Дурковсвой, В.Л.Макарова, Ф.В.Лубышева, Т.Абдикеримова, Т.П.Евсеенко, Р.К.Тагйева, ([l]-l_5], [э], [її], [12], [14] - [17], [20]. [21], [23], [31], [ЗЗ] - [Зб], Uo] -[42]) И др., где исследованы вопросы сходимости разностного метода и метода прямых наховдения решения задачи оптимального управления для систем обыкновенных дифференциальных уравнений и для некоторых уравнений в частных производных. Озметим, что разностные методы решения задач оптимального управления для дифференциальных уравнений в частных производных при наличии фазовых и интегральных ограничений исследованы сравнительно мало. В этом направлении озметим работы М.М.Потапова [зз] - [Зб],
Л.Д.Ивановича [l6], [l7j.
Б настоящей работе исследуются вопросы корректности и численного решения задач оптимального управления для параболических и гиперболических уравнений при наличии интегральных ограничений и с критерием качества, содержащим интегралы по границе области d Работа состоит из трех глав и двух дополнений. Третья глава является приложением.
Первая глава работы состоит из трех параграфов и посвящена задачам оптимального управления для параболических уравнений при наличии интегрального ограничения, В I первой главы рассмагриваетоя следующая задача.
Пусть требуется минимизировать функционал
У{Ъ)--?о\ЫоЛ;Ь)-1(1)}2*{ +^\[u.(<>A;b)-{^]di ^ь1 (^A)dozdi , при условиях
Н ~ ї? + о-С*,*;^ -- г/(х,{) , (*,+)*&, ^._=?(^} , эс<о,«;7
СС-^о
1ос = = о, U(o,T)f и2(Ю V -} - VC-x, 2 С , . л - ^ Г, Ы*Л;Ь))ЫхсН * \Г2(и(0уі; ixj, и (ej-b))di о} , (5)
ОО о ' где Л , *, т>о
Л . Л ,^> , Л + -3 * заданные числа;
Л=[с*,U:x(0,6? ,t{*,T]} I ^J^L^QTj, H> W2 Со, I) , ае С (її; - заданные функции своих аргументов, Р, (f) f 2Ср,я) ~ заданные непрерывные выпуклые функции в областях Ел и Е >^i , соответственно, удовлетворяющие неравенствам іде а0 , о., , -&0, , >о - некоторые постоянные. Предполагается, чга V * 0 .
Задачу о нахождении функции и-иС*Л;і>) из условий (2) -(4) при заданном управлении ъ =: я> («,-t} ЦСО.") назовем редуцированной задачей.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ I. Решением редуцированной задачи (2) - (4), соответствующим управлению *<>&..«« ЦОІ) , называется функция U = uW;*; б vС-0.), равная ^С*) при Uo и удовлетворяющая интегральному тождеству Kfel "ЧЕЙ *[а(^и-^4)]ЛоІж^ -О , (6) при ч і = ї(^0 \^'(-Ш .
Обозначим через множество оптимальных управлений задачи (I) - (5).
Исследованы вопросы корректности постановки задачи (I) -(5). Доказана следующая - II - TBOFEMA І, Множеотв V^ непусто, выпукло, замкнуто, ограниченно, любая минимизирующая последовательность {^^ функционала "3 t'vO' слабо сходится к V , Если U >о , то множество V* состоит из единственной точки \ ^ *% С^-Ь) и где \^*\ - любая минимизирующая последовательность,
В 2 первой главы построена неявная разностная схема для редуцированной задачи (2) - (4) при заданном управлении Ъ -г 4>Coc,t) І (Sll » доказаны устойчивость и сходимость полученной схемы.
На прямоугольнике XI вводится последовательность сеток і-л I - jT, » Ь^7мн , T4cT/Ww и для простоты обозначается:
Заданные функции в задаче (2) - (4) аппроксимируются следующим образом
Используя интегральное тождество (6), для редуцированной задачи (2) - (4) получена следующая неявная разностная схема:
Щ~№^+<<^: .C--VAM. j^TM.
4--^ , і-гг*. (8)
ЮА№\+«-ч]. i-m, (9)
ТЕОРЕМА 2, Разностная схема (7) - (10) устойчива в норме \# (Л) и интерполяции КС«,*)} . поотроенные по решениям \Ч-*1) охеш (7) - (10), сходятся сильно в LaC-Q.") к решению и(ос,0 задачи (2) - (4), их производные lL ^ ,{Щк ^ схо дятся слабо в соответственно, а ин терполяции оходягоя сильно в 1_2(о,Т) к иСоЛ) » UU/П соответственно при к ,Т -»о ,
В 3 первой главы исследуется сходимость по функционалу разностной аппроксимации задачи оптимального управления (I) -(5).
Предполагается, что кроме перечисленных выше условий выполняется следующее условие: если последовательности функций равномерно ограничены в последовательности функций ^Саэ^Ш^ >{ъU?"1) і^о^Н)} , равномерно ограничены в L2co,t), го выполняются следующие неравенства ||F,(wn(*,«J-ElCzn(^);||^^^ iI|w-~^'Il2oi) '
I Г, (Л, *>) - F2 (uia\«, *C>j|| * R2 [ || oof- utf| +
II-a01 3(*7|| 1 - ІЗ - где К^ , к^0- некоторые постоянные, не зависящие ОТ її
Для любого \ь рассматривается задача минимизации функции мЧ і і м . _ .2 ' 7. о при условиях (7) - (10) на множестве
М rN-1 ) M M r-^-1
В задачах (I) - (5) и (II), (7) - (10), (12) введем обозначе- [vHVK v"=« ^(u.(3C,t;1>l№*ol4; + ^(^Д^и^Д^сЦ ^ -e-so
Ч-(М«Ч: l>^lNl
Исследуются вопросы корректности постановки разностной задачи (II), (7) - (10), (12) при каждом фиксированном п. .
ТЕОРЕМА 3. Пусгь множесгво VK непусто, Тогда множест во \4 непусто, выпукло, компактно. Любая минимизирующая по следовательность Mu V^ ^-\,г)... сходится к VnЕсли о4>о , то множество Vn^ состоит из единственной ючки Ev3, ^Ч и іде \W\ з - любая минимизирующая последовательность функционала 1К(М7 на Ч .
Предположим, что для каждого заданного к ^ 1 найдена приближенная нижняя грань функционала I^Clv]") и полученное дискретное управление Cv]^ t VK , удовлетворяющее условию ч- ц^чі ^ ч+к, (із)
ГДЄ л О И 6w -* О ПРИ v. -^ оо ,
Определяется отображение Р^ , действующее из ЦСЛ) в Цбй*) , которое определяется оледующим образом P.(lvlb4J при C*,t)l2 , ce^jv , j-^ .
Доказывается сходимооть решений аппроксимирующей задачи оптимального управления (II), (7) - (10), (12) к решению исходной задачи (I) - (5) по функционалу.
ТЕОРЕМА 4. Пусть V'% 0 пр некотором *L0 > о и последовательность разбиений прямоугольника ЧТО fcm Л/к= Ь*М№= во , ^"Т- --О
Тогда при достаточно больших п. множество V,, непусто и
Кроме того, если дискретные управления М^ є\ удов- летворяют условию (13), то последовательность {^(tv1n ")\ является минимизирующей для задачи (I) - (5).
Вторая глава работы состоит из трех параграфов и посвящена задачам оптимального управления для гиперболических уравнений при наличии интегрального ограничения.
В I второй главы рассматривается следующая задача.
Пусть требуется минимизировать функционал і о U; при условиях ^-~ - ^ + aOvUu^iKcc^) , 0,*)єЦ, (І5)
1^1 -IT =0 , ^to.T), (17) i>^V=U = ^(^-t) ^>i (л;, |Mi ^я, l Laoi) где Е Л , Т > о , ро а j ? и * о , б + f ф о - заданные чис-ла, Ib{c*,tV. ос Со,Є) /t(o,T3} 1; l0, (^ La(o,T) , V \0;Чо,О , ^ 6 LaCo,e) , а C(-U) - заданные функ ции своих аргументов, ,(.?) » ^С?,^-) - заданные непрерывные выпуклые функции в областях Е., и Е, х Е„ , соответственно, удовлетворяющие неравенствам lF4CfOUae - Mf\\ VPE1f где Ct0,a,A, і, >о - постоянные. Предполагается, что V^ 0 ,
Задачу о нахождении функции u. = uC*,t; 1>; из условий (15)-(17) пр заданном управлении i>-i>(*vt? GL2(il) назовем редуцированной задачей.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Решением редуцированной задачи (15)-(17), соответствующим управлению 1> = 1>-(«Д) (_2(-(1) , называется функция u = u(oc,-t-i>) \К/21(ІІ) , равная 4U*? при Ь-о и удовлетворяющая интегральному тождеству ет при V»[ = 7C^^ ^ (-Л) и ^(^с,Т)-о .
Исследуются вопросы корректности постановки задачи (14)-(18).
ТЕОРЕМА 5. Множество \ оптимальных управлений задачи (14) - (18) непусто, выпукло, замкнуто, ограниченно, любая минимизирующая последовательность {ь-^} функционала 3(ъ) олабо сходится к \4 . Если и >о , то множество V^ состоит из единственной точки V„=%(*A) и W Wk^I - л**53* минимизирующая последовательность.
В 2 второй главы поотроена неявная разностная схема для редуцированной задачи (15) - (17) при заданном управлении 1>-= 1*^,0 G ЦСІІ1, доказаны устойчивость и сходимость полученной схемы»
На прямоугольнике Л введем последовательность сеток ІКн,Чк^ ' *^'2'- , где *^К , i=5j7n . W=t/N' ; і. -- i
Заданные функции в задаче (15) - (17) аппроксимируются следующим образом
Используя интегральное тождество (19), для редуцированной задачи (15) - (17) получена следующая неявная разностная схема: Ы*) --F(V+1) +f^H) 1 J J_ j t Jtt UV і is I "* -UI + аЛ - 4 , i.M,NH , j-J,MM , (20) \^V. , CyL\ =^l , *L-.^ , (21) [(й^йі-^ІЧч!^]. J.M^. (22)
ТЕОРЕМА 6. Разностная схема (20) - (23) устойчива в норде wftUUa если ~u -*о ,прк,яг-ї.о іЮ интерполяции { <Ы,и) . построенные по решениям W; ^ схемы (20) - (23), сходятся сильно в Ц(И) к решению и о, О задачи (15) - (17), их производные |-^г ] ,["^f- ] сходятся слабо в La(li) к соответственно, а интерполяции W) Лад сходятся сильно в LaU,T") к uCo,t; f U.(4,tJ соответственно пр к,т->о
В 3 второй главы исследуется сходимость по функционалу разностной аппроксимации задачи (14) - (18).
Предполагается, что кроме перечисленных выше условий выполняется следующее условие: если последовательности функций равномерно ограничены в и по- следовательноси, функция\оо>)1, Д<4«} ДоСс«3 . г (Я, 1 \гк U7 і равномерно ограничены в Lx(.o,T) . » выполняютоя следующие неравенства
, -II II ІЛІ /411. L2(o,T) где Шл, ка >о - некоторые поогоянные, не зависящие 03? VI , Для любого vl рассматривается задача минимизации функции при условиях (20) - (23) на множестве -*U4>>V
ЫеУк f 7" f 1
Предполагав гоя, что для каждого заданного к>1 найдена приближенная нижняя грань функционала ^(HvD"), л получены дискретные управления v^n ^Л/^ , удовлетворяющие условию + к , (26) где А ^ о , и б ~*о при К—> с*э .
Определим отображение Р^ , действующее из La(il) в La(il) следующим образом:
Р.СьпЪ Vі при (~ДНПЧ , u5^f , j = iTmm - -о
ТЕОРЕМА 7. Пусть V ф0 при некотором 0>о и последовательность разбиений прямоугольника 12 такова, что U. N « «iw. NL - ю , liw, ^- -о . ТЬгда при достаточ-но больших w щюиоао Vn непусто и Дъ г«„ = % .
Кроме того, если дискретные управления v"3K t V^ удовлетворяют условию (26), то последовательность является минимизирующей для задачи (14) - (18).
Третья глава работы состоит из двух параграфов и посвящена описанию алгоритмов и программы решения задачи оптимального управления для параболического и гиперболического уравнения при наличии квадратичного интегрального ограничения» Здесь же дан анализ численных расчетов по предложенным алгоритмам и программам*
В I главы Ш рассматривается следующая задача. Пусть требуется минимизировать функционал: + ^ \\[ъ(«,о-г(эс,^Гах(А{, при условиях
ТС " I? * А-(*/Ни=1>ОсД), (ос,^Л, (28) Ul = ЧЧ*> , ^ ^ (О,??, (29) vt-о ^1 -Щ - *«Л>, (30) на множестве i>eV«U-i>C~,tl-.eLtUO, Nl. 4р> іт т (ЗІ) заданная іде Q >о - заданное число, функция, fo(4) , і, W , оЦх.-tj , 4>00 - заданные функции, удовлетворяющие условиям, наложенным на них в I главы I.
Для учета интегрального ограничения вводится штрафная функция г Ит т її1 \ Ak^ - заданная положительная последовательность, Ак- при х -*<** , При каждом к =4,2,... рас оматриває тоя задача минимизации функционала %Ы = JW * Р^С/Ю , (32) на множестве сд) J (33) при условиях (28) - (ЗО),
Пусть Y^k1] - последовательность, удовлетворяющая условиям
ГДЄ Ф = Сух? Фк(і>") , ^О К=И,2,... , "г*к к ^ О
Устанавливается, что последовательность (l\\ олабо сходится в Ц(А) в множеству \ оптимальных управле- ний задачи (27) - (31) и Д^ 'Н'М - ^* , кроме того, если сі >о , то множество V* состоит из единственной точки % и \^\ сходитоя вЦи) я V* . Доказана дифференцируемое гь по Фреше функционала (32) в L^C-Я.) и найдено выражение для его градиента.
ТЕОРЕМА 8, функционал (32) дифференцируем по Фреше в La№ и для его градиента справедливо выражение
Ф^? = -*К(*Д^ + "^*.«-2Г=с,*;;, (34) где ^кoос,і;i>} - решение сопряженной к (32), (28) - (30), (33) задачи.
При каждом к >, і для минимизации функционала применяег- ся метод проекции градиента. Далее описывается разностный аналог изложенного метода. Приводится описание программы изложенного алгоритма, составленной на языке Ф0РТРАН-1У, В конце параграфа приводятся результаты численных расчетов,
В 2 третьей главы рассматривается задача минимизации функционала (27) при условиях (15) - (17) на множестве (31), Для пр-ближенного решения этой задачи применяется метод штрафных функций. Приводится разностный аналог этого метода, описывается программа изложенного алгоритма и анализируются результаты численных расчетов.
В дополнении I приводится текст программы, описанной в I главы Ш.
В дополнении 2 прводится текст программы, описанной в 2 главы Ш.
Основное содержание диссертации опубликовано в работах С 42]] [44] - [46 3 автора и доложено на семинарах кафедры оптимизации и управления А1У им.С.М.Кирова, на У1, УП республиканских конференциях аспирантов вузов Азербайджана (1983 г., 1984 г.), на республиканской школе-семинаре молодых ученых Азербайджана по прикладной математике и кибернетике (1984 г.), на официальном тематическом семинаре ИК АН Азерб.ССР.
Пользуясь случаем, выражаю глубокую признательность моему научному руководителю, доктору физиконматематических наук, профессору Искендерову А.Д. за постановку задач и постоянную заботу и кандидазу физико-математических наук Тагиеву Р.К. за помощь и внимание.
Разностная аппроксимация задачи оптимального управления
Предполагав гоя, что для каждого заданного к 1 найдена приближенная нижняя грань функционала (HvD"), л получены дискретные управления v n Л/ , удовлетворяющие условию
Определим отображение Р , действующее из La(il) в La(il) следующим образом: ТЕОРЕМА 7. Пусть V Ф0 при некотором 0 о и последовательность разбиений прямоугольника 12 такова, что U. N « «iw. NL - ю , liw, - -о . ТЬгда при достаточ-но больших w щюиоао Vn непусто и Дъ г«„ = % . Кроме того, если дискретные управления v"3K t V удовлетворяют условию (26), то последовательность является минимизирующей для задачи (14) - (18).
Третья глава работы состоит из двух параграфов и посвящена описанию алгоритмов и программы решения задачи оптимального управления для параболического и гиперболического уравнения при наличии квадратичного интегрального ограничения» Здесь же дан анализ численных расчетов по предложенным алгоритмам и программам В I главы Ш рассматривается следующая задача. Пусть требуется минимизировать функционал: ся метод проекции градиента. Далее описывается разностный аналог изложенного метода. Приводится описание программы изложенного алгоритма, составленной на языке Ф0РТРАН-1У, В конце параграфа приводятся результаты численных расчетов,
В 2 третьей главы рассматривается задача минимизации функционала (27) при условиях (15) - (17) на множестве (31), Для пр-ближенного решения этой задачи применяется метод штрафных функций. Приводится разностный аналог этого метода, описывается программа изложенного алгоритма и анализируются результаты численных расчетов. В дополнении I приводится текст программы, описанной в I главы Ш. В дополнении 2 прводится текст программы, описанной в 2 главы Ш. Основное содержание диссертации опубликовано в работах С 42]] [44] - [46 3 автора и доложено на семинарах кафедры оптимизации и управления А1У им.С.М.Кирова, на У1, УП республиканских конференциях аспирантов вузов Азербайджана (1983 г., 1984 г.), на республиканской школе-семинаре молодых ученых Азербайджана по прикладной математике и кибернетике (1984 г.), на официальном тематическом семинаре ИК АН Азерб.ССР. Пользуясь случаем, выражаю глубокую признательность моему научному руководителю, доктору физиконматематических наук, профессору Искендерову А.Д. за постановку задач и постоянную заботу и кандидазу физико-математических наук Тагиеву Р.К. за помощь и внимание.
Б этой главе исследуется задача оптимального управления процессами, которые описываются уравнением параболического типа с управлениями в правой части этого уравнения. Критерий качества содержит интегралы по границе области II , в условиях задачи участвуют интегральные ограничения, которые затрудняют исследование рассматриваемой задачи, Озмегим, что разностные методы решения задач оптимального управления для параболического уравнения пр наличии интегральных ограничений исследованы мало. В этом направлении отметим работы [l6], [17] .
Для рассмотренной ниже задачи исследованы вопросы корректности ее постановки, дана разностная аппроксимация этой задачи, исследованы вопросы корректности дискретной задачи оптимального управления и доказана сходимость по функционалу разностных аппроксимаций. Исследования разностных аппроксимация задач оптимального управления в практике используются при решении этих задач на ЭВМ.
Разностная аппроксимация задачи оптимального управления
Задача (I.I) - (1.5) при -о относится к клаосу некорректно поставленных задач Еэ], не любая минимизирующая последовательность для этой задачи в La(il) сходится к множеству V Следующая теорема показывает, что при с/ о задача (I.I) -(1.5) поставлена корректно.
Множество V непусто, выпукло, замкнуто, ограничено. Любая минимизирующая последовательность функционала T(V) олабо сходится к V .Если d о , го множество \Л состоит из единственной точки -ь- 1Г с сд; и где \/ к11 любая минимизирующая последовательность. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассуждая вполне аналогично I главы I устанавливается, что V - ограниченное, выпуклое множество в Ц(Ш . Докажем, что множество V замкнуто. Пусть { \ произвольная последовательность из V , которая сходится в UU1 к ЛУ--Ъ М .ясно, что \И ИЦ(Д? К .Обозначим Ясно, что функция 2.к(-эс,1) равна нулю при і -о и удовлетворяет интегральному тождеству Тогда из оценки (I.?) следует, что справедливо неравенство W Ц(л) Следовательно, U.K- u в YJ24ii; , тогда, используя компая носгь вложения М С-й) сЦСЛ) [зо], с,153 и теоремы о следах [30], с,155, имеем При ус — оо , В силу того, что 1 к V f имеем 0пеаТОрЫ СуперПОЗИЦИИ F, fvM fcc,4:7) , Fa (U3(t?,l(t)j непрерав но действуют из La(II} иЦ(о,т) ЦСо,т) в ЦСЛ) и Ц(о,т; , соответственно. Поэтому, переходя к пределу при к- -оо в (I.II) И используя (1.10), получим Из этого неравеногва и из того, что lltrll следует, что , г.е, множество V замкнуто, Докажем, что функционал Т W выпуклый и для него верно неравенство Используя (1,10) I главы I и вид функционала О? , легко проверть, что для любых спра ведливо неравенство: Ш +о-яъНэд ц I3) Таким образом, функционал Т О) выпуклый и при о сильно выпуклый на множестве V Возьмем любые управления 1г, со е V и обозначим: и. ( Д)="( , ,-т ) ,u2coc,)=u(oc,t;oo) , 2 с / -цгс , ;. В силу (1.7) для функции ( w справедливо неравенство Отсвда и из теоремы о следах [30]с.155 получим Огсвда и из (I.I4) получим неравенство (1.12).
Из (I.I2) следует непрерывность функционала 1 О) . В силу того, что 1 (Д ) выпуклый и непрерывный, он является слабо полунепрррывным снизу (см. [э] с,52). Тогда из [э] с,53,55 следует утвервдение теоремы I.I. Теорема доказана.
В силу того, что при =о задача (I.I) - (1.5) поставлена некорректно, возникает необходимость регуляризации этой задачи [9], Теорема I.I показывает, что условия леммы, доказанной в [9], 0.180 выполняются и функционал Л ( К \КЦ1 является стабилизатором для задачи (I.I) - (1.5) при =о [9], с.185-188.
Задача (I.I) - (1.5) имеет реальный смысл. В этой задаче функция lrO,t) характеризует плотность внутренних сил. Уравнение (I.I) описывает распространение волны. К этому уравнению присоединены начальные и краевые условия, задание которых необходимо для определения единственного решения редуцированной краевой задачи.
В задаче (I.I) - (1.5) требуется найти такое распределение 17(:г,-Ь) внутренних сил, чтобы максимальное отклонение от устойчивого положения было близко к заданному отклонению. Последнее требование характеризует критерий качества. Кроме того, в задаче (I.I) - (1.5) имеются интегральные ограничения. Эти ограничения являются выражением некоторых естественных ограничений, возникающих в реальных задачах. Например, они могут выразить ограничение на количество энергии и др.
В этом параграфе дана разностная аппроксимация редуцированной задачи (1.2) - (1.4) и исследованы вопросы устойчивости и сходимости полученной разностной схемы. Отметим, что разностные методы решения краевых задач с обобщенными решениями из класса изучены сравнительно мало. В работе [241 исследован разностный метод для гиперболического уравнения в случае первой краевой задачи в пространстве \\ (И) . Ниже в 3 при исследовании сходимости по функционалу разностных аппроксимаций задачи оптимального управления (I.I) - (1.5) используются результаты по сходимости разностных аппроксимаций краевых задач с решениями из WV-Д) ПоэтомУ в Дан11014 параграфе вопросы сходимости и устойчивое та в /yij.u) решения разнос гной краевой задачи подробно были изучены.
Алгоритм и описание программы решения задачи оптимального управления для параболического уравнения
В настоящей главе приводятся алгоризмы решения задач оптимального управления для параболического и гиперболического уравнения при наличии квадратичного интегрального ограничения. Описываются программы, реализующие эти алгоритмы, приводятся численные результаты, В алгоритме интегральные ограничения учтены методом штрафных функций.
В настоящем параграфе рассматривается задача оптимального управления для параболического уравнения при наличии квадратичного интегрального ограничения. Вопросы корректности постановки и сходимости разностного метода нахождения решения рассмотренной задачи исследованы в I и 3 главы I. Для решения рассмотренной ниже задачи применяется метод штрафных функций. Как для непрерывной, так и для дискретной задачи исследована дифференцируемоеть функционала, полученного после применения этого метода и найдено выражение для его градиента.
Пусть требуется минимизировать функционал заданные числа, if feAWj Co,?; , 2 Or, О LZCQ? , aCoe,) С СИЛ - заданные функции. Предположим, что VT 0 Как было отмечено в I главы I, обобщенное решение редуцированной задачи (1.2) - (1.4) при каждом заданном управлении Ь ( ,i) L2CW существует, единственно и для него верна оценка , (1.6) М «ГІІФІІ +»ч I Veil} L tfM) La(n)J - 125 Для учета интегрального ограничения возьмем штрафную функцию ([9], о,87) , ет т -4i; .Q;o])-AK(va,[GW;o3T (1.7) где (\к - заданная положительная последовательное ть,Ак-оо при к- с?о При кавдом к.-1,2,... рассмотрим задачу минимизации функционала Фм-ow +Рк W , CI.8) на множестве при условиях (1,2) - (1.4), Пусть [Ъъ\ - последовательность, удовлетворяющая условиям к к ГДЄ ф СпїФ (V) ; Єк 0 . К-1,2,... , dim. - О Легко проверить, что все условия теоремы, доказанно в \ 9], с.89, удовлетворяются, поэтому последовательность \ \ слабо в 1,000 сходится к Ч и il (\ \ , где у#-{ч --Кч)=М \levOW # Кроме гого еоли - 126 « o , го функционал T (ъ) сильно выпуклый, множество \4 состоит из единственной точки 14 и Из последнего неравенства следует, что при oL o последовательность \ к\ сильно в Lz(Il) сходится к , Для определения последовательности \ьЛ , удовлетворяющей условию (1.10), могут Сыть применены градиентные методы. Докажем дифференцируемоеть функционала (1,8) по Фреше и найдем выражение для его градиента. Пусть % % ОД; V) - решение сопряженной к (1.8), (1.9), (1.2) - (1.4) задачи (М, с.128) - «« . Предположим, что для каждого UL2(_fl) задача (I.II) -(I.14) имеет единственное решение. Существование и единственность обобщенного решения задачи (1.II) - (I.I4) из пространства \М (11) изучено в работе 132]. ТЕОРЕМА I.I. Функционал (1.8) дифференцируем в L CQ) и для его градиента справедливо выражение Доказательство. Возьмем произвольное управление 1г , лт+ьъ tL/CSQ. Пусть UЫ,4; ь) ,и(ъ+;- +ДЪ) -соответствующие им решения редуцированной задачи (1.2) - (1.4). Обозначим LUU& u( A; +&ix)-uM+)9 ясно, что функция AUlirj) равна нулю при t =о и удовлетворяет интегральному товдес тву
Алгоритм и описание программы решения задачи оптимального управления для гиперболического уравнения
Для численного решения задачи минимизации функционала ФК(СЛ) при кавдом К=:1}2}... может быть использован метод проекции градиента. Согласно этому методу строится последовательность LY] \ по правилу При каждом заданном к. процеоо продолжается до тех пор, пока не выполняется неравенство
Итерации по к продолжаются до выполнения условия ри к -о берется некоторое начальное значение А штрафного коэффициента. Если условие (1,63) не выполняется, то полагается А1 = А„ р , где р 1 -некоторое заданное число. Процесс продолжается до тех пор, пока не выполнится условие (1.63), Описание подпрограммы Р R - R 1 Форма обращения к подпрограмме: CALL PRGR1 (F0,F1,fc, A A , FI0. В0, Ы , AL,R,Q,/v/, M,H,TAU,AK,PK. HPS,EP$-l,V,U,FMIA/,FMlA/t ;. Здесь: Y0(J) - подпрограмма - функция вычисления функции ( ; , F1 (Т) - подпрограмма - функция веления функции U; , Z(X,T)- подпрограмма - функция вычисления функции 0ь( ,О , А(Х,Х/_ подпрограмма - функция вычисления функции OLL A) , подпрограмма - функция вычисления функции f {.ху . В0, БИ, Л/_, R,Q - входные параметр, соответствующие величи-нам Ь,Р,. , R,Q . N - входной параметр - размерность равномерной сетки { $ на отрезке [ о,т] , М - входной параметр - размерность равномерной сетки {bfo. на отрезке Со,тЗ И ЛА РК, EPS, PS1 -входные параметры, соогветогву-ющие величинам Ь, Т, f, ,, . А - входной и выходной параметр. При обращении к PRQRI в А К задается начальное значение штрафннго коэффициента Ак После окончания работы программы PRGRl параметр ДК содержит последнее значение штрафного коэффициента. V - входной и выходной параметр. При обращении к PRQRI в V задается начальное приближение к экстремали функционала InUv ) (массив, состоящий из (\М )x М элементов). По окончании работы программы PRSB массив V содержит найденные значения экстремали функционала I (tv . и - выходной параметр - массив, состоящий из (N+IMM"1? элементов, содержащий после окончания работы программы решение задачи (1.35) - (1.38), соответствующее найденному управлению V MIN j F М NN1 - выходные параметры - простне пере менные, содержащие после окончания работы программы значения функционала „ ( /" ) и lK(Hvj} на найденном управлении V 3 - выходной параметр - простая переменная, содержащая после окончания работы программы значение функционала = [G(cv3};o] на найденном управлении V" Вызывающие подпрограммы: 0SNAV1 , FKJ \К1 , SAPR1 , одпрограмма NKl служит ддо вычисления значения целевого функционала п Ctv ) и штрафного функционала \ (їлП) Подпрограмма O N/AYt служит для решения задачи (1.35) -(1,38) с помощью метода прогонки [З?], с.40, и для вычисления величины у о ое Подпрограмма SAPR1 служит для решения задачи (1.39) -(1.42) с помощью метода прогонки. Кратко опишем работу программы PRGR1 Операторы с 4 по 12 вычисляют количество узловых точек на ЇАn f 1о,Т] и устанавливают счетчик итераций, затем проиоходат обращение к соответствующим подпрограммам и производятся следующие действия. 1. Решается редуцированная задача и в массиве \J получается значение решения этой задачи в узловых точках сетки (подпрограмма 0SNAVD. 2. Вычисляется значение целевого функционала Гк C v3 ) , (FMlNl) и значение штрафного функционала $RCLvl) М1) (подпрограмма NK.1 )) 3. Решается сопряженная задача и в массиве Р З I получается значение решения этой задачи в узловых точках сетки (подпрограмма $АPR- )) Операторы с 16 по 42 согласно методу проекции градиента определяют следующее приближение (массив \М ) к экстремали функционала $KС1У1) , Операторы с 43 по 52 вычисляют расстояние между двумя приближениями V и V1 (переменная 6). Оператор 53 проверяет выполнение признака окончания счета (1,44) для метода проекции градаенга. Если 3 Р , то минимум функционала (лПJ найден и управление передается оператору с меткой 24, Если 2G Е P$ , то за текущее приближение принимается управление V1 (операторы 61-63) и управление передается оператору с меткой 40. Операторы о 65 по 74 печатают значения управления V1 и проверяют признаки окончания счета (1.45) для метода штрафных функций» Если признак (1,45) выполнен, то процеоо прекращаетоя и управление V является приближенным решением задачи. В противном случае штрафной коэффициент увеличивается (оператор 76), решается редуцированная задача (оператор 77), вычисляется значение целевого и штрафного функционала (оператор 78), счетчик итераций к увеличивается на единицу (оператор 79) и управление передается оператору с меткой 40,
