Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Некоторые стационарные краевые задачи электромагнитной гидродинамики и электрогидродинамики 7
1. Постановка задачи электромагнитной гидродинамики в случае неограниченной области 7
2. Теорема существования 19
3. Краевая задача электрогидродинамики в случае неограниченной области 33
4. Краевая задача электрогидродинамики в случае ограниченной области 40
5. Простейшая краевая задача электрогидродинамики 49
6. Простейшая краевая задача двухкомпонентной электромагнитной гидродинамики 62
ГЛАВА 2. Разностные схемы для решения стационарных краевых задач электромагнитной гидродинамики и электрогидродинамики 81
7. Постановка разностной задачи электромагнитной гидродинамики 81
8. Существование и единственность решения разностной задачи электромагнитной гидродинамики 87
9. Сходимость разностной схемы 100
10. Модельная разностная задача электрогидродинамики 114
Выводы 126
Цитированная литература 127
- Краевая задача электрогидродинамики в случае неограниченной области
- Простейшая краевая задача двухкомпонентной электромагнитной гидродинамики
- Существование и единственность решения разностной задачи электромагнитной гидродинамики
- Модельная разностная задача электрогидродинамики
Введение к работе
Во многих прикладных задачах вычислительной математики приходится решать вопросы, связанные с механикой жидкости. Большинство процессов, связанных с движением жидкости, протекает в условиях присутствия электромагнитного поля, в той или иной мере воздействующего на жидкость.-Во многих процессах действие поля необходимо учитывать. В этих случаях складывается картина взаимодействия гидродинамических и электромагнитных сил.
Диссертация посвящена исследованию стационарных краевых задач электромагнитной гидродинамики и электрогидродинамики. Для таких задач рассматриваются вопросы существования обобщенных решений. Предложены разностные схемы для численного решения краевых задач электромагнитной гидродинамики и электрогидродинамики в области, граница которой является идеальным проводником. В случае параллелепипеда рассмотрены вопросы существования и единственности решения разностной схемы для задачи электромагнитной гидродинамики, и доказана сходимость разностной схемы со скоростью второго порядка.
Математическая модель электромагнитной гидродинамики строилась на основе уравнений Навье-Стокса для вязкой несжимаемой жидкости с учетом действия электромагнитного поля - силы Лоренца, уравнений Максвелла и обобщенного закона Ома. Определяющими моментами рассматриваемой математической модели являются предположение о малой концентрации заряженных частиц и обобщенный закон Ома.
Диссертация состоит из введения и двух глав. Первая глава посвящена исследованию существования обобщенных решений стационарных краевых задач электромагнитной гидродинамики и электро-гидродинамики. Здесь рассмотрены три типа задач, каждый из которых имеет свои особенности. В задачах первого типа пространство R-з все заполнено диэлектриком или вакуумом, кроме некоторого объема Пі , в котором движется жидкость. Задачи второго типа рассмотрены только для случая электрогидродинамики. Здесь область d , в которой изучается явление, состоит из области fl* , заполненной жидкостью, и области -Q2 , окружающей -ГХ, и заполненной диэлектриком. От всего пространства 0.$ область О. - Cli иП^ изолирована идеальным проводником, так что вне П все поля отсутствуют. Задачи третьего типа - наиболее простые и в некотором смысле модельные. В них все явления изучаются только внутри объема П< , заполненного жидкостью, граница которого является идеальным проводником.
Вопросы существования обобщенных решений стационарных краевых задач гидродинамики и магнитной гидродинамики рассматривались в [9, 10]. Задачи гидродинамики и магнитной гидродинамики можно рассматривать как задачи электромагнитной гидродинамики в случаях равенства нулю диэлектрической и магнитной проницаемостей жидкости S = 0 , М- 0 и равенства нулю диэлектрической проницаемости жидкости 8=0 соответственно. В 1-3 рассматриваются краевые, задачи электромагнитной гидродинамики и электрогидродинамики первого типа. Задачи электро-гндродинамики, в отличие от магнитной гидродинаміжи (. = 0 ), можно рассматривать как частный случай электромагнитной гидродинамики, когда магнитная проницаемость жидкости равна нулю ( M - 0 ). В 2, Зна основе методов, разработанных для гидродинамики и магнитной гидродинамики, доказываются теоремы суще ствованкя обобщенных решений краевых задач электромагнитной гидродинамики и электрогидродинамкки. При этом на исходные данные задач здесь накладываются существенные ограничения, которые можно трактовать как ограничения на концентрацию носителей зарядов в жидкости. В этом проявляется принципиальное отличие рассматриваемых задач от задач гидродинамики и магнитной гидродинамики, в которых жидкость не содержит зарядов.
В 4 диссертации рассматривается краевая задача электрогидродинамики второго типа, то есть задача, в которой объем с жидкостью лі і помещен в некоторую область П , граница которой является идеальным проводником. Для данной задачи доказывается теорема существования обобщенного решения.
В 5 рассмотрена краевая задача электрогидродинамики третьего типа с граничными условиями разного рода на различных частях границы области fl і , которая считается идеальным проводником.
В 6 первой главы рассмотрена краевая задача двухкомпо-нентной электромагнитной гидродинамики. В данной задаче жидкость содержит заряженные частицы двух сортов. Методами, аналогичными однокомпонентному случаю, доказывается теорема существования обобщенного решения.
Вторая глава посвящена методам численного решения стационарных краевых задач электромагнитной гидродинамики и электрогидродинамики третьего типа.
В 7 второй главы содержится описание сеточных областей и ставится разностная задача электромагнитной гидродинамики в параллелепипеде, граница которого является идеальным провод-неком. В восьмом параграфе исследуется существование и единственность решенЕя данной разностной задачЕ. В 9 доказывается сходимость разностной схемы со скоростью второго порядка. Аппроксимация уравнений Навье-Стокса отличается в граничных точках сеток от используемой в [5], и сходимость разностной схемы доказывается в несколько иных нормах, чем в Г5J, где сходимость может быть доказана со скоростью порядка 3/2.
В 10 рассматривается модельная разностная задача элек-трогидродЕнамЕКЕ, решение которой существует и имеет априорную оценку при любых известных внешних воздействиях, оказываемых на жидкость. Для данной разностной задачи рассмотрен итераци-онный процесс, аналогичный используемому в Г5] для разностной задачи гидродинамики.
В заключение поясним обозначения, используемые в диссертации. Буквами (С и С с цифровыми индексами обозначаются различные положительные константы, причем, если не оговорено противное, нумерация констант в каждом параграфе самостоятельная. В первой главе работы используются пространства Lp(O) и Wm(O) для скалярных и векторных функций. При этом используется один и тот же символ.
Основные результаты диссертации опубликованы в работах [15, 16 ] и докладывались на семинарах факультета ШиК и механико-математического факультета МГУ, Отдела вычислительной математики, Вычислительного центра АН СССР, ЖМ имени М.В. Келдыша, Московского энергетического института.
Краевая задача электрогидродинамики в случае неограниченной области
Во многих прикладных задачах вычислительной математики приходится решать вопросы, связанные с механикой жидкости. Большинство процессов, связанных с движением жидкости, протекает в условиях присутствия электромагнитного поля, в той или иной мере воздействующего на жидкость.-Во многих процессах действие поля необходимо учитывать. В этих случаях складывается картина взаимодействия гидродинамических и электромагнитных сил.
Диссертация посвящена исследованию стационарных краевых задач электромагнитной гидродинамики и электрогидродинамики. Для таких задач рассматриваются вопросы существования обобщенных решений. Предложены разностные схемы для численного решения краевых задач электромагнитной гидродинамики и электрогидродинамики в области, граница которой является идеальным проводником. В случае параллелепипеда рассмотрены вопросы существования и единственности решения разностной схемы для задачи электромагнитной гидродинамики, и доказана сходимость разностной схемы со скоростью второго порядка.
Математическая модель электромагнитной гидродинамики строилась на основе уравнений Навье-Стокса для вязкой несжимаемой жидкости с учетом действия электромагнитного поля - силы Лоренца, уравнений Максвелла и обобщенного закона Ома. Определяющими моментами рассматриваемой математической модели являются предположение о малой концентрации заряженных частиц и обобщенный закон Ома.
Диссертация состоит из введения и двух глав. Первая глава посвящена исследованию существования обобщенных решений стационарных краевых задач электромагнитной гидродинамики и электро-гидродинамики. Здесь рассмотрены три типа задач, каждый из которых имеет свои особенности. В задачах первого типа пространство R-з все заполнено диэлектриком или вакуумом, кроме некоторого объема ПІ , в котором движется жидкость. Задачи второго типа рассмотрены только для случая электрогидродинамики. Здесь область d , в которой изучается явление, состоит из области fl , заполненной жидкостью, и области -Q2 , окружающей -ГХ, и заполненной диэлектриком. От всего пространства 0.$ область О. - Cli иП изолирована идеальным проводником, так что вне П все поля отсутствуют. Задачи третьего типа - наиболее простые и в некотором смысле модельные. В них все явления изучаются только внутри объема П , заполненного жидкостью, граница которого является идеальным проводником.
Вопросы существования обобщенных решений стационарных краевых задач гидродинамики и магнитной гидродинамики рассматривались в [9, 10]. Задачи гидродинамики и магнитной гидродинамики можно рассматривать как задачи электромагнитной гидродинамики в случаях равенства нулю диэлектрической и магнитной проницаемостей жидкости S = 0 , М- 0 и равенства нулю диэлектрической проницаемости жидкости 8=0 соответственно. В 1-3 рассматриваются краевые, задачи электромагнитной гидродинамики и электрогидродинамики первого типа. Задачи электро-гндродинамики, в отличие от магнитной гидродинаміжи (. = 0 ), можно рассматривать как частный случай электромагнитной гидродинамики, когда магнитная проницаемость жидкости равна нулю ( M - 0 ). В 2, Зна основе методов, разработанных для гидродинамики и магнитной гидродинамики, доказываются теоремы суще ствованкя обобщенных решений краевых задач электромагнитной гидродинамики и электрогидродинамкки. При этом на исходные данные задач здесь накладываются существенные ограничения, которые можно трактовать как ограничения на концентрацию носителей зарядов в жидкости. В этом проявляется принципиальное отличие рассматриваемых задач от задач гидродинамики и магнитной гидродинамики, в которых жидкость не содержит зарядов.
В 4 диссертации рассматривается краевая задача электрогидродинамики второго типа, то есть задача, в которой объем с жидкостью лі І помещен в некоторую область П , граница которой является идеальным проводником. Для данной задачи доказывается теорема существования обобщенного решения.
В 5 рассмотрена краевая задача электрогидродинамики третьего типа с граничными условиями разного рода на различных частях границы области fl І , которая считается идеальным проводником.
Простейшая краевая задача двухкомпонентной электромагнитной гидродинамики
В 4 диссертации рассматривается краевая задача электрогидродинамики второго типа, то есть задача, в которой объем с жидкостью лі І помещен в некоторую область П , граница которой является идеальным проводником. Для данной задачи доказывается теорема существования обобщенного решения.
В 5 рассмотрена краевая задача электрогидродинамики третьего типа с граничными условиями разного рода на различных частях границы области fl І , которая считается идеальным проводником.
В 6 первой главы рассмотрена краевая задача двухкомпо-нентной электромагнитной гидродинамики. В данной задаче жидкость содержит заряженные частицы двух сортов. Методами, аналогичными однокомпонентному случаю, доказывается теорема существования обобщенного решения.
Вторая глава посвящена методам численного решения стационарных краевых задач электромагнитной гидродинамики и электрогидродинамики третьего типа.
В 7 второй главы содержится описание сеточных областей и ставится разностная задача электромагнитной гидродинамики в параллелепипеде, граница которого является идеальным провод-НЕКОМ. В восьмом параграфе исследуется существование и единственность решенЕя данной разностной задачЕ. В 9 доказывается сходимость разностной схемы со скоростью второго порядка. Аппроксимация уравнений Навье-Стокса отличается в граничных точках сеток от используемой в [5], и сходимость разностной схемы доказывается в несколько иных нормах, чем в Г5J, где сходимость может быть доказана со скоростью порядка 3/2.
В 10 рассматривается модельная разностная задача элек-трогидродЕнамЕКЕ, решение которой существует и имеет априорную оценку при любых известных внешних воздействиях, оказываемых на жидкость. Для данной разностной задачи рассмотрен итераци-онный процесс, аналогичный используемому в Г5] для разностной задачи гидродинамики.
В заключение поясним обозначения, используемые в диссертации. Буквами (С и С с цифровыми индексами обозначаются различные положительные константы, причем, если не оговорено противное, нумерация констант в каждом параграфе самостоятельная. В первой главе работы используются пространства Lp(O) и Wm(O) для скалярных и векторных функций. При этом используется один и тот же символ.
Основные результаты диссертации опубликованы в работах [15, 16 ] и докладывались на семинарах факультета ШиК и механико-математического факультета МГУ, Отдела вычислительной математики, Вычислительного центра АН СССР, ЖМ имени М.В. Келдыша, Московского энергетического института.
Если жидкость однородна и изотропна, а концентрация носителей зарядов в жидкости маяа, то для описания течения жидкости в электромагнитном поле будем иметь следующую систему уравнений где 1С - вектор скорости р - гидростатическое давление, (X -объемная плотность заряда, І - плотность тока, \) - коэффициент кинематической вязкости, р - плотность, М - магнитная проницаемость жидкости, - внешние силы, действующие на жидкость, а Е и Н - векторы электрической и магнитной напряженности, удовлетворяющие уравнениям Максвелла Чтобы замкнуть систему уравнений необходимо еще задать закон Ома Здесь o - проводимость среды, о - коэффициент подвижности, 0 - коэффициент диффузии зарядов. Пусть жидкость заполняет ограниченную односвязную область лі І . Остальную часть пространства R а , заполненную диэлектриком или вакуумом, обозначим л!% . Границу раздела обозначим . Требуется определить и,-р,Е Н,СІУіІ, удовлетворяющие віі уравнениям (І.І), (1.2), (1.7) и во всем пространстве Кг - системе (1.3)-(1.6), причем вне XI,, полагаем
Сформулируем граничные условия, которым должны удовлетво-рять искомые функции. Вектор скорости 1Л должен удовлетворять условию прилипания
Векторы Е и Н должны удовлетворять определенным условиям на границе различных сред. Будем считать, что на границе имеется поверхностный заряд й.ст, тогда для системы (I.3)-(1.6) получим следующие граничные условия
Существование и единственность решения разностной задачи электромагнитной гидродинамики
Диссертация состоит из введения и двух глав. Первая глава посвящена исследованию существования обобщенных решений стационарных краевых задач электромагнитной гидродинамики и электро-гидродинамики. Здесь рассмотрены три типа задач, каждый из которых имеет свои особенности. В задачах первого типа пространство R-з все заполнено диэлектриком или вакуумом, кроме некоторого объема ПІ , в котором движется жидкость. Задачи второго типа рассмотрены только для случая электрогидродинамики. Здесь область d , в которой изучается явление, состоит из области fl , заполненной жидкостью, и области -Q2 , окружающей -ГХ, и заполненной диэлектриком. От всего пространства 0.$ область О. - Cli иП изолирована идеальным проводником, так что вне П все поля отсутствуют. Задачи третьего типа - наиболее простые и в некотором смысле модельные. В них все явления изучаются только внутри объема П , заполненного жидкостью, граница которого является идеальным проводником.
Вопросы существования обобщенных решений стационарных краевых задач гидродинамики и магнитной гидродинамики рассматривались в [9, 10]. Задачи гидродинамики и магнитной гидродинамики можно рассматривать как задачи электромагнитной гидродинамики в случаях равенства нулю диэлектрической и магнитной проницаемостей жидкости S = 0 , М- 0 и равенства нулю диэлектрической проницаемости жидкости 8=0 соответственно. В 1-3 рассматриваются краевые, задачи электромагнитной гидродинамики и электрогидродинамики первого типа. Задачи электро-гндродинамики, в отличие от магнитной гидродинаміжи (. = 0 ), можно рассматривать как частный случай электромагнитной гидродинамики, когда магнитная проницаемость жидкости равна нулю ( M - 0 ). В 2, Зна основе методов, разработанных для гидродинамики и магнитной гидродинамики, доказываются теоремы суще ствованкя обобщенных решений краевых задач электромагнитной гидродинамики и электрогидродинамкки. При этом на исходные данные задач здесь накладываются существенные ограничения, которые можно трактовать как ограничения на концентрацию носителей зарядов в жидкости. В этом проявляется принципиальное отличие рассматриваемых задач от задач гидродинамики и магнитной гидродинамики, в которых жидкость не содержит зарядов. В 4 диссертации рассматривается краевая задача электрогидродинамики второго типа, то есть задача, в которой объем с жидкостью лі І помещен в некоторую область П , граница которой является идеальным проводником. Для данной задачи доказывается теорема существования обобщенного решения. В 5 рассмотрена краевая задача электрогидродинамики третьего типа с граничными условиями разного рода на различных частях границы области fl І , которая считается идеальным проводником. В 6 первой главы рассмотрена краевая задача двухкомпо-нентной электромагнитной гидродинамики. В данной задаче жидкость содержит заряженные частицы двух сортов. Методами, аналогичными однокомпонентному случаю, доказывается теорема существования обобщенного решения. Вторая глава посвящена методам численного решения стационарных краевых задач электромагнитной гидродинамики и электрогидродинамики третьего типа. В 7 второй главы содержится описание сеточных областей и ставится разностная задача электромагнитной гидродинамики в параллелепипеде, граница которого является идеальным провод-НЕКОМ. В восьмом параграфе исследуется существование и единственность решенЕя данной разностной задачЕ. В 9 доказывается сходимость разностной схемы со скоростью второго порядка. Аппроксимация уравнений Навье-Стокса отличается в граничных точках сеток от используемой в [5], и сходимость разностной схемы доказывается в несколько иных нормах, чем в Г5J, где сходимость может быть доказана со скоростью порядка 3/2. В 10 рассматривается модельная разностная задача элек-трогидродЕнамЕКЕ, решение которой существует и имеет априорную оценку при любых известных внешних воздействиях, оказываемых на жидкость. Для данной разностной задачи рассмотрен итераци-онный процесс, аналогичный используемому в Г5] для разностной задачи гидродинамики. В заключение поясним обозначения, используемые в диссертации. Буквами (С и С с цифровыми индексами обозначаются различные положительные константы, причем, если не оговорено противное, нумерация констант в каждом параграфе самостоятельная. В первой главе работы используются пространства Lp(O) и Wm(O) для скалярных и векторных функций. При этом используется один и тот же символ. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [15, 16 ] и докладывались на семинарах факультета ШиК и механико-математического факультета МГУ, Отдела вычислительной математики, Вычислительного центра АН СССР, ЖМ имени М.В. Келдыша, Московского энергетического института.
Модельная разностная задача электрогидродинамики
В силу того, что (мЮЬУ-0 вне $IJ\ , применяя к правой части неравенство Коши, получим Оценим (дл. Выберем произвольную точку ОС , отстоящую от области Л-f на некоторое положительное расстояние, тогда справедливо неравенств где константа С зависит от выбора точки X . Расширяя область интегрирования в правой части до всего пространства йа и пользуясь неравенством Лерэ (см. 3 главы І [Ю] ), получим откуда следует неравенство
Подставляя полученную оценку в (1.29), получим (1.28). Таким образом, получено неравенство Отсюда следует, что Отметим, что ф = Действительно, для Р было получено представление Ц = СЗЪ&ОС % . Разность 4о - "6 удовлетворяет условиям то есть является решением задачи типа (1.26) с нулевой правой частью. Из приведенной оценки для решения задачи (1.26) следует, что р-Ъ . Поэтому из неравенства (1.30) следует (1.25). Лемма доказана. Следствие. Пространство [к ъ) со скалярным произведением является гильбертовым пространством. Потребуем, во-первых, чтобы функцию (Lrp можно было продолжить внутрь-О.., в виде некоторой функции Q из W± (SIі), и, во-вторых, чтобы выражение определяло линейный функционал над 4у 3$ (К з) Заметим, что при этом функционал не зависит от того, каким образом функция (1 продолжена внутрь П в виде функции О Wj, (П.,). Действительно, пусть Q. VC ( ) и 0с(5= гр, 6= А ,1, тогда любых $в (&ъ) , поскольку 0л 0 е V J( -f)(cM. теорему 6.2 4 [2] ). Итак, пусть QQ Wi(fi.i) и 0(0= 4гр . Выбор такой функции не единственен. Будем считать, что функция Qo выбрана из условия минимальности нормы. Условия на границе, которым должны удовлетворять ЪС , Є , %r , От показывают, что %L должен принадлежать пространству J, (И ) ,0 = Qo - пространству \% (.ft,) , Є - пространству (S (й5), iv - пространству /& (6,). При этом обеспечивается выполнение уравнений (I.I5), (I.I7) в -Од.. Остальные уравнения заменяются четырьмя интегральными тождествами следующим образом: уравнение (I.I3) умножается на произвольный век-тор We. Зл (ПДи полученное выражение интегрируется по области 12л После интегрирования по частям получается следующее интегральное тождество из уравнения (I.19) подставляется в уравнение (I.I6), полученное выражение умножается на - HXft , где Є&М(&ъ) и интегрируется по Къ В силу (І.І5) и граничных условий (1.21)-(1.23), а также в силу условий, наложенных на Е о , члены Є"в и 5 0 исключаются; поэтому после интегрирования по частям получим Б этом параграфе доказывается теорема существования обобщенного решения для задачи (1.13)-(1.24) при определенных условиях на исходные данные задачи. Будем считать, что выражение J 4 LO d X определяет линейный функционал над 7 6 (.) . Зададим произвольную функцию CL такую, что Q - л Qo б W (Пі) и рассмотрим следующую задачу: найти вектор ЄІ G ( Кгъ) , удовлетворяющий интегральному тождеству при любых tf Є ё (ГСІ) . Вне -І 1 полагаем 0,= 0 . В силу неравенства и леммы I.I существование и единственность следуют из теоремы Рисса (см. [э] 3 главы I).
