Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Математическая модель шарикоподшипникового узла 16
1.1. Уравнения динамики узла 17
1.2. Геометрия тел и рабочих поверхностей . 24
1.3. Толщина плёнки в точечном УГД-контакте с косым скольжением 27
1.4. Взаимодействие шарик - кольцо 34
1.5. Температурное поле кольца 36
1.6 Взаимодействие сепаратор-базирущая поверхность 39
1.7. Взаимодействие шарик-юкно сепаратора 42
Глава 2 Аналитические методы исследования динамики узла 44
2.1. Вибрация ротора с учётом упругости крышек. Общий уровень вибрации 45
2.2. Параметрические колебания,связанные с переменной жёсткостью 56
2.3. Явление срыва капель 63
2.4. Уменьшение тепловой разбалансировки ротора 67
2.5. Конструкция сепаратора 69
Глава 3. Численные методы исследования 75
3.1. Преобразование и решение уравнений 76
3.2. Динамика плоского движения элементов подшипника 81
3.3. Результаты расчёта движения сепаратора (программа CAQB) 85
3.4. Результаты расчётов по программе 92
Глава 4, Триботехнические характеристики шероховатых поверхностей
4.1. Численная процедура усреднения 105
4.2. Результаты и сравнение с экспериментом Ї06
Выводы 109
Литература
- Толщина плёнки в точечном УГД-контакте с косым скольжением
- Взаимодействие сепаратор-базирущая поверхность
- Уменьшение тепловой разбалансировки ротора
- Результаты расчёта движения сепаратора (программа CAQB)
Введение к работе
В последние годы значительно возрасли требования, предъявляемые к точности, долговечности, вибрации и износостойкости высокоскоростных шарикоподпшпниковых узлов. В то же время оказалось, что технология их изготовления достигла некоторого предела, и обеспечение точностных и вибрационных характеристик в заданном диапазоне невозможно без привлечения достаточно полного набора экспериментальных и расчётных методов, позволяющих ещё на этапе проектирования предсказать характеристики узла и предьявить разумные требования к технологии их изготовления.
Традиционные методы расчета[1 - 3] оказываются недостаточными, поскольку ограничиваются рассмотрением статического осевого нагру-жения и не учитывают геометрические дефекты рабочих поверхностей шариковых подшипников, разноразмерности шариков, движение сепараторов, сложный механизм контактного взаимодействия. Известная ли-нейная теория вибрации В.Ф.Журавлёва [5] позволяет рассчитать спектральный состав и уровень вибрации при заданных спектральных разложениях дефектов. Однако, она опирается на предположение о неподвижности наружных колец шарикоподшипников, и не учитывает таким образом виброактивность силовой схемы, создающей осевой натяг. Кроме того, эта теория не учитывает переменность жёсткостей узла в зависимости от углового положения комплектов шариков, что может явиться причиной параметрического резонанса или низкочастотных биений. Теория вибрации также не позволяет оценить силы и моменты сил трения, действующих в контактах.
Для расчёта всех силовых и кинематических характеристик узла необходимо построить наиболее полную его математическую модель, позволяющую рассчитать динамику узла при произвольном характере нагружения, конструктивных параметрах и технологических дефектах, а также параметрах смазки. Разработке такой математической модели
узла на двух шариковых подшипниках и развитию новых методов расчёта и посвящена в основном объёме настоящая диссертация.
Толщина плёнки в точечном УГД-контакте с косым скольжением
Имеющиеся в настоящее время формулы расчёта толщины смазочной плёнки в точечном УГД - контакте параболоидов [8, 51] верны только в случае, когда вектор скорости качения (скольжения) направлен вдоль малой оси контактного эллипса. Однако, скорость качения в контакте, например, шарика с кольцом шарикоподшипника может иметь произвольную ориентацию. Вследствие этого необходимо рассмотреть случай произвольной ориентации вектора скорости качения. Решение данной задачи также необходимо для изучения смазанного контакта шероховатых поверхностей Гб1, 62] , где ориентация скольжения является случайной величиной из интервала максимальное герцево давление в контакте, А0 - толщина плёнки в центре контакта, р -давление, отнесённое к ра , А толщина плёнки .делённая на 0 , о( - пьезокоэффициент в зави симости ft —/s0e.xp С рор) .вязкости от давления, / нормальная сила, действующая в контакте, U4 , UL - скорости поверхностей контактирующих тел, X=X/bj У -/" В отличие от [63J здесь рассматривается случай косого скольже ния (качения), когда вектор скорости & (У Мл)/ направ лен под углом & к малой оси контактного эллипса. Воспользуемся асимптотической процедурой ( Q- ), предложенной в [63 ] и обоснованной в [64] для случая линейного УГД - контакта. Эта процедура построения решения является по сути обобщением прибли женного метода А.Н.Грубина [із] на случай точечного контакта,
А именно,примем, что внутри некоторой области Шікк -Sl р = pf(x,f) Off), Q- - x . Из (39) получаем,что J5: 0 с экспоненциальной по Q точностью. Спаведливость полученного соотношения действительно подтверждается,, экспериментами. Предположим также, что -jk — & внутри области ,и следовательно,- — / . Предположим, что в области М\ Н В М А и в достаточно узкой полоске НЗМА \ по П А справедливы обе асимптотики,которые можно срастить внутри неё. следовательно, в (42) можно пренебречь вторым и третьим слагаемым в скобках правой части. В уравнении (44) также можно пренебречь вторым слагаемым в правой части ввиду его малости, С этими упрощениями уравнение (42) можно записать в виде:
Проинтегрируем (45) от значения 90 .соответствующего области входа, до значения .соответствующего узкой области перекрытия разложений. Поскольку в области перекрытия давления / и #А сращиваются, то рх , а следовательноt Учитывая это условие и то,что// - 0 на входе,получаем:
В этой формуле Яо можно считать параметром,зависящим от масляного голодания в контакте. Предположим,что Q0 достаточно велико, так что в интеграле в правой части (46) можно считать верхний предел бесконечным. Кроме тогоJ f = О в силу предположения об узости области сращивания. Тогда получаем:
Таким образом,формула (47) позволяет рассчитать толщину плёнки в точечном контакте с косым скольжением (качением). В размерной форме (47) записывается следующим образом: либо в переменных, введённых в f637 »в виде: В частном случае —0 она совпадает с формулой М.А.Галахова 63] . Коэффициент ре определялся численно. Графики зависимости
Де от в при различных приведены на фиг.4. Видно, что толщина плёнки, достигает максимального значения при скольжении вдоль малой оси контактного эллипса.
На фиг.6 приведены значения ре и Ь/в зависимости от Є при б-ж/И ,т.е. при ориентации вектора скорости вдоль большой полуоси контакта. Путём аппроксимации зависимостей Как следует из раздела 1.3 эпюра давления в УГД-контакте шарик-кольцо совпадает с герцевским распределением давления в контакте.
Поэтому для расчёта нормальной силы г ,действующей в контакте, можно пользоваться формулой Герца [67] г- па у (Л -постоянная, зависящая от кривизны контакта и модулей упругости контактирующих тел, о - упругое сближение в контакте), учитывая : —\ вклад в о толщины плёнки (которая как следует из 1.3. постоянна на эллипсе контакта). Для получения силы трения,действующей в контакте предположим,что основной вклад в силу трения дают касательные напряжения на герцевском эллипсе. Это предположение объясняется тем,что внутри эллипса вязкость на 4 и более порядков превышает вязкость при нулевом давлении. При определении сил трения будем пользоваться неизотермическими формулами для касательных напряжений, предложенными Кеннелом [68] для линейного контакта,и обобщённых М.А.Галаховым [69] на случай двумерного контакта. Будем считать также площадку контакта плоской,что объясняется малостью размера контакта в сравнении с радиусами контактирующих тел
Взаимодействие сепаратор-базирущая поверхность
В контактах шарика с сепаратором и сепаратора с базирующей поверхностью будем считать давления малыми настолько,что толщины плёнок много больше упругих деформаций. В этом случае можно пользоваться уравнениями гидродинамической теории смазки, пренебрегая деформациями тел. Для расчёта силы и момента базирования воспользуемся решением задачи о гидродинамическом контакте цилиндров (с параллельными осями). Однако,в отличие от известного решения П.Л. Капицы 72] учтём влияние масляного голодания в контакте в соответствии с работой f 73 ? .
Заменим цилиндр з зоне контакта параболами радиусов %1 и г (фиг. 5). Уравнение Рейнольдса имеет вид: где/ (Х) - давление в слое смазки, толщина пленки, , С -граница выхода, вязкость смазки считаем постоянной и не зависящей от давления. Граничные условия
Будем считать заданным поток #, через контакт. Полученные формулы,умноженные на ширину базирующей поверхности, дают силу, действующую на сепаратор. Для получения выражений сил и моментов,действующих на сепаратор при обильной смазке в (68), (69), (70) следует положить 0,671,/5 0,204 -0,27[72]. И формулы для сил и момента на- единицу длины примут вид
Как правило радиус окна сепаратора As незначительно отличается от шарика,, А # Это позволяет существенно упростить задачу определения сил взаимодествия. А именно, выберем следующую систему координат: начало на поверхности окна в точке минимальной толщины (центре контакта), ось вдоль оси цилиндрического окна, ось и - нормально поверхности окна в центре контакта, ось Х- перпендикулярно осям и ,? ( фиг. 8). Поскольку радиусы цилиндра и шара близки, то радиус кривизны зазора в плоскости vz ( т.е. = ) много меньше радиуса в плоскости xjr ,т.е. лх контакт вытянут в направлении X . Поэтому в каждом плоском сечении,перпендикулярном оси 2Г будем пользоваться формулами для контакта цилиндров.
Предположим,что поток на входе в контакт fife)- fa — CCMS.? поле скоростей скольжения У и качения М- постоянно в области, занятой смазкой; и в каждом сечении Я =cous. г верны формулы слабого погружения из предыдущего раздела. Поскольку п = Ао +j-0 + 9—р то размер области контакта по оси X : /х/ [$. ! (т п0)1 — Xni а ПРИ силовое взаи-модействие шарика с окном отсутствует. Интегрируя (71), (72),(73) по площадке контакта, вводя /І /0Л ( s fJ/ s J и отбрасывая члены малые по /"- , получим выражения для нормальной силы /V/s ,касательной У/5 и момента fffs ,действующих на шарик со стороны окна:
При этом в формулах (77) - (79) остаётся неизвестным один параметр С$г i)/ который определяется из (77) при известном \М ! . Окончательно имеем:
Поскольку силы взаимодействия шарика с сепаратором весьма корот? . кодействущие (радиус действия п0 10 см),то в програшле /1. вводится как некоторая барьерная сила,зависящая от сближения шарика с окном, а для определения силы трения и момента трения используются формулы (81), (82).
Для расчёта некоторых характеристик шарикоподшипникового узла бывает зачастую недостаточно простого численного моделирования его движения. К числу таких характеристик относятся прежде всего низкочастотные биения мощности,скорости вращения сепараторов и другие, связанные с медленными процессами в узле. Невозможность численного расчёта подобных процессов вызвано следующим Численный алгоритм нацелен на решение задачи Коши и даёт достаточно точные результаты на небольших промежутках времени,когда ещё не наросли ошибки округления и аппроксимации исходных уравнений. Наличие ошибок может привести к появлению "паразитных" медленных движений на больших временах. Кроме того,имеющиеся в настоящее время программы расчёта подшипника (в том числе представляемая в данной диссертации программа обладают при современном уровне развития ЭВМ небольшим быстродействием и позволяют рассчитывать в пределах "разумного" машинного времени не более 10 оборотов ротора (для приборного подшипника), в то время как характерный период низкочастотных движений составляет 1000 и более оборотов. Таким образом,программа сквозного расчёта динамики шарикоподшипникового узла без специального предварительного выделения медленных движений принципиально не способны их рассчитать. Проблема описания и устранения медленных движений особенно важна для гироскопических ш/п узлов, где их наличие приводит к непредсказуемым и нерегулируемым уходам оси ротора и потери точности прибора. В настоящее время имеется несколько моделей [29-31] возникновения медленных процессов в ш/п узле. Однако,они не исчер пывают всех медленных движений узла, и не всегда предсказываемые ими частоты совпадают с экспериментально наблюдаемыми. Здесь рассмотрен один возможный механизм возникновения низкочастотных биений ротора. Из эксперимента известно,что осевая, радиальная и угловая жёсткости узла не постоянны и зависят от поворотов комплектов шариков ( переменность жёсткости достигает 10%), а,следовательно,от времени. Переменность жёсткостей системы приводит к параметрическим колебаниям. При определённых условиях могут возникать параметрические резонансы и низкочастотные биения [33, 74 ] . Исследуем условия их возникновения. Предварительно рассмотрим влияние силовой схемы,создающей осевой натяг на спектр и амплитуды вынужденной вибрации ротора.
Уменьшение тепловой разбалансировки ротора
При работе узла все его элементы прогреваются и подвергаются поэтому тепловому расширению. Технологические погрешности изготовления и вызванный ими разброс физико-механических параметров отдельных элементов могут привести к уходу центра масс ротора. Это в свою очередь,приводит к потере точности всего узла при воздй-ствии на него эксплуатационных перегрузок. Так, регламентируемый в технических заданиях допуск на положение центра масс ротора гироскопа составляет 0,01 - 0,02 мкм, в то время как тепловая деформация торцов крышек составляет 2-5 мкм. Очевидно, что разность тепловых и жёсткостных параметров крышек при такой большой их деформации может привести к недопустимо большой разбалансировке. Оценим величину осевого ухода ротора используя уравнения предыдущего раздела, а также предполагая одинаковый прогрев ротора,стяжки и обеих крышек. Это предположение вносит определённую погрешность. Однако полный неучёт теплощх деформаций приводит к значительно более грубым погрешностям (поскольку отличие температур элементов меньше среднего значения температуры). Рассмотрим уравнения осевых движений (109), (112), (113) ротора и крышек. Пусть внешние силы } , 2 , і ґс =0 ,волнистость рабочих поверхностей мала и пренебрежём ею, а элементы узла покоятся: Xf = Х2= Xj?- О . Пусть произошел прогрев элементов. Обозначим через изменение величины и в результате прогрева.
В последние несколько лет среди предприятий,изготавливающих и эксплуатирующих шариковые подшипники (в особенности приборные), появился интерес к созданию (и уже были попытки конструирования) сепаратора,базирующегося по телам качения. Это стремление вызвано во многих случаях необходимостью уменьшить потери мощности на трение. Сильное проскальзывание сепаратора по базирующей поверхности вызывает интенсивные силы трения ( и,следовательно, потери мощности), которые препятствуя вращению сепаратора приводят к большим проскальзываниям шариков по дорожкам качения. Чтобы устранить возможность касания сепаратора с базирующей поверхностью необходимо специальным способом спрофилировать окна сепаратора (например,сделать их коническими),чтобы ограничить его радиальное перемещение. Сконструированные в последнее время сепараторы имеют окна сложной не гладкой формы так,что может происходить контактирование шарика с изломами поверхности окна. Такие сепараторы технологически трудно изготовить. Кроме того,ограничение движения шарика вдоль оси окна приводит к тепловому заклиниванию и выходу сепаратора из строя. Из-за этого такие сепараторы практически не применяются.
Здесь предлагается новая конструкция сепаратора с базированием по шарикам f 82"] . Этот сепаратор имеет цилиндрические окна (что делает его простым в изготовлении). Кроме этого,устраняется явление теплового заклинивания. Ограничение радиального перемещения достигается за счёт наклонного положения окна (фиг. 9 ). При этом ось окна не обязательно пересекает ось симметрии сепаратора. Максимальное радиальное перемещение зависит от зазора в окне, наклона оси окна,радиуса по центрам шаров и зазора в окне. Это перемещение должно быть достаточно малым,чтобы сепаратор не соприкасался с кольцами. Кроме того необходимо ограничить перемещение шарика вдоль оси окна,чтобы он не "выпал" из окна.
Получим необходимые соотношения между конструктивными параметрами сепаратора и его максимальным радиальным смещением. Для этого понадобится решение задачи: найти расстояние от окружности до прямой линии (фиг. 10 ).
Рассмотрим теперь вторую задачу: найти максимальное осевое перемещение шарика в окне при всех допустимых положениях сепаратора. Эта часть задачи по сложности намного превосходит первую, и аналитическое её решение по-видимому невозможно. Поэтому мы здесь ограничимся некоторым частным рассуждением. А именно,предположим, что количество шариков четно (это ограничение при большом их числе несущественно). Рассмотрим перемещения сепаратора в направлении вдоль оси одного из окон. Перекосы будем считать нулевыми. Очевидно, оптимальной ориентацией осей окон сепаратора будет такая, при которой оси .противоположных окон ортогональны. В этом случае осевое перемещение шарика в окне будет ограничено радиальным зазором в противоположном окне,и,следовательно,равно А . Условие ортогональности:
Формулы (183), (184) полностью решают задачу выбора конструкции сепаратора. А именно, после того,как из (183) по заданному максимальному радиальному смещению и зазору в окне выбран коэффициент с помощью (184) можно выбрать и х . Так,если о&= 1 , то и гО и оси окон пересекают ось подшипника под углом 45.
Результаты расчёта движения сепаратора (программа CAQB)
Однако,полученное довольно большое отличие Vj/= (ip-от экспериментально наблюдаемых величин порядка одного герца и менее свидетельствует об ограниченной применимости данной модели сил базирования. В связи с этим были исследованы силы кулоновско-го трения. Расчёты показали,что при определённых параметрах (зазор базирования .радиальный зазор в окне А ) движение сепаратора выходит на режим при котором Vs не превышает 1 гц (зависимость ( - ) от времени изображена на фиг. 19 .коэффициент трения f - 0.2), его центр движется по круговой траектории ( траектория центра масс с шагом 1/10 от периода оборота показана на фиг. 22 ). Зависимости у и у от времени приведена на фиг. -21, 22 Различие п , пт не превышает последней. Величина Vs представляет собой скорость перемещения точки контакта по поверхности сепаратора. Малость величины Vs может привести к медленному изменению момента базирования в узле с сепаратором,имеющим волнистую поверхность. Управлять частотой Vst этого процесса можно путём изменения SL 9 а , f фиг 23,24,25. На фиг. 26 показана зависимость момента базирования Y и нормальной силы ог Интересно, что уменьшается с возрастанием коэффициента трения, а момент базирования и следовательно, сила трения I возрастают.
Расчёты при различных зазорах базирования показали, что режим с малыми Vs "медленный режим" возможен (при А = 1.5 »10 см) лишь для As 3 10 см, а при меньших зазорах сепаратор начи3 - ;нает "обкатывать" базирущуи поверхность, так что скорость скольжения поверхностей уменьшается на порядок, а угловая скорость ор-битального движения значительно увеличивается. На фиг. 17 показана зависимость W от времени для этого случая. Орбитальная скорость при этой отрицательна, момент базирования составляет 20 - 40 г»см, а сила трения порядка 200 - 400г. Аналогичный режим для As = 5»10" см получался при больших зазорах в окне ( А & 2,5 10 см). Такое движение возникает, по-видимому,из-за того, что зазор в окне намного больше ( по результатам численных расчетов более чем в 5 раз) радиального зазора базирования, и сепаратор может совершать обкатываниеfтолько редко сталкиваясь с шариками. При условии 3 - сепаратор совершает нерегулярное движение, при котором fi/p не имеет какого-либо характерного значения и может быть как положительным так и отрицательным.
Таким образом,существует довольно узкий диапазон конструктивных параметров, при котором сепаратор совершает медленное движение. Это необходимо учитывать при назначении зазора плавания и зазора в окне и с большей точностью контролировать эти параметры.
Далее с помощью подпрограммыSIDSD производится численное табулирование функции ое(,& (см. формулу (51) ) по параметрам Є и б в окрестности их средних (характерных для данного подшипника) значений. Данная операция позволяет значительно (примерно в 1,5 раза) сэкономить время на вычисление толщин плёнки на каждом временном шаге.
Далее с помощью подпрограмм А л LOА Ц tJAn/ задаётся осевой натяг узла и определяется статическое положение ротора. После этого задаютря начальные значения координат всей системы или производится считывание координат, рассчитанных по программе CAG-C. Затем ведётся численное интегрирование уравнений движения. Блок-схема программы (//]/// приведена на фиг.11. Большие затраты машинного времени связаны также с вычислением сил, действующих на шарик в контактах с кольцом, т.к. необходимо проводить интегрирование напряжении трения по площадкам контакта. С целью экономии времени проводится численная линеаризация выражении силы /#» и момента Mf по переменным: / , йд, » Q - безразмерному параметру нагружения контакта, и полуосям & ж о контактного эллипса.
Подобная операция проводится с определённым шагом по времени и позволяет увеличить быстродействие примерно в 1,2 -г 1,5 раза. Возможность такой линеаризации подтверждается почти линейным характером указанных зависимостей в рабочем диапазоне.
Значительную экономию времени счёта даёт введение координат Ван-дер-Поля для ротора. Так, тестовые расчёты показали, например, что метод Батчера при безразмерном временном шаге D/ г не теряет устойчивости, в то время как в обычных координатах устойчивость теряется уже при DT= 3.
Введение логарифмических координат для кинематических переменных шарика не вполне оправдывает себя в случае приборного подшипника. Дело в том, что характерные времена движения по этим переменным из-за малости массы шарика очень малы и являются одними из самых малых времён системы (порядка микросекунды). Выигрыш, который достигается за счёт введения логарифмических координат (примерно в 2 - 3 раза),оказывается недостаточным. Поэтому во всех расчётах по указанным координатам были отброшены силы инерции, а полученные нелинейные уравнения относительно переменных шарика решались на каждом шаге методом Ньютона.
