Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Предварительные результаты. 13
I. Дифференцирование потенциалов 13
1, Общий случай 13
2. Случай осевой симметрии 23
2. Вычисление полных эллиптических интегралов 31
1. Аналитическое продолжение 31
2. Алгоритмы вычисления 40
3. Вычисление интегралов типа Коши 47
1. Вспомогательные результаты 47
2. Вычисление интегралов 56
4. Вопросы аппроксимации функций и квадратурные формулы 64
1. Аппроксимация непериодических функций 64
2. Квадратурные формулы 68
3. Аппроксимация периодических функций 76
ГЛАВА II. Технология численной реализации осесимметричных задач 82
5. Структура интегральных операторов 82
1. Замена переменной интегрирования 82
2. Алгоритмы вычисления 89
6. Тестовые расчеты 92
1. Схема построения тестов 92
2. Тесты для потенциалов 95
3. Тесты для краевых задач 97
4. Тесты для задачи обтекания, 99
5. Комментарии к таблицам 100
6 Таблицы расчетов. 106
Литература
Введение к работе
Проблемы исследования потенциальных движений идеальной несжимаемой жидкости связаны с отысканием решений вспомогательных эллиптических задач, возникающих здесь в качестве важного промежуточного этапа. Так, например, задачи о плоских движениях идеальной жидкости сводятся к краевым задачам для аналитических функций [34J ; задачи обтекания тел - к внешним задачам Неймана для уравнения Лапласа [19, 35, 36J ; задачи со свободными границами - к нелокальным задачам Коши для псевдодифференциальных операторов [l3, 39-41J . Прогресс в решении указанных гидродинамических задач идет, как правило, по пути совершенствования, или даже создания, новых вычислительных средств в эллиптических задачах [ 47J .
Тематика диссертации возникла из попытки дать адекватное численное описание осесимметричных задач со свободными границами [I7J , гладкое решение которых "отслеживает" форму свободных границ с течением времени вплоть до их "разрушения", В реальной ситуации получить точные решения этих задач практически невозможно [40J . Поэтому приходится обращаться к численным методам. Здесь наиболее трудной является проблема обнаружения особенности на свободных границах [34J , Изучением этих задач с помощью ЭВМ занимались многие авторы L8-I0, 23, 24, 43J . Вместе с тем, ни одну из них в полном объеме не удалось реализовать. Причина такого положения - в отсутствии адекватного этим задачам вычислительного аппарата. В связи с этим необычай - 5 -но остро стоит вопрос доверия полученным и периодически получаемым численным результатам [_23, 24, 43J .
Посмотрим какие требования предъявляют задачи со свободными границами к возникающим здесь вспомогательным эллиптическим задачам.
Прежде всего заметим, что термином "задачи со свободными границами" обозначен класс задач гидродинамики идеальной несжимаемой жидкости, в котором поверхность (или ее часть), ограничивающая объем, занятый жидкостью, не фиксирована заранее, а состоит из жидких частиц [40J . Ясно, что решения этих задач представляют собой временную эволюцию жидких частиц под действием сил инерции, внешнего давления, поверхностного натяжения и потенциальных массовых сил. Поскольку в процессе построения решения исходная задача расщепляется на линейную эллиптическую задачу в области, занятой жидкостью, и нелокальную нелинейную задачу Коши на свободной поверхности [17] , то свободная (неизвестная) поверхность определится в результате решения задачи Коши для уравнений, связывающих форму поверхности и скорости жидких частиц на ней [40J . В связи с этим геометрическая конфигурация области, в которой нужно решать эллиптическую задачу может быть достаточно произвольной.
В случае потенциальных движений жидкости эллиптическая часть задачи состоит в отыскании по данным Дирихле гармонической в области функции с последующим вычислением ее граничного градиента.
Примерами задач со свободными границами могут служить классические задачи о развитии неустойчивости Рэлея-Тейлора [ю] и Гельмгольца-Кельвина [2lJ , а также задачи о всплывании пузырей [ІЗ, 32, 41, 43J •
Специфическая особенность указанных задач состоит в том, что классы их корректности весьма узки, решения, хотя и бесконечно дифференцируемы, но существуют недолго и неустойчивы,
[13, 39-42J . Указанные причины предъявили очень жесткие требования к алгоритмам, способным численно воспроизвести решения задач со свободными границами.
Первым этапом на пути создания адекватного численного описания этих задач является разработка численных алгоритмов для решения вспомогательных эллиптических задач с учетом свойств гладкости их решений.
Цель диссертационной работы состоит в построении такой методики решения краевых задач, связанных с уравнением Лапласа в случае гладких осесимметричных областей.
Следует согласиться с тем [ 7J , что при конструировании численных алгоритмов целесообразно руководствоваться такими способами приближения решений, ошибка аппроксимации которых определялась бы не "малостью разбиения" области на части, а наличием и степенью роста производных высокого порядка. В алгоритмах такого рода скорость сходимости приближенного решения задачи к точному определяется количеством непрерывных производных у отыскиваемого решения. Математические идеи, лежащие в основе указанных алгоритмов, принадлежат К.И.Бабенко [4, 6J. Алгоритмы, учитывающие потенциальную гладкость отыскиваемого решения, названы К.И.Бабенко алгоритмами без насыщения L7J . Для задач с большим запасом непрерывных производных у решения (например, эллиптических) такие алгоритмы имеют преимущество [47] .
- 7 Заметим, что в плоском случае конструкция алгоритмов без насыщения впервые была описана в статье [ 5J . Указанный в ней способ аппроксимации решения эллиптической задачи был использован затем в задаче о развитии неустойчивости Рэлея-Тейлора, что позволило в одном частном случае "протянуть" по времени численное решение этой задачи вплоть до его разрушения [в J . Это пока единственный убедительный численный результат в задачах со свободными границами. Он, кстати, подтвердил мысль о том, что адекватное численное описание задач со свободными границами невозможно без тщательно построенного численного решения соответствующих им эллиптических задач.
Конструирование алгоритмов для решения эллиптических задач всегда предполагает следующую последовательность: сначала эллиптическая задача сводится к ее конечномерному аналогу» а затем указывается способ решения полученной алгебраической системы уравнений. Точность построенного таким образом численного решения зависит от того, в какой степени конечномерная аппроксимация сохраняет свойства решений рассматриваемой эллиптической задачи.
Способы конечномерной аппроксимации, основанные на разностных методах и методах конечных элементов, насыщены Г?3 • В связи с этим решения эллиптических задач следует находить из эквивалентных им интегральных уравнений.
Большинство распространенных методов решения интегральных уравнений используют стандартные (имеющие главный член погрешности [l2j ) квадратурные формулы и фиксированный способ аппроксимации решения, что заранее достаточно жестко предопределяет качество получаемых приближений, поскольку все эти методы на - 8 сыщены L7, 47 J • Поэтому при проектировании вычислительного процесса для решения интегральных уравнений, важно позаботиться о том, чтобы интегральные операторы краевой задачи были реализованы численно как можно тщательнее, желательно с помощью квадратурных формул, не обладающих насыщением [7J .
В осесимметричных задачах возникают трудности принципиального характера: вблизи оси симметрии в ядрах интегральных операторов задачи был обнаружен сильный рост функций [те]. Этот эффект (назовем его "пограничным слоем") явился своеобразной платой за понижение размерности трехмерной задачи на единицу» Эффект оказался чисто вычислительным, поскольку осевая симметрия никак не нарушает свойств гладкости интегральных операторов задачи. Было установлено [іб] , что пограничный слой нельзя интерпретировать в рамках существующих способов вычисления интегралов, В известных работах С 31, 33, 49, 50J о значительном понижении точности расчета вблизи оси симметрии мало говорится, поскольку авторы их молчаливо соглашаются с этим обстоятельством. Исключение составляет статья С22] , в которой указан способ преодоления этого затруднения на основе квадратурных формул с автоматическим выбором шага интегрирования. Методики расчетов, приведенные в цитируемых работах, оказались малоэффективными вблизи оси симметрии, поскольку используют локальные способы выделения особенности у подинтегральных функций без учета пограничного слоя. При численной реализации задачи это обстоятельство воспроизведет не столько свойства самих интегральных операторов осесимметричных задач, сколько их взаимодействие с указанным способом выделения особенности.
В постановке любой краевой задачи всегда присутствуют, два типа входной информации. Это, с одной стороны, информация об интегральных операторах задачи, носящая аналитический характер, а, с другой - информация геометрического характера о форме области.
Всякий адекватный численный метод решения краевых задач должен предусматривать совместную переработку указанных выводов информации, поэтому геометрическая информация должна быть приведена к аналитическому виду. Например, в плоских задачах теории потенциала учет геометрии области производится с помощью функций, осуществляющих конформное отображение области на KpyrLlJ В осесимметричных задачах геометрия области учитывается в терминах пограничного слоя [l6j •
В диссертации с помощью специальной замены переменной интегрирования пограничный слой выделен в явном виде, В связи с этим трудности численной аппроксимации интегральных операторов осесимметричных задач были редуцированы к проблеме построения специальных квадратурных формул, способных нейтрализовать большой рост подинтегральных выражений. Такие квадратурные формулы были построены.
Основными результатами диссертации, которые выносятся на защиту, являются:
1. Новые численные алгоритмы без насыщения в краевых задачах для уравнения Лапласа в случае гладких осесимметричных областей.
2. Новые алгоритмы вычисления полных эллиптических интегралов первого и второго рода.
3. Новые квадратурные формулы без насыщения.
4. Расчеты внешнего обтекания тел большого удлинения потен - 10 -циальным потоком идеальной несжимаемой жидкости.
диссертация состоит из двух глав, включающих в себя шесть параграфов и 14 таблиц числового материала»
Первая глава выполняет основную техническую нагрузку диссертации и состоит из четырех параграфов. В первом параграфе получены формулы дифференцирования потенциалов простого и двойного слоев на границе области, записанные в удобном для численной реализации виде (теорема I.I). Во втором параграфе построен эффективный алгоритм вычисления полных эллиптических интегралов первого и второго рода, основанный на быстросходящихся степенных рядах (разложение (2.17), теорема 2.2). В третьем параграфе вычислены в явном виде несколько интегралов типа Коши, предназначенные для построения специальных квадратурных формул (теоремы 3.2, 3.3). Завершает главу четвертый параграф, который посвящен конструированию интерполяционных и квадратурных процессов без насыщения (теоремы 4.1, 4.3). На формирование излагаемой здесь точки зрения существенное влияние оказали работы К.И.Бабенко, из которых, в первую очередь, следует отметить [з, 4, б] . Специфика, построенных в этом параграфе квадратурных формул (4.9), состоит в том, что они способны нейтрализовать большие градиенты подинтегральных функций - пограничные слоиlf{лемма 4.2). Здесь же указан не обладающий насыщением способ вычисления производных от интерполяционных тригонометрических многочленов.
Вторая глава диссертации дает сбалансированную практическую основу для построения численного решения осесимметричных краевых задач для уравнения Лапласа. Эта глава состоит из двух параграфов: пятого и шестого. В пятом параграфе исследуется, обнаруженный в осесимметричных задачах, пограничный слой. Указана замена переменной интегрирования (5.2), позволившая выделить этот пограничный слой в явном виде (соотношение (5.5)) и тем самым свести вопрос его нейтрализации в численных расчетах к соответствующему свойству квадратурных формул (4.9). В заключительном, шестом,параграфе, построены тестовые примеры для осесимметричных краевых задач и даны комментарии к числовым расчетам, проведенным по предлагаемой методике. Численные примеры подобраны так, чтобы продемонстрировать возможности предложенного метода. В связи с этим выбраны задачи, которые традиционными методами трудно (или невозможно) рассчитать. Представляют интерес расчеты, проведенные для сильно вытянутого вдоль оси симметрии эллипсоида вращения с отношением полуосей = 0.001 (таблицы 13, 14). Возможности метода продемонстрированы 14 таблицами.
Результаты диссертации опубликованы в работах [I4-I6] и докладывались на Всесоюзной школе по качественной теории дифференциальных уравнений (1977, 1979, Новосибирск), 3 Всесоюзной школе "Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов решения задач математической физики" (1979, Москва), Всесоюзном коллоквиуме по задачам со свободными границами (1980, Донецк) и на семинарах: в Институте прикладной математики АН СССР (руководитель семинара член-корр.АН СССР К.И.Бабен-ко), в Московском государственном университете (руководитель семинара член-корр.АН СССР Н.С.Бахвалов), в Институте математики СО АН СССР (руководитель семинара член-корр.АН СССР С.К.Годунов), в Институте гидродинамики им.М.А.Лаврентьева СО АН СССР (руководитель семинара член-корр.АН СССР Л.В. Овеян - 12 -ников), в Вычислительном центре СО АН СССР (руководитель семинара профессор Ильин В.П.), в Институте теоретической и прикладной механики СО АН СССР (руководитель семинара к.ф.-м.н. Кузнецов Б.Г.).
Автор выражает благодарность своему научному руководителю члену-корреспонденту АН СССР Льву Васильевичу Овсянникову за постановку задачи и внимание к работе.
Случай осевой симметрии
В настоящем параграфе описан такой эффективный способ вычисления полных эллиптических интегралов с любой заданной точностью, Метод основан на быстросходящихся степенных рядах. Эти ряды обладают к тому же хорошими операционными свойствами: легко программируются, просто следить за точностью вычисления. Будем использовать общепринятые обозначения полных эллиптических инте ГРаЛВ: fc -V Т/г г Ці о о DOx)= KCoc)-E(-x) Здесь X e iO l) и называется модулем эллиптических интегралов.
Среди причин, затрудняющих вычисление полных эллиптических интегралов, можно указать, например, на весьма медленную сходимость степенных рядов, представляющих функции К Сое) , Ь( х) при стремлении хк I. Непригодность этих рядов для действительного использования вызывается присутствием особенности. Общий метод уничтожения медленной сходимости состоит в выделении особенности. Известна [48] связь полных эллиптических интегралов первого и второго рода с частными решениями гипергеометрического уравнения:
Наличие этой ценной информации о КСос) и ЬСх) позволяет с помощью аналитического продолжения решений гипергеометрического уравнения в окрестность точки 2 = I выделить особенность явно в виде множителя и получить удобные рекуррентные формулы для расчета. Техническое оформление этой идеи приводится ниже. Гипергеометрическим называется уравнение 2(1-35)- +(сЧаХі)г -а4 (2.1) в котором параметры & , Ь » С не зависят от 2 = oc+iu ; они могут быть любыми комплексными числами. Уравнение обладает тремя правильными особыми точками: 0, I?oo. Вообще эти точки являются точками ветвления решений гипергеометрического уравнения, а потому все решения (2.1) могут быть получены из любого, не равного тождественно нулю решения с помощью аналитического продолжения вдоль пути, обходящего одну из особых точек [46, 48J . Следовательно, всякое решение U/(Z) уравнения (2.1) можно найти и с помощью гипергеометрической функции (а)а (4)„ и- , Гема / ч = п.-О а которая является частным решением уравнения (2.1), регулярным в точке 2 = 0. Ряд r( t;C;2) абсолютно сходится внутри кру га "Z і для всех значений параметров. Осуществлять анали тическое продолжение решений уравнения (2.1) можно разными спо собами, например, используя теорию гипергеометрического уравне ния [46J . Мы воспользуемся более простым путем, опираясь на интегральное представление Бернса гипергеометрической функции
Интеграл в правой части этого равенства абсолютно сходится и является однозначной аналитической функцией от 2 во всей плоскости, за исключением точек положительной полуоси. Он опре деляет функцию г (а, о;С)Н) , аналитически зависящую также и от параметров Q. , о ,С , Представление (2,3) имеет то преиму щество, что с помощью асимптотических формул для Г-функции [48 J оно преобразуется в контурный интеграл. Для проверки (2.3) до статочно заметить, что при Z 4. интеграл можно вычислить с помощью вычетов в полюсах S =0, I, 2,. . . (поведение под ынтегральной функции при (Sl- oo имеет вид [зJ
Представление (2.3) справедливо при некотором ограничении на параметры. Распространение формул на все значения параметров производится с помощью аналитического продолжения по парамет рам. В самом деле, если зафиксировать 20 так, что ( го то функция является целой аналитической фун кцией от Си , Ъ ,С і так как гипергеометрический ряд равномерно сходится в любой конечной области (комплексного) пространства изменения параметров а , Ъ ,С . Таким образом интегральное представление Бернса (2.3) может служить для аналитического продолжения функции п а?6 С; z) в область а ъо (-)) ЦТ. В каждом конкретном случае аналитическое продолжение осуществляется путем вычисления интеграла, как суммы вычетов подынтегральной функции в полюсах. Ограничения на параметры, необходимые для интегрального представления, снимаются аналитическим продолжением по параметрам. Для обозначения аналитического продолжения г (cL?v Cy s) будем использовать снова символ г (0-,6} С; z) # Только теперь он обозначает главную ветвь аналитической функции, порожденной гипергеометрическим рядом (2.2). Все элементарные функции выражаются через гипергеометрическую функцию. Разрежем комплексную плоскость вдоль луча 1 "2 оо вещественной оси. Функция (1-) однозначно определена в разрезанной Ъ - плоскости.
Алгоритмы вычисления
С точки зрения практического использования представления (2.9) являются весьма привлекательными, и это связано прежде всего со следующим замечательным их свойством: они рекуррентны относительно точки ос = 1/2. Это означает, что для нахождения всех функций в (2.9) на промежутке [ОД) достаточно задать их только на отрезке [о, 1/2 J (характер особенности выделен явно). Итак, алгоритм вычисления функций необходимо конструировать в зависимости от величины ОС Q [о,1) на основе хорошо сходящихся на0,О,5] (по лемме 2.2) степенных рядов. Дальнейшее рассмотрение связано с получением удобных рекуррентных формул и оценок погрешности, которые позволяли бы проводить вычисления быстро и с любой требуемой точностью. Все эти вопросы могут быть относительно легко разрешены. Уело - 42 вимся аргументы степенных рядов, на которых базируется вычисление полных эллиптических интегралов, заключать в угловые скобки, /- У . Пусть р У/ 0 - любое целое число. Введем функции, принимающие участие в алгоритме расчета:
При решении интегральных уравнений модуль эллиптических интегралов, как правило, есть непрерывная функция двух переменных: x=oc(tf,s), (б , S} о х и) (О) - отрезок действительной оси). Поэтому реализовать высказанную выше мысль о целесообразности использования представлений (2.9) можно следующим образом. Обозначим характеристическую функцию множества точек (e;s) Q 60 х со на котором 0 oc(6;s)4 i/g через Д сос) . Характеристической функцией дополнительного относительного OxtO множества точек будет функция / (l- x) . Не будем давать детального доказательства теоремы (2.2), а ограничимся лишь кратким указанием на то, что она может быть получена путем непосредственного использования (2,14), — (2,15) определения функции )p(bc r/) и леммы 2,2,
Программирование указанного алгоритма не вызывает каких-либо существенных трудностей. Тестовые задачи можно найти в Г48 , 27J или использовать таблицы полных эллиптических интегралов [_18 _], Особенно эффективным алгоритм оказывается при решении интегральных уравнений. Для этого его удобно -оформить так, чтобы синтаксически во всей программе расчета он воспринимался как единый оператор. Выбор целого числа р? О тесным образом связан с гладкостью квадратурных формул, учитывающих специфику логарифмической особенности. Таким образом, предложенный метод дает общую и гибкую схему вычисления полных эллиптических интегралов, предоставляя вычислителю широкие возможности при любой конкретной реализации алгоритма. многочлены Чебышева соответственно первого и второго рода. Приведенные интегралы сами по себе могут представить интерес, но в диссертации они имеют подчиненную роль и возникли на решающем этапе конструирования численного алгоритма расчета осесимметрич-ных задач теории гармонического потенциала,
На практике нужны не просто алгоритмы расчета, а хорошие алгоритмы расчета. Но не всякий математически хороший алгоритм обязательно является таковым и с вычислительной точки зрения. Одной из важнейших характеристик качественности численного алго ритма является его ненасыщаемость L7J Так как любые методы вычисления интегралов, основанные на стандартных квадратурных формулах насыщаемы L7J , то при проектировании вычислительного процесса для решения интегральных уравнений важно позаботиться о том, чтобы интегральные операторы были реализованы как можно тщательнее (желательно аналитически!). От того насколько удачно будет решен этот вопрос зависит судьба всего алгоритма в целом. Изящный способ вычисления интегралов типа Коши принадлежит Г.Н.Пыхтееву [ 44J . Его метод замечателен тем, что сводит вычисление интеграла к известным задачам теории функций, а если при этом подынтегральное выражение обладает еще и некоторыми свойствами симметрии, то вопрос вычисления интеграла типа Коши в известном смысле становится тривиальным. Имея в виду непростую природу самих интегралов, проведем вычисления достаточно подробно, используя метод статьи
Алгоритмы вычисления
Восстановление значений 6 =. б і , S) (i - и) из неявного уравнения по заданному S & (0, 4.) и фиксированному упорядоченному разбиению производим с помощью метода Ньютона который обладает квадратичной сходимостью; вопрос о начальном о о , приближении в данной ситуации решается просто: Указанный итерационный процесс сходится быстро (уже 2-3 итерации обеспечивают 10 точных десятичных разрядов для значений S є [o.ooi, 0.999] ). Следовательно, конструирование узлов интерполяции б (4 п]подынтегральных функций в (5.6) с помощью отображения г- 6 происходит, сообразуясь с толщиной пограничного слоя 0.
Замечание. Целый параметр р -0 в алгоритме вычисления полных эллиптических интегралов (теорема 2.2) ответственен за формирование гладкости подынтегральных функций в (5.6) (в силу (5.2) функции принадлежат классу ). Его выбор следует подчинить условию нейтрализации пограничного слоя в за даче, т.е. неравенству (значение К0 вычисляется по правой части (4.18)). По этой причине при численной реализации интегральных операторов, содержащих в качестве ядер полные эллиптические интегралы, необходимо использовать гибкий метод вычисления полных эллиптических интегралов (например, описанный в теореме 2.2), а не какую-либо их аппроксимацию полиномом фиксированной степени.
2. Алгоритмы вычисления. Замена переменной интегрирования (5.2) позволила с единой точки зрения рассматривать осесиммет-ричные краевые задачи. Подобное единообразие весьма полезно, поскольку освобождает от необходимости учитывать детальный характер геометрии каждой осесимметричной области. Многообразие же гладких расчетных областей определяется величиной пограничного слоя и геометрией его расположения.
Схема построения тестов. Общий прием получения точных решений краевых задач для уравнения Лапласа состоит в отыскании такой системы ортогональных криволинейных координат, для которой граничная поверхность является одной из координатных поверхностей и уравнение Лапласа, после преобразования его к новым переменным допускает разделение переменных.
К числу криволинейных координат, пригодных для обсуждения осесимметричных краевых задач, принадлежат системы координат вытянутого и сплюснутого эллипсоидов вращения [35J ; они связаны с прямоугольными координатами (t , 2 ) меридионального сечения соответственно формулами: здесь С. - некоторый масштабный множитель.
Если А= о есть уравнение поверхности эллипсоида вращения, то области, лежащей внутри эллипсоида, будет соответствовать совокупность значений А л0 , области вне эллипсоида - совокупность дифференцирование вдоль нормального N и касательного Е направлений к поверхности А = л0 , заданной уравнениями (6.1) будем осуществлять по формулам здесь обозначено п Q д 5 + z „ J &sVs) 6 3 (в формулах верхние знаки соответствуют случаю вытянутого, а нижние - сплюснутого эллипсоида вращения).
Прямые и предельные значения операторов дифференцирования на поверхности Л- о будем обозначать как и прежде: rf , Е , f/± , Е ± . Ограничимся рассмотрением случая, когда гармоническая функция Ф не зависит от азимутального угла и
Тесты для краевых задач
В качестве канонических областей выбраны эллипсоиды вращения вокруг оси 2 , меридиональное сечение которых задано урав нением fc= CLSlnUTS, Z icoejTS (0S4l) В тестовых расчетах использованы как вытянутые вдоль оси ( h (X )9 так и сплюснутые по оси ( CL Ъ ) эллипсоиды вращения. При выборе параметров удлинения автор остановился на эллипсоидах с отношением полуосей а/е = Ш.0І и о/е = 100 (недоступных традиционным вычислительным средствам). Все таблицы рассчитаны в узлах В правые столбцы таблиц помещены точные значения рассчитываемых величин. Глобальные параметры р (теорема (2.2)) и L (представления (5.7) - (5.12)) выбраны для всех расчетов одинаковыми (быть может не наилучшими) и соответственно равны 10 и 501. В итерационных процессах в качестве начального приближения всегда выбиралась функция тождественно равная единице; число итераций никогда не превышало десяти.
Время, затраченное на получение любой из таблиц, оказывалось в пределах десяти минут на БЭСМ-б (программы написаны на АЛГОЛе).
В таблицах 1-8 представлены прямые значения производных от потенциалов V , W по нормальному А/ и касательному В направлениям. В качестве расчетных формул здесь использованы формулы (5.8), (5.9) и (5.II), (5.12), которые дают значения - 102 W&JCSjh ЕЖСАЩ) (oM 0 Функции выбраны из (6.9), (6.II) и (6.10), (6.12) соответственно. Точные значения указанных величин представлены в (6.9) - (6.12), нужно только взять № = I и учесть, что Р ос Х, р±0х)=ос, у Со31Г, 0 ОО = і - « a csc/г (ос -+ i) . Результаты численного решения внутренних задач Дирихле и внешних задач Неймана помещены в таблицах 9-12.
Прокомментируем схему получения этих результатов. Решения указанных задач отыскиваются с помощью потенциалов плотности которых определяются путем решения интегральных урав нений Фредгольма гзгч+угсд-ъг, (6 22) -jrt+ А/УГУ] = тГ, с правыми частями w , if" , являющимися соответственно данными Дирихле и Неймана на поверхности Л о . По найденным f и f решения краевых задач на поверхности -А=и0 восстанавливаются с помощью равенств - 103 TfJo,ju) = Vr J. Конечномерные аналоги уравнений (6.22) получаются следующим образом. Пусть =& І\ 9 Sj=2j/(2M- l),j 09lr. ,2M и 1 Lp J - класс непрерывных периодических функций с периодом 2. Рассмотрим отображение с расшифровывающим алгоритмом (сравни с (4.20)) ЯД? \ %№$)= Ц #SK)DM(X(S-SK)). Благодаря осевой симметрии задачи все функции обязаны быть либо четными, либо нечетными S. В силу (4.21) положим tf CS) = м (S ; J?) + $ (; ?), f (S) = Ч„ {S; ЭчО + M(S ) Подставив эти представления в (6.21) и отбросив погрешность аппроксимации, получим уравнения - + 6 2 = СЬг/ат, где обозначено 3 = J = 2 Матрицы АИР размером (2М + I)x(2M + I) вычисляются по формулам (5.10), (5.8) соответственно.
Поскольку построенные системы линейных алгебраических уравнений однозначно разрешимы при любых правых частях, то отыскивать их решения можно самыми разнообразными способами [45] .
