Содержание к диссертации
Введение
Глава 1 Исследование (то, к) -методов 10
1. Основные определения 10
2. (то, к) -методы 15
3. Максимальный порядок точности (то, к) -методов с аналитическим вычислением матрицы Якоби 19
4. Максимальный порядок точности (то, к) -методов с замораживанием матрицы Якоби 27
5. Построение неравенства для контроля точности вычислений 34
6. Алгоритмы интегрирования 40
Глава 2 Алгоритмы интегрирования с аналитическим вычислением матрицы Якоби 45
1. (2,1)-метод второго порядка точности 45
2. (2,2)-метод второго порядка с внутренней L -усточивостыо . 47
3. (3,2)-метод третьего порядка с внутренней L -устойчивостью 49
4. (4,2)-метод третьего порядка с внутренней L- устойчивостью 54
5. (5,2)-метод четвертого порядка с внутренней L -устойчивостью 61
6. (6,3)-метод пятого порядка 67
7. (6,3)-метод пятого порядка с внутренней L -устойчивостью . 79
8. Анализ результатов расчетов 95
Глава 3 Алгоритмы с замораживанием матрицы Якоби 112
1. (2,2)-метод второго порядка 112
2. (3,2)-метод третьего порядка 116
3. Анализ результатов расчетов 120
Глава 4 Алгоритмы переменного порядка 127
1. Метод переменного порядка с переключением по оценке локальной ошибки 127
2. (т, к) -методы с одной матрицей для нахождения стадий . 131
3. Анализ результатов расчетов 133
Заключение 137
Список использованных источников 138
Приложение 1 146
- Максимальный порядок точности (то, к) -методов с аналитическим вычислением матрицы Якоби
- Построение неравенства для контроля точности вычислений
- (3,2)-метод третьего порядка с внутренней L -устойчивостью
- Метод переменного порядка с переключением по оценке локальной ошибки
Введение к работе
Во многих приложениях, таких как химическая кинетика, радиоэлектроника и других, возникает необходимость численного решения задачи Коши для жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений.
Стремление ко все более точному описанию физических процессов приводит к постоянному росту размерности и жесткости соответствующей системы дифференциальных уравнений и предъявляет все возрастающие требования к методам интегрирования. Применение многошаговых схем в некоторых случаях нежелательно из-за эффекта "срезания экстремумов". Реализация неявных методов Рунге-Кутты сложна и приводит к итерационному процессу для нахождения стадий. В работах [1]-[4] предложен способ интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений, основанный на локальном многочленном приближении, где также используется итерационный процесс. Применение явных методов типа Рунге-Кутты приводит к обременительному ограничению на размер шага интегрирования ввиду ограниченного размера области устойчивости. Построение явных методов с расширенными и согласованными областями устойчивости [5, 6] не способно полностью решить проблему.
При решении задачи Коши для жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений широкое распространение получили методы типа Розенброка [7]. Данные численные формулы получены из полуявных методов типа Рунге-Кутты [8, 9], в которых при решении нелинейной системы алгебраических уравнений используется одна итерация метода Ньютона (см., например, [10]). В результате при вычислении каждой стадии вместо нелинейной системы алгебраических уравнений нужно решать линейную систему, а требуемая точность вычислений достигается за счет
подходящего выбора величины шага интегрирования. Для снижения вычислительных затрат при решении линейной системы обычно используют LU -разложение. Другие способы решения линейных систем можно найти в работах [11]-[21].
Максимальный порядок точности методов типа Розенброка не превышает (k + 1) , где число к задает количество вычислений правой части системы дифференциальных уравнений на шаге. Несмотря на более сложную (по сравнению с явными методами) реализацию и необходимость вычисления и обращения матрицы Якоби, методы Розенброка обладают неограниченной областью устойчивости, их применение позволяет снять ограничения по устойчивости на размер шага интегрирования.
При решении жестких систем важную роль играет также численная устойчивость. Эффективность метода определяется в большей степени свойствами устойчивости, чем точности, поэтому методы решения жестких систем должны быть как минимум Л-устойчивыми. В настоящее время в основном используют L -устойчивые схемы, что позволяет еще больше снизить вычислительные затраты.
Проблеме устойчивости численных методов на нелинейных задачах посвящена монография [22], построение численных схем для интегрирования жестких систем и способы контроля точности описываются в работах [10, 23]. Возможности применения явных методов для жестких систем, включая контроль устойчивости, описаны в монографии [5]. В этих работах имеется обширный библиографический список по соответствующей тематике, поэтому в дальнейшем приводятся ссылки только на непосредственно используемые источники.
При большой размерности решаемой задачи основные вычислительные
затраты методов Розенброка приходятся на обращение матрицы Якоби, что заставляет искать способы сокращения числа обращений данной матрицы. Один из таких способов - так называемое замораживание матрицы Якоби, то есть использование одной и той же матрицы Якоби на нескольких шагах интегрирования. Если алгоритм интегрирования не обладает такой возможностью, это означает ограничение на размерность решаемых задач. При этом возможности численного вычисления матрицы Якоби и ее замораживания должны быть учтены уже на стадии математического описания алгоритма, в противном случае заявленная точность метода не будет выполнена.
Известно, что при замораживании матрицы Якоби в методах Розенброка максимальный порядок точности не превышает двух [24].
В [25] предложен класс (т, к) -методов, в которых вычисление стадий не связывается с обязательным вычислением правой части системы дифференциальных уравнений. Применение данных методов позволяет построить численные схемы с более лучшими, чем у методов Розенброка, свойствами точности и устойчивости. В рамках (т, к) -методов значительно упрощается проблема замораживания матрицы Якоби и ее численного вычисления.
В настоящее время на базе (га, к) -методов с замораживанием матрицы Якоби удалось построить алгоритмы интегрирования до четвертого порядка порядка точности [26]. Показано, что максимальный порядок точности (га, к) -методов равен (к + 2) в случае аналитического вычисления матрицы Якоби и (& + 1) при ее замораживании. Здесь к - количество вычислений правой части на шаг интегрирования. Построены (т, к) -схемы максимального порядка точности, обладающие свойством L -устойчивости.
При построение методов интегрирования жестких систем необходимо
учитывать, что классический порядок точности метода, основанный на сравнении разложений приближенного и точного решений в ряды Тейлора, в случае жестких систем оказывается завышенным по сравнению с фактическим. На это явление впервые было указано в работе [27], а затем в [28] было введено понятие В -сходимости, способное предоставить оценку глобальной ошибки метода, не зависящую от жесткости решаемой задачи. Как показано в [10, с.267], методы Розенброка не могут быть В-сходящимися.
Наряду с В-сходимостью было введено понятие BSI -устойчивости [29], которое играет существенную роль для В-сходимости и связано с поведением внутренних схем. В [22, с. 194] установлено, что однократно неявные методы Рунге-Кутты, к которым относятся и методы Розенброка, BSI -устойчивы при некотором ограничении на шаг интегрирования. Данное ограничение можно обойти, потребовав L -устойчивость промежуточных численных формул.
Поскольку о возможности построения В -сходящихся и BSI -устойчивых (ш, к) -методов на сегодняшний день ничего не известно, можно надеяться, что (т, к) -схема, обладающая L -устойчивыми внутренними схемами, будет обладать лучшими свойствами сходимости на жестких системах. Однако во многих современных алгоритмах промежуточные численные формулы не обладают свойством L -устойчивости. В результате эффективность алгоритма интегрирования и точность расчетов понижаются.
Следует заметить, что свойства В -сходимости и BSI -устойчивости зависят от класса решаемых задач, и проверка этих условий для достаточно общих классов задач трудоемка, в то время как во многих случаях применение L -устойчивых схем с L -устойчивыми внутренними схемами, построенных на основе классического порядка точности, вполне себя оправ-
дывает.
На практике известно, что при невысокой требуемой точности вычислений выгоднее применять схемы низкого порядка точности, в то время как схемы высокого порядка оказываются эффективнее при более высокой требуемой точности. Более того, в одной и той же задаче встречаются участки, которые эффективней решать разными методами. Все это привело к созданию методов переменного порядка точности, которые способны самостоятельно решить вопрос о применении на данном участке той или иной схемы. На настоящий момент методы переменного порядка на основе (т, к) -методов отсутствуют.
В данной работе предлагается повысить эффективность (га, к) -методов путем построения L -устойчивых схем, обладающих внутренней L -устойчивостью. Решается вопрос о построении таких схем, имеющих максимальный порядок точности, и предлагается способ построения методов переменного порядка на базе (га, к) -методов. Построена пара (77г, к) -методов третьего и четвертого порядка, в которых для нахождения стадий используется одна и та же матрица. Использование пар подобных методов в алгоритмах переменного порядка и шага может упростить задачу замораживания матрицы Якоби в данных алгоритмах.
В главе 1 приведены основные определения, описаны (777., к) -методы и некоторые способы контроля точности; сформулирован алгоритм интегрирования переменного шага; доказаны утверждения о максимальном порядке точности (тп, к) -методов при к = 1,2,3 как в случае аналитического вычисления матрицы Якоби, так и в случае ее замораживания.
В главе 2 построены L -устойчивые (тп, к) -алгоритмы второго, третьего, четвертого и пятого порядка точности, обладающие внутренней L -ус-
тойчивостью. Построены методы максимального порядка точности, обладающие L -устойчивыми промежуточными схемами. Приведены результаты расчетов, подтверждающие повышение эффективности методов с внутренней L-устойчивостью.
В главе 3 построены L -устойчивые алгоритмы второго и третьего порядка с L -устойчивыми внутренними схемами. Предлагаемые алгоритмы обладают возможностью замораживания матрицы Якоби и ее численного вычисления. Приведены результаты расчетов, подтверждающие эффективность замораживания матрицы Якоби в построенных алгоритмах.
В главе 4 сконструирован алгоритм переменного порядка и шага на основе методов второго и третьего порядка. Построена пара (га, к) -методов третьего и четвертого порядка, в которых используется одна и та же матрица Dn , приведены результаты расчетов.
Основные результаты диссертации опубликованы в работах [30]-[41].
Максимальный порядок точности (то, к) -методов с аналитическим вычислением матрицы Якоби
В настоящее время на базе (га, к) -методов с замораживанием матрицы Якоби удалось построить алгоритмы интегрирования до четвертого порядка порядка точности [26]. Показано, что максимальный порядок точности (га, к) -методов равен (к + 2) в случае аналитического вычисления матрицы Якоби и (& + 1) при ее замораживании. Здесь к - количество вычислений правой части на шаг интегрирования. Построены (т, к) -схемы максимального порядка ТОЧНОСТИ, обладающие свойством L -устойчивости.
При построение методов интегрирования жестких систем необходимо учитывать, что классический порядок точности метода, основанный на сравнении разложений приближенного и точного решений в ряды Тейлора, в случае жестких систем оказывается завышенным по сравнению с фактическим. На это явление впервые было указано в работе [27], а затем в [28] было введено понятие В -сходимости, способное предоставить оценку глобальной ошибки метода, не зависящую от жесткости решаемой задачи. Как показано в [10, с.267], методы Розенброка не могут быть В-сходящимися.
Наряду с В-сходимостью было введено понятие BSI -устойчивости [29], которое играет существенную роль для В-сходимости и связано с поведением внутренних схем. В [22, с. 194] установлено, что однократно неявные методы Рунге-Кутты, к которым относятся и методы Розенброка, BSI -устойчивы при некотором ограничении на шаг интегрирования. Данное ограничение можно обойти, потребовав L -устойчивость промежуточных численных формул.
Поскольку о возможности построения В -сходящихся и BSI -устойчивых (ш, к) -методов на сегодняшний день ничего не известно, можно надеяться, что (т, к) -схема, обладающая L -устойчивыми внутренними схемами, будет обладать лучшими свойствами сходимости на жестких системах. Однако во многих современных алгоритмах промежуточные численные формулы не обладают свойством L -устойчивости. В результате эффективность алгоритма интегрирования и точность расчетов понижаются.
Следует заметить, что свойства В -сходимости и BSI -устойчивости зависят от класса решаемых задач, и проверка этих условий для достаточно общих классов задач трудоемка, в то время как во многих случаях применение L -устойчивых схем с L -устойчивыми внутренними схемами, построенных на основе классического порядка точности, вполне себя оправдывает.
На практике известно, что при невысокой требуемой точности вычислений выгоднее применять схемы низкого порядка точности, в то время как схемы высокого порядка оказываются эффективнее при более высокой требуемой точности. Более того, в одной и той же задаче встречаются участки, которые эффективней решать разными методами. Все это привело к созданию методов переменного порядка точности, которые способны самостоятельно решить вопрос о применении на данном участке той или иной схемы. На настоящий момент методы переменного порядка на основе (т, к) -методов отсутствуют.
В данной работе предлагается повысить эффективность (га, к) -методов путем построения L -устойчивых схем, обладающих внутренней L -устойчивостью. Решается вопрос о построении таких схем, имеющих максимальный порядок точности, и предлагается способ построения методов переменного порядка на базе (га, к) -методов. Построена пара (77г, к) -методов третьего и четвертого порядка, в которых для нахождения стадий используется одна и та же матрица. Использование пар подобных методов в алгоритмах переменного порядка и шага может упростить задачу замораживания матрицы Якоби в данных алгоритмах.
В главе 1 приведены основные определения, описаны (777., к) -методы и некоторые способы контроля точности; сформулирован алгоритм интегрирования переменного шага; доказаны утверждения о максимальном порядке точности (тп, к) -методов при к = 1,2,3 как в случае аналитического вычисления матрицы Якоби, так и в случае ее замораживания.
В главе 2 построены L -устойчивые (тп, к) -алгоритмы второго, третьего, четвертого и пятого порядка точности, обладающие внутренней L -устойчивостью. Построены методы максимального порядка точности, обладающие L -устойчивыми промежуточными схемами. Приведены результаты расчетов, подтверждающие повышение эффективности методов с внутренней L-устойчивостью.
В главе 3 построены L -устойчивые алгоритмы второго и третьего порядка с L -устойчивыми внутренними схемами. Предлагаемые алгоритмы обладают возможностью замораживания матрицы Якоби и ее численного вычисления. Приведены результаты расчетов, подтверждающие эффективность замораживания матрицы Якоби в построенных алгоритмах.
В главе 4 сконструирован алгоритм переменного порядка и шага на основе методов второго и третьего порядка. Построена пара (га, к) -методов третьего и четвертого порядка, в которых используется одна и та же матрица Dn , приведены результаты расчетов. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [30]-[41].
Построение неравенства для контроля точности вычислений
Построение га -стадийного (га, к) -метода происходит следующим образом: из общего числа стадий (их номера представлены в множестве Мт ) произвольным образом выбираются к основных стадий (множество Mf ), единственное ограничение - первая стадия всегда является основной. Выбор основных стадий осуществляется произвольным образом, однако от этого выбора существенно зависят свойства численной схемы. Нахождение каждой из основных стадий сопровождается вычислением правой части (вторая строка в (1.2.1)). Для нахождения остальных стадий вычисление правой части не требуется. Множество J І вводится с целью избавиться от дублирующихся коэффициентов. Если исключить из (га, к) -методов все стадии без вычисления правой части и положить все a.ij равными нулю, получим методы типа Розенброка.
Таким образом, в отличие от методов Розенброка, за счет введения особых стадий в данных схемах для описания затрат на шаг необходимо введение двух чисел тик. Вычислительные затраты на шаг интегрирования в методах (1.2.1) следующие: - один раз вычисляется матрица Якоби и осуществляется декомпозиция - к раз вычисляется функция / , - га раз осуществляется обратный ход метода Гаусса. Следует заметить, что введение дополнительных стадий без вычисления правой части не приводит к заметному росту вычислительных затрат по сравнению с соответствующим методом Розенброка, поскольку при малой размерности задачи затраты просто несущественны, а при большой размерности основные затраты (порядка N3 операций) приходятся на декомпозицию матрицы Dn и несколько дополнительных обратных ходов метода Гаусса (порядка N2 операций каждый) не приводят к значительному росту вычислительных затрат.
Проиллюстрируем идею (m, к) -методов на примере схемы Розенброка с одним вычислением правой части Очевидно, что требование L -устойчивости (1.2.6) входит в противоречие с условиями второго порядка точности (1.2.5). Итак, схема (1.2.2) при р\ = 1, а = 0.5 - одностадийный метод Розенброка второго порядка точности. Однако поскольку схема второго порядка не может быть L -устойчивой, на практике выгоднее понизить порядок точности, получив L -устойчивую схему первого порядка с коэффициентами
За счет введения всего одной дополнительных стадии удается построить L -устойчивую схему второго порядка точности. При этом вычислительные затраты увеличиваются на один обратный ход метода Гаусса. Построение такой схемы описывается в главе 2. Необходимо заметить, что при большой размерности задачи (1.1.1) введение дополнительных стадий вида (1.2.7) не приведет к существенному росту вычислительных затрат, поскольку основные вычисления приходятся на декомпозицию матрицы Dn , которую необходимо осуществлять вне зависимости от количества дополнительных стадий.
При практических реализациях методов (1.1.3) и (1.2.1), в особенности при большой размерности решаемой задачи, значительный интерес представляет возможность использование матрицы Якоби, вычисленной на предыдущих шагах алгоритма (так называемое "замораживание" матрицы Якоби) и ее численного вычисления. Для использовании замороженной матрицы Якоби, то есть применения на п-м шаге матрицы Якоби f n-i — д/{Уп-і)/ду 5 вычисленной і шагов назад, справедливо соотношение / = f n- ihfnfn + 0(h2) [43]. При использовании матрицы Якоби, вычисляемой численно, получаем аналогичное соотношение. Таким образом, на этапе построения метода можно учесть возможность численного вычисления матрицы Якоби и ее замораживания, если предположить, что при реализации (1.2.1) используется матрица где матрица Лп представима в виде
Здесь Bnj - некоторые матрицы, не зависящие от размера шага интегрирования. Для методов, рассматриваемых в данной работе, соотношения на коэффициенты схемы, соответствующие различным Вп , совпадают, поэтому для удобства записи вместо (1.2.8) будет применяться условие
Условие (1.2.10) позволяет применять методы (1.2.1) с использованием одной матрицы Якоби на нескольких шагах интегрирования, а также применять численную матрицу, которую тоже можно замораживать. Известно [24, 43], что нельзя построить метод типа Розенброка (1.1.3) с замораживанием матрицы Якоби выше второго порядка точности. Поэтому в случае большой размерности системы ОДУ методы (1.1.3) можно использовать только для расчетов с небольшой точностью. В отличие от методов типа Розенброка и их модификаций, в рамках (га, к) -методов достаточно просто решается проблема замораживания матрицы Якоби, а также ее численная аппроксимация [43].
(3,2)-метод третьего порядка с внутренней L -устойчивостью
Для практического применения численной схемы недостаточно знать значения коэффициентов, обеспечивающие необходимые свойства точности и устойчивости, необходимо иметь способ контроля заданной точности вычислений.
Многие алгоритмы используют для этих целей контроль локальной ошибки в предположении, что удерживая локальную ошибку на некотором уровне, можно добиться ограниченности глобальной ошибки.
Классический способ оценки локальной ошибки методов (1.1.3) и (1.2.1) основан на правиле Рунге [45],[46], которое заключается в следующем: в каждой сеточной точке интервала интегрирования следующее приближение вычисляется дважды, с шагом h и 0.5Я , а искомая оценка определяется через разность полученных приближений где p - порядок точности метода, y„ и y%5h - приближения к решению с шагом h и 0.5/І соответственно, 8 р и S h - соответствующие локальные ошибки. Однако применение такого способа оценки приводит к существенному росту вычислительных затрат, поскольку для вычисления приближения y 5h необходимо не только дополнительно вычислять правые части задачи (1.1.1), но и заново формировать и обращать матрицу Dn в точке (tn + 0.5/І) .
Более дешевым с точки зрения вычислительных затрат является многошаговый способ [47]. Он состоит в том, что одношаговой формуле р-го порядка точности ставится в соответствие многошаговая схема (р + 1) -го порядка Затем эта формула преобразуется таким образом, чтобы после подстановки в нее приближений (1.1.2) получилась оценка локальной ошибки одноша гового метода Недостаток данного способа - многошаговость оценки, что приводит ко всем недостаткам многошаговых методов.
Еще один способ оценки локальной ошибки основан на применении вложенных методов. Суть способа состоит в следующем. Приближение к решению в каждой точке вычисляется двумя методами р-го и (р + 1)-го порядка точности, и локальная ошибка метода р-го порядка оценивается через разность полученных приближений Данный способ успешно применялся в [48]- [50]. В [51] построена численная формула, в которой приближение к решению строится на основе метода (р + 1) -го порядка. Согласно [52], данный подход имеет ряд преимуществ.
Кроме перечисленных способов существуют и другие подходы, например, контроль точности с помощью оценки глобальной ошибки [54]- [56], где предлагаются различные способы оценки влияния локальных ошибок на глобальную; контроль точности с помощью вспомогательной квадратурной формулы [57] и другие.
В данной работе в основном будет использоваться контроль точности [5], основанный на идее вложенных методов, который заключается в следующем: приближение к решению вычисляется дважды методом (р - 1) -го и р-го порядка точности, а глобальная ошибка метода р-то порядка оценивается по формуле
В случае, если метод (р - 1) -го порядка построен на стадиях, используемых для получения приближения по методу р -го порядка, данная оценка принимает вид єщр = (рг- - Гі)к{, где / -стадии метода, a pi и г І -коэффициенты при г-й стадии в основной и вспомогательной численных схемах соответственно. При этом данный подход не приводит к росту вычислительных затрат, поскольку все использованные при оценке ошибки стадии применяются для нахождения численного решения. В случае, если на базе стадий основного метода не удается построить вложенную схему с требуемыми свойствами, можно ввести одну или несколько вспомогательных стадий, для нахождения которых не требуются дополнительные вычисления правой части. При этом затраты метода возрастают на соответствующее количество обратных ходов метода Гаусса.
Метод переменного порядка с переключением по оценке локальной ошибки
Далее приведены результаты расчетов построенных методов на десяти тестовых примерах [61] из химической кинетики. Для различной требуемой точности приводятся вычислительные затраты, включая количество вычислений правой части, декомпозиций матрицы Dn , обратных ходов метода Гаусса и количества возвратов (отказов от вычисленных приближений в случае невыполнения требуемой точности) методов с разбивкой по отдельным примерам. Также указана достигнутая фактическая точность, которая вычислялась по формуле где N - размерность решаемой задачи, y(tn) и уп - точное и приближенное решение соответственно, а параметр г полагался равным единице. Значение у(tn) вычислено многими методами с высокой заданной точностью. Перед тем, как привести результаты расчетов, заметим следующее.
При высокой требуемой точности расчетов фактическая точность на пятом примере, как правило, оказывается нарушенной. Это характерно для всех построенных методов и связано с ограничениями на разрядность используемых в компьютере чисел с плавающей точкой. В этом примере значение правой части на определенном этапе подходит близко к машинному нулю, и вместо тестового примера из-за ограниченности разрядной сетки далее решается задача вида у = 0 . При расчетах с низкой требуемой точностью алгоритм может "проскочить" указанную особенность. Для всех построенных в работе методов повышение требуемой точности расчетов на пятом примере приводит к невыполнению фактической точности.
При невыполнении требуемой точности на остальных примерах в квадратных скобках приведена требуемая точность, при которой фактически достигается первоначально заданная точность вычислений, и приводятся соответствующие затраты.
Сравнение эффективности схемы (2.1.1) и метода Розенброка (2.2.1), имеющих второй порядок точности, показывает, что для решения десяти тестовых примеров [61] схема (2.1.1) на основе одного вычисления правой части затрачивает на 15 - 30% меньше вычислений правой части за счет возрастания в 1,5- 2 раза количества декомпозиций матрицы Dn . Однако при возрастании требуемой точности расчетов до 10 4 схема с двумя вычислениями правой части оказывается эффективней.
Анализ расчетов по методам третьего порядка показывает, что при требуемой точности расчетов порядка Ю-1 и Ю-2 методы второго порядка эффективнее, однако уже при требуемой точности Ю-4 предпочититель-нее использовать методы более высокого порядка точности. Ниже приведены вычислительные затраты для решения тестовых примеров [61] (3, 2)-методом (2.3.1) и (4,2)-методом (2.4.1), имеющими третий порядок точности Расчеты по методу (2.3.1) проводились при коэффициентах (2.3.13). При этом для автоматического выбора размера шага интегрирования использовалось соотношение (1.6.2).
Для проведения расчетов по (4, 2) -методу (2.4.1) был выбран набор коэффициентов (2.4.16). При этом результаты расчетов приведены при использовании контроля точности вложенным методом (2.4.22). В этом и последующих методах для управления размером шага интегрирования параметр q вместо формулы (1.6.2) вычисляется согласно [5, с. 28] исходя из выполнения где є - требуемая точность расчетов, р -порядок точности метода, єп -оценка ошибки вида (1.5.3), параметр г = 1.1, а значение sn выбирается на каждом шаге исходя из выполнения равенства rpSn\\n#(jn)\\ = є .
Для проведения расчетов по (5, 2) -методу четвертого порядка точности (2.5.1) был выбран набор коэффициентов (2.5.10). Из результатов расчета следует, что при требуемой точности вычислений 10 4 и выше вычислительные затраты (5,2) -метода четвертого порядка ниже, чем затраты (3, 2) -метода (2.3.1) и (4,2) -метода (2.4.1) третьего порядка точности. При требуемой точности Ю-8 за счет внутренней L -устойчивости затраты (5,2) -метода четвертого порядка сравнимы с затратами (6,3) -метода без свойства внутренней L -устойчивости.
Сравнение (6,3)-метода пятого порядка (2.7.1) с внутренней //-устойчивостью и (6,3)-метода пятого порядка (2.6.1), не обладающего данным свойством, показало, что внутренняя L -устойчивость положительно влияет на эффективность метода. В некоторых случаях вычислительные затраты снижаются на 30%, при этом в случае невыполнения требуемой точности расчетов получить желаемую фактическую точность за счет повышения требуемой удается ценой значительно меньших вычислительных затрат.
Проведенные расчеты показали более высокую эффективность построенных (6,3) -методов по сравнению с методами более низкого порядка даже при невысокой требуемой точности. Это связано с тем, что обе схемы пятого порядка используют на одно вычисление правой части больше, чем построенные методы более низкого порядка точности и, соответственно, приближенное решение строится на основе более полной информации.
