Введение к работе
Эффективным методом математического моделирования сложных научно-технических, народнохозяйственных задач является вычислительный эксперимент (ВЭ) [1]. Математические модели многих процессов описываются с помощью уравнений математической физики, б частности, уравнениями магнитной гидродинамики ( МГД )
[23.
Уравнения МГД, как правило, представляют собой систему нелішейннх уравнений гиперболического типа. С помощью этих уравнений описываются математические модели многих практических задач. Разработка ' эффективных алгоритмов решения таких задач является актуальной проблемой в настоящее время, из-за продолжения исследований методом ВЭ сложных задач газовой динамики, физики плазмы и незавершенности соответствующих, разделов теории уравнений математической физики и численных методов.
Актуальность темы. При описании МГД задач применяются два основных подхода к описанию сплошной среды: эйлеров и лагранжев [3]. Лагранжев подход применяется для описания МГД течений с границами раздела двух сред и свободной границей, но он теряет свою эффективность при возникновении сдвиговых деформаций. Эйлеров подход, напротив, позволяет хорошо описывать течения с сильными деформациями и теряет свою эффективность при наличии сильной неоднородности параметров течения и свободных границ. В силу этого достаточно широкое распространение получил смешанный эйлерово-лагранжевый (СЭЛ) подход к описанию МГД задач, позволяющий эффективно использовать достоинства обоих упомяну-
тых выше подходов [4-6] в случаях, когда чисто эйлеров и чисто лагранжев подходы оказываются малоэффективными.
Среди методов, сочетающих достоинства эйлерова и лагран-жевого подходов, в последнее время усиленно развиваются те КЗ них, которые основаны на использовании системы координат, движущейся по законам, зависящим от свойств решения. Такие методы приводят к задачам, решающимся на подвижных сетках, динамически адаптирующихся к решению [4,6-10].
В двумерных расчетах часто бывает так, что расчетная область сильно меняет свою форму и размеры с течением времени, а задача такова, что лагранжев подход к ее описанию малоэффективен. В этом случае неизбежно возникает необходимость топологического изменения сетки в процессе расчета. Существуют эффективные методы перестройки структуры сетки для задач в лагран-жевой постановке [11-13].
Таким образом, актуальна задача создания таких алгоритмов в СЭЛ переменных, в которых используются подвижные сетки и проводится топологическая перестройка сетки в процессе расчета. В диссертации эта проблема рассматривается применительно к двумерным задачам МГД на основе операторного подхода [14]. Цель работы состоит в
построении на осноеє операторного подхода двумерной неявной консервативной разностной схемы МГД в СЭЛ переменных, которая аппроксимирует свой непрерывный аналог на нерегулярной треугольной сетке;
создании, исследовании и программной реализации эффективного численного метода решения двумерных нестационарных залэч газовой динамики, основанного на применении этой схемы:
- разработке эффективного метода адаптации сетки к особенностям вычисляемого решения, сочетающегося с изменением ее топологической структуры в процессе расчета, и его проварке на модельных двумерных задачах.
Нзучнзя новизна и практическая ценность. В данной работе построены сеточные аналоги дифференциальных операторов переноса, н-гтг.рые агагроксимирувл свои непрерывные аналоги на существенно неравномерной треугольной сетке, сохраняют их основные свойст-ъ'л и обладают при этом меньшим шаблоном, чем такие же операторы, полученные проекционным методом. В двумерных задачах эта проблема является сложной и для существенно неравномерных сеток актуальна до настоящего времени ( для квазиравномерною: сеток см. [4] ).
Сохранение в сеточном случае основных свойсте дифференциальных операторов является необходимым условием консервативности получаемой разностной схемы. В диссертации на базе операторного подхода построена консервативная разностная неявная двумерная схема МГД в СЭЛ переменных с учетом диссиаптивных процессов и проведена ее операторная интерпретация для случая чистой газовой динамики. Система записана в эйлеровой системе координат, что позволяет менять топологическую структуру сетки е процессе расчета, используя в качестве опорной сетку с предыдущего временного слоя.
В данной работе построен, исследован и реализован в виде программного комплекса эффективный итерационный метод решения системы нелинейных операторных уравнений, получающейся при использовании неявных схем газовой динамики в СЭЛ переменных.
В диссертации предложено уравнение для скорости системы
координат, включение которого систему уравнений гззоеой динамики позволяет эффективно управлять движением узлов сетки в процессе расчета. С использованием адаптации сетки, в сочетании, в случае необходимости, с топологической перестройкой били проведены модельные расчеты ( однофазная задача Стефана о замерзании и задача об истечении в вакуум ). Основные результаты работы.
-
На основе операторного подхода построена двумерная неявная консервативная операторно-разностная схема МГД в СЭЛ переменных, которая аппроксимирует свой непрерывный аналог на нерегулярной треугольной сетке. Выяснены операторные свойства этой схемы.
-
Предложен и исследован эффективный итерационный метод решения неявных ОРС двумерной газовой динамики в подвижной системе координат, создана его программная реализация.
-
Разработан способ адаптации сетки к особенностям вычисляемого решения, сочетающийся с изменением ее топологической структуры в процессе расчета. Его эффективность проверена на расчетах двумерных модельных задач.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на научно-исследовательском семинаре под руководством профессора Ю.П.Попова в ИПМ им. М.В.Келдыша, на научном семинаре кафедры вычислительных методов факультета ВМК МГУ и на Всероссийской конференции "Актуальные проблемы математического моделирования" /Абрау-Дюрсо, 1993 г./.
Публикации. По материалам диссертации опубликовано 3 работы, список которых приведен в конце реферата. Объем и структура диссертации, диссертация состоит из ееєлє-
ния, трех глав, заключения и списка цитируемой литературы. Обгем работы 125 страниц, из них 17 рисунков и библиография 44
названия.
