Введение к работе
Численные методы являются мощным инструментом решения многих прикладных задач математической физики. Более того, в настоящее время можно говорить о том, что появился новый способ теоретического исследования сложных процессов, допускающих математическое описание или- математическое моделирование - вычислительный эксперимент, то есть исследование реальных процессов средствами вычислительной математики.
Несмотря на достаточное обилие различных подходов к численному решению дифференциальных уравнений, в настоящее, время одним из наиболее универсальных и широко распространенных является конечно-разностный метод, развитию теории которого (применительно к сквозному расчету обобщенных решений систем законов сохранения ) посвящена настоящая работа.
Важнейшим свойством разностных схем, предназначенных для сквозного расчета разрывных решений.является свойство консервативности, при нарушении которого следует ожидать, что предельные разрывные решения схемы не будут удовлетворять законам сохранения аппроксимируемой системы. При этом если схема строится путем непосредственной аппроксимации интегральных законов сохранения или соответствующей им дивергентной формы записи системы, то она как правило является консервативной. Однако в целом ряде случаев такие схемы могут оказаться менее эффективными с точки зрения их численной реализации, чем схемы построенные путем аппроксимации некоторой недивергентной формы записи системы законов сохранения .
В связи с этим актуальным является развитие общей теории консервативности и связанной с ней теории слабой аппроксимации для разностных схем, построенных на основе недивергентной формы записи системы законов сохранения.
1) Развитие теории консервативности конечно-разностных схем, заданных как на однородной так и на неоднородной разностных сетках, и получение на ее основе универсальных критериев для проверки консервативности конкретных разностных и дифференциаль-
но-разностных схем.
-
) Анализ при помощи этих критериев консервативности и полной консервативности разностных схем гидравлики, использующих стандартную аппроксимацию уравнения изменения скорости, а также разностных схем газовой динамики и магнитной гидродинамики, использующих стандартную аппроксимацию уравнения для внутренней энергии.
-
) Построение теории слабой аппроксимации законов сохранения разностными схемами сквозного счета на разрывных решениях и анализ с ее помощью конкретных разностных схем (в том числе и повышенного порядка апроксимации на гладких решениях).
-
) Развитие метода внутренних асимптотических разложений разностных решений на фронте ударной волны и разработка на его основе метода теоретической оценки дисбалансов неконсервативных схем, возникающих при расчете по ним разрывных решений.
МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИЯ связана с использованием математического аппарата функционального анализа, общей теории разностных схем, теории обобщенных (слабых ) решений гиперболических систем законов сохранения, метода дифференциальных приближений разностных схем, а также развитой в данной работе теории представлений разложимых разностных операторов.
ДОСТОВЕРНОСТЬ полученных в работе теоретических результатов о качественном поведении разностных решений на фронтах ударных волн подтверждается проведенными тестовыми расчетами соответствующих точных разрывных решений.
і) Доказана эквивалентность четырех различных подходов к определению понятия консервативности разностной схемы как чисто внутреннего ее свойства. Первое из этих определений связано с возможностью построения схемы методом баланса, второе - со свойством "суммируемости" схемы по сеточной области, третье - с возможностью записи соответствующего ей оператора в виде суммы конечных разностей, четвертое - с дивергентностью дифференциального представления разностной схемы.
2) Получены универсальные критерии для проверки конкретных разностных и дифференциально-разностных операторов на свойство
дивергентности.
-
Введено понятие слабой аппроксимации (в том числе и с повышенным порядком) закона сохранения разностной схемой сквозного счета на классе кусочно-непрерывных функций и получены достаточные условия такой аппроксимации на неоднородной сетке и необходимые и достаточные условия - на равномерной однородной сетке.
-
Предложен и обоснован способ построения консервативных разностных схем, при котором сначала строятся их дифференциально-разностные аналоги, а затем по этим аналогам восстанавливаются сами схемы. На основе этого способа построены консервативные схемы гидравлики, использующие стандартную аппроксимацию уравнения изменения скорости, а также консервативные схемы газовой динамики и магнитлой гидродинамики, использующие стандартную аппроксимацию уравнения для внутренней энергии.
5 ) Разработан метод, позволяющий строить внутренние асимптотические разложения разностных решений на фронтах ударных волн. При помощи этого метода развит способ получения теоретических оценок дисбалансов неконсервативных разностных схем на ударных волнах. Этот способ использован для определения оценок дисбалансов, возникающих в неконсервативных схемах газовой динамики и магнитной гидродинамики при расчете по ним разрывных решений.
Результаты работы могут быть использованы для построения экономичных консервативных и полностью консервативных разностных схем аппроксимирующих неконсервативные формы записи различных систем законов сохранения.
На основе полученных в работе консервативных схем гидравлики был создан пакет прикладных програм для расчета плановых волновых течений однослойной и двуслойной мелкой жидкости в областях сложной геометрической формы. Двуслойный вариант этих программ, со специально введенным "сухим" трением в нижнем слое, был использован для расчета распространения прерывной волны, которая может возникнуть в Сарезском озере (Таджикистан) при катастрофическом обрушении в него берегового оползня.
Основные результаты диссертации докладывались на семинарах академика А.А.Самарского (Институт математического моделирования РАН), член-корр. РАН О.Ф.Васильева (Институт водных и экологических проблем СО РАН), член-корр. РАН С.К.Годунова (Институт математики СО РАН), член-корр. РАН А.Н.Коновалова (Вычислительный центр СО РАН), член-корр. РАН Г.А.Михайлова (Вычислительный центр СО РАН), член-корр. РАН Ю.И.Шокина и д.ф.-м.н. В.М.Ковени (Институт вычислительных технологий СО РАН), д.ф.-м.н. А.М.Бло-хина (Новосибирский государственный университет ), д.ф.-м.н. В.В. Пухначева (Институт гидродинамики им. Лаврентьева СО РАН), а также на международных и всесоюзных конференциях.
По теме диссертации опубликовано 27 печатных работ.
ОБЪЕМ РА60ТЫ: Работа состоит из введения, пяти глав (разбитых на параграфы), заключения и списка литературы из 340 наименований. Работа изложена на 337 станицах.
