Введение к работе
Актуальность темы
Краевые задачи для уравнения конвекции-диффузии с преобладанием конвекции являются типичным примером сингулярно возмущенных задач. Наличие малого параметра при старших производных, характеризующих процесс диффузии, приводит к быстрому росту производных вблизи некоторых участков границы области интегрирования. В результате стандартные методы конечных разностей и конечных элементов на равномерной сетке либо неустойчивы, либо дают неудовлетворительную точность при малом значении параметра диффузии. В то же время построение эффективных численных алгоритмов для решения этого класса задач имеет большое практическое и теоретическое значение. С одной стороны, рассмотренные в работе задачи часто выступают как элементы математических моделей при исследовании широкого круга прикладных задач физики, химии, радиоэлектроники, гидродинамики, техники, биологии, теории управления. С другой стороны, они могут рассматриваться как модельные, обладающие характерными чертами некоторого класса сингулярно возмущенных задач для эллиптических и параболических уравнений.
Первые сведения по асимптотическому анализу влияния малых параметров восходят к Л.Эйлеру. Начало современному теоретическому и практическому интересу положили работы А.Н.Тихонова в 40-х годах. Начиная с 60-х годов предложено большое количество приемов для обеспечения равномерной сходимости численных методов относительно малого параметра: экспоненциальная подгонка в методе конечных разностей (А..VI.Ильин, К.В.Емельянов, D.N.AlIen, R.V.Southwell, P.A.Farrel и др.) и конечных элементов (J.J.H.Miller, S.Wang, H.-G.Roos и др.); различные приемы повышения устойчивости, связанные с внесением искусственной вязкости (О.С.Зинкевич, J.J.H.Miller, H.B.Keller, R.B.Kellog, A.Tsan, E.O'Riordan, L.Tobiska, H.Tabata и др.); сгущение сетки в области погранслоп (Н.С.Бах-валов, Г.И.Шишкин, В.Д.Лисейкин, R.Vulanovic, E.S.Gartland и др.); внесение дополнительных базисных функций, описывающих пограничный слой (В.В.ІЛайдуров. Б.М.Багаев, A.Russo, F.Brezzi и др.); использование вместо кусочно-линейных конечных элементов более сложных, например, кусочно-экспоненциальных (H.-G.Roos, D.Adam, A.Felgenhauer и др.): апостериорная адаптация сетки с различными эстиматорами (И.Бабушка, J.Л.Н.Miller. R.E.Bank, A.VVeiscr и др.)
Цель работы
Целью рабо'і ы является построение теоретически обоснованных эффективных численных алгоритмов решения одномерных и двумерных краевых
задач конвекции-диффузии с преобладанием конвекции на основе метода конечных элементов с подгоночными квадратурными формулами.
Методы исследования
В основу исследования дифференциальной задачи положены методы теории обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных, теории сингулярно возмущенных уравнений и функционального анализа. При построении и исследовании дискретных задач за основу взнт метод конечных элементов с использованием сведений из методов конечных разностей и численных методов линейной алгебры. Теоретический анализ осуществлялся подробным математическим обоснованием свойств предлагаемых сеточных задач, включая доказательство устойчивости и равномерной сходимости приближенных решений. Вычислительная эффективность проверилась путем проведения серии расчетов на модельных задачах и сопоставления с другими подходами.
Научная новизна
На примере двух краевых задач для одномерного и двумерного уравнений конвекции-диффузии с преобладанием конвекции разработан и обоснован прием повышения точности и устойчивости в методе конечных элементов, обобщающий разностную экспоненциальную подгонку.
Практическая значимость
Результаты работы могут быть использованы при численном интегрировании прикладных задач, решение которых содержит регулярные пограничные и внутренние слои. Основная идея может быть обобщена для повышения точности методов конечных элементов для других классов сингулярно возмущенных задач.
Апробация работы
Материалы диссертации докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах: семинарах ИВМ СО РАН и КрГУ; Международной конференции "Математические модели и методы их исследования" (Красноярск, 1997, 1999); Международной конференции "Всесибир-ские чтения по математике и механике" (Томск, 1997); Международной конференции ENUMATH-1997 (Second European Conference on Numerical Mathematics and Advanced Applications, Германия, 1997); Сибирской школе-семинаре "Математические проблемы механики сплошных сред" (Новосибирск, 1997); Третьем Сибирском Конгрессе по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ-98, Новосибирск, 1998); Международной конференции WORKSHOP'98 on the Analytical and Computational Methods for Convection-Dominated and Singular Perturbed Problems (Болгария, 1998);
на конференциях-конкурсах молодых ученых в Институте вычислительного моделирования СО РАН (Красноярск, 199G-1999).
Работа поддержана грантом Российского Фонда Фундаментальных Исследований Ка 98-01-00704 и грантом Л» 1/72342 Фондом Фольксвагена.
Публикации
По теме диссертации опубликовано пятнадцать работ, список которых приведен в конце автореферата.
Структура и объем работы
Диссертация состоит из введения, трех глав, списка литературы и списка основных обозначений. Объем диссертации составляет 164 страницы машинописного текста, включая 12 рисунков, 13 таблиц и список литературы из 141 наименования.
