Введение к работе
Актуальность темы
При решении задач математической физики с использованием метода конечных элементов возникает проблема выбора эффективного метода решения системы алгебраических уравнений большой размерности. Особенно актуальна эта проблема для трехмерных задач, когда число неизвестных алгебраической системы может достигать сотен тысяч и миллионов. Важной характеристикой итерационных методов является зависимость вычислительных затрат, требуемых для получения решения с заданной точностью, от числа неизвестных. С середины 70-х годов для решения сеточных алгебраических задач стали применяться многосеточные итерационные методы, позволяющие достичь точности, обусловленной порядком сходимости решения дискретной задачи, с верхней оценкой числа арифметических операций, линейно (и, таким образом, оптимально) зависящей от количества неизвестных. Однако традиционные многосеточные методы имеют большую логическую сложность, затрз'дняющую их реализацию на многопроцессорных вычислительных системах. Каскадный итерационный алгоритм представляет собой простейшую версию многосеточных методов и отличается от традиционных многосеточных методов большей логической простотой, не требует предобуславливания и проектирования на более редкие сетки, сохраняя при этом свойство оптимальной вычислительной сложности.
' Цель работы
Цель работы состояла в расширении возможности применения, каскадного алгоритма для решения сеточных аналогов двумерных эллиптических задач (слабонелинейного эллиптического уравнения, уравнения со знакопеременным спектром, системы уравнений плоской теории упругости) и трехмерного эллиптического уравнения на многограннике и в области с гладкой криволинейной границей.
Методы исследования
При выполнении диссертационной работы использовались методы теории аппроксимации функций, теории итерационных методов, функционального анализа, линейной алгебры, вычислительной геометрии. Теоретический анализ осуществлялся строї ими математическими доказательствами свойств предложенных алгоритмов, включая обоснование сходимости приближенного решения и оценок скорости сходимости. Достоверность полученных результатов проверялась проведением серии вычислительных экспериментов и сравнением их результатов с теоретическими
:!
оценками.
Научная новизна
Для решения системы алгебраических уравнений, возникающих в результате конечноэлсмснтной аппроксимации ряда двумерных и трехмерных эллиптических краевых задач, предложен каскадный итерационный алгоритм и доказана его оптимальная вычислительная сложность. Обоснована асимптотическая устойчивость алгоритма дробления для построения триангуляции трехмерной ограниченной области с гладкой криволиненй-ной границей.
Практическая значимость
Каскадный алгоритм благодаря большей логической простоте может быть успешно реализован на многопроцессорных вычислительных системах. Это свойство в сочетании с оптимальной вычислительной характеристикой дает основание полагать, что предложенный алгоритм является одним из самых эффективных методов решения сеточных аналогов двумерных и трехмерных эллиптических задач на параллельных вычислительных системах.
Апробация работы
Материалы диссертации докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах:
-
на семинаре отдела вычислительной математики Института вычислительного моделирования СО РАН;
-
на 15 Межреспубликанской конференции по численным методам решения задач теории упругости и пластичности, Новосибирск, 1997;
-
на мегкдународной конференции "Математические модели и методы их исследования", Красноярск, 1997;
-
на Третьем сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике, посвященном памяти С.Л. Соболева, Новосибирск, 1998.
Публикации
По результатам исследования опубликовано десять работ, список которых приведен в конце автореферата.
Структура и объем работы
Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Обьем диссертации составляет 150 страниц машинописною текста, включая 9 рисунков, 17 таблиц и список литературы из -\Ъ наименований.
