Содержание к диссертации
Введение 4
Глава 1. Коэрцитивность и дифференциальные свойства задачи Дирихле с согласованным вырождением исходных данных 17
1.1. Основные обозначения 17
1.2. Постановка задачи. Определение / -обобщённого решения 20
1.3. Существование и єдинегвенноегь Я -обобщённого решения 22
1.4. Коэрцитивное! задачи Дирихле с согласованным вырождением исходных данных 33
1.5. Дифференциальные свойства Я -обобщённого решения задачи Дирихле с согласованным вырождением исходных данных 58
Глава 2. Метод конечных элементов высокого порядка точности для задачи Дирихле с согласованным вырождением исходных данных 75
2.1. Постановка задачи. Определение Я -обобщённого решения 75
2.2. Существование, едина вешюсть и регулярность Яі,-обобщенноі о решения 77
2.3. Схема метода конечных элеменюв 78
2.4. Оценка поірешносіи аппроксимации в норме ніюсіранства #2,1/+0/2 ) 83
2.5. Численная реализация меда конечных элеменюв высокого порядка точности для задачи с согласованным вырождением исходных данных и сильной сингулярностью 94
2.5.1. Постановка дифференциальной задачи 94
2.5.2. Алгоритм численного метода 96
2.5.3. Результаты численного эксперимента и выводы об апнроксимационных свойствах метода конечных элеменюв высокого порядка точности 101
Литература 105
Приложение 121
Введение к работе
Настоящая диссертация посвящена исследованию коэрцитивных и дифференциальных свойств Я„-обобіцрнного решения задачи Дирихле для эллиптического дифференциального уравнения второго порядка с согласованным вырождением исходных данных на конечном множестве точек границы произвольной выпуклой двумерной области и построению и теоретическому обоснованию схемы метода конечных элементов высокого порядка точности для численного решения краевой задачи с сингулярностью на основе применения дифференциальных свойств её решения.
В настоящее время построена законченная теория краевых задач для эллиптических дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений с гладкой границей. Один из центральных результатов этой теории состоит в том, чю если коэффициенты уравнения и граничных операторов, их правые части, а также граница области являются достаточно гладкими, то решение задачи — соответственно гладкая функция. Так, если коэффициенты и правые части непрерывны в обычном смысле, доказана разрешимость эллиптических краевых задач в просгране гвах Wp(ft); если же исходные данные непрерывны но Гёльдеру, разрешимость установлена в пространствах С1+а(Щ (см. [1], [3], [4], [7], [10], [31]-[35], [40], [60], [98]-[101]).
Исследование краевых задач для дифференциальных уравнений с особенностью (вырождением, сингулярностью) решения, а также разработка и обоснование методов численного анализа таких задач являются интенсивно развивающимися направлениями в современной математике.
Сингулярность решения краевой задачи для эллиптических дифференциальных уравнений может быть вызвана тремя причинами:
наличием угловых или конических точек на границе области; / сменой типа граничных условии в чочках границы;
вырождением исходных данных краевой задачи (коэффициентов и правых часі ей уравнения и граничных условий).
Первоначально основное внимание исследователей было сосредоточено на изучении краевых задач, сингулярносіь решения в которых вызвана первыми двумя причинами. Так, в работах В.А. Кондратьева, П. Грисварда, В.Г. Мазьи, Б.А. Пламеневского, О.А. Назарова и других авторов (см. [16]-[19], [116], [42]-[50], [54], [55], [94], [95]) изучались вопросы существования и единственности решения, исследовались коэрцитивность и дифференциальные свойства решений, строились асимптотические разложения решений в окрестностях нерегулярных точек границы.
СМ. Никольским в [56], [57], П.И. Лизоркиным и СМ. Никольским в [38], [39], [59], М. Труази в [130] проведено исследование краевой задачи первого рода для эллиптического дифференциального уравнения порядка 2г с вырождением на всей границе области Q (Q — ограниченная область пространства Ш.п с достаточно гладкой границей 80). Для этой задачи доказано существование и единственность обобщённого решения в весовых пространствах С.Л. Соболева, изучены его дифференциальные свойства.
С середины 80-х годов прошлого века начинает активно развиваться теория краевых задач для линейных дифференциальных уравнений второго порядка с сильной сингулярное і ыо решения, вызванной вырождением исходных данных (см. [14], [67]-[69], [72], [124]).
Дифференциальные задачи эюго типа возникают при построении математических моделей ряда физических процессов, изучением ко і орых занимаю ісяіакиеобл асі и науки, как нелинейная он і ика, физика плазмы и газового разряда, ядерная физика. К примеру, в теории рассеяния существует большая группа задач о вылете частиц из притягивающею цей і pa или падении их на центр. Математические модели подобных задач описываю і ся дифференциальным уравнением Шрёдингера, решением которого является волновая функция, бесконечно большая в начале координат. Указанное поведение решения обусловлено наличием особенное і и у потенциала, который можно рассматривать как часть исходных данных задачи. К упомяну і ой группе следует относи и» также и задачу о тормозном излучении электрона, вылетающего из ядра. В этой задаче решение имеет особенность 0{г 2) (см. [30, Глава 5], [2, Глава 10, § 90]).
В нелинейной оптике рассматривается задача о самофокусировке лазерного луча, суть которой состоит в том, чго из-за свойств среділ световой пучок собирается в точку; плотность энергии в этой точке обраіцаеіся в бесконечнойь. Точное решение сформулированной задачи не найдено и асимптотика поведения решения неизвестна (см. [37]).
Нахождение точного решения описанных выше задач и задач, им аналогичных (см. [30], [97], [128]), возможно лишь в небольшом числе частных случаев. В большинстве же случаев обобщённое (слабое) решение для них определить нельзя.
В связи с этим актуальным является исследование таких задач в более общей постановке, а также создание для них эффективных методов численного анализа.
Краевые задачи для линейных дифференциальных уравнений второго порядка с вырождением исходных данных в граничных точках изучались в [G], [9], [14], [29], [G4], [65], [72], [92]. Основным направлением исследований, описанных в этих работах, являлось изучение разрешимости рассматриваемых краевых задач в подходящих функциональных пространствах. Отличиіельной особенностью краевых задач с сильной сингулярностью является то, что в ряде случа G ев обобщённое (слабое) решение для них определить нельзя или оно не обладает свойствами, необходимыми для использования того или иного численного метода. Эю может бьпь вызвано как сингулярностью исходных данных, так и чем, что решение не принадлежит классическому (невесовому) пространству С.Л. Соболева. В связи с этим В.А. Рукавишниковым в работах [69], [72] было предложено определять решение таких краевых задач как Я„-обобщённое, удовлетворяющее специальному весовому интегральному тождеству. Такое определение позволило изучить в весовых пространствах С.Л. Соболева существование и единственность решения краевой задачи, её коэрци-тивность и дифференциальные свойства при наличии сингулярностей, вызванных как наличием угловых точек на границе области и сменой типа граничных условий, так и вырождением (слабым или сильным, согласованным или несогласованным) исходных данных (см. [67], [68], [70], [74], [75], [78], [82], [122]).
Следует заметить, чю в большинстве практических приложений точное решение рассматриваемых краевых задач найти не удаётся. Более того, в ряде случаев неизвестна даже асимптотика поведения точного решения в окрестностях нерегулярных точек. По этим причинам актуальной является проблема построения эффективных численных методов, учитывающих специфику задач с сингулярностью, а также теоретическое исследование этих методов.
Одним из наиболее эффективных и распространённых в современной вычислительной маїема іике численных меюдов решения краевых задач для эллиптических дифференциальных уравнений второго порядка является метод конечных элементов (МКЭ). Развитию это-ю метода в большей сіепени способствовали работы инженеров, рассматривавших МКЭ в 50-х и 60-х годах прошлого века как способ построения дискретных моделей сплошных сред на основе фундамен тальных положений механики твёрдого тела. Впоследствии (конец 60-х — начало 70-х годов 20 века) был развит математический аппарат МКЭ и получены основные результаты, связанные с оценками погрешности аппроксимации, еходимосш и обусловленное і и схем МКЭ. Большая часть указанных теоретических аспектов изложена в монографиях Ж. Деклу [11], Ж.-П. Обэна [61], Г. Стренга и Дж. Фикса [90], В.Г. Корнеева [24], Ф. Сьярле [91], Э. Митчела и Р. Уэйта [53], Г.И. Марчука и В.И. Агошкова [52], О. Зенкевича и К. Моргана [13], статьях И. Бабушки и Э. Азиза [102], М. Зламала [132], Л.А. Оганесяна, Л.А. Руховца, В.Я. Ривкинда [62], [63]. В работах [12], [86], [87] описаны применения МКЭ к решению задач, возникающих в различных областях физики и техники.
Метод конечных элементов является методом оптимального проектирования на гильбертовом ніюстранстве, а найденное с его помощью решение оказывается интерполяцией точного решения в некотором базисе. В своей простейшей форме МКЭ есть процесс построения конечномерных подпространств, называемых конечноэлементны-ми пространствами. Специфика них пространств заключатся в том, что их базисы состоят из кусочно-полиномиальных функций, определённых на разбиении исходной области и имеющих локальные носители. При эюм в зависимосіи от способа увеличения размерности конечноэлементного пространства различают три версии (разновидно-сти) метода конечных элементов: /г-, /;- и h-p версии. Классическим подходом является /і-версия МКЭ, в которой (леиень р апироксимаци-онных полиномов фиксирована и обычно мала (/; = 1, 2, 3), а убывание погрешности обусловлено измельченим сетки (уменьшением сеточного параметра /г). В р-версии МКЭ фиксирована сеіка, а требуемая точность достигается увеличением степени р аппрокеимационных полиномов. Сочетанием к- и р- версий является h-p версия, в которой одновременно измельчаюки сетка и увеличиваюіся сіепени полиномов.
В настоящее время /і-версия МКЭ является уже классическим подходом к решению многих задач математической физики, в том числе и задач с сингулярностью. В [109], [110], [112], [133] с целью построения /і-версии для краевых задач в двумерных и трёхмерных областях с нерегулярной границей применялся меч од, предложенный в [115] Г. Фиксом и основанный на выделении сингулярной составляющей решения в окрестности угловой точки. В работах других авторов (см., например, [103], [119], [131]) для эюй цели использовалось специальное построение сеток (в частности, сеток со сгущением к точке особенности).
В начале 80-х юдов прошлого века в работах И. Бабушки и других американских мачематиков получили своё развитие р— и h—p версии МКЭ. Впервые они были исследованы в [106], [108] для краевых задач с кусочно-гладкой границей и со сменой типа граничных условий, т. е. для задач со слабой сингулярностью решения (обзор основных резульчатов, касающихся р— и h—p версий МКЭ, а также обзор работ по этой тематике приведён в [104]).
Возможности, заложенные в способе аппроксимации краевых задач, используемом в МКЭ, оказались достаточно богатыми. В настоящее время известно и широко используется в приложениях значительное число разнообразных типов конечных элементов (их классификация, а также теоремы об аппроксимации, оценках скорости сходимости и обусловленности соответствующих конечноэлементных схем приведены в [91]). Они позволяют строить конечноэлементные комплексы, занимаемые коюрыми обласні могут со сколь угодно высоким порядком аппроксимировать произвольную область с достаточно гладкой границей. При эчом могут быть построены интерполянты лю боії наперёд заданной гладкости на коночнозлемситиом просі ране гве и любого наперёд заданною порядка скорое і и сходимости в нужном пространстве. Важное место среди большого разнообразия конечно-элементных схем отводится схемам МКЭ высоких порядков точности. Для эллиптических краевых задач порядка 2п такие схемы имеют число обусловленности 0(h 2n) и по количеству операций асимптотически более выгодны обычных схем МКЭ.
Теоретические аспекты построения и численной реализации схем МКЭ высоких порядков іочности описаны в работах В.Г. Корнеева [20]-[26], В.Г. Корнеева и СЕ. Пономарёва [27], [28], Э. Митчела и Р. Уійта [53], Ф. Сьярле [91], Ф. Сьярло и П. Равьяра [114] . В [24] представлен детальный анализ различных схем МКЭ высоких порядков точности для эллиптических краевых задач порядка 2п, а также приведён обзор работ по этой тематике.
Анализ схем МКЭ для краевых задач с сильной сингулярностью решения, вызванной вырождением исходных данных, проводился в [15], [80], [83], [111], [118], [121], [125] . В работах [80], [83], [125] для первой и третьей краевых задач с согласованным вырождением исходных данных на конечном множестве точек границы двумерной области строилась /і-версия МКЭ. В результате проведённых исследований были доказаны сходимости приближённых / -обобщённых решений к точным в норме весового пространства С.Л. Соболева с первым порядком по сеточному параметру /г,ав норме весового пространства Лебега — со вторым. В [15], [118] для одномерной задачи Дирихле с согласованным вырождением исходных данных и сильной сингулярностью решения построена и исследована р-версия МКЭ; в результате установлена степенная скорость сходимосіи приближённого / -обобщённого решения к точному в норме весового пространства С.Л. Соболева. В работах [111], [121] для одномерной и двумерной задач Дирихле с силь ной сингулярностью решения, вызванной согласованным вырождением исходных данных в граничных точках, разработана и обоснована h—p версия МКЭ. В результате благодаря использованию сеток со сгущением к точкам особенности и специальному построению степенных векторов аппроксимационных функций для каждой из рассмотренных в этих работах краевых задач усыновлена экспоненциальная скорость сходимости приближённого Я -обобщённот о решения к іочному в норме весового пространства С.Л. Соболева.
Вследствие специфики рассмотренных задач (а именно, сильной сингулярности их решений в точках границы) метод конечных элементов их численного решения можно охарактеризовать следующими особенностями:
схема МКЭ строится на основе определения / -обобщённого решения соотвеїствующей краевой задачи;
базисные функции конечноэлементного пространства содержат сингулярную составляющую;
порядок сингулярности аппроксимационных функций зависит от того, какому весовому пространству С.Л. Соболева принадлежит / -обобщённое решение краевой задачи;
анализ погрешности аппроксимации проводится в весовых пространствах С.Л. Соболева.
В настоящей диссертации рассматривав і ся задача Дирихле для эллиптического дифференциального уравнения второго порядка с согласованным вырождением исходных данных и сильной сингулярное 1Ы0 решения в точках іраницьі произвольной выпуклой двумерной обласіи. Решение поеіавленной задачи определяв і ся как R„-обобщёшюе; доказана его принадлежность весовому пространству С.Л. Соболева #2 vanity) исследованы дифференциальные свойства Я -обобі цен ного решения: установлена еі о принадлежность пространству 2+и+р/2 П1)И определённых условиях на параметр г/, коэффициенты и правые масти дифференциального уравнения и граничного условия. Для нахождения / -обобщённого решения рассматриваемой краевой задачи построена схема МКЭ высокого порядка точности, причём конечноэлеменгное пространство в качестве базиса имеет функции, содержащие сингулярную сосіавлякмцую; исследована погрешность аппроксимации предложенного метода. В результаїе применения этого подхода установлено, что скорость сходимости приближённого / -обобщённого решения к точному имеет второй порядок.
Перейдём к более подробному описанию полученных результатов. Диссертация состоит из введения, двух глав и приложения.
Глава 1 посвящена исследованию коэрцитивности и изучению дифференциальных свойств обобщённого решения задачи Дирихле для эллиптического дифференциального уравнения второго порядка с сильной сингулярностью решения, вызванной согласованным вырождением исходных данных в конечном множестве граничных точек произвольной выпуклой двумерной области П.
В пункте 1.1 введены основные обозначения, описаны все функциональные пространства и множества, используемые в диссертации, приведены выражения для норм и полунорм в этих пространствах.
В пункте 1.2 приведена постановка краевой задачи, дано определение её Я -обобщённого решения, принадлежащего весовому пространству С.Л. Соболева и удовлетворяющего специальному весовому интегральному тождеству.
Пункт 1.3 посвящен исследованию существования и единственности Я -обобщённого решения рассматриваемой задачи. В теореме 1.1 доказаны существование и единственность Я -обобщённого решения в весовом пространстве С.Л. Соболева И\ „+л/2( ) при определён ных условиях на исходные данные задами. При этом показано, что если найдётся хотя бы одно і/, при ко юром суіцесівуег единственное „-обобщённое решение, то всегда можно определить полуинтервал [г/1,1/2) такой, что для каждого У Є [г/і,г/ ) существует единственное / -обобщённое решение. Более того, в теореме 1.2 доказано, что Rv-обобщённое решение будет одним и т ем же для всех v из шкалы \у\, І/І) •
В пункте 1.4 изучается коэрцитивность рассматриваемой краевой задачи. Доказано, что если выполняются определённые условия на параметр и и правую часть граничного условия, то / -обобщённое решение ии(х) принадлежит весовому пространству Н\ v+pniQ и име ет место оценка сверху для нормы uv{x) в указанном пространстве через нормы правых частей дифференциального уравнения и граничного условия в сооївеїсівующих пространсівах (теорема 1.3).
В пункте 1.5 исследованы дифференциальные свойства Я„-обобщённого решения поставленной задачи. В теореме 1.4 установлено, что при выполнении определённых условий на параметр і/, коэффициенты и правые часі и дифференциального уравнения и граничного условия, зависящих от произвольного, но фиксированного, натурального числа /с, / -обобщённое решение и„(х) принадлежит весовому пространству С.Л. Соболева Н +р )
и имеет место оценка сверху для нормы uv(x) в указанном пространстве через нормы правых частей дифференциального уравнения и граничного условия в соответствующих пространствах.
В главе 2 рассматривается задача Дирихле для эллиптического дифференциального уравнения второго порядка с сильной сингулярностью и согласованным вырождением исходных данных. Основные результаты главы касаются нос і роения схемы метода конечных элементов высокого порядка точности для указанной краевой задачи и исследования аппроксимационных свойств зі ого метода в норме весового пространства С.Л. Соболева Щ пп ) В пункте 2.1 приведена постановка краевой задачи и дано определение её /?„-обобщенноі о решения, принадлежащею весовому про странсгву С.Л. Соболева Ич твп ( ) и удовлепюряющего весовому интегральному тождеству.
В следующем пункте описываются основные результаты, касающиеся существования, единственности и регулярносі и Я -обобщённого решения поставленной задачи.
Пункт 2.3 посвящен построению схемы МКЭ на основе определения / -обобщённого решения краевой задачи. С этой целью в область О вписывается выпуклый многоугольник П , проводится квазиравномерная триангуляция последнего, определяются конечноэлементное пространство Vh(Qh) и приближённое / -обобщённое решение по методу конечных элементов. При этом базис просі рансгва Vh(Clh) состоит из функций, содержащих сингулярную составляющую, а в качестве дополнительных степеней свободы, учитывающих информацию о поведении функции, используются значения производных. Установлено, что построенная схема МКЭ однозначно разрешима.
В пункте 2.4 исследованы аппроксимационные свойства построенной схемы МКЭ в норме весового пространства С.Л. Соболева #2 „+д/2( ) В качестве вспомогательного утверждения приводится лемма 2.1, являющаяся аналої ом леммы Сеадля весовых пространств. В теореме 2.1 приведён результат об аппроксимации / -обобщённого решения ии{х) с помощью шпериолянта uvj{x) специального вида. Установлено, что НиДж)- ,/( )11//1 =0(h2). Затем на основании леммы 2.1, теоремы 2.1, используя дифференциальные свойства / -обобщённого решения краевой задачи, доказано, что если ии(х)є H2tv+e/2 ( ) — / -обобщённое решение рассматриваемой задачи, а и (х)ЄVh(Qh) — приближённое Я -обобщённое решение этой задачи по методу коночных элементов, построенное в пункте 2.3, чо \\ии(х)-гіІ(х)\\щ /2ІП)=0(Н2) (теорема 2.2).
В заключительном пункте главы 2, состоящем из трёх подпунктов, проведён численный анализ схемы МКЭ высокого порядка точности для одномерной краевой задачи с согласованным вырождением исходных данных и сильной сингулярностью решения.
В подпункте 2.5.1 дана постановка дифференциальной задачи. Подпункт 2.5.2 посвящен описанию алгоритма нахождения приближённого -обобщённого решения по МКЭ в случае произвольной сетки Q.h. В подпункте 2.5.3 на основании анализа данных численного эксперимента сделаны выводы об апироксимационных свойствах МКЭ высокого порядка точности для краевых задач рассматриваемого типа.
Приложение к диссертации содержит табличный и графический материал, касающийся численного анализа схемы МКЭ высокого порядка точности для одномерных модельных краевых задач с сильной сингулярностью и согласованным вырождением исходных данных.
Основные результаты диссертации опубликованы в работах [74]-[78], [122]. Полученные результаты докладывались на Международной конференции по вычислительной математике МКВМ-2004 (г. Новосибирск, 2004 г.), на VII и VIII Краевых конференциях молодых учёных Хабаровского края (г. Хабаровск, 2005 и 2006 гг.), на XXXI Дальневосточной математической школе-семинаре им. акад. Е.В. Золото-ва (г. Находка, 2006 г.), на семинарах Вычислительного центра ДВО РАН, на учебно-научном семинаре "Математическое моделирование и численный анализ"Дальневосточноіо государственного университета путей сообщения.
В тексте диссертации принята двойная нумерация утверждений и формул: первая цифра указывает на номер главы, а последующие — на порядковый номер матемашческого предложения или формулы (при этом для нумерации однотипных формул используются также буквы русского алфавит, например, (1.22 А), (1.22 Б), (1.22 В)). Нумерация постоянных ведётся отдельно для каждой главы.
Автор выражает искреннюю благодарность научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Виктору Анатольевичу Рукавишникову за постоянное внимание и неоценимую помощь в работе.
