Введение к работе
! 'Актуальность темы. Полішомпальньїс сплайны находят шпро-;ое применение в вычислительной математике и инженерной практике. )нп хорошо зарекомендовали себя при решении интерполяционных за-[ач, задач численного дифференцирования и численного ннтегрнрова-шя функций, при решенп краевых па дач, интегральных уравнений и \д. Полиномиальные сплайны имеют хорошие свойства устойчивости ітноснтельно локальных возмущений, просты в реализации на ЭВМ. Сплайны обладают экстремальными свойствами.
В теории сплайн-аппроксимации наиболее известны монографии і статьи таких авторов, как Дж. Алберг, Э. Нильсон, Дж. Уолш, 1 Б. Стечкпн, ГО. Н. Субботин, Шенберг, К. де Боор, В. М. Тнхоми->ов, В. А. Морозов, Н. П. Корнейчук, Ю. С. Завьялов, Б. И. Квасов, }. Л. Мирошниченко, В. А. Василенко, В. Н. Малоземов, А. Б. Певный, {. II. Гребенников, В. Л. Макаров, В. В. Хлобыстов и др.
Настоящая работа посвящена методу сплайн-интерполяции фун-щш, заданной в узлах равномерной се.ткн конечного отрезка, и прп-[ененпю В-сплайнов в качестве аппроксимирующих функций в ме-оде конечных элементов (МКЭ) при решении эллиптических крае-ых задач. Рассматривается также пілімененпе В-сплайнов в задаче асчета напряженно-деформированного состояния резиновых элемен-ов при запрессовке комбинированного шарнира и при осевом сжа-пн ограниченного по торцам толстостенного цилиндрического амор-пзатора. Резннометаллпчсские шарниры комбинированного типа яв-яются одними из самых распространенных среди силовых резпноте-нических изделий в автомобильной промышленности, тракторостро-
енпи и транспортном машиностроении; амортизаторы сжатия применяются также в горнодобывающей промышленности. Цель работы.
-
Рассмотреть способ сплайн-іштсрполяцип на конечном отрезкі [О,а], при котором краевые условия на концах отрезка явно не зада ются. Получить оценки погрешности сплапн-іштсрполяцші для фун кщш и ее производных в пространствах С[0,а] и Lp[0,o] (р > 1).
-
Изучить вопрос применения В-сплайнов в МКЭ на примере рс шенпя эллиптических краевых задач в прямоугольнике. Провести ера вненпе В-сплаіінов с традиционными базисными функциями.
З.Разработать эффективный прямой метод решения системы ли нейных алгебраических уравнений (СЛАУ), возникающей в МКЭ, матрицей, построенной на основе В-сплайнов.
4. Использовать В-сплайны в МКЭ при решении нелинейной задач расчета напряженно-деформированного состояния осеснмметрпчны резннометалличеекпх изделий. Провести анализ результатов числеї ного моделирования.
Методика исследований. Проведенные исследования опирают* на общие методы математического анализа, теории приближения фуі кцпй, вычислительной математики. При выводе оценок в значительнс мере используются результаты п идеи Ю.Н.Суббогина, относящиеся изучению экстремальных и аппроксимацнонных свойств пнтерполяці сплайнами с равномерными узлами на бесконечной оси. При решеш задачи расчета резннометалличеекпх изделий в больших деформацій применяются методы теории наложения малых деформаций на коне ные.
Научная новизна. Предложен способ сплайн-интерполяции на отрезке, не требующий задания краевых условий. Получены оценки погрешности аппроксимации функции и ее производных в пространствах С[0,а]п LP[0,a] (р>1).
На примере решения эллиптических краевых задач описана технология применения В-сплайнов в МКЭ. Разработан модифицированный фронтальный метод (МФМ) решения СЛАУ с глобальной матрицей, построенной на основе двумерных В-сплайнов произвольной степени с произвольным расположением узлов. Отмечены преимущества В-сплайнов в сравнении с традиционными базисными функциями МКЭ по точности и количеству неизвестных параметров. Использование В-сплайнов в задаче расчета напряженно-деформированного состояния осесимметрпчных резинометаллическнх изделий позволило применить различные сочетания степеней В-сплайнов при аппроксимации радиального и осевого перемещений и функции гидростатического давления.
Теоретическая и практическая ценность. Предложенный способ сплайн-пнтерполящш на отрозке может быть использован в вычи- . слптельной математике, в приложениях теории приближения функции для приближенного представления функций, приближенного восстановления сеточных функций, в задачах численного дифференцирования функций и т.д.
Технология применения В-сплайнов в МКЭ, разработанная для задачи расчета осеспмметрнчяых резинометаллпческих изделий , реализована в виде комплекса программ "BRS" и может быть использована и при решении других задач.
Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на II Всесоюзном совещаніш по методам сплайн-функций (г.Новосибирск, 1984 г.), на Всесоюзной Сибирской школе по вычислительной математике (г.Новосибирск, 1988 г;), на Ш-ей Всесоюоной конференции по нелинейной теории упругости (г.Сыктывкар, 1989 г.), на 3-еп региональной конференции "Теория аппроксимации и задачи вычислительной математики" (г.Новосибирск, 1991 г.), на семинарах отделов теории приближения функций и теории аппроксимации и приложений Института математики и механики УрО РАН (г.Екатеринбург).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 7 работах [1-7].
Структура и об'єм работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, приложения и списка литературы. Общий объем -151 страница машинописного текста, включая 14 таблиц и 19 рисунков.
Библиография содержит 95 наименований.
