Содержание к диссертации
Введение
1 Обзор известных результатов 22
1.1 Формулировка вариационного неравенства 22
1.2 Функциональные пространства 23
1.3 Примеры вариационных неравенств 26
1.4 Теоремы существования, единственности и гладкости . 30
1.5 Задача Стефана 32
1.6 Монотонные операторы и выпуклые функции 35
1.7 Аппроксимации вариационных неравенств 38
1.7.1 Аппроксимация задачи о препятствии 39
1.7.2 Аппроксимация задачи Синьорини 40
1.7.3 Аппроксимация контактной задачи 41
1.7.4 Алгебраические формулировки сеточных вариационных неравенств 42
1.7.5 Аппроксимация задачи Стефана 45
1.8 Некоторые итерационные методы 48
1.8.1 Метод верхней релаксации 49
1.8.2 Методы расщепления 49
1.9 Задача с седловым оператором для вариационных неравенств 51
2 Смешанные гибридные методы для эллиптических вариационных неравенств 55
2.1 Смешанная гибридная схема для задачи Синьорини 55
2.1.1 Постановка задачи . 56
2.1.2 Смешанная гибридная постановка 57
2.1.3 Аппроксимация 62
2.1.4 Итерационный метод 65
2.1.5 Численные результаты 69
2.1.6 Метод решения конечноэлементной схемы для задачи Синьорини 73
2.1.7 Численные результаты 77
2.2 Задача с ограничениями во внутренних точках области . 79
2.2.1 Смешанная гибридная постановка 79
2.2.2 Аппроксимация 81
2.2.3 Численные результаты 84
3 Метод декомпозиции области для задачи о препятствии 85
3.1 Постановка задачи 85
3.2 Эквивалентная задача с суммой двух максимально монотонных операторов 86
3.2.1 Аппроксимация 87
3.2.2 Метод расщепления 89
3.3 Метод декомпозиции области с использованием функции Лагранжа 93
3.3.1 Аппроксимация 95
3.3.2 Метод расщепления 99
3.3.3 Другие варианты выбора предобусловливателя . 102
3.4 Численные результаты 103
4 Решение задачи Стефана с предписанной конвекцией 114
4.1 Смешанная гибридная схема 114
4.1.1 Математическая модель 114
4.1.2 Смешанная гибридная формулировка задачи . 115
4.1.3 Аппроксимация 119
4.1.4 Численные результаты 121
4.2 Декомпозиция области в задаче Стефана 124
4.2.1 Схемы предиктор-корректор 124
4.2.2 Численные результаты 128
- Примеры вариационных неравенств
- Алгебраические формулировки сеточных вариационных неравенств
- Метод решения конечноэлементной схемы для задачи Синьорини
- Метод декомпозиции области с использованием функции Лагранжа
Введение к работе
Теория вариационных неравенств является интенсивно развивающейся областью нелинейного анализа, сформировавшейся к настоящему времени как самостоятельная дисциплина и занимающей важное место в математике и механике. В виде вариационных неравенств формулируются задачи математической физики со свободными границами, описывающие, например, фильтрацию жидкости в пористой среде, пластические и вязко-пластические деформации, контакт упругих тел, фазовые переходы.
Начало теоретическому исследованию вариационных неравенств положили работы G. Fichera [51], J.-L. Lions и G. Spampaccia [58], Н. Brezis [36]. Подробное изложение теории вариационных неравенств и ее применения к решению различных прикладных задач можно найти в книгах Ж.-Л. Лионса [18], Г. Дюво и Ж.-Л. Лионса [7], А. Фридмана [29], Д. Киндерлерера и Г. Стампаккьи [13].
Одним из наиболее широко используемых методов решения задач математической физики является метод конечных элементов (МКЭ). Теория МКЭ изложена, например, в работах О. К. Зенкевича [8], Г. Стренга и Дж. Фикса [26], Ф. Сьярле [27]. Несмотря на то, что этот метод в достаточной степени теоретически разработан, остается много проблем его эффективного использования при решении прикладных задач, в особенности, задач большой размерности, нелинейных задач и т. д.
Основными проблемами при использовании МКЭ являются пробле-
мы повышения точности численного решения и эффективности реализации построенных сеточных схем. Смешанные и смешанные гибридные МКЭ позволяют повысить точность нахождения градиентов решения.
В диссертации рассмотрены смешанные формулировки некоторых ваг риационных неравенств, которые отличаются от исходных тем, что содержат две неизвестные функции — вводится новая переменная, являющаяся градиентом решения задачи. Гибридная постановка основана на разбиении области, в которой отыскивается решение, на некоторые подобласти, после чего задача формулируется относительно следующих двух неизвестных: значений искомой функции во внутренних точках элементов и ее значений на границах элементов. Таким образом, по своей идее гибридный метод близок методу декомпозиции области, про который будет сказано ниже. Смешанная гибридная формулировка основана на объединении двух упомянутых подходов.
Смешанные и смешанные гибридные формулировки краевых задач позволяют применять МКЭ с одновременной аппроксимацией искомой функции и ее градиента. Это позволяет находить градиент решения более точно по сравнению с приемом численного дифференцирования уже найденного решения задачи. Следовательно, в прикладных задачах, где интерес представляют также градиенты решения, смешанные МКЭ являются важным инструментом численного решения.
Теория смешанных и гибридных МКЭ достаточно полно развита для линейных краевых задач (см. монографии F. Brezzi и М. Fortin [38], J. Е. Roberts и J. М. Thomas [83] и библиографии в них). Существенные результаты по сходимости и точности схем таких: конечных элементов получены для нелинейных эллиптических уравнений в работах F. A. Milner [71], F. A. Milner и E.-J. Park [72], Е.-J. Park [79], М. Lee и F. A. Milner [65], F. A. Milner и М. Suri [73], М. Farhloul [49], Z, Chen [40] и других.
Смешанные и гибридные МКЭ для задачи Синьорини и контактных задач исследованы J. Haslinger и I. Hlavdfcek [52], P. Coorevits, P. Hild и J.-R Pelle [42], P. Coorevits, P. Hild, К. Lhalouani и Т. Sassi [74], L. Baillet и Т. Sassi [32], В. F." Belgacem и Y. Renard [35], R. Hassani, P. Hild, I. R. Ionescu и N.-D. Sakki [75]. В перечисленных работах исследована точность методов при наличии предположений о регулярности решений. Получены априорные и апостериорные оценки погрешности решения и проведены численные исследования.
Результаты, касающиеся смешанных гибридных методов для вариационных задач, рассматриваемых в диссертации, являются новыми.
В результате аппроксимации вариационных неравенств, как в классической, так и в смешанной гибридной постановке, получаются, как правило, сеточные вариационные неравенства большой размерности и возникает проблема, связанная с необходимостью построения эффективных итерационных методов их решения.
Построение быстрых итерационных методов численной реализации схем МКЭ для линейных: уравнений большей частью основывается на построении "хороших" предобусловливателей для матриц соответствующих сеточных схем. Предобусловливание может быть как явное, когда строятся спектрально эквивалентные матрицы для матрицы сеточной схемы, допускающие эффективное обращение, так и неявное. К последнему классу относятся многосеточные методы и методы декомпозиции области.
В работе Ю, А. Кузнецова [60] построен спектрально эквивалентный предобусловливатель для матрицы уравнения, к которому сводится решение смешанной гибридной аппроксимации линейного эллиптического уравнения при применении элементов первого порядка. В качестве пре-добусловливателя выступает сеточный оператор Лапласа на более мелкой сетке. В настоящей работе построены смешанные гибридные схемы
первого порядка для эллиптических вариационных неравенств с ограничениями на искомую функцию на границе (например, задача Синьори-ни) или внутри области (задача о препятствии), предложен и исследован итерационный метод их решения.
В результате так называемой процедуры конденсации (исключения из смешанной гибридной схемы двух неизвестных) соответствующие схемы МКЭ сводятся к сеточным вариационным неравенствам относительно вспомогательных переменных (по существу, множителей Лагранжа) с симметричной положительно определенной матрицей. В [60] показано, что эта матрица спектрально эквивалентна дополнению Шура сеточного оператора Лапласа на более мелкой сетке, что позволяет построить итерационные методы, где сеточный оператор Лапласа является предо-бусловливателем. Метод сходится со скоростью, не зависящей от шага сетки. Следует однако отметить, что реализация каждой итерации этого метода состоит в решении вариационного неравенства с сеточным оператором Лапласа и, тем самым> эффективность построенного метода зависит от способа двухступенчатой процедуры его реализации. Для решения уравнения с оператором Лапласа разработаны быстрые методы и имеется готовое программное обеспечение, в то время как для рассматриваемого случая вариационного неравенства этого сказать нельзя. В диссертации предложен эффективный итерационный метод решения классической (не смешанной) схемы МКЭ для задачи Синьорини, который в свою очередь применен для построения двухступенчатого итерационного метода решения смешанной гибридной схемы МКЭ для задачи Синьорини.
Методы декомпозиции области — это класс методов, основанных на разделении (декомпозиции) области, в которой нужно решить задачу, на подобласти. Особенностью метода является то, что он позволяет свести решение исходной сеточной задачи к решению подзадач, которые имеют
меньшую алгебраическую размерность и связаны между собой некоторыми условиями на линиях разрезов области. Таким образом, строится итерационный процесс, на одной итерации которого нужно решать задачи в подобластях. Методы декомпозиции области делятся на методы с налегающими подобластями и методы без налегания. В данной работе рассматриваются только методы с неналегающими подобластями.
Мотивацией применения декомпозиции области может быть сложная геометрия исходной области, использование различных математических моделей и - аппроксимаций в подобластях, возможность использования прямых методов в подобластях, В последнее время метод декомпозиции. области приобрел большую популярность в связи с развитием вычислительных систем с параллельной архитектурой. При реализации метода на многопроцессорных компьютерах итерации организуются таким образом, что решение задач в подобластях осуществляется параллельно, за счет чего достигается выигрыш во времени вычислений.
В настоящее время наибольшее развитие получили методы декомпозиции области для эллиптических уравнений второго порядка (см., например, работы В. И. Агошкова [1], A. Quarteroni [80], A. Quarteroni, J. Periaux, Ю. Кузнецова и О. В. Widlund [45], В. Smith, P. Bj0rstad и W; Gropp [87], P. Le Tallec [66]).
Как уже было отмечено, использование явных предобусловливате-лей для вариационных неравенств, как правило, не приводит к желаемому результату эффективной численной реализации конечномерных вариационных неравенств, поскольку построенные с их помощью итерационные методы снова требуют решения некоторых вариационных неравенств на каждой итерации, а эта задача по трудоемкости решения может быть сравнима с исходной. В то же время, метод декомпозиции области для задач с ограничениями, как с налегающими, так и с неналегающими подобластями, может привести к эффективно реализуемым алгоритмам.
Дополнительным аргументом в пользу применения метода декомпозиции области в случае задач со свободными границами является следующий. Как правило, на основе некоторой априорной информации можно выделить подобласти, содержащие свободную границу, причем размеры этих подобластей могут быть достаточно малы по сравнению со всей областью, в которой отыскивается решение краевой задачи- При соответствующем разбиении области на подобласти мы приходим к необходимости решать в большой подобласти краевую задачу для уравнения и лишь в малой подобласти, содержащей свободную границу, — задачу с ограничениями. Коме того, в подобластях, содержащих свободную границу, можно применять сеточные аппроксимации на мелкой сетке, если особый интерес представляет положение свободной границы.
В диссертации на примере задачи о препятствии внутри области с известной локализацией свободной границы рассмотрены схемы декомпозиции области без налегания с несогласованными сетками, предложены некоторые подходы к их решению и проанализированы результаты вычислительных экспериментов.
Отдельная глава настоящей работы посвящена задаче Стефана с предписанной конвекцией в энтальпийной постановке, моделирующей процесс непрерывной выплавки металла.
Формулировка задачи Стефана (при отсутствии конвекции) с введением функции энтальпии и обоснование существования и единственности обобщенного решения исследовались, например, в работах О. А. Олей-ник [20], О. А. Ладыженской, В. А. Солонникова и Н. Н. Уральцевой [14],. Е. Magenes [69] и А. М. Мейерманова [19]. Исследованию сходимости конечномерной аппроксимации задачи Стефана и точности сеточных схем посвящены работы Ф. П. Васильева [4], Б. М. Будака, Е. Н. Соловьевой и А. Б. Успенского [3], А. А. Самарского и Б. Д. Моисеенко [23], Р. П. Федоренко [28], Е. Magenes [69], R: Е. White [92], R: Н. Nochetto [76],
С. М. Eliott [48], R. Н. Nochetto и С. Verdi [77], М. Paolini, G. Sacchi и С. Verdi [78], С. Verdi [90]. В этих работах, в частности, исследованы, неявные сеточные схемы как для исходной задачи, т. е. без введения функции энтальпии, [90,92], так и для задачи Стефана в энтальпийной постановке с использованием регуляризации разрывной функции энтальпии [3,28,76,77].
Задача Стефана с предписанной конвекцией в классической постановке была изучена A. Fasano, М. Primicerio и L. Rubenstein [50]. Существование и единственность слабого решения исследованы в работах A. Visintin [91], J. Rulla [86], R Yi и Y. Qiu [94].
Важным частным случаем задачи Стефана с предписанной конвекцией, когда перенос осуществляется в одном направлении, является задача о непрерывной выплавке, моделирующая процесс охлаждения и затвердевания металла (см. J. Rulla [86], М. Makela, Т. Mannikko и Н. Schramm [70], S. Louhenkilpi, Е. Laitinen и R; Nieminen [68]). Существование и единственность обобщенного решения двухфазной задачи о непрерывной выплавке были исследованы F. Yi и J. F. Rodrigues [84,85,93].
Традиционно используемые методы решения задачи Стефана с предписанной конвекцией основаны на применении классического МКЭ по пространственным переменным. Аппроксимации задачи непрерывной выплавки посвящены работы Z. Chen [39], Z. Chen и L. Jiang [41], А. Лапина, Е. Laitinen и J. Pieska [62]; Для аппроксимации конвективного члена и производной по времени используются следующие схемы: аппроксимации с использованием характеристик дифференциального оператора [39,46], полуявные схемы, в которых значение конвективного члена берется с предыдущего временного слоя [41], и неявные сеточные аппроксимации [62].
Поскольку в прикладных задачах требуется, как правило, определять не только температурное поле, но и тепловые потоки, смешанные методы
конечных элементов имеют большое практическое значение при решении задачи Стефана.
В диссертационной работе построена и решена смешанная гибридная схема для полудискретной задачи Стефана. Полудискретизация проведена методом характеристик.
Для решения задачи Стефана в настоящей работе также применены методы декомпозиции области. В отличие от других задач, рассматриваемых в диссертации, задача Стефана является нестационарной. При приближенном решении нестационарных задач математической физики могут быть использованы, так называемые, безытерационные варианты метода декомпозиции, отличающиеся от традиционных тем, что на каждом временном слое осуществляется лишь один шаг метода декомпозиции. Возможность применения безытерационного метода обусловлена тем, что при переходе на новый расчетный слой мы, как правило, уже располагаем хорошим приближением к решению. Отсюда следует, что область применения таких схем ограничена задачами, решение которых слабо изменяется во времени.
Безытерационные методы решения параболических уравнений были исследованы, например, М. Dryja [47] и Ю. М, Лаевским [15]. Методы, предложенные в этих работах, представляют собой схемы с дробными шагами, когда нахождение решения на текущем временном слое осуществляется за два шага. Если ограничиться рассмотрением двух подобластей, то последовательность получения решения выглядит следующим образом: на первом шаге решается неявная схема в одной из подобластей, после чего на втором шаге решается неявная схема во второй подобласти, с использованием значения, вычисленного на первом шаге, для определения граничных условий на разрезе. Однако, как отмечено М. Dryja, его метод в общем случае не обладает достаточной точностью. Что касается метода, построенного Ю. М. Лаевским, в случае декомпозиции более чем
на две подобласти метод становится неустойчивым и погрешность имеет порядок единицы.
Ю. А. Кузнецов предложил использовать для решения параболического уравнения, так называемую явно-неявную схему [59], суть которой состоит в следующем. На разрезе (общей границе подобластей) вычисляется значение искомой функции по явной схеме (этот шаг назван предиктором). Затем осуществляется решение неявных схем в подобластях, причем в каждой подобласти граничные условия дополняются уже найденными значениями на разрезе. Альтернативная версия явно-неявной схемы была предложена С. N, Dawson, Q.; Du и Т. F. Dupont [44].
В работах Y. Zhuang и Х.-Н. Sun [95,96] были предложены различные варианты стабилизации методов, рассмотренных в [44,59]. Смысл стабилизации заключается в уменьшении погрешности, вызванной явным предиктором. Показано, что стабилизированные варианты методов обладают более хорошей устойчивостью по сравнению с исходными.
В работах W. Rivera и J. Zhu [81] и W. Rivera, J. Zhu и D. Huddleston [82] при решении одномерного теплового уравнения предложено к схеме Ю. А. Кузнецова применить так называемый "неявный корректор". Устойчивость полученной схемы численно сравнена с устойчивостью некоторых других известных схем. Из экспериментов следует безусловная устойчивость построенной схемы.
Близкими по тематике к этому вопросу являются работы А. А. Самарского и П. Н. Вабищевича [21], П. Н. Вабищевича [89], А. А. Самарского, П. Н. Вабищевича и П. П. Матуса [22], в которых развита теория так называемых регионально-аддитивных схем (схем расщепления с декомпозицией области) для линейных задач диффузии и конвекции-диффузии. Доказана устойчивость схем и получены оценки погрешности.
Существенным отличием задачи, рассматриваемой в диссертации, от задач, которым посвящены упомянутые выше работы, является ее нели-
нейность. В частности, технику исследования из [21,22,89] в этом случае применить не удается из-за негладкости решения. Построенные в настоящей работе схемы для задачи Стефана с предписанной конвекцией развивают идеи работ. [81,82]. Полученные схемы трактуются как схемы с расщеплением сеточного оператора, аппроксимирующего эллиптическую часть уравнения. Полученные в диссертационной работе результаты существенным образом опираются на результаты работы А. В. Лапина и J. Pieska [64], обобщая их на трехмерный случай. Целями работы являются:
Построение схем смешанных гибридных конечных элементов для вариационных неравенств с дифференциальными операторами второго порядка.
Построение алгоритмов решения вариационных неравенств на основе метода декомпозиции области.
Разработка и исследование численных методов решения конечномерных уравнений, полученных в результате аппроксимации рассматриваемых задач.
Проведение численных экспериментов и анализ их результатов.
Научная новизна результатов, изложенных в диссертации, состоит в следующем.
Построены и исследованы смешанные гибридные схемы МКЭ для эллиптических вариационных неравенств с ограничениями на решение внутри или на границе области. Сконструированы эффективные итерационные методы их численной реализации.
Для задачи о препятствии построены сеточные схемы на основе метода декомпозиции области с неналегающими подобластями и
несогласованными сетками в подобластях. Для построенных схем теоретически исследованы и численно реализованы итерационные схемы расщепления.
Построена смешанная гибридная схема для двухфазной задачи Стефана с предписанной конвекцией. Для ее решения применен метод, разработанный в данной работе для решения эллиптических вариационных неравенств.
Построены и численно исследованы схемы типа предиктор^коррек-тор для двухфазной задачи Стефана с предписанной конвекцией.
Достоверность полученных результатов обеспечивается строгими доказательствами сформулированных утверждений. Достоверность численных расчетов подтверждается хорошим совпадением результатов вычислений с известными решениями тестовых задач.
Научное и практическое значение работы. Работа носит, в основном, теоретический характер. Полученные результаты вносят вклад в развитие численных методов решения нелинейных задач. Вместе с тем, разработанные методы использованы при численном решении задачи Стефана с предписанной конвекцией, моделирующей процесс непрерывной выплавки металла. Предложенные подходы, методы и алгоритмы могут быть использованы при решении и других прикладных задач.
Структура диссертационной работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав и списка литературы.
Первая глава содержит обзор известных сведений по тематике работы. Приведена формулировка смешанного вариационного неравенства, показано, что рассматриваемые в работе задачи являются примерами смешанного вариационного неравенства. Перечислены известные результаты о существовании, единственности и гладкости решений задач. Рас-
смотрены классические схемы МКЭ и приведены оценки скорости сходимости этих схем. Приведены сведения из теории максимально монотонных операторов и из выпуклого анализа. Аппроксимации рассматриваемых вариационных неравенств записаны в виде включения с положительно определенной матрицей и диагональным максимально монотонным оператором.
Вторая глава посвящена смешанным гибридным схемам для эллиптических вариационных неравенств и методам их решения. Даны смешанная и смешанная гибридная постановки задачи Синьорини. Доказана эквивалентность смешанной гибридной постановки исходной. Построена, аппроксимация смешанной гибридной формулировки. Предложен итерационный метод решения схемы, обладающий скоростью сходимости, не зависящей от шага сетки; реализация одной итерации метода равносильна решению задачи Синьорини с классической аппроксимацией оператора Лапласа. Построен и исследован эффективный итерационный метод для решения классической конечноэлементной схемы задачи Синьорини, Приведены результаты вычислительных экспериментов.
Рассмотрен смешанный гибридный метод для задачи о препятствии внутри области. Дана смешанная гибридная формулировка задачи, доказана ее эквивалентность исходной. Исследован итерационный метод решения построенной смешанной гибридной схемы.
В третьей главе разработаны сеточные схемы на основе метода декомпозиции области для задачи о препятствии. Приведена постановка задачи о препятствии в виде задачи на минимум функционала энергии, дана эквивалентная ей формулировка задачи на минимум суммы двух функционалов, определенных на непересекающихся подобластях исходной области. На несогласованных сетках проведена аппроксимация задачи, при этом использованы два подхода — с введением функционала Лагранжа для снятия ограничений на разрезе, и подход, основанный на
непосредственной аппроксимации задачи минимизации суммы функционалов. Для решения построенных сеточных задач обосновано применение метода расщепления. Проведено численное сравнение метода Дугласа — Рэкфорда для построенных схем..
Четвертая глава посвящена решению двухфазной задачи Стефана с предписанной конвекцией. Для решения полудискретной задачи Стефана на отдельном временном слое построена смешанная гибридная схема и показано, что эта схема отличается от схемы для задачи о препятствии только нелинейным оператором. Отсюда сделан вывод, что для решения смешанной гибридной схемы, аппроксимирующей задачу Стефана, можно применять итерационный метод, предложенный для решения схемы задачи о препятствии, и метод будет сходиться с той же скоростью. Приведены результаты, иллюстрирующие работу метода в этом случае.
Предложены и численно исследованы схемы типа предиктор-корректор, которые трактуются как схемы с расщеплением основного оператора. Проведено численное сравнение построенных схем со схемой без расщепления. Численно показана безусловная устойчивость построенных схем.
На защиту выносятся следующие основные результаты диссертационной работы:
Смешанные гибридные постановки эллиптических вариационных неравенств с ограничениями на решение внутри или на границе области, обоснование их эквивалентности исходным дифференциальным постановкам.
Обоснование итерационного метода решения построенных сеточных схем смешанных гибридных элементов, оценка скорости его сходимости.
Сеточные схемы для задачи о препятствии, построенные на несогласованных сетках на основе декомпозиции области с неналегаю-щими подобластями; обоснование результатов о сходимости схемы Дугласа — Рэкфорда для построенных схем.
Смешанная гибридная схема конечных элементов для полудискретной задачи Стефана с предписанной конвекцией и обоснование итерационного метода ее решения.
Схемы типа предиктор-корректор для двухфазной задачи Стефана с предписанной конвекцией.
Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на итоговых научных конференциях Казанского государственного университета, на семинарах отделения математического моделирования НИИММ им. Н. Г. Чеботарева КГУ, на Всероссийской молодежной научной школе-конференции по математическому моделированию, геометрии и алгебре, г. Казань, 4-11 декабря 1997 г.; Всероссийской школе-конференции 'Теория функций, ее приложения и смежные вопросы", г. Казань, 13-18 сентября 1999 г.; Первом и Втором российско-финском семинарах "Численные методы для задач непрерывной выплавки и смежных проблем", г. Казань, 14-18 апреля 2001 г. и 11-15 июля 2003 г.; Международной молодежной школе-конференции "Iterative methods and matrix computations", г. Ростов-на-Дону, 2-9 июня 2002 г.; Всероссийской молодежной научной школе-конференции "Численные методы решения линейных и нелинейных краевых задач", г. Казань, 27 июня - 1 июля 2003 г.; Международной конференции "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы", посвященной памяти И. Г. Петровского (21-я сессия), г. Москва, 16-22 мая 2004 г.; Всероссийской молодежной научной школе-конференции "Численные методы решения задач математической физики", г. Казань, 27 июня - 2 июля 2004 г.
В целом диссертация была доложена на совместном семинаре Кафедры вычислительной математики Казанского государственного университета и Отдела вычислительной математики НИИ ММ им. Н. Г. Чеботарева Казанского государственного университета.
Основные результаты диссертации изложены в работах [9-12,43,55-57]. В совместных работах автор принимал участие на всех этапах, непосредственно автору принадлежат численная реализация рассмотренных в работе методов, проведение вычислительных экспериментов и анализ их результатов.
Работа выполнена в Научно-исследовательском институте математики и механики им. Н. Г. Чеботарева Казанского государственного университета.
Автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю профессору Александру Васильевичу Лапину за поддержку и постоянное внимание при выполнении работы, профессору Рафаилу Замиловичу Даутову за полезные советы при обсуждении результатов диссертации, директору НИИММ им. Н. Г. Чеботарева Александру Михайловичу Елизарову, за понимание и поддержку в период выполнения работы, а также сотрудникам отделения математического моделирования НИИММ им. Н. Г, Чеботарева КГУ за помощь в период оформления работы.
Примеры вариационных неравенств
Рассмотрим примеры задач математической физики, приводящих к вариационным неравенствам вида (1-5). 1. Задача о препятствии внутри области. Пусть Q — ограниченная односвязная область с кусочно-гладкой границей и К = {и Є Н$ (Q) : u(x) 0 п. в, в fi]. Рассмотрим следующее вариационное неравенство: найти такую функцию и Є К, что где f(x) Є Ьг(П) — известная функция. Неравенство (1.8) определяет, например, решение задачи о прогибах и(х) мембраны, закрепленной по контуру сЮ, под действием силы f(x) при наличии снизу ограничения жесткой поверхностью и — 0. Задачу (1.8) будем далее называть задачей о препятствии. Известно [29], что при дополнительном предположении гладкости решения, задачу (1.8) можно записать в поточечном виде: Решение и определяет разбиение области Q на две части, а именно, на множество 1 = {х О, : «(ж) = 0} и Q+ = {і Є П : и(х) 0}, где справедливо уравнение — Аи(х) — f{x). Множество QQ называется коин-цидентным множеством. Неизвестное априори множество дО,о\д1 является здесь свободной границей. Задача (1.8) является примером вариационного неравенства (1.5) с V = Я,}(П), ч = 0, а{щ v)= J VuVv dx. В главе 3 будет использована эквивалентная (1.8) формулировка задачи о препятствии: найти и Є Ку доставляющую минимум функционалу Определение 1.2. Пусть V — гильбертово пространство, J : V — — EU {+00} — функционал. Будем говорить, что J имеет производную Гато в точке и Є V, если Элемент VJ(u) Є V называется производной Гато или градиентом функционала J в точке и. Если для каждого элемента и V выполняется (1.10), то функционал J называется дифференцируемым по Гато в V, Эквивалентность задач (1.8) и (L9) вытекает из следующего общего утверждения. "Утверждение 1.1 [30]. Пусть J : V — Ж — выпуклый дифференцируемый по Гато функционал в гильбертовом пространстве V и К — выпуклое замкнутое множество в V. Тогда задачи 2. Задача Синьорини. Пусть граница области Q является кусочно-гладкой кривой и состоит из трех частей: dQ = TD U f jv U Гс и mes Гр ф Ф 0, V = {и Є ffx(fi) : и(х) = 0 п. в. на Г }.
Определим множество К = {и : и Є V, и(х) 0 п. в. на Гс} и рассмотрим вариационное неравенство: найти такое и є if, что где / Є L2(Q). Неравенство (1.11) служит моделью задачи, в которой часть границы Гс представляет собой полупроницаемую мембрану, позволяющую жидкости, поступающей в Q, проходить свободно, но препятствующую ее вытеканию. Поточечная формулировка задачи следующая [б]: где п — единичный вектор внешней нормали к дО,. Здесь, как и в примере 1, р 0, а(и, v) = I VuVv dx. Решение и определяет разбиение границы Гс на две части, а именно, на множество Гс„ = {х G Q : и(х) = 0} и Гс+ = {х Є О,: и(х) 0}, где справедливо условие ди/дп = 0. Множество Гс0 называется коинцидент-ным множеством в задаче Синьорини. Неизвестное априори множество Гс0 П Гс+ является свободной границей. 3. Контактная задача. Пусть граница области ft является кусочно гладкой кривой и aft = VD U YN U Гс, mes Гл 0 и V = {гі Є Я1 (ft) : w(ar) = 0 п. в. на Г }. Рассмотрим вариационное неравенство: найти и Є V такое, что ще f є і8(П). Использование термина "контактная задача" объясняется тем, что неравенство (1.12) является упрощенной моделью взаимодействия упругого тела (в случае К3), ограниченного областью ft, с жесткой поверхностью при наличии трения. В нашей задаче контакт с трением осуществляется в точках Гс с коэффициентом трения к = 1. Поточечная формулировка задачи следующая: в Q, наГдг, наГя, Рассматриваемый пример является частным случаем вариационного неравенства (1.5) с К = V, («) = / w[dT.
Граница Тс может быть разделена на априори неизвестные множества Тс+ = {х Гс : и(х) 0}; Гс_ - {х Є Тс : и(х) 0} и Гсо = {х Є Тс и(х) = 0}. Если решение задачи (1.12) достаточно гладкое, оно удовлетворяет условию ди/дп = — 1 для х Тс+ и ди/дп = 1 для х є Го.. Множества Гс0 П Гс+ и Гс0 П Гс_ образуют в этом случае свободную границу. Приведем теперь известные результаты о существовании, единственности и гладкости решений рассмотренных выше задач. Доказательства приводимых результатов могут быть найдены в книгах Д. Киндерлере-ра и Г. Стампаккьи [13], Ж.-Л. Лионса [18], Н. Brezis [36], Р. Гловински, Ж.-Л. Лионса и Р. Тремольера [6]. Теорема 1.2 [13]. Пусть выполнены условия (1.1) - (1-4)- Тогда для любого / Є V существует единственное решение вариационного неравенства (1.5). Проверим выполнение условий теоремы для рассмотренных выше примеров. В примерах 1-3 HQ(1) С V С H1(fi), билинейная форма определена равенством а(и, v) = f VuVw dx и удовлетворяет предположени-ям (1.1), (1.2) с константами а.— 0 = 1, если определим норму как IMIv = ( / \4u\2dx) . Функционал р(и) = / {и(х) 2э; выпуклый и непрерывный с эффективной областью В{ф) = V. Принадлежность / пространству V следует из непрерывного вложения (1.7). Выпуклость множеств ограничений из примеров 1 и 2 очевидна. Чтобы доказать замкнутость множества К = {и Є HQ(Q) : и(х) О п. в. в 2}, возьмем последовательность {wfc}, Uf. Є К7 которая сходится в Щ(1) к и 6 ІІ/Q (П) сильно. Поскольку вложение Н1 ) С Ьг(П) непрерывно, то иь — и в г(О). Тогда найдется подпоследовательность {uh}i которая сходится к и(х) для п. в. х Є П и, так как Wfc,(x) 0 для п. в. ге Є Г2, то и(х) 0 для п. в. х Є fi = « Є /Г.
Алгебраические формулировки сеточных вариационных неравенств
Вернемся к аппроксимации задачи о препятствии (1.22) и запишем ее в алгебраической форме. Поставим в соответствие 1 Є V вектор v Є M.N с координатами Щ Vk{xi), ХІ Є w, и будем использовать для этого взаимно однозначного соответствия обозначение v о ил Пусть далее (, ) — скалярное произведение в KN. Положим (Айуф = / Vuh(x)Vqh(x)dxy (f,q) = / f(x)qh{x)dx, й Ф мЛ, q&qh Элементы матрицы Л вычисляются по формулам где {(pi(x)} — базис Куранта пространства Vh, т. е. множество функций таких, что Из определения следует, что Л — симметричная положительно определенная матрица: Пусть теперь К = {й є RN : щ 0}, тогда вариационное неравенство (1.22) можно записать как соответствующее неравенство в R : Обозначим через 1к индикаторную функцию множества К, тогда (1.25) может быть записана следующим образом: u =mN: (Au,q-u) + IK{q) IK(u) {f,q u) \fqeRN. (1.26) Наряду с формулировками (1.25), (1-26) в диссертации будут использованы следующие эквивалентные им формулировки сеточных вариационных неравенств. Доказательство их эквивалентности можно найти в [30]. "Утверждение 1.3. Если А : V — V — симметричный положительно полуопределенный оператор, J : V — Ки{+оо} — собственный выпуклый пн. сн. функционал, тогда следующие задачи эквивалентны: Отметим, что если А ф А , то вариационное неравенство (1.28) не эквивалентно задаче минимизации. Если С не является субдифференциалом выпуклой функции, то включение (1.29) не эквивалентно вариационному неравенству. В этом смысле формулировка (1.29) является наиболее общей. Итак, из утверждения 1.3 следует эквивалентность вариационного неравенства (1.26) задаче минимизации и включению Из определения множества 7 следует, что 1к — сепарабельный функционал и С — диагональный максимально монотонный оператор: С = = diag(c, ...,с), где Заметим, что в случае диагонального максимально монотонного оператора С : M.N —+ M.N включение распадается на сумму N независимых скалярных включений Известно, что любой одномерный максимально монотонный оператор является субдифференциалом выпуклой пн. сн. функции, следовательно, включение (1.33) эквивалентно задаче минимизации в R1. Более того, во многих случаях, в том числе во всех рассматриваемых в настоящей работе, одномерное включение вида (1.33) может быть решено по явным формулам.
Аппроксимации задачи Синьорини (1.23) и контактной задачи (1.24) также могут быть записаны в виде включения (1.31) с той же матрицей А. Оператор С в задачах (1.23) и (1.24), при соответствующей нумерации узлов, можно представить в виде С = diag(c,...,с, 0,...,0), где Ас Nc — число узлов, принадлежащих Гс-. В задаче Синюрини (1.23) с(и) определяется формулой (1.32), в задаче (1.24) формулой Перейдем теперь к аппроксимации задачи Стефана Будем считать, что Cl С R", n = 2,3. На временном отрезке [0, T\ построим сетку и т = {0, т, 2т,..., Mr = — Т} с постоянным шагом г и проведем полудискретизацию задачи (1.34), используя характеристики дифференциального оператора (d /dt-\-+vdj/dx\). Именно, если {x,t) — точка временного слоя t = кг, то используем следующую аппроксимацию: Если хі — VT 0, то полагаем х\ = 0. Итак, полудискретная задача следующая: Vi Є и)Т7 t 0 найти пару (W,7)J удовлетворяющую системе Задачу (1.35) можно сфорумировать в виде вариационного неравенства: найти и(х) Є H1(f2), и(х) — z(x) на Г& такую, что / VwV( ? — u)dx + / ( f(q) - p(u))dx / /(g - u)dx + / #(g - u)dT ft n n rN Vg Є Я1 (ft), () = z(a;) на Гд. Здесь через / обозначена известная функция у/т. Будем также пользоваться следующей слабой постановкой задачи (1.35): для всех t Є wT, t 0 найти (u,7) Є Я1 (ft) х Ах,(ft) такую, что и = z(x) на Tj) и (1.36) для всех q Я1 (ft) таких, что q = 0 на Г/ . В главе 4 для полудискретной задачи (1.36) будет построена смешанная гибридная схема. Построим теперь сеточную схему для задачи (1.36), с решением которой в главе 4 будут сравниваться решения, полученные методом декомпозиции. Пусть ft = {0 Х\ ii, 0 х2 г} — прямоугольная область в случае ft С Ш? (ft = {0 xi t1} 0 х2 2,0 xz 4}, если ft С R3) и 7д = {5} — разбиение ft на прямоугольные элементы размера /цхЛ2 {hixh2xh3) и Vh = {uh(x) Є Н1(П)ПС(&) : uh(x) Є Qi V5 є 7/,}. Через Uhv(x) обозначим У интерполянт непрерывной функции v(x), т. е. Щіі Є Vh и совпадает с v(x) в узлах сетки (вершинах всех 5 Є Тн). Множество сеточных узлов Q обозначим через ш. Пусть далее VhQ = {иь(х) Є Vh : и (х) = 0 для всех х Гх?}, V = = {uh(x) Є Vh : щ(х) = Zh для всех х Гр}. Здесь 2 линейная (билинейная в случае R3) интерполяция z на границе Го, Для непрерывной функции q(x) определим квадратурные формулы Конечно-разностная схема для задачи (1.34) следующая: для всех t Є wT, t 0, найти ил Є V такую, что Запишем сеточную схему (1.37) на фиксированном временном слое t в виде включения. Поставим в соответствие Uh(x) Є Vh вектор узловых параметров й Є M.N : «л й. Определим матрицы размера N х N соотношениями для всех Wh, Qh Є Vh, uft .-ФФ- й IR , g/i -ФФ- g Є RN и обозначим A = M lA. Пусть Zh Є Vh — функция, которая равна Zh{x, і) на Г и равна нулю для всех узлов из Q U Г#. Определим вектор / равенством положим / = М-1/.
Метод решения конечноэлементной схемы для задачи Синьорини
Эффективность реализации итерационного метода (2.18) для задачи (2.15) зависит от способа решения (2.19). В этом пункте мы предлагаем быстрый метод для решения классических конечно-разностных схем на равномерных сетках для задач с ограничениями на границе. Метод может быть использован в качестве внутреннего итерационного процесса при решении (2.19). Рассмотрим классическую схему МКЭ для задачи Синьорини на равномерной сетке % в алгебраической форме где у = (уп, ут)т и уг — компоненты, соответствующие Г 7, Здесь через А обозначена стандартная пятиточечная аппроксимация оператора Лапласа на квадратной сетке, С — максимально монотонный оператор, отвечающий за ограничения на границе Гс-Пусть для нахождения уг имеем следующее включение: где х = /г - ArnA fn Известно, что матрица 5г спектрально эквивалентна матрице В — где «і,/Зі 0 и не зависят от /і. Здесь Д ,г трехточечный сеточный оператор Лапласа, определенный в точках Тс- Во внутренних точках Тс имеем &и,гУ — Ухх, где х — переменная, изменяющаяся вдоль Гс-Для решения (2.22) будем использовать итерационный метод
Аналогично теореме 2.2 можно доказать следующий результат. Теорема 2.3. Итерационный метод (2.23) сходится к решению (2.22) при Т\ — (0,2/ fa) и для т\ = 2/(ai + /) имеет место оценка Для реализации (2.23), полагая v = y ., используем, в свою очередь, внутренний итерационный метод Теорема 2.4. Итерационный метод (2.24) сходится к решению (2.23) при Т2 (0,2/\max(B)) и для та = 2/(Ащах() + Лщ В)) справедлива оценка где Amin(B) it Лтак(В) — соответственно минимальное и максимальное собственные числа матрицы В. Доказательство теоремы 2.4 также аналогично доказательству теоремы 2.2. Оценим трудоемкость двухступенчатого итерационного метода (2.23), (2.24) для решения (2.21). Известно (см., например, [24]), что А,шП(В) — величина порядка hy Amax(S) — порядка единицы, следовательно, Отсюда получим, что для достижения [vA+1—yp/]ufc+1 — у\\ є нужно сделать 0(h l ln(l/e)) итераций процесса (2.24). На каждой итерации (2.24) нужно: 1. вычислить произведение Ви, что при использовании быстрого преобразования Фурье [24] требует 0(h l Іп(1/Л)) операций. Заметим, что собственные числа операторов В и —Ад,г совпадают, а собственные значения оператора — А г равны квадратам собственных значений оператора В [5]; 2. в каждой точке решить включение вида и +1/т2 + Cvk+1 Э с известной правой частью , что составляет по всем точкам C?(/i-1) операций. Число п шагов итерационного процесса обычно выбирается из условия у" — и\\/у — и , где и — точное решение сеточной задачи, а уп — приближение к решению, полученное на n-й итерации. При этом є выбирается порядка /im, что связано с точностью аппроксимации.
Однако, во внутреннем итерационном процессе нет необходимости решать уравнение (включение) с большой точностью и мы будем здесь предполагать, что є не зависит от h. С учетом этого, умножив число итераций на число операций на каждом шаге, получим, что для нахождения у +г} при помощи процесса (2.24), нужно сделать всего 0(h 2la(l/h)) операций. Здесь мы предполагаем, что правая часть в (2.24) уже вычислена. Из оценки относительной погрешности процесса (2.23) получим, что для достижения точности h2 требуется 0(ln(l/h)) итераций. На каждой итерации (2.23) нужно: 1. вычислить х — STVY- ДЛЯ нахождения х гУг решаем уравнение после чего полагаем х — SrJ/p = ЛтШ + ЛттУг- Д 13 рассматриваемого примера на равномерной сетке задачу нахождения уц можно решить методом Фурье за O(h 2lo.l/h) операций (или даже за 0(h 2) операций многосеточным методом); 2. найти произведение By?. Как уже было отмечено, этого можно достичь за Q{hrx ln(l/h)) операций; 3. найти s/p+1 при помощи метода (2.24) за 0(h 2\n(l/h)) операций. Итак, решение (2.21) с точностью порядка h2 требует 0(h 2 ln2(l/7i)) операций. Для сравнения отметим, что общее число операций для решения задачи (2.21) при использовании метода SOR с оптимальным параметром есть величина 0(h 3\a.X/h). Даже, если будем считать, что точность внутреннего процесса зависит от ft, то получим оценку операций 0{h 2 ln3(l/ft)), которая асимптотически является более хорошей. Заметим, что идея построенного метода заключается в следующем. Ограничение на решение присутствует в малом числе точек (порядка ft-1 при общем числе неизвестных ft 2). Это позволило свести решение включения к решению уравнения во всей области, для которого можно использовать известные эффективные методы, и к решению включения только в точках границы.
Метод декомпозиции области с использованием функции Лагранжа
В предыдущем пункте условие щ = щ на S учитывалось при помощи добавления во включение субдифференциала индикаторной функции множества ограничений на разрезе. Теперь будем учитывать это условие при помощи множителей Лагранжа. Определим функцию Лагранжа 5 : (ui,ti2,A) Є Vi х Ki х LiiS) —+ s и перейдем от задачи (3.2) к задаче поиска седловой точки лагранжиана (3.12). Если (ui,U2, А) — седловая точка , т. е. то u(x) = {ui(x)}x li]U2(x),x Є 1} является решением исходной задачи (теорема 1.16). Необходимыми и достаточными условиями того, что тройка (ui, «2, А) является седловой точкой лагранжиана (3.12) являются следующие соотношения (теорема 1.17): Подробнее записав (3.13), получим задачу: найти тройку (щ щ Х) Є Є V\ х Ki х L2(S) такую, что где Пі и п2 — единичные векторы внешних нормалей к fix и Гї2 на границе 5. Отсюда видно, что функция А, связывающая уравнения для подобластей, в данной постановке задачи играет роль потока через общую границу S. Решение и задачи (3.1) принадлежит пространству Н2(П) [36]. Если положить щ = «ta, где ио — сужение функции и на подобласть fij, и А = ди/ди.2 то тройка (111, А) будет являться решением задачи (3.15) - (3.17). Воспользовавшись монотонностью дїк2, легко показать единственность «і и к2. Следовательно, решение задачи (3.15) - (3.17) существует и единственно. 3.3.1 Аппроксимация Так же, как в пункте 3.2.1, построим в области Q сетку и определим конечномерные пространства Аппроксимацией задачи (3.14) назовем следующую задачу: найти тройку (им, u2h, Ал) Є Vik х K2h x Ah такую, что V ib, ї л, (t/л) Є Vih x - 2Л x Aft. Для аппроксимации интегралов по подобластям ПІ, і = 1,2, снова будем использовать составную формулу трапеций по соответствующим квадратным элементам.
Обозначим через Sh { ?} разбиение S на отрезки длины Л, где h — шаг мелкой сетки, и для аппроксимации интеграла по границе S применим составную формулу трапеций по узлам 5а: Поставим в соответствие функциям «ІЛ Є Vih векторы узловых параметров щ Є M.Ni, i= 1,2, где Ni равно числу точек множества UJI U 5j, в соответствие Ah — вектор А Є ЖМх, N\ равно числу точек 52, и положим Множество Ki как и ранее определим равенством В результате, после применения квадратурной формулы к (3.18), по лучим задачу, поточечная запись которой имеет вид Здесь сеточные операторы Лапласа А и = uXlil + и разностные производные строятся на сетках с шагами Н ъ Qi и h в С12, С2= д к2-Запишем аппроксимацию в матричном виде Заметим, что в п. 3.2 было получено включение с положительно определенной матрицей, что обеспечивало существование его единственного решения, а также возможность применения результатов теоремы 1.14 об оценках скорости сходимости метода расщепления и оптимальных итерационных параметрах. Докажем теперь существование и единственность решения (3.27) и в следующем пункте будет доказана сходимость метода Дугласа — Рэк-форда для решения (3.27), но оценки скорости сходимости и оптимальные итерационные параметры для этого случая нам не известны. Теорема 3.1. Решение задачи (3.27) существует и единственно. Доказательство. Рассмотрим задачу где А = АТ О, A : RN» - UN\ К = {й MN Frw = 0} с прямоугольной матрицей F, матрицы А и F определены в (3.25), Къ — {иг Є Н 2] u2,i 0 для х Є с г} определено в (3.20). Множество К2 Г\ К не пусто, так как, очевидно, вектор й = 0 принадлежит этому множеству. Задача (3.28) имеет единственное решение, так как функционал квадратичный, а множество К2С\К выпуклое замкнутое и не пустое. Нетрудно построить вектор й с положительными компонентами, соответствующими узлам сетки W2, и удовлетворяющими (3.23). Такой вектор принадлежит множеству int Кч П К, Известно (см. следствие 1.1 теоремы 1.8), что если int К.2 П К ф 0, то 0(1% +1%) — dig + dig. Следовательно, задача (3.28) равносильна следующей Иначе говоря, если и Є К% П К — решение (3.28), то Последнее означает, что Множество К по определению является ядром оператора FT. Таким образом, (Ли + х — /) Є ( KerF71)-1 = Im F [5] и задача FA = f Х Ай имеет решение. Это означает, что пара (й, А) является решением системы
