Введение к работе
Актуальность темы обусловлена использованием методов конечных разностей и конечных элементов для решения краевых задач с сингулярностью решения и наличием ряда открытых вопросов в построении и анализе численных методов для задач с сильной сингулярностью.
Сингулярность решения краевой задачи для эллиптического уравнения в замкнутой области может быть вызвана тремя причинами: наличием угловых точек на границе области, сменой типа граничных условий в точках границы и особенностью исходных данных (коэффициентов уравнения, правых частей уравнения и граничных условий. Для задач, обобщенное или классическое решение которых можно определить, но оно не обладает достаточной регулярностью для анализа численных методов, в работах А.А. Самарского, Р.Д. Лазарова, И. Бабушки, В.В. Шайдурова, Е.А.Волкова и ряда других авторов разработаны эффективные подходы для преодоления возникающих трудностей.
Задачи с сильной сингулярностью, в которых сингулярность порождена особенностью исходных данных задачи и для которых нельзя определить обобщенное решение, возникают в различных разделах ядерной физики, физики плазмы и газового разряда, в нелинейной оптике и др. При их постановке встают проблемы: введение понятия решения, исследование его существования и единственности, коэрцитивных и дифференциальных свойств в весовых пространствах С.Л. Соболева, создание методик построения конечноэлементных пространств, содержащих сингулярные функции, оргонормированных систем сингулярных полиномов; развитие математического аппарата для исследования вопросов сходимости в различных весовых пространствах как конечно-разностного метода, так и метода конечных элементов.
Цель работы состоит в разработке подхода к определению понятия решения краевых задач с сильной сингулярностью, обусловленной сингулярностью исходных данных; в построении численных методов (метода конечных разностей и конечных элементов) для нахождения решения в зависимости от класса, к которому относится задача, и получении оценок скорости сходимости приближенного решения к точному в весовых пространствах.
Общая методика связана с использованием современных методов численного анализа, теории весовых Соболевских пространств и дифференциальных уравнений. Для доказательства основных результатов типична работа с продолжениями функций на более широкие области с сохранением принадлежности к классу, построение специальных отображений и введение вспомогательных задач.
Научная новизна. Все основные результаты работы являются новыми, что, конечно же, не означает отсутствия связи результатов диссертации с работами других математиков. К этим работам, идеи (а иногда и конкретные результаты) которых оказали существенное влияние на автора, относятся:
1) известные работы О.А.Ладыженской и В.А.Кондратьева по исследованию коэрцитивных и дифференциальных свойств решений краевых задач для эллиптических уравнений в невесовых пространствах С.Л. Соболева; эти работы в идейном плане наметили подходы изучения свойств решений для краевых задач с сильной сингулярностью в весовых пространствах;
2) монография А.А. Самарского, Р.Д. Лазарева и В.Л.Макарова (Разностные схемы для дифференциальных уравнений с обобщенными решениями, М., 1987) способствовала формированию взглядов на современные способы построения и исследования разностных аналогов краевых задач и привела к созданию такого аппарата, использование которого позволяет строить и исследовать разностные схемы для краевых задач с
сильной сингулярностью в исходных данных и устанавливать оценки ошибки решения в весовых нормах;
3) серия статей И. Бабушки (80-90-х годов) расширила представление автора о способах конструирования схем метода конечных элементов и подвела к идее построения конечноэле-ментных пространств с базисом, учитывающим порядок сингулярности ^„-обобщенного решения исходной задачи, что позволило доказать теоремы аппроксимации в соответствующих весовых пространствах (теоремы 3.2 и 4.4).
Теоретическая и практическая ценность. Полученные в диссертации результаты и разработанные методы исследования могут быть использованы не только для дальнейшего изучения теоретических проблем в области численного анализа краевых задач с сильной сингулярностью, но и для решения конкретных прикладных задач (расчет серии модельных задач и анализ результатов, приведенный в гл. 6, показал явные преимущества предлагаемого подхода как для решения задач с сильной, так и слабой сингулярностью).
Основные результаты работы сформулированы в заключительной части автореферата.
Апробация. Основные результаты диссертации по мере их получения докладывались в 1983-1997 г.г. более чем на двадцати конференциях и школах как внутри страны, так и за рубежом, на научных семинарах ф-та ВМК МГУ, ф-та ВМК КГУ, ВЦ СО РАН, ИПМ ДВО РАН и др.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 54 работы. Основные результаты представлены в работах [1-25].
Структура и объем: введение, шесть глав (с делением на пункты и подпункты) и список литературы из 154 наименований; общий объем 269 стр.
