Содержание к диссертации
Введение
1 Экспериментальное исследование точности разностных схем на нестационарных ударных волнах 12
1.1 Постановка задачи 12
1.2 Методы определения порядков слабой сходимости и относительных погрешностей 15
1.3 Задача с одной прерывной волной 18
1.4 Задача с двумя прерывными волнами 22
2 Методы построения асимтотических разложений на сильном разрыве 26
2.1 Разностная задача распада разрыва 26
2.2 Постановка задачи для линейного уравнения переноса 31
2.3 Построение асимптотического разложения разностного решения по методу I 33
2.4 Построение асимптотического разложения разностного решения по методу II 39
3 Примеры построения асимптотических разложений для конкретных разностных схем 43
3.1 Разностная схема направленных разностей 43
3.2 Схема Лакса 47
3.3 Схема с линейной искусственной вязкостью (метод I) 50
3.4 Схема с линейной искусственной вязкостью (метод II и его сравнение с методом I) 54
3.5 Построение асимптотического разложения на основе определяющего коэффициента схемной дисперсии 60
3.6 Разностная схема с искусственными вязкостью и дисперсией 65
3.7 Симметричные компактные разностные схемы с искусственными вязкое тями второго и четвёртого порядка дивергентности 67
4 Теоретическое исследование точности разностных схем сквозного счёта 71
4.1 Основные определения 71
4.2 е-условия Гюгонио на фронте нестационарной ударной волны 72
4.3 Разностная аппроксимация е-условий Гюгонио 74
4.4 Достаточное условие аппроксимации условий Гюгонио с повышенным порядком 78
Список литературы 82
- Методы определения порядков слабой сходимости и относительных погрешностей
- Построение асимптотического разложения разностного решения по методу I
- Построение асимптотического разложения на основе определяющего коэффициента схемной дисперсии
- Достаточное условие аппроксимации условий Гюгонио с повышенным порядком
Введение к работе
Настоящая диссертация посвящена разработке методов анализа разностных схем сквозного счёта: исследованию точности разностных схем при сквозном расчёте нестационарных ударных воли и построению асимптотических разложении разностных решений на сильных разрывах на основе неклассических дифференциальных приближении разностных схем.
Актуальность. В настоящее время для исследования сложных процессов, допускающих математическое описание или математическое моделирование широко используется вычислительный эксперимент [1, 3, 5, 10, 11, 28, 29, 49, 51, 52, 56, 58]. Одним из главных этапов вычислительного эксперимента является построение приближённого (численного) метода решения задачи, которое в случае использования конечно-разностных методов сводится к выбору разностной схемы, аппроксимирующей соответствующую систему дифференциальных уравнений. Основная трудность этого заключается в том, что для каждой такой системы можно написать бесконечно много различных, аппроксимирующих её разностных схем. Поэтому актуально/і является проблема разработки новых методов анализа разностных схем и оценки их реальной точности при расчёте сложных физических задач с ударными волнами.
Для сквозного расчета разрывных решений гиперболических систем законов сохранения J13, 28, 49, 74, 76] (в частности законов сохранения газовой динамики |49, 52] и гидравлики [44, 53]) широко применяются явные двухслойные по времени монотонные разностные схемы повышенной точности (riiiiaTVD (TVNI), TVB, ENO, WENO) [26-28, 64, 69-71, 73, 79, 80, 84-86, 92, 95]. Однако в большинстве работ, посвященных построению таких схем (см., например, [6, 12, 26, 27, 47, 48, 54, 59, 60, 67, 71, 81, 83, 87, 88, 90, 91, 94]), под точностью схемы понимается порядок её тейлоровского разложения на гладких решениях, что, как показано в [31, 37] не гарантирует аналогичного повышения повышения точности при передачи условий Гюгонио через размазанные фронты ударных волн. Несмотря на это, долгое время было распространено ошибочное мнение о том, что указанные схемы сохраняют повышенный порядок сходимости во всех гладких частях рассчитываемых обобщенных решений. В работах |9, 38, 42, 61, 62, 65] было показано, что в общем случае эти схемы имеют не более чем первый порядок сходимости в областях влияния нестационарных удар-
ных волн (т. е. ударных воли, распространяющихся с переменной скоростью) и тем самым по существу схемами повышенной точности не являются.
В [31, 37, 42] введено понятие слабой аппроксимации законов сохранения разностными схемами сквозного счёта, которое, в отличие от классического понятия аппроксимации, сохраняет смысл на их разрывных решениях. Получены достаточные условия слабой аппроксимации, в том числе и с повышенным порядком, и показано [42|, что явные двухслойные по времени консервативные разностные схемы имеют не более чем первый порядок іакоіі аппроксимации. В [42] построен пример компактной разностной схемы третьего порядка как классической, так и слабой аппроксимации, которая сохраняет повышенный порядок слабой сходимости в областях влияния нестационарных ударных волн. При этом недостаточно изученным остаётся один из наиболее важных вопросов о точности, с которой разностные схемы повышенного порядка аппроксимации на гладких решениях передают условия Гюгонио на нестационарных ударных волнах. Численном}' и теоретическому изучению этой проблемы посвящены две главы диссертации.
При построении разностных схем сквозного счёта, предназначенных для сквозного расчёта разрывных решений гиперболических систем законов сохранения [28, 49, 76], основной интерес представляет поведение разностного решения на фронте ударной волны. В работах |15, 16, 18-20] описание поведения разностного решения на фронте изолированной ударной волны было получено при помощи первых дифференциальных приближений соответствующих разностных схем. Основы классического метода дифференциальных приближений изложены в [56, 58]. В дальнейшем этот метод получил широкое распространение и развитие [4, 14-20, 55, 57, 63, 68, 72, 78, 89, 93, 94].
В работах [15, 16, 18-20] приближение разностного решения на фронтах ударных волн было получено в результате построения точного решения первого дифференциального приближения схемы. Построить же асимптотическое разложение разностного решения на фронте ударной волны на основе классических дифференциальных приближений по шагам схемы невозможно, поскольку в нулевом приближении получается разрывная функция.
В связи с этим в [32] для разностных схем первого порядка с линейной искус-
стиеіпіой вязкостью был предложен способ построения асимптотических разложении их разностных решений на фронте бегущей ударной волны, в котором в качестве параметра разложения выбиралась величина обратная коэффициенту линейной искусственной вязкости. В [35] этот способ был применен для разностной схемы, аппроксимирующей нелинейное уравнение переноса, в [33, 46] — для схем, аппроксимирующих уравнения «мелкой воды», в [32, 34] — для схем, аппроксимирующих уравнения газовой динамики. В [36] этот способ был обобщен на случай разностных схем с квадратичной искусственной вязкостью, в которых в качестве параметра асимптотического разложения в окрестности фронта ударной волны выбиралась величина обратная корню из коэффициента квадратичной вязкости.
В работах [32 36, 46] асимптотическое разложение строилось для автомодельного разностного решения и = «/,(). Переход к автомодельной переменной применялся также в работах |J6-18, 20] при построении точного решения первого дифференциального приближения разностных схем в окрестности фронта ударной волны. Основное преимущество, связанное с переходом к автомодельной переменной при получении асимптотического разложения, заключается в том [32, 33, 35|, что в этом случае построение разложения сводится к интегрированию последовательности обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. В то же время основной недостаток такого подхода заключается в том, что автомодельное разностное решение и его асимптотические разложения определяются граничными условиями с точностью до параллельного переноса по оси , и поэтому для их сравнения с раз-постным решением приходилось делать эвристическое предположение о совпадении центров размазанных фронтов [16, 18-20, 32-36, 46]. В данном случае такое предположение неизбежно, поскольку автомодельное решение не описывает начальный этап формирования разностного фронта ударной волны из разрывных начальных данных. Для описания этого этапа необходимо построить асимптотическое разложение самого решения, что удобно сделать на примере линейного уравнения переноса для которого, из-за отсутствия сходящегося поля характеристик, не происходит выход разностного решения на автомодельный режим, в силу чего этап формирования схемного фронта ударной волны «продолжается неограниченно долго». Поэтому две главы диссертации посвящены разработке методов неклассических дифференциаль-
пых приближений, позволяющих строить асимптотические разложения разностных решений задачи Копій с разрывными начальными данными, существенно зависящие от двух независимых переменных t и х.
Целью диссертационной работы является теоретическое и экспериментальное исследование точности разностных схем при сквозном расчёте нестационарных ударных волн и разработка методов построения асимптотических разложений разностных решений на сильных разрывах па основе иеклассических дифференциальных приближений разностных схем.
Научная новизна:
Путём численного эксперимента показано, что разностные схемы повышенной точности, имеющие достаточно гладкие функции численных потоков (в отличие от своих TVD модификаций) сохраняют повышенный порядок слабой сходимости при сквозном расчёте нестационарных ударных волн.
Разработан метод, позволяющий на основе; предложенных в работе неклассических дифференциальных приближении разностных схем строить асимптотические разложения их решений в окрестностях сильных разрывов. На основе этого метода получены обоснование и границы применимости классического первого дифференциального приближения при описании поведения разностных решений на ударных волнах.
Получены достаточные условия, при которых явные двухслойные по времени разностные схемы сквозного счёта сохраняют повышенную точность при аппроксимации є-условий Гюгонио па нестационарных ударных волнах.
Краткое содержание работы. Диссертация объёмом 89 страниц состоит из введения, четырех глав, заключения, 25 иллюстраций и списка литературы из 95 наименований.
Первая глава посвящена исследованию точности разностных схем сквозного счёта методом численного эксперимента. В пункте 1.1 для системы уравнений теории «мелкой воды» ставится начально-краевая задача с граничными условиями, зависящими от двух произвольных функций. Рассматривается пять разностных схем,
аппроксимирующих эту задачу: схема Лакса-Вепдроффа, сё TVD модификация Хар-тена, схема МакКормака, схема Русанова и схема из работы В. В. Остапенко. Первые четыре из них относятся к классу явных двухслойных по времени и симметричных по пространству разностных схем, а пятая является компактной разностной схемой с искусственной вязкостью четвёртого порядка дивергентное. В пункле 1.2 описываются методы экспериментального определения порядков слабой сходимости и относительных погрешностей вычисления инвариантов. В пункте 1.3 рассматривается начально-краевая задача, при решении которой из гладких начальных данных формируется одна нестационарная прерывная волна, а в пункте 1.4 — задача, при решении которой образуются две нестационарные прерывные волны, распространяющиеся навстречу друг другу. После соударения этих волн образуются две новые прерывные волны, распространяющиеся в противоположных направлениях. Проведены расчёты этих задач по всем указанным схемам, определены порядки слабой сходимости разностных решении и точность вычисления инвариантов. Показано, что схемы Лакса-Вепдроффа, МакКормака, Русанова, имеющие гладкие функции численных потоков (в отличие от TVD схемы Хартена, функции численных потоков которой являются лишь Липшиц-непрерывными), сохраняют повышенный порядок слабой сходимости при сквозном расчёте нестационарных ударных волн и, как следствие, сохраняют повышенную точность в областях их влияния. Показана более высокая точность компактной схемы, обладающей повышенным порядком слабоїі аппроксимации, но сравнению с явными двухслойными по времени разностными схемами, имеющими лишь первый порядок слабой аппроксимации.
Во второй главе излагается общая теория построения неклассических дифференциальных приближений разностных схем и её применение для построения асимптотических разложений разностных решений на сильных разрывах. В пункте 2.1 показано, что в схемах, инвариантных относительно преобразования подобия, внутренняя структура разностного решения задачи распада разрыва не зависит от шагов схемы. Тем самым, для её описания нельзя использовать асимптотические разложения разностного решения, получаемые на основе классических дифференциальных приближении схемы. В пункте 2.2 строится решение задачи Копій с кусочно-постоянными начальными данными для явной двухслойной по времени разностной
схемы, аппроксимирующей линейное уравнение переноса. В пункте 2.3 предлагается метод I построения асимптотического разложения разностного решения этой задачи. В основе этого метода лежит понятие определяющего коэффициента асимптотического разложения, который выбирается из дифференциально-разностного представления схемы. В пункте 2.4 предлагается метод II построения данного разложения. В этом методе определяющий коэффициент разложения выбирается из П-формы дифференциального представления разностной схемы.
В третьей главе неклассические дифференциальные приближения применяются для построения асимптотических разложений разностных решений конкретных схем. В пункте 3.1 метод I применяется для разностной схемы направленных разностей, в пункте 3.2 — для схемы Лакса, в пункте 3.3 — для схемы с линейной искусственной вязкостью, когда определяющим коэффициентом разложения является коэффициент этой вязкости. В пункте 3.4 для построения асимптотического разложения разностного решения схемы с линейной искусственной вязкостью применяется метод II и проводится сравнительный анализ приближений, построенных на основе методов I и II. В пункте 3.5 асимптотическое разложение разностного решения схемы с искусственной вязкостью строится в случае, когда определяющим коэффициентом разложения является коэффициент схемной дисиерссии. Для построения разложений в этом случае применяются методы I и II, проводится их сравнение. В пункте 3.6 рассматривается применимость метода I для разностной схемы с искусственными вязкостью и дисперсией, а в пункте 3.7 — для симметричной компактной разностной схемы с искусственными вязкостями второго и четвёртого порядков дивергентное.
Четвёртая глава посвящена теоретическому исследованию точности разностных схем при сквозном расчёте нестационарных ударных (прерывных) волн. В пункте 4.1 даются определения обобщённого и слабого решений квазилинейной гиперболической системы законов сохранения [13, 49, 76], а также понятие её слабой аппроксимации на разностных решениях [42]. В пункте 4.2 вводится понятие е-условий Гюгонпо — соотношении связывающих значения обобщённого решения на границах в-окрестпости его линии разрыва [40]. В пункте 4.3 изучается точность, с которой явные двухслойные по времени разностные схемы аппроксимируют е-условия Гю-
гопио. В пункте 4.4 получено достаточное условие аппроксимации такими схемами -условий Гюгоиио с повышенным (к-м) порядком и приводится его подробное доказательство для случая к = 2.
В заключении приведены основные результаты работы.
Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались
на семинаре под руководством академика РАН С. К. Годунова в Институте математики им. С. Л. Соболева СО РАН;
на семинаре под руководством академика РАН Ю. И. Шокина в Институте вычислительных технологий СО РАН;
на семинаре под руководством чл.-корр. РАН В. В. Пухпачёва в Институте гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН;
на семинаре под руководством профессора А. Ф. Воеводина в Институте гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН;
на семинаре под руководством профессора А. М. Блохина в Институте математики им. С. Л. Соболева СО РАН;
на семинаре под руководством профессора Л. Б. Чубарова и Институте вычислительных технологий СО РАН;
- на семинаре под руководством профессора В. П. Ильина в Институте вычислительной математики и математической геофизики СО РАН;
на семинаре под руководством профессора В. В. Пененко и профессора В. И. Кузина в Институте вычислительной математики и математической геофизики СО РАН;
на семинаре иод руководством профессора А. А. Маслова в Институте теоретической и прикладной механики им. С. А. Христианоиича СО РАН; а также па следующих научных конференциях:
Четвёртая Сибирская школа-семинар «Математические проблемы механики сплошных сред» (Новосибирск, 2000);
конференция молодых ученых, посвященная 10-летию ИВТ СО РАН (Новосибирск, 2000);
Международная конференция «Вычислительные и информационные техноло-
гии в науке, технике и образовании» (Казахстан, "Усть-Каменогорск, 2003);
XXXV Региональная молодежная школа-конференция «Проблемы теоретической и прикладной математики» (Екатеринбург, 2004);
Международная конференция по вычислительной математике МКВМ -2004 (Новосибирск, 2004);
3-я Всероссийская конференция с участием зарубежных учёных «Задачи со свободными границами: теория, эксперимент и приложения» (Бийск, 2008);
Международная конференция, посвященная 100-летию со дня рождения С. Л. Соболева «Дифференциальные уравнения. Функциональные пространства. Теория приближений» (Новосибирск, 2008).
Методы определения порядков слабой сходимости и относительных погрешностей
Доказательство сразу следует из того, что операторная форма записи (2.13) схемы (2.9), с учетом (2.10), явно зависит лишь от отношения схемных шагов, в силу чего схема (2.9), так же, как и начальные данные (2.3), инвариантна относительно преобразования подобия при котором происходит одновременное растяжение (сжатие) как независимых переменных х и t, так и шагов схемы /гиг. Теорема доказана.
Предположим, что схема (2.9), с учётом (2.12), устойчива в том смысле, что соответствующее ей решение разностной задачи Коши с произвольными ограниченными начальными данными при h — 0 почти всюду равномерно сходится к некоторой обобщённой функции. Обычно такая устойчивость достигается за счёт TVD (TVNI) 69, 87, 92] или ENO [71, 85, 86] свойств, означающих убывание (невозрастание) или ограниченность с ростом времени полной вариации по х разностного решения.
Из теоремы 1, с учётом устойчивости схемы (2.13), следует, что предельное разностное решение задачи распада разрыва (2.3) является автомодельным и полностью определяется предельными при а — +оо значениями решения v(t,x) вдоль всех лучей х — cvtg7, t = а; а 0, выходящих из начала координат, где 7 — угол наклона луча к оси х. Поскольку решение v(t, х) получается при h = 1. то выполнение для предельного решения (2.16) условий Гюгонио (2.6) на ударных волнах, вообще говоря, никак не связано с классической аппроксимацией при h — 0 системы (2.1) на её гладких решениях и целиком определяется консервативностью 30] схемы (2.9), которая, как показано в [31], является необходимым условием слабой аппроксимации системы (2.1) па классе кусочно-непрерывных функций. Для того, чтобы предельное разрывное решение (2.16) было устойчивым, т. е. содержало только устойчивые ударные волны, дополнительно необходимо [69], чтобы схема (2.9) удовлетворяла некоторому разностному аналогу энтропийного неравенства (2.7).
Из теоремы 1 также следует, что, поскольку разностное решение Uh(x,L) получается в результате центрального сжатия решения v(x,t), то внутренняя структура решения uiL(x, і) не зависит от h и, тем самым, для её описания нельзя использовать асимптотические разложения разностного решения, получаемые на основе классических дифференциальных приближений [5G, 58] схемы (2.9) по её шагам h и т.
В работе [32] для разностных схем (2.9) первого порядка с линейной искусственной вязкостью был предложен способ построения асимптотических разложений их разностных решений па фронте бегущей ударной волны (2.8), в котором в качестве параметра разложения выбиралась величина обратная коэффициенту линейной искусственной вязкости. Этот подход был развит в [33-3G, 4G]. Поскольку при решении для квазилинейной системы (2.1) (fuu ф 0) схемной задачи распада разрыва (2.9), (2.3) разностное решение uit(t,x) в окрестности фронта ударной волны (2.8) асимптотически при t — +оо выходит на автомодельный режим который в конкретных расчетах с достаточно высокой точностью достигается за конечное число временных шагов, то в работах [32-36, 46 асимптотическое разложение строилось для автомодельного разностного решения (2.17), удовлетворяющего граничным условиям
Переход к автомодельной переменной (2.17) применялся также в работах [16-18, 20] при построении точного решения первого дифференциального приближения разностных схем в окрестности фронта ударной волны.
Основное преимущество, связанное с переходом к автомодельной переменной (2.17) при получении асимптотического разложения, заключается в том [32, 33, 35], что в этом случае построение разложения сводится к интегрированию последовательности обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка с граничными условиями (2.18). В то же время основной недостаток такого подхода связан с тем, что автомодельное разностное решение (2.17) и его асимптотические разложения определяются граничными условиями (2.18) с точностью до параллельного переноса по осп , и поэтому для их сравнения с решением (2.15) разностной задачи Коши (2.9), (2.3) приходилось делать эвристическое предположение о совпадении центров размазанных фронтов 32-36, 46]. В данном случае такое предположение неизбежно, поскольку автомодельное решение (2.17) не описывает начальный этап формирования разностного фронта ударной волны из разрывных начальных данных (2.3). Для описания этого этапа необходимо построить асимптотическое разложение самого решения (2.15), что удобно сделать на примере линейного уравнения переноса для которого, из-за отсутствия сходящегося поля характеристик, не происходит выход разностного решения на автомодельный режим (2.17), в силу чего этап формирования схемного фронта ударной волны «продолжается неограниченно долго». Такой подход был применен в {15], где для анализа структуры разностного решения использовались точные решения задачи Коши (2.3) для дифференциального представления разностных схем, аппроксимирующих линейные уравнения. В отличие от 32-36, 46], в данном случае получаемая асимптотика существенно зависит от двух независимых переменных і и х, и при построении каждого последующего приближения приходится решать задачу Коши для уравнения в частных производных с обобщенными функциями в правой части.
Отметим, что всё изложенное выше, в частности теорема 1, остается верным и для неявных схем, в том числе многослойных по времени, если эти схемы являются инвариантными относительно преобразования подобия (2.4).
Построение асимптотического разложения разностного решения по методу I
Графики функций (3.51), (3.53) и (3.55) изображены сплошными линиями, а величины (3.52), (3.54) и (3.56) —кружками. Из этих рисунков видно, что функция (3.51) достаточно хорошо приближает функцию (3.52), в то время как функции (3.53) и (3.55) передают поведение функций (3.54) и (3.56) заметно хуже. Связано это с тем, что построенный ряд (2.80) является асимптотическим и параметр разложения h2 в формуле (3.50) не является малым (h2 — 1.25 для рис. 14 и h2 = 4, (4) для рис. 15).
Сравнение разностного решения, полученного по схеме с линейной искусственной вязкостью, с его приближениями по параметрам h-i (пунктир) и h-i (сплошная линия). На рис. 16 и 17 для разностного решения (3.30) схемы с искусственной вязкостью (3.4) на моменты времени t = 0.5 и t = 2 соответственно, при Л = 0.75 и С2 — 0.6 приведено сравнение второго приближения со вторим приближением (3.1G), где Д2 = 1/(. На рис. 16а и 17а кружками показано разностное решение (3.30), а линиями — его начальное (нулевое) приближение «о, определяемое формулой (3.14). При этом пунктирными линиями изображено V(\{h-2.i17i, hi X,jїї) (метод І), а сплошными — v0{}i2t/hji2x/h) (метод II). На рис. 166 и 176 приведены графики функций (3.51) (сплошная линия) в сравнении с разностью (3.52) (кружки), и графики аналогичных функций (пунктирная линия и треуголышки), соответствующие методу I. Из данных рисунков видно, что асимптотическое разложение, построенное по методу II, более точно описывает поведение разностного решения. Более того, результаты расчётов показали, что нулевое приближение разностного решения (3.30), полученное по методу II лучше аппроксимирует это разностное решение, чем второе приближение, полученное по методу I. Выпишем неклассические дифференциальные приближения схемы (3.4), получаемые па основе метода II . Из формул (2.42), (2.43) следует, что Dx u(t, х) = aDy и(в/а, у /a) = aDy v(6, у), (3.58) Dt u(t, х) = aD0 и(0/а, у /a) = aD0 v{9, у), (3.59) Непосредственно из преобразованной П-формы (2.86) с учётом (2.82) можно выписать любое требуемое дифференциальное приближение в новых переменных. В частности, нулевое приближение будет совпадать с приближением (3.7), а следующее (второе) приближение будет иметь вид Перейдём к старым переменным, используя формулы (3.38) при m = 2. Получим, что приближения (3.7), (3.60) по параметру h2 в переменных х, t имеют вид Приведённые выше результаты расчётов показали, что приближения (3.61), (3.62) более качественно описывают поведение разностного решения в окрестности сильного разрыва, чем приближения (3.39), (3.40). Сравнивая приближения (3.61), (3.62) с классическими приближениями (3.34)-(3.36), замечаем совпадение первого классического приближения (3.35) с нулевым неклассическим (3.61). Этот факт служит Рис. 18: сравнение разностного решения, полученного по схеме с линейной искусственной вязкостью, с его приближениями по параметру h2 при Сг Сз. обоснованием того, чю в работах [15, 16-18, 20] на основе точного решения первого классического дифференциального приближения было получено описание поведения разностного решения па фронте изолированной ударной волны. На рис. 18а на момент времени /. = 1 и на рис. 186 на момент времени t = 2 приведено сравнение разностного решения (3.30) (кружки) с его нулевым v0(h2t/h, h- x/li) (сплошные линии) и вторым (3.57) (пунктирные линии) приближениями при При таких значениях Л и С2 коэффициент схемной вязкости С2 много меньше, чем коэффициент схемной дисперсии Сз, разностная схема (3.4) становится немонотонной [8, 41] и получаемое по ней решение имеет осцилляции за фронтом ударной волны. В этом случае С2 уже не является определяющим коэффициентом асимптотического разложения и приближение, построенное на основе параметра h2 = 1/С2 = = 40 3 1 неверно описывает поведение разностного решения (3.30) (рис. 18). То же самое происходит и при попытке построить асимптотическое разложение разностного решения (3.30) по методу 1, если использовать в качестве определяющего коэффициент С2, когда С2 Сз. В этой ситуации для построения асимптотического разложения необходимо в качестве определяющего выбирать коэффициент схемной дисперсии Сз (если строится разложение по методу I) или Сз (( .ели строится разложение по методу II). Примеры таких разложений будут построены в следующем пункте.
Построение асимптотического разложения на основе определяющего коэффициента схемной дисперсии Применим метод I для построения асимптотического разложения разностного решения (3.30) схемы (3.4) на основе определяющего коэффициента схемной дисперсии. Предположим, что коэффициент искусственной вязкости Сі схемы (3.4) удовлетворяет неравенству С2 1/6. (3.63) Тогда коэффициент схемной дисперсии С, = (3.64) является максимальным по абсолютной величине среди всех коэффициентов (3.23), входящих в дифференциально-разностное представление (2.33) схемы (3.4), и поэтому именно его необходимо выбрать в качестве определяющего коэффициента асимптотического разложения разностного решения (3.30). Новые схемные шаги (2.41) и (2.46), соответствующие коэффициенту (3.64), определяются по формулам
Построение асимптотического разложения на основе определяющего коэффициента схемной дисперсии
Теорема 2 Пусть схема (4.17) со вторым порядком аппроксимирует систему (2.1) на её гладких решениях, х = x(t) — изолированная достаточно гладкая линия разрыва обобщёиого решения u(t,x), обобщённое решение имеет кусочно-непрерывные вторые частные производные в её окрестности и выполняются условия леммы 2. Тогда (4.21) имеет вид nh[u(t, х)\ = 0(h2). Доказательство. Пусть u(t,x) - гладкое решение системы (2.1). В силу условий теоремы подставляя его в разностную схему (4.17) имеем Это равенство возможно лишь при выполнении условия Следовательно, (4.28) запишется в виде Clh[u(t,x)} = 0(h2). Теорема доказана. Этот результат является частным случаем следующего более общего утверждения. Теорема 3 Пусть 1. в разностной схеме (4.17), (4.18) производящая функция разностного потоки 2. є = Ih, І Є N, где І - число, определяющее шаблон разностного потока f; 3. схема (4.17) с k-м порядком аппроксимирует систему (2.1) на её гладких решениях; 4. х — x(t) — изолированная достаточно гладкая линия разрыва обобщёного решения u(t,x) системы (2.1); 5. обобщенное решение u{t,x) имеет кусочно-непрерывные к-е частные производные в окрестности линии разрыва х = x(t). Тогда соответствующее схеме (4.17) разностное є-условие Гюгонио (4.20) с k-м порядком аппроксимирует є-условие Гюгоппо (4.13) системы (2.1). Доказательство этой теоремы проводится аналогично теореме 2, по не приводні ся в силу его громоздкости. Из теоремы 3 следует, что явные двухслойные но времени схемы Лакса-Всндроффа (1.5)-(1.10), МакКормака (1.12), (1.13), Русанова (1.14)-(1.16), имеющие достаточно гладкие функции численных потоков (1.6), аппроксимируют є-условия Гюгонио с тем же порядком, который они имеют при аппроксимации системы (1.1) на гладких решениях. TVD схема, получаемая путём монотонизации схемы Лакса-Вендроффа при помощи минимаксных процедур коррекции потоков, имеет лишь Липшиц-непрерывные функции численных потоков и поэтому TVD схема не удовлетворяет условию 1 теоремы 3. Это служит обоснованием результов расчётов, проведённых в главе 1, из которых следует, что схемы Лакса-Вендроффа, МакКормака, Русанова на сегке с пространственным шагом h = 0.1 сохраняют второй порядок слабой сходимости с через фронт прерывной волны (рис. 2).
Компактная схема (1.17) является неявной трёхслойной по времени консервативной разностной схемой и имеет третий порядок как классической, так и слабой аппроксимации (определение 4), в силу чего она аппроксимирует є-условия Гюгонио с повышенным порядком. Эго проявляется в сохранении ею повышенного порядка слабой сходимости (рис. 2-4) и в высокой точности, с которой она вычисляет инварианты (1.22) (рис. 5, 8) и величины (1.26) (рис. 7). Заключение
Для явных двухслойных по времени разностных схем получены достаточные условия, при которых они с повышенным (к-ы) порядком аппроксимируют е-ус-ловия Гюгоиио на нестационарных ударных волнах. На примерах разностных схем Лакса-Вендроффа, МакКормака и Русанова (имеющих гладкие функции численных потоков) показано, что (в отличие от TVD схемы Хартеиа, функции численных потоков которой являются лишь Липшиц-непрерывными) такие схемы сохраняют повышенный порядок слабой сходимости при сквозном расчёте нестационарных ударных волн и, как следствие, сохраняют повышенную точность в областях их влияния. Методом численного эксперимента показана более высокая точность компактной схемы, обладающей повышенным порядком слабой аппроксимации, по сравнению с явными двухслойными по времени разностными схемами, имеющими лишь первый порядок слабой аппроксимации.
Введено понятие неклассических дифференциальных приближений и на их основе разработан метод построения асимптотических разложений разностных решений на сильном разрыве, в основе которого лежит понятие определяющего коэффициента асимптотического разложения. Определяющий коэффициент выбирается как максимальный по модулю коэффициент при одной из пространственных производных в дифференциально-разностном представлении разностной схемы (метод I) или в П-форме дифференциального представления разностной схемы (метод II). Построены асимптотические разложения разностного решения для явных двухслойных по времени схем с искусственной вязкостью и дисперсией, а также для симметричной компактной схемы с искусственными вязкостями второго и четвертого порядка дивергентное. Построенные асимптотические разложения хорошо согласуются с разностными решениями.
Достаточное условие аппроксимации условий Гюгонио с повышенным порядком
Целью диссертационной работы является теоретическое и экспериментальное исследование точности разностных схем при сквозном расчёте нестационарных ударных волн и разработка методов построения асимптотических разложений разностных решений на сильных разрывах па основе иеклассических дифференциальных приближений разностных схем.
Научная новизна: 1. Путём численного эксперимента показано, что разностные схемы повышенной точности, имеющие достаточно гладкие функции численных потоков (в отличие от своих TVD модификаций) сохраняют повышенный порядок слабой сходимости при сквозном расчёте нестационарных ударных волн. 2. Разработан метод, позволяющий на основе; предложенных в работе неклассических дифференциальных приближении разностных схем строить асимптотические разложения их решений в окрестностях сильных разрывов. На основе этого метода получены обоснование и границы применимости классического первого дифференциального приближения при описании поведения разностных решений на ударных волнах. 3. Получены достаточные условия, при которых явные двухслойные по времени разностные схемы сквозного счёта сохраняют повышенную точность при аппроксимации є-условий Гюгонио па нестационарных ударных волнах. Краткое содержание работы. Диссертация объёмом 89 страниц состоит из введения, четырех глав, заключения, 25 иллюстраций и списка литературы из 95 наименований.
Первая глава посвящена исследованию точности разностных схем сквозного счёта методом численного эксперимента. В пункте 1.1 для системы уравнений теории «мелкой воды» ставится начально-краевая задача с граничными условиями, зависящими от двух произвольных функций. Рассматривается пять разностных схем, аппроксимирующих эту задачу: схема Лакса-Вепдроффа, сё TVD модификация Хар-тена, схема МакКормака, схема Русанова и схема из работы В. В. Остапенко. Первые четыре из них относятся к классу явных двухслойных по времени и симметричных по пространству разностных схем, а пятая является компактной разностной схемой с искусственной вязкостью четвёртого порядка дивергентное. В пункле 1.2 описываются методы экспериментального определения порядков слабой сходимости и относительных погрешностей вычисления инвариантов. В пункте 1.3 рассматривается начально-краевая задача, при решении которой из гладких начальных данных формируется одна нестационарная прерывная волна, а в пункте 1.4 — задача, при решении которой образуются две нестационарные прерывные волны, распространяющиеся навстречу друг другу. После соударения этих волн образуются две новые прерывные волны, распространяющиеся в противоположных направлениях. Проведены расчёты этих задач по всем указанным схемам, определены порядки слабой сходимости разностных решении и точность вычисления инвариантов. Показано, что схемы Лакса-Вепдроффа, МакКормака, Русанова, имеющие гладкие функции численных потоков (в отличие от TVD схемы Хартена, функции численных потоков которой являются лишь Липшиц-непрерывными), сохраняют повышенный порядок слабой сходимости при сквозном расчёте нестационарных ударных волн и, как следствие, сохраняют повышенную точность в областях их влияния. Показана более высокая точность компактной схемы, обладающей повышенным порядком слабоїі аппроксимации, но сравнению с явными двухслойными по времени разностными схемами, имеющими лишь первый порядок слабой аппроксимации.
Во второй главе излагается общая теория построения неклассических дифференциальных приближений разностных схем и её применение для построения асимптотических разложений разностных решений на сильных разрывах. В пункте 2.1 показано, что в схемах, инвариантных относительно преобразования подобия, внутренняя структура разностного решения задачи распада разрыва не зависит от шагов схемы. Тем самым, для её описания нельзя использовать асимптотические разложения разностного решения, получаемые на основе классических дифференциальных приближении схемы. В пункте 2.2 строится решение задачи Копій с кусочно-постоянными начальными данными для явной двухслойной по времени разностной схемы, аппроксимирующей линейное уравнение переноса. В пункте 2.3 предлагается метод I построения асимптотического разложения разностного решения этой задачи. В основе этого метода лежит понятие определяющего коэффициента асимптотического разложения, который выбирается из дифференциально-разностного представления схемы. В пункте 2.4 предлагается метод II построения данного разложения. В этом методе определяющий коэффициент разложения выбирается из П-формы дифференциального представления разностной схемы.
В третьей главе неклассические дифференциальные приближения применяются для построения асимптотических разложений разностных решений конкретных схем. В пункте 3.1 метод I применяется для разностной схемы направленных разностей, в пункте 3.2 — для схемы Лакса, в пункте 3.3 — для схемы с линейной искусственной вязкостью, когда определяющим коэффициентом разложения является коэффициент этой вязкости. В пункте 3.4 для построения асимптотического разложения разностного решения схемы с линейной искусственной вязкостью применяется метод II и проводится сравнительный анализ приближений, построенных на основе методов I и II. В пункте 3.5 асимптотическое разложение разностного решения схемы с искусственной вязкостью строится в случае, когда определяющим коэффициентом разложения является коэффициент схемной дисиерссии. Для построения разложений в этом случае применяются методы I и II, проводится их сравнение. В пункте 3.6 рассматривается применимость метода I для разностной схемы с искусственными вязкостью и дисперсией, а в пункте 3.7 — для симметричной компактной разностной схемы с искусственными вязкостями второго и четвёртого порядков дивергентное.
Четвёртая глава посвящена теоретическому исследованию точности разностных схем при сквозном расчёте нестационарных ударных (прерывных) волн. В пункте 4.1 даются определения обобщённого и слабого решений квазилинейной гиперболической системы законов сохранения [13, 49, 76], а также понятие её слабой аппроксимации на разностных решениях [42]. В пункте 4.2 вводится понятие е-условий Гюгонпо — соотношении связывающих значения обобщённого решения на границах в-окрестпости его линии разрыва [40]. В пункте 4.3 изучается точность, с которой явные двухслойные по времени разностные схемы аппроксимируют е-условия Гюгопио. В пункте 4.4 получено достаточное условие аппроксимации такими схемами -условий Гюгоиио с повышенным (к-м) порядком и приводится его подробное доказательство для случая к = 2.
