Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Автоматизация метода неопределенных коэффициентов построения разностных операторов на ЭВМ 17
1. Общие определения и основные понятия 17
2. Некоторый способ задания шаблона 18
Глава II. Применение символьных преобразований на ЭВМ для получения дифференциальных приближений разностных схем 55
1. Основные понятия теории дифференциальных приближений разностных схем 56
2. Описание вычислительной схемы алгоритма получения дифференциальных приближений в случае одного уравнения 57
3. Некоторые особенности алгоритмов автоматизации получения п.д.п. в случае схем дробных шагов и систем уравнении 63
Глава III. Получение и анализ джфференциалъных приближений разностных схем решения некоторых многомерных задач механики сплошной среды .. 68
1. Некоторые примеры автоматического получения дифференциальных приближений... 68
2. Применение символьных преобразований на ЭВМ для получения п.д.п. двух разностных уравнений для решения задач теории упругости в скоростях и напряжениях 70
3. Численная методика определения границ области устойчивости разностных схем... 80
4. Исследование с помощью п.д.п. одной разностной схемы для решения трехмерных нестационарных задач фильтрации двух фазной жидкости 96
5. Получение на ЭВМ п.д.п. разностных схем метода дробных шагов 101
Глава ІV. Реализация на эвм алгоритмов исследования на совместность систем дифференциальных уравнений в частных производных 104
Заключение 135
Литература 136
- Некоторый способ задания шаблона
- Описание вычислительной схемы алгоритма получения дифференциальных приближений в случае одного уравнения
- Некоторые особенности алгоритмов автоматизации получения п.д.п. в случае схем дробных шагов и систем уравнении
- Применение символьных преобразований на ЭВМ для получения п.д.п. двух разностных уравнений для решения задач теории упругости в скоростях и напряжениях
Введение к работе
В настоящее время аналитические выкладки на ЭВМ нашли широкое применение в математике, физике и астрономии. Это обусловлено,прежде всего, значительным развитием вычислительной техники, а также разработкой новых нечисленных алгоритмов, наличием ряда алгоритмических языков програмдирования высокого уровня. К последним относятся, в частности, хорошо известные Фортран, Алгол, ПЛ/І и другие менее известные, но гораздо более пригодные для аналитических вычислений языки SN0&0L , ЛИСП, РЕФАЛ, SETL , PASCAL , АНАЛИТИК и т.д. Сразу с появлением вычислительных машин были сделаны первые попытки использовать ЭВМ для работы с символьной информацией. Но слабость вычислительных машин ограничила применение аналитических выкладок на ЭВМ решением некоторых частных задач, и созданные в то время системы символьных вычислений не находили широкого применения.
Бурное развитие вычислительных машин сильно расширило сферы применения систем аналитических вычислений (CAB). Работы по применению аналитических вычислений на ЭВМ стали особенно актуальными в последнее время, когда сложность аналитических задач и трудность их решения достигли той границы, за которой использование ручного труда невозможно или слишком дорого. Созданные в последнее время системы аналитических вычислений находят все большее применение для решения широких классов задач физики и математики. Все существующие системы аналитических преобразований разделяют на три класса систем: универсальные, общего назначения и специализированные. Здесь мы очень коротко перечислим некоторые из этих систем, более подробное представление о различных видах CAB, об областях их применения, а также библиографию по данному вопросу можно най-
ти в работах [1,20,61"].
К универсальным системам относятся, например, зарубежные
REDUCE-3, MATLAb , MAS4MA , SCRATCHPAD , отечественная -АНАЛИТИК- 74. Системы MACS4MA , SCRATCHPAD являются наиболее мощными из существующих CAB и обладают подавляющим большинством аналитических операций, которые удалось реализовать на современных ЭВМ. Надо отметить, что большинство универсальных зарубежных CAB, таких как MACSMMA , SCRATCHРАЪ и др.,являются недоступными для их использования у нас в стране. К системам общего назначения относятся зарубежные - FORMIC , ALTRAH t SNMfcAL, отечественные - АВТО-АНАЛИТИК, АЛЬКОР, САВАГ, АУМ. К специализированным CAB относятся зарубежные -3CH0ONSCHIP, ASНМЕТ)АХ ^ CLAM, OAMAU , отечественные -Полиномиальный прораб, Полиномиальный Ассемблер, CAK-I, УШІ,
GRATos, и др.
В данной работе рассматриваются две задачи, касающиеся применения аналитических выкладок на ЭВМ:
а) построение и исследование разностных схем,
б) исследование систем дифференциальных уравнений в
частных производных на совместность.
Вопрос применения символьных преобразований на ЭВМ в теории разностных схем относится к нетрадиционным применениям символьных преобразований. По существу делаются лишь первые попытки автоматизации :при.>создании- и использовании некоторых алгоритмов в теории разностных схем, в которых существуют громоздкие аналитические выкладки. Одной из основных задач теории разностных схем является задача о построении разностных аналогов дифференциальных уравнений. Существуют несколько подходов к решению данной задачи. К наиболее общим из них относятся [7,31,39,56,59]:
а) метод разностных аппроксимаций,
б) интегро-интерполяционный метод,
в) метод неопределенных коэффициентов.
Однако они не используются в полной мере, потому, что как только возникает задача, связанная с большими аналитическими вычислениями, от них отказываются из-за трудностей,, ручной реализации, хотя конечный результат может быть компактным и удобным для пользования.
Процесс создания новых разностных схем и других численных алгоритмов нуждается в автоматизации, потому что задача создания схем высокого порядка точности, или создание модификаций существующих схем с повышением их порядка точности и другие задачи наталкиваются на большие символьные вычисления. Решение задачи автоматизации построения разностных схем было бы примером проведения аналогичной работы и в других областях численных методов. Ввиду сказанного, задача автоматизации символьных вычислений, связанных с исследованием и построением разностных схем, является актуальной задачей. Представленная работа показывает перспективность применения ЭВМ в этой области и в задаче исследования на совместность систем дифференциальных уравнений в частных производных.
Теперь перейдем к обзору имеющегося в литературе небольшого количества работ, касающихся применения аналитических выкладок на ЭВМ для построения разностных уравнений. Отметим, что в литературе еще не сложилось какого-либо целостного взгляда на вопросы и проблемы применения аналитических выкладок на ЭВМ к задаче построения разностных уравнений [87}.
К одной из ранних попыток применения ЭВМ к вопросу о построении разностных уравнений относятся работы, касающиеся
_ 7 -
проблемы построения формул Рунге-Кутта высокого порядка [87]. Следующая работа [92] посвящена применению символьных преобразований на ЭВМ в методе неопределенных коэффициентов построения разностных операторов. Авторы на основе этого метода разработали получисленный алгоритм для получения семейства разностных аппроксимаций уравнения теплопроводности. Для облегчения больших вычислений, возникающих при использовании этого алгоритма, была применена система аналитических вычислений MkCS^MA . Авторы ограничились лишь элементарным применением данной GAB: они использовали ее только для решения системы линейных алгебраических уравнений, возникающей в этом алгоритме. В своих последующих работах [.82] авторы дали дальнейшее теоретическое усовершенствование предложенного ими алгоритма, ограничиваясь лишь упомянутым применением системы Mfc&SfiMK . В связи с этим заметим, что и само получение системы алгебраических уравнений также требует значительных усилий. Авторы, оставив проблему автоматизации этого процесса неразрешенной, ограничили возможность применения алгоритма в более общих случаях. Другой пример построения разностных уравнений с помощью ЭВМ изложен в работах [81,88]. Авторы строят конечно-разностные уравнения центрального типа для двухточечных граничных задач в случае обыкновенных дифференциальных уравнений с производными высокого порядка. Чтобы не сводить такие задачи к системам дифференциальных уравнений первого порядка, авторы используют CAB MACSVMb, которая автоматически составляет таблицы значений коэффициентов для приближений, требующих наименьшее число сеточных точек и ограничивающихся точностью десятого порядка. К одним из последних работ по данной тематике относятся [9,26,96}. В [96] описывается программа FIHFP , ко-
торая,используя систему МАС2ЛМА , переводит нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных в линейное и строит конечно-разностные приближения. В работах [26,69} авторы разработали язык "BISLAN , предназначенный для построения разностных схем дивергентного вида в символьной форме. Основой для построения разностных схем в этой работе служит метод опорных операторов [59]. Реализация языка ^lSLAN проводится на основе языка РЕФМ. Эта работа выполнена в ИПМ АН СССР.
В работе [65} описана структура и принципы работы автоматизированной системы построения и исследования разностных схем газовой динамики на основе метода дифференциального приближения.
В диссертации задача автоматизации построения разностных аналогов дифференциальных операторов методом неопределенных коэффициентов решена полностью для линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами любого типа [ 9 ] . Одной из важных особенностей предлагаемого алгоритма для ЭВМ является возможность автоматического построения разностных уравнений на любых сеточных шаблонах. С этой целью был разработан некоторый общий способ задания для ЭВМ узлов шаблона как в регулярном, так и в нерегулярном случаях. В связи со сказанным отметим, что в упомянутой работе [92] также был предложен некоторый способ задания шаблона, но авторы ограничились лишь случаем построения двухслойных разностных схем для уравнения теплопроводности и вопрос об автоматизации этого способа затронут не был.
Следует отметить, что при реализации метода неопределенных коэффициентов зачастую получаются разностные схемы, зависящие от некоторых параметров. Как правило эти параметры можно выби-
рать из некоторых дополнительных условий, налагаемых на разностную схеглу. Например, из требования устойчивости, дивергент-нос ти, консервативности, монотонности и групповых свойств, простоты формул. Вопрос выбора параметров в диссертации не рассматривается, хотя можно отметить, что в работе [38"] описывается программа, которая исследование устойчивости разностных схем проводит автоматически. Эта программа была разработана в ИТПМ СО АН СССР и была присоединена к общему комплексу программ по построению и исследованию разностных схем, который рассматривается в диссертации.
Другім не менее важным применением символьных преобразований к теории разностных схем является автоматическое построение дифференциальных приближений разностных схем на ЭВМ. Получение различных дифференциальных приближений сопряжено с большими трудностями из-за громоздких вычислений при использовании этого метода. Поэтому автоматизация его существенно повышает эффективность исследования разностных схем этим методом.
Перечислим работы, посвященные вопросам автоматизации получения дифференциальных приближений с помощью символьных преобразований на ЭВМ. В работе [76І упоминается машинная система, использующая язык FORNIX для получения первых дифференциальных приближений (п.д.п.) разностных схем, аппроксимирующих скалярное линейное уравнение в частных производных. В [76] приведен анализ некоторых разностных схем для уравнения 1Д +CUA=sO (G= coast ^ с помощью п.д.п., полученных на ЭВМ. В [94] содержится очень краткое описание реализации еще одной системы машинного вычисления п.д.п. - системы AlTRAN. Согласно [94"], с помощью этой системы можно автоматически получать п.д.п. разностных схем для нелинейных систем в случае
двух независимых переменных х , "t . К сожалению, в [76,94] не содержатся сведения о машинных алгоритмах, о структуре программы, об организации символьных вычислений на ЭВМ. Кроме того, FORMIC и M-TRMA являются труднодоступными для пользователей у нас в стране.
В диссертации процесс получения дифференциальных приближений разностных схем также полностью автоматизируется [1. Этот метод реализуется в случае нелинейных дифференциальных уравнений с нефиксированным количеством независимых переменных и систем линейных уравнений в частных производных. Реализация этого метода была сделана у нас в стране впервые и совершенно независимо от приведенной работы [76].
Теперь остановимся на вопросе применения аналитических преобразований на ЭВМ в теории совместности систем дифференциальных уравнений в частных производных. Сначала коротко изложим историю вопроса. Теория совместности систем дифференциальных уравнений имеет много важных приложений. Одна из областей, где она нашла широкое применение, это дифференциальная геометрия [29,66}. Задача анализа на совместность возникает при поиске частично-инвариантных решений в групповом методе исследования частных решений систем дифференциальных уравнений Ц44]. Как обязательный элемент она присутствует и в методе дифференциальных связей [27,41,49,67,72].
Теория совместности отвечает на вопрос, имеет ли заданная система дифференциальных уравнений решение и каков произвол этого решения. Под произволом решения подразумевается произвол в выборе начальных данных в задаче Коши [66]. Существуют два алгоритма анализа на совместность, формулировка которых строго обоснована. Одним из них является алгоритм Картана, полное обоснование и полное изложение которого дано в Сбб].
- II -
Другим является алгоритм, начальная формулировка которого дана Рикье, Жане,- Томасом и Риттом. Современное изложение его дано в работах Спенсера [90], Гольдсмита [781, Кураниши [83] и Поммаре [89]. Этот алгоритм назовем общим алгоритмом исследования систем дифференциальных уравнений в частных производных на совместность.
Трудоемкость аналитических выкладок при анализе на совместность конкретных систем дифференциальных уравнений, встре-чающихся в приложениях, вызывает необходимость применения для этой цели ЭВМ. В одной из самых ранних работ по аналитическим вычислениям [71], сообщается, что еще на ЭВМ "Стрела" работала программа, которая проводила некоторые отдельные выкладки, связанные с анализом на совместность. В дальнейшей работе 6 была дана схема программ! и выписаны формулы всех действий, которые должна проводить ЭВМ при анализе на совместность систем по Картану. В [3] сообщается о реализации на ЭВМ Алгоритма Картана в системе Авто-Аналитик [4]. Созданная программа считала задачи различного характера, но была не в состоянии конкурировать со специалистом,работающим "вручную" по величине решаемых задач. Несколько улучшенные характеристики имеет программа, описанная в работах [62,63].
Учитывая опыт предыдущих реализаций алгоритма Картана, в настоящей работе излагается впервые реализация общего алгоритма исследования на совместность. Созданный комплекс программ значительно превосходит по своим возможностям все предыдущие реализации. Лучшие возможности комплекса связаны не только со свойствами алгоритма, но также с реализацией автором некоторых приемов, которые использует математик, обладающий определенными навыками вычислений по указанному алгоритму. Следует отметить, что в обоих реализациях алгоритмов теории совмест-
ности [3,17,18] как идея, так и схема алгоритма для ЭВМ были предложены и разработаны В.П.Шапеевым. Ему также принадлежит идея моделирования в программе приемов математика-специалиста, что оказалось весьма эффективным принципом. Комплекс программ, включающий реализацию этих приемов, проводит анализ систем уравнений, для которого требуются значительные человеческие усилия. Например, трехмерные уравнения Навье-Стокса, система уравнений двойных волн в газовой динамике [46] и др. Теперь изложим краткое содержание диссертации.
В главе I рассматривается разработка единообразного формализованного алгоритма метода неопределенных коэффициентов для аппроксимации различных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами на любых сеточных шаблонах с произвольным порядком и реализация этого алгоритма на ЭВМ с помощью языка символьных операций РЕФАЛ [6]. В 2 дается некоторый общий способ задания узлов шаблона, позволяющий строить разностные аппроксимации для краевых задач. С этой целью было введено семейство параметров ы. , с помощью которых легко описывать на ЭВМ как регулярные, так и нерегулярные сеточные шаблоны. 4 посвящен описанию вычислительной схемы алгоритма, т.е. последовательности всех действий, которые испо^хняет ЭВМ в символьном виде при реализации алгоритма.
Хотя в настоящее время существует весьма обширная литература 'по построению и исследованию разностных аппроксимаций задач Дирихле и Неймана для уравнения Лапласа (см., например, {.8 , 28 , 57 , 14 , 39 , 42] и библиографические списки к ним), до сих пор не решена для указанных задач проблема построения разностных схем повышенного порядка точности в случае произвольной области с достаточно гладкой границей на неравномерной сетке. Это, прежде всего, связано с тем, что
- ІЗ -
для построения разностных аналогов требуются большие выкладки, проведение которых вручную весьма затруднительно.
В 5 приведены примеры автоматического построения коэффициентов разностных аппроксимаций задач Дирихле и Неймана для уравнения Лапласа [12]. Рассмотрены все виды нерегулярных шаблонов в области с достаточно гладкой границей. Для них на ЭВМ получены новые разностные аппроксимации уравнения Лапласа в случае задачи Дирихле с порядком О(К)» Для которых выведены достаточные условия монотонности. Получена новая разностная аппроксимация условия Неймана на пятиточечном шаблоне порядка аппроксимации 0(к ), для которой также выведены условия монотонности. Приводится пример численного эксперимента решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа.
Некоторый способ задания шаблона
Осуществлена полная автоматизация символьных вычислений при построении разностных уравнении по методу неопределенных коэффициентов для линейных дифференциальных уравнений в частных производных с постоянными коэффициентами. С помощью ЭВМ построено семейство монотонных разностных схем повышенной точности решения задач Дирихле и Неймана для уравнения Лапласа в областях с достаточно гладкой границей.
Разработаны алгоритмы автоматического построения дифференциальных приближений разностных схем, в том числе явных схем метода дробных шагов, для нелинейных дифференциальных уравнений.
Предложена аналитическо-численная методика исследования устойчивости и диффузии разностных схем. Создан комплекс программ символьных преобразований на ЭВМ, реализующий методы исследования на совместность систем дифференциальных уравнений в частных производных, применяемые при нахождении частных репшний этих уравнений.
Автор благодарен научному руководителю и инициатору данной работы академику Н.Н.Яненко] за постоянное внимание и поддержку, В.П.Шапееву за руководство, а также соавторам некоторых публикаций по данной работе А.Н.Валиуллину, Е.В.Во-рожцову, В.П.Ильину, Ф.А.Мурзину, С.В.Мелешко.
Для удобства дальнейшего изложения кратко напомним некоторые известные понятия и дадим необходимые определения [ 7,39,56] . В "R - евклидовом пространстве элементов =( 1,...,3: введем норму 1х( тах \ \ и систему прямоугольных координат с базисом elv.,,e . Рассмотрим семейство сеток teg на области ЪсК" , зависящих от некоторых параметров к
Функция, определенная в узлах сетки, называется сеточной функцией. Оператор, отображающий пространство сеточных функции в себя, называется разностным оператором. Отображение, которое каждому узлу эс сетки ставит в соответствие некоторое подмножество узлов сетки,назовем шаблоном сетки. Каждому шаблону в узле х можно поставить в соответствие множество тех разностных операторов, значения которых на сеточных функциях можно вычислить, используя только узлы шаблона, обозначаемого Ш С%) Приведем пример такого множества операторов: пусть со - фиксированная сетка, о:СО и пусть ч - сеточная функция, х е UK -) , тогда множество разностных операторов \, , вида ІЙФ Скй( Ск= const, XCJ где С„ R , и будет принадлежать такому множеству операто-ров. Мы будем рассматривать семейство шаблонов Ы Сх) и семейство разностных операторов Lr , связанных с lll Cx). Пусть дан линейный дифференциальный оператор L порядка t, где г 1 , действующий на функцию гіОс) є С ( ) , \Wj - семейство разностных операторов, заданных на некотором семействе шаблонов Ы Сх") в Узле х Семейство разностных операторов {L;») аппроксимирует дифференциальный оператор L с порядком m в узле х шаблона kl (jx) , (т.е. локально), если L(uc«:)]-f (LK(X) -=001гт) при h=mpuckLl - О . (I) Множество всех узлов сетки, которые лежат внутри области D, назовем внутренними, а множество узлов, лежащих на произ-волной кусочно-гладкой границе Г области D - граничными. Внутренние узлы, разностные уравнения для которых содержат точки на границе называются околограничными. В данной работе шаблон ЫфО в узле ее будем называть регулярным, если он оостоит только из внутренних узлов сетки. Нерегулярным , если хотя бы один узел будет граничным.
Описание вычислительной схемы алгоритма получения дифференциальных приближений в случае одного уравнения
Данная глава посвящена применению символьных преобразований на ЭВМ для нахождения дифференциальных приближений разностных схем. Дифференциальные приближения широко применяются при анализе свойств разностных схем: исследование порядка аппроксимации и устойчивости, при исследовании инвариантности дифференциальных приближений относительно тех преобразований, при которых инвариантна исходная система дифференциальных уравнении и т.д. С помощью дифференциальных приближений можно строить новые разностные схемы, с заранее определенными свойствами, а также проводить классификацию разностных схем по определенным свойствам.
Ниже излагаются основные принципы автоматического получения дифференциальных приближений. При этом существенно используется структура комплекса программ автоматического построения разностных схем, описанного в первой главе. Излагаются особенности автоматизации получения п.д.п. разностных схем, в частности, схем метода дробных шагов применительно к скалярному нелинейному уравнению. Следует отметить, что процесс автоматизации получения п.д.п. схем с дробными шагами для нелинейного уравнения является алгоритмически наиболее сложным и реализован впервые. Описывается обобщение данных алгоритмов на случай получения п.д.п. разностных схем, аппроксимирующих системы линейных уравнений в частных производных. Все перечисленные алгоритмы получения п.д.п. реализованы для случая произвольного числа независимых переменных.
Выражения (5)-(7); без остаточных членов " ± ," 2» І подставляются в разностную схему (3). Получившееся в результате выражение обозначим через S± . Если все В , входящие в (3), относятся к виду в), то в выражении Si приводятся подобные члены. Результат обозначим Если Ъ 1 : относятся к видам г) или д), то в 5 возникает произведение рядов. После их перемножения и приведения подобных членов получим выражение, которое обозначим через 52. Для исходного дифференциального уравнения (I), разрешенного относительно производной по "t , составляется таблица, состоящая из дифференциальных продолжений уравнения (I) (см. 3 предыдущей главы). В 5 г выделяется исходное дифференциальное уравнение (5), т.е. Sfi приобретает вид: где &ъ - остаточный член. В S3 с помощью составленной таблицы дифференциальных продолжений уравнения (I) заменяются все производные по "Ь и смешанные производные по t їх производными по ос . Причем таблица применяется до тех пор, пока в Sj не останется ни одной производной по "Ь . Получившееся в результате выражение будет П-формой первого дифференциального приближения (п.д.п.) разностной схемы (3)
Для того, чтобы получить второе дифференциальное приближение. нужно проделать описанные выше операции, при этом нужно увеличить порядок разложения и рассматривать вместо искомого дифференциального уравнения первое дифференциальное приближение. Продолжая этот процесс, можно получить также третье, и т.д. дифференциальное приближение. Заметим, что порядок разложения задается пользователем, и для получения і -го дифференциального приближения ( ] 1 ) нужно сделать ( i-1 ) запусков на ЭВМ,
Каждый прямоугольник в блок-схеме, изображенной на рис.6, соответствует отдельному модулю или отдельной Рефал-функции (по поводу определения Рефал-функций см. [ б]).Так как применяемые здесь функции, в свою очередь, используют в основном функции, алгоритмы которых подробно были описаны в главе I (например, дифференцирование рациональных функций, составление таблицы дифференциальных продолжений уравнения (I), и т.д.), то здесь мы ограничиваемся лишь кратким указанием назначения каждой функции или модуля. Функция ЩД является головной функцией. С ее помощью осуществляется вызов всех функций, необходимых для работы комплекса программ. Модуль NE\J осуществляет ввод и обработку входной информации. Модуль DVP составляет таблицу дифференциальных продолжений путем дифференцирования исходного дифференциального уравнения по переменным t , ос до получения производных заданного порядка. Функция УРАВН разбивает исходное разностное уравнение (3) на отдельные В; . Функция РТУР анализирует каждое слагаемое Ъ и разбивает их по видам согласно (4). функция ТІ находит в каждом В , , принадлежащем виду в), функцию U , разлагает ее в ряд Тейлора по формуле (5) до заданного порядка. Функция ZM1 в каждом В раз - 63 бивает коэффициенты, если они представлены в виде произведения функций 4 к. , на отдельные сомножители. Функция RTA в каж-дом В , принадлежащем виду д), разлагает функции "РК- в ряд Тейлора по формулам ($-7). Функция 2. М в каждом Ь принадлежащем виду г), разлагает функции u ,4 - в ряд Тейлора по формулам (5)-(7). Функция riF5l подставляет ряды (5), (6), (7) в разностную схему (3) и делает необходимые преобразования в получившемся в результате подстановки выражений. Функция ЇЇСДП с помощью составленной таблицы дифференциальных продолжений заменяет в выражении производные по t и смешанные производные по "Ь и эс производными ПО =С . Функция ЕЛЭД приводит получившееся выражение к виду, удобному для математика. Функция МТ приводит подобные члены отно-сительно различных Г\ К. Т и выводит полученное дифференциальное приближение на печать в аналитическом виде.
Некоторые особенности алгоритмов автоматизации получения п.д.п. в случае схем дробных шагов и систем уравнении
Со времени разработки метода дробных шагов [_73 "] в конце 50-х годов этот метод получил широкое распространение как у нас в стране, так и за рубежом при численном решении разнообразных задач математической физики. Этот метод оказался, в частности, весьма эффективным при численном интегрировании гиперболических уравнений. При исследовании разностных схем для гиперболических уравнений получил распространение метод дифференциального приближения. Однако получение дифференциальных приближений в случае схем дробных шагов сопряжено с весьма громоздкими выкладками, что в значительной мере затрудняет использование метода дифференциального приближения для исследования разностных схем. Внесение ряда модификаций в описанный в 2 алгоритм автоматического получения дифференциальных приближений позволило автоматизировать процесс получения п.д.п. в случае явных схем метода дробных шагов и систем линейных уравнений. Ниже излагаются некоторые особенности алгоритмов автоматизации получения п.д.п. в этих случаях.
В (2) применены следующие обозначения: Т - оператор сдвига, определенный выше в I, rii - шаг вдоль оси зс. , т s44...э m HL - временной шаг, р - количество дробных шагов, р В соответствии с общей схемой вычислительного алгоритма получения п.д.п., описанной в 2, сначала осуществляется разложе - 65 ниє функции $ k в ряд Тейлора. Вначале разлагаются величины, входящие в последнее уравнение в (2) ( L=p ) по формуле: J = l В (3) мы опустили для краткости изложения аргументы Т , й4 ,... ..,nm , ъ , функции Я?к . Затем последовательно с помощью (р-І)-го уравнения схемы (2) исключаем величины дробного Р-1 шага п+ -=— . В свою очередь, в ( р-1)-ом уравнении неявным образом могут присутствовать величины с предыдущих дробных шагов. Разлагая величины, входящие в ( р-1)-е уравнение в ряд Тейлора по формуле (3), С - p-l , исключаем величины с шагов ( р-2), ( р-3),...,1. При этом в каждом последующем уравнении ( р-2), ( р-3) и т.д. исключаются величины со всех предыдущих дробных шагов. Затем снова возвращаемся к последнему уравнению в (2) и О—о исключаем в формуле (3), С = р , дробный шаг п + —-— с помощью ( р-2)-го уравнения, при этом с этим уравнением повторяя вышеописанную процедуру. Процесс исключения в р -ом уравнении (2) дробных шагов продолжается до тех пор, пока в нем не останется величин ни с одного дробного шага. После этого применяется алгоритм получения п.д.п., описанный в 2.
Заметим, что, как видно из вышеизложенного описания, в случае нелинейного уравнения (I) после исключения всех дробных шагов в р -ом уравнении будут присутствовать, в частности, члены вида.
Нетрудно показать, что при подстановке разложений Тейлора вида (3) до порядка N в (4) необходимо вычислить 0( -тпмР) (5) членов в рядах Тейлора, где о, - общее количество выражений вида F. Си р) в разностной схеме (2). Заметим, что каждый такой член занимает примерно от 10 до 30 машинных слов памяти ЭВМ при использовании обозначений зависимых и независимых переменных во внутреннем представлении этих переменных в ЭВМ. Из вышеприведенных грубых оценок (5), например, в случае о =6, т= 2, N = 3, р= 2 вытекает, что вышеизложенный алгоритм потребует от 15000 до 45000 ячеек памяти ЭШ. Как правило, свободная память при использовании языка РЕФАІ составляет до 20000 ячеек без учета самой программы. Поэтому возможности ЭВМ БЭСМ-6 без использования внешней памяти весьма ограничены. Заметим, что применение внешней памяти значительно усложняет реализацию алгоритма. Ранее в [76J приводились для более простых случаев получения п.д.п. данные о требуемой памяти ЭШ, из которых также следует вывод о повышенных требованиях к памяти ЭВМ при автоматическом вычислении п.д.п. в символьном виде.
В алгоритмически более простом случае получения п.д.п. од-ношаговых разностных схем, аппроксимирующих системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, потребовались незначительные изменения алгоритма,описанного в 2,касающиеся организации ввода-вывода информации,составления таблиц производных и замены смешанных производных, содержащих дифференцирование по t , на производные по пространственным переменным в каждом разностном уравнении. При организации аналитических вычислений уравнений п.д.п. системы существенно используется то, что каждое разностное уравнение схемы аппроксимирует соответствующее дифференциальное уравнение исходной системы.
В заключение хотелось бы отметить, что програма получения дифференциальных приближений была написана таким образом, что каждый подаягоритм общего алгоритма (наприглер, разложение в ряд Тейлора, дифференцирование и т.д.) реализован в виде отдельного модуля при наиболее общих предположениях относительно входной информации. Хотя такая универсальная модульная организация программы предъявляет повышенные требования к машинным ресурсам, зато она позволяет сравнительно легко реализовать алгоритмы получения п.д.п. в более сложных случаях, например, в случае разностных схем, аппроксимирующих нелинейные системы уравнений.
Применение символьных преобразований на ЭВМ для получения п.д.п. двух разностных уравнений для решения задач теории упругости в скоростях и напряжениях
Один из важнейших классов задач теории упругости, представляющих практический интерес в различных приложениях, описывается плоской задачей теории упругости [64}. При построении и исследовании разностных уравнений для многомерной системы (I) другим полезным, но более простым примером является система двумерных уравнений акустики.
Кратко опишем основные принципы построения разностных уравнений, изложенные и реализованные в [2,23] , на примере системы (3). Следуя [2,23] , сначала преобразуем систему (3) к виду, разрешенному относительно производных по времени, сохранив__при этом симметричность системы. Для этого представим матрицу и0 в виде: - Матрица L существует, так как Qu - симметричная, положительная матрица. Матрица L и ее обратная имеют вид.
Из формул (8), (9) следует, что разностное уравнение имеет первый порядок аппроксимации на достаточно гладких функциях. В некоторых случаях для ответа на вопрос о постановке и разрешении граничных условий,, а также получения априорных оценок, необходимых для доказательства устойчивости и сходимости разностных схем в L , удобно использовать явные схемы расщепления, основанные на идее приближенной факторизации [73,39,56]. Факторизацию можно осуществлять различными способами, и естественно возникает вопрос о том, как влияет способ факторизации нагструктуру п.д.п.
Сравнивая матрицу (13) с матрицей СЧ в (9) видим, что они отличаются друг от друга во второй строке, которая соответствует компоненте U вектора Ц . В свою очередь, и с точностью до постоянного множителя совпадает с составляющей скорости в направлении эс4 . Аналогично получаем П -форму п.д.п. уравнения (12), снова приходим к п.д.п. вида (8), где на этот раз матрица "ciz отличается от матрицы си из (9) третьей строкой, соответствующей компоненте v вектора ІГ.
Сравнивая п.д.п. уравнений (II), (12), видим, что в случае уравнения (II) в п.д.п. добавляется некоторый член только в направлении ос1 , а в случае уравнения (12) - только в направлении эс . Это означает, что координаты х.4 , осг в разностных аппроксимациях (II), и (12) неравноправны.
В случае системы уравнении теории упругости (І) в [23] эта система, аналогично рассмотренным выше уравнениям акустики, преобразуется к виду, разрешенному относительно производных по времени с сохранением симметричности системы.
Исследуем вопрос о влиянии факторизации на структуру п.д.п. разностных аппроксимаций системы (15) по аналогии с рассмотренными выше ашроксимациями системы уравнений акустики. Как видно из системы уравнений (17) и (18), см. также выражения для матриц &. , \ {Л, получение соответствую-щих п.д.п. вручную весьма затруднительно, поэтому здесь является наиболее эффективным использование описанного в главе П комплекса программ автоматического получения дифференциальных приближений.
В последние годы получил развитие иной метод исследования устойчивости и диффузии разностных схем, в котором гармоника вида (I) подставляется в дифференциальное приближение разностной схемы, и после получения дисперсионного уравнения анализ протекает подобно тому, как это делается при использовании метода Фурье [94,7(Я[. Использование данного подхода существенно облегчается в том случае, когда дифференциальное приближение разностной схемы получается автоматически с помощью ЭВМ. Ввиду большого количества применяемых в настоящее время для решения задач математической физики разностных схем (см., например, f54j) является актуальной проблема эффективного получения необходимых условий устойчивости и информации о свойствах диффузии используемых разностных схем. Наличие средств автоматизации получения п.д.п. делает более привлекательным использование п.д.п. при анализе разностных схем.
Зачастую исследование устойчивости разностных схем для многомерных задач аналитическими методами оказывается очень сложным или практически невозможным. Тем не менее, и в этих случаях для расчетов нужны практические критерии устойчивости. Решение этой проблемы численными методами позволяет получать значения временных шагов, приемлемые для практического использования. Численное получение областей устойчивости позволяет также проводить сравнительный анализ схем по их устойчивости. Хотя идея численного определения границ областей устойчивости разностных схем не является новой, число работ, в которых бы эта идея последовательно реализовывалась применительно к разностным схемам для уравнений в частных производных, невелико [79,55,77]. Ниже детально изложена численная методика получения границ устойчивости разностных схем для двумерных задач с постоянными коэффициентами. Эту методику мы проиллюстрируем на примере двух разностных схем (6) и (II) и их п.д.п. для двумерных задач акустики, приведенных выше в 2.
Для удобства дальнейшего изложения схемы (6) и (II) будут именоваться, соответственно, как "схема I" и "схема П". Так как предметом исследования являются системы из трех уравнений, то получающееся при анализе дисперсионное уравнение является кубическим, с комплексными коэффициентами. Аналитическое исследование поведения корней этого уравнения оказывается весьма затруднительным. В этой связи дисперсионные уравнения решаются численно, и исследуется поведение этих корней в широком диапазоне определяющих параметров.
