Введение к работе
Актуальность темы. Задача трёх тел с кулоновским взаимодействием - классическая задача квантовой механики. Многие исследования в современной физике приводят к необходимости вычисления значений энергии и волновых функций связанных состояний квантово-механической системы трёх заряженных частиц, которая описывается трёхмерным уравнением Шредингера. В последнее время эта задача привлекает внимание в связи с исследованиями проблемы мюонного катализа ядерных реакций синтеза.
Сложность математической постановки задачи трёх тел, а именно, граничные условия, обеспечивающие ограниченность соответствующих решений, переменные коэффициенты, наличие особых точек, по существу исключают возможность её решения аналитическими методами. Поэтому практически единственным путём получения решения является проведение вычислительных экспериментов на ЭВМ. Для этого необходима разработка эффективных методов и алгоритмов численного решения поставленной задачи, обеспечивающих необходимую точность результатов.
Проектируемые в настоящее время физические установки и эксперименты ставят повышенные требования к точности расчётов соответствующих математических моделей. Одним из возможных способов достижения требуемой точности вычислений является разработка схем высокого порядка точности. В этом смысле наиболее эффективным способом вывода таких схем представляется метод конечных элементов (МКЭ). Основная трудность, возникающая при этом, связана с решением получающейся обобщённой алгебраической проблемы собственных значений
Аи = ХМи (1)
с симметричными положительно определенными матрицами А и М размерности в несколько десятков тысяч переменных. Заметим, что для решения такой задачи в последние годы разработано множество быстрых и экономичных итерационных методов, среди которых можно отметить такие как обобщённый метод обратных итераций, методы Ланцоша, модифицированные градиентные методы. Практически во всех таких итерационных методах требуется наличие некоторой симметричной положительно определенной переобусловлпваюшей матрицы В, спектрально эквивалентной матрице задачи А.
С теоретической точки зрения наиболее эффективными среди методов решения вспомогательной задачи Bv = д, возникающей в итерационных методах решения спектральных задач, являются алгебраические много-
сеточные методы декомпозиции области, теория которых разработана в работах О. Аксельссона, П. Вассилевски, Ю.А. Кузнецова.
Одним из основных моментов этих методов является разбиение области Q, в которой рассматривается задача, на малые непересекающиеся подобласти (суперэлсменты) Q,: U = 1_|П,. Далее, для каждой подобласти Q, строятся матрицы А„ являющиеся аппроксимацией сужения оператора задачи на эту подобласть с однородными условиями Неймана на границе, к ним определяются локальные переобусловливающие матрицы В, и оцениваются границы спектров задач А, и, — ц^В, и,. Результирующая переобусловливающая матрица В определяется в результате ассемблирования локальных матриц В, по всем подобластям. Для получения теоретических оценок и организации самих итерационных процедур с матрицей В используется так называемый суперэлементный анализ, позволяющий получить оценки границ спектра задачи Аи = цВи через границы спектров задач на отдельных суперэлементах
ЛА.и., и.) ?(Л.«., «.) (Ли, и) (А,и„ и.)
mm т= г < —тт; г = тх г ^ шах тт: г
' (В,и„ и,) - Т.(В,и„ и.) (Ви, и) - (В,и„ и.)
Применение подобного анализа допустимо только в случае неотрицательности: всех членов разложения.
Использование алгебраических многосеточных методов такого типа в итерационных процедурах решения проблемы собственных значений (1), возникающей в результате аппроксимации уравнения Шредингера для задачи трёх тел, затруднено тем, что сужение оператора задачи на некоторые подобласти с однородными условиями Неймана на границе подобласти не обладает положительной определённостью. Поэтому разработка новых алгебраических многосеточных методов и расширение сферы применения многосеточных переобусловливателей является актуальной проблемой.
Цель работы.
-
Построение новых алгебраических многосеточных переобусловливателей для итерационных методов решения спектральных задач, получающихся в результате МКЭ дискретизации уравнения Шредингера для задачи трёх тел квантовой механики.
-
Расширение сферы применения многосеточных переобусловливателей на случай задач с положительно определёнными операторами, сужения которых на какие-то подобласти рассматриваемой области с однородными условиями Неймана на границе не являются положительно определёнными или полуопределёвными.
3. Проведение численных экспериментов с целью тестирования построенных методов, а также вычисление двух минимальных собственных значений энергии и соответствующих волновых функций связанных состояний для системы трёх частиц tft/x.
Общая методика исследований. В диссертации использованы результаты и методы теории аппроксимации, матричного анализа и матричных итерационных методов, а также элементы функционального анализа.
Научная новизна. Построены новые алгебраические двухсеточные и многосеточные методы разделения области для задач, возникающих в результате МКЭ дискретизации одно- и двумерных модельных эллиптических уравнений, коэффициенты которых имеют особенности, не позволяющие применить для решения классические алгебраические многосеточные методы разделения области. Получены оценки скорости сходимости построенных методов. Показана оптимальность арифметической сложности предлагаемых алгоритмов.
Практическая значимость. На основе метода конечных элементов разработан комплекс программ, реализующих алгебраические многосеточные методы декомпозиции области для спектральных задач в двух- и трёхмерных областях. Построенный алгебраический многосеточный метод может быть использован для создания новых пакетов программ, ориентированных на многопроцессорные ЭВМ.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях и семинарах:
» семинарах лаборатории вычислительной математики ИВМ РАН,
XXXII и XXXIV научных конференциях МФТИ,
XIII и XIV конференциях молодых учёных МФТИ,
II Всесоюзной конференции "Современные проблемы численного анализа" (1989 г., г. Тбилиси).
Публикации. По теме диссертации опубликовано пять работ, список которых приведён в конце автореферата.
Структура диссертация. Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения и списка литературы объёмом 101 наименование. Общий объём работы 119 страницы, из них 10 страниц с таблицами и рисунками.
