Введение к работе
':';; ! i.l :.?«> J
ность темы исследований. Сеточные методы в настоя-являются самым распространенным средством решения задач математической физики. К числу наиболее развитых областей теории этих методов прежде всего относится теория метода конечных разностей и метода конечных элементов решения линейных эллиптических и параболических' уравнений.
Различные аспекты теории этих методов освещены в многочисленных монографиях и обзорах.
Хорошо известно, однако, что более точное математическое моделирование в механике, физике, технике и т.д. приводит, как правило, к необходимости учета нелинейных эффектов, что существенно осложняет построение и теоретическую оценку качества сеточных аппроксимаций соответствующих краевых задач. Значительные трудности,естественно, возникают и при построении эффективных итерационных методов решения систем нелинейных сеточных уравнений. Упомянем здесь лишь наиболее известные области науки и техники, в которых возникает необходимость численного решения нелинейных эллиптических и параболических уравнений. Это - теория упругости и пластичности, теория пластин и оболочек, теория магнитных полей в нелинейных средах, теория теплопроводности,' геометрия (теория поверхностей) , теория фильтрации жидкостей и газов в пористых средах.
К настоящему времени довольно хорошо изучены сеточные схемы и итерационные методы для нелинейных эллиптических уравнений с сильно монотонными операторами.
В диссертации рассматриваются, в основном, два круга задач, при описании которых возникают эллиптические и параболические уравнения и неравенства с операторами, обладающими более общими свойствами.
Первый - стационарная и нестационарная фильтрация жидкости с предельным градиентом.
Второй - геометрически и физически нелинейный изгиб тонких пластин и оболочек.
Цель работы заключается в теоретическом исследовании математических моделей указанных задач, построении и исследовании разностных аппроксимаций этих моделей, разработке итерацион-
ных методов их численной реализации.
Методика работы. В диссертации широко используются результаты и методы теории уравнений и неравенств с монотонными операторами, методы выпуклого анализа и, в частности, теория двойственности, теория квазилинейных эллиптических и параболических уравнений. При построении разностных схем последовательно применяется метод сумшторных тождеств. Исследование разностных схем основано на априорных оценках, получаемых с помощью метода энергетических неравенств, методе внешних аппроксимаций, разностных аналогах теорем вложения.
Научная новизна. I. Предложены новые математические модели для описания стационарной нелинейной фильтрации жидкости в пористой среде в случае законов фильтрации с предельным градиентом. Исследованы основные свойства возникающих здесь нелинейных уравнений и неравенств.
-
Разработаны и исследованы разностные методы решения квазилинейных эллиптических уравнений стационарной фильтрации,
-
Исследованы основные разностные схемы сквозного счета для решения нестационарных задач фильтрации с предельным градиентом.
-
Изучены вопросы существования и единственности решения вариационных задач, возникающих при описании прогибов пологих и цилиндрических оболочек с учетом геометрической и физической нелинейности. Построены и исследованы разностные аппроксимации этих задач, а также итерационные методы их численной реализации.
-
Разработаны новые эффективные методы решения разностного бигармонического уравнения на декартовой и полярной сетках.
-
Предложен новый подход к построению разностных аппроксимаций задач теории упругости в произвольных криволинейных координатах. На основе этого подхода построен и исследован разностный метод решения неосесимметричной задачи о равновесии упругого анизотропного цилиндра.
Теоретическая и практическая ценность. Теоретическая значимость работы заключается в том, что в ней исследованы математические модели и численные методы их реализации для ряда' важных задач математической физики. Некоторые из предлагаемых в работе моделей являются новыми (фильтрационные задачи) и
риентированныш на исследование задач современными средства-и вычислительной математики. Практическая ценность состоит в озможности применения предлагаемых в ней методов к решению онкретных задач нелинейной фильтрации, упругости, теории болочек.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались: на X Советско-Чехословацком совещении "Применение функциональ-ых методов и методов теории функций к задачам математической изики" (Донецк, 1986), на ІУ и У Всесоюзных конференциях по ариационно-разностным методам в математической физике (Но-осибирск, 1980; Москва, 1983), на Всесоюзной конференции Современные проблемы вычислительной математики" (Москва, 986), на Всесоюзных конференциях "Численные методы решения адач теории упругости и пластичности" (Кишинев, 1973; Лаго-ехи, 1975; Караганда, 1977; Ташкент, 1979; Миасс, 1981; Уж-ород, 1983; Саратов, 1985), на Всесоюзных конференциях "Чис-енные методы решения задач теории фильтрации многофазных жи-костей" (Рига, 1974; Алма-Ата, 1976; Баку, 1978; Ташкент, 980; Фрунзе, 1982), на Всесоюзных школах по численным мето-ам решения задач математической физики (Казань, 1974; Казань, 976; Минск, 1978), на У Всесоюзной школе-семинаре го теоре-ическим и прикладным проблемам вычислительной математики Црогобыч, 1980), на Всесоюзной школе-семинаре "Математичес- ое моделирование в науке и технике"(Пермь, 1986), на Всеси-ирской школе по вычислительной математике (Новосибирск,1983), а республиканской конференции "Численное решение краевых за-ач и интегральных уравнений" (Тарту, 1981), на Ш симпозиуме о методам решения нелинейных уравнений и задач оптимизации Таллин, 1984), на семинаре факультета вычислительной матема-ики и кибернетики МГУ (руководитель А.А.Самарский), а также, а итоговых научных конференциях Казанского государственного ниверситета 1973-1985 годов.
Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 37 рабо-ах.
