Введение к работе
I. . Актуальность темы, Применение различных численних методов для решения линейных дифференциальных уравнений и систем, возникающих при математическом моделировании явлений и процессов, реально протекающих в физике, химии, механике, акустике, динамике жидкостей и других областях науки и техники, приводит в конечном счете к необходимости решать системы линейных алгебраических уравнений (ЛАУ) специального вида - разностные уравнения. Эти оистемы ЛАУ в большинстве случаев обладают рядом важных специфических особенностей: I) они обычно имеют высокий порядок Сравный числу узлов сетки); 2) матрицы систем являются разреженными; 3) ненулевые элементы расположены специальным образом, матрицы являются ленточными: 4) часто системы уравнений являются плохо обусловленными. Такие системы ЛАУ, возникая, как правило, из уравнений в частных производных, обыкновенных дифференциальных уравнений и систем, обладают как чертами и свойствами присущими исходным дифференциальным задачам, так и важными собственными алгебраическими свойствами. Такой механизм возникновения и природа разностных уравнений позволяют сочетать для их решения положительные свойства и стороны различных методов решения дифференциальных задач с хорошо разработанным аппаратом линейной алгебры и большим вычислительным опытом решения
систем ЛАУ.
Проблеме построения, обоснования и исследования вычислительных алгоритмов для решения разностных уравнений посвящен ряд монографий и книг, и мы здесь для сведения назовем авторов только некоторых из них: Бахвалов Н.С.; Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М.; Годунов С.К.; Годунов С.К., Рябенький B.C.; Ильин В.П.; Ильин В.П., Кузнецов Ю.И.; Крылов В,И.. Бобков В.В., Монасгырный П.И.; Марчук Г.И.; На Ц.; Самарский А.А.; Самарский А.А., Андреев В.Б.; Самарский А.А., Гулин А.В.; Самарский А.А., Николаев Е.С.; Keller Н.В.; Lambert I. Несмотря на то, что рассматриваемой проблеме посвящена обширная литература, разработано большое число методов для решения упомянутых выше задач и накоплен определенный вычислительный опыт, проблема численного решения систем разностных уравнений по-прекнему далека от завершенности и содержит в себе еще много принципиальных как в теоретическом, тшс и, особенно, в вычислительном отношении вопросов. Подчеркнем, что большая часть методов пред-
назначена для решения систем разностных уравнений специального вида, их применение всегда сопряжено с необходимостью выполнения ряда специфических ограничений, налагаемых на задачу. Назовем некоторые из -'."ограничений на входные данные задачи. Это -симметричность, положительная определенность, структурность (ленточность) матрицы системы, требование наличия у нее определенных метрических соотношений и возможности получения априорной информации о спектральных характеристиках матрицы системы. В большом числе важных и более сложных задач такого рода упомянутые ограничения могут не выполняться вообще или, если и выполняются, то не в полной мере. Поэтому актуальной является разработка таких вычислительных алгоритмов, которые позволяли бы решать разностные граничные задачи при самых общих предположениях о входных данных.
Актуальность рассматриваемой тематики в целом объясняется, по нашему мнению, следущими основными причинами: I) появлением новых классов задач, к решению которых имеющиеся алгоритма неприменимы или их применение не является достаточно эффективным; 2) необходимостью модификаций известных алгоритмов с целью улучшения их вычислительных свойств или с целью расширения области их применимости; 3) потребностью более глубокого изучения новых и известных алгоритмов с целью выявления их свойств и действительных возможностей, а также с целью проведения работы по классификации методов; 4) развитием и расширением возможностей вычислительной техники Сувеличение быстродействия и памяти ЭВМ, появлением многопроцессорных компьютеров).
Цель работы. Построение, обоснование и исследование алгоритмов, основанных на унитарных и ортогональных преобразованиях и позволяющих решать широкие классы разностных граничных задач при самых общих предположениях о входных данных, а также сопутствующие им вопросы занимают центральное место в диссертации.
Научная новизна. Для решения трехточечных векторных сеточных уравнений эрмитова вида с разделенными двухточечными граничными условиями построен и исследован новый класс алгоритмов унитарной разностной прогонки, основанный на преобразовании Коли. Выполнены численные эксперименты по решению некоторых разностных граничных задач, носящих испытательный и калибровочный характер и позволяющих оценить общность и универсальность раз-
личных алгоритмов. Доказана устойчивость в малом алгоритма. Рассмотрена адаптация алгоритмов унитарный разностной прогонки для решения трехточечных скалярных сеточных уравнения. Проведено численное решение типичных сеточных граничных задач с по-гранслоем и дана сравнительная характеристика полученных результатов с существующими. Предложен новый класс вычислительных алгоритмов для решения трехточечных векторных разностных уравнений общего вида с разделенными двухточечными граничными условиями, основанных на унитарной разностной прогонке, и доказана их устойчивость в малом. Для решения двухточечных сеточных уравнений с разделенными граничными условиями, а также с разделенными граничными условиями и условиями на решение в точках разрывов решения первого рода, построены и исследованы алгоритмы ортогональной разностной прогонки, основанные на обобщении и развитии некоторых идей Годунова С.К. и позволяющие осуществлять настройку и регулировку основных вычислительных свойств метода в зависимости от свойств сеточной граничной задачи за счет выбора и модификации основных параметров метода. Выполнен ряд вычислительных экспериментов и проведено изучение вычислительных свойств ортогональной прогонки в зависимости*от изменения чиела и длины прогоночных подынтервалов, от места их расположения. Проведено изучение спектральных характеристик матриц замыкающих систем, полученных при применении метода ортогональной прогонки для различных разбиений, и установлены возможности регулировки вычислительных свойств за счет выбора точек ортого-нализации. Предложен общий подход к построению вычислительных алгоритмов, основанных на ортогональной разностной прогонке, для решения систем сеточных уравнений общего вида и произвольного порядка.
Практическая значимость. Алгоритмы, разработанные в диссертации, могут применяться во многих областях науки и техники для решения на ЭВМ прикладных граничных задач, рассматриваемых при наиболее общих предположениях о входных данных. Они позволяют существенно расширить круг разностных граничных задач, численное решение которых будет эффективным и успешным. Особенно отметил алгоритмы ортогональной прогонки, позволяющие производить оптимизацию вычислений в смысле выбора числа, длин и расположения прогоночных подынтервалов, регулировки свойств матрицы Яко-би для замыкающих систем, существенного уменьшения требуемой
компьютерной памяти, а зачастую, и уменьшения числа арифметических операций.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на семинарах по вычислительной математике в БГУ и ИМ АН Беларуси.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах II-10].
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, содержит 17 таблиц и Ю рисунков. Список литературы включает 71 наименование. Общий объем работы 160 страниц.
