Введение к работе
Актуальность темы. При исследовании свойств упругих материалов методами математического моделирования часто возникает проблема нахождения решения системы уравнений теории упругости с сильно меняющимися коэффициентами. В частности, эта задача возникает при проектировании и исследовании свойств композитных материалов. При этом применение классических методов, предложенных в работах Л.Н.Коновалова, И.Г.Белухипой, А.А.Самарского и др., затруднительно. Дело в том, что число обусловленности матрицы системы сеточных уравнений, возникающих при аппроксимации системы уравнений теории упругости, пропорционально большому параметру, присутствующему в системе. В частности, этим параметром может быть величина (0.5 — J')-1, где v - коэффициент Пуассона упругой среды. Если же мы рассматриваем случай взаимодействия нескольких упругих материалов с существенно разными свойствами, то число сильно меняющихся параметров, присутствующих в системе, может быть больше одного. В этом случае число обусловленности системы сеточных уравнений также является большим. Таким образом, проблема состоит в нахождении эффективного переобуславливателя, позволяющего решать задачи такого сорта за приемлемое время. Следует отметить, что в композитных материалах, как правило, всегда присутствуют материалы с существенно различными свойствами. Поэтому построение эффективных методов решения таких зада.ч является актуальным.
Цель работы состоит в построении эффективных итерационных мстодоз решения задач теории теории упругости в случае, когда параметры Ламе упругой среды могут сильпо меняться, а также построении и исследовании свойств лроекционио разностных схем для рассматриваемых задач.
Научная новизна работы. В диссертации рассматривается краевая задача в квадрате для системы уравнений теории упругости с кусочно постоянными коэффициентами Ламе и краевыми условиями жесткого контакта. Для этой задачи построен итерационный процесс, который на каждом шаге требует нескольких обращений оператора Лапласа и вычислений интегралов от уже найденных функций. Доказано, что при некоторых ограничениях на параметры Ламе скорость сходимости метода не будет зависеть от разброса коэффициентов Ламе. При этом существенно, что оба параметра могут меняться в независимо друг от друга, т.е. задача является существенно двухпараметрической.
Для этой же задачи построены проекционно разностные схемы; исследована сходимость разностных схем. Полученные результаты носят такой же характер, как аналогичные результаты для других, более простых задач; например, задачи Стокса.
Практическая значимость. Результаты, полученные в работе, могут быть использованы при расчете задач теории упругости в существенно неоднородных упругих средах.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на научно-исследовательском семинаре кафедры вычислительной математики механико-математического факультета МГУ под руководством академика Н.С.Бахвалова.
Публикации. По материалам диссертации опубликована одна статья.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы. Текст дисер-тации занимает 5? стр.
