Содержание к диссертации
ВВЕДЕНИЕ 4
ГЛАВА I. ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ И ОЦЕНКА ПОГРШНОСТИ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ ПРОЦЕССОВ, ПОСТРОЕННЫХ ДЛЯ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ФИЛЬТРАЦИИ ВО ВЗАИМОСВЯЗАННЫХ ПЛАСТАХ, ШОНШШРОВАН- НОЙ.ПО МОДЕЛИ ХАНТУША 15
§ I. Постановка математической задачи, по модели Хантуша 15
§ 2» Вспомогательные задачи • , 18
§ 3. Схема Роте и обоснование, метода итерации 40
§ 4« Априорная оценка 55
§ 5. Устойчивость решений по исходным данным и относительно промежуточных погрешностей 57
§ 6. Реализация задачи на ЭВМ 61
ГЛАВА П. ИССЛЕДОВАНИЕ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ФИЛЬТРАЦИИ, СФОРМУЛИРОВАННОЙ НА ОСНОВЕ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ МОДЕЛИ (ПМ) 79
§ I. Постановка, математической задачи, на основе ПМ 79
§ 2. Исследование вспомогательной краевой . задачи
§ 3, Обоснование метода итерации 91
§ 4. Двусторонность приближения и единственность решения 104
§ 5. Опенка погрешности метода Роте 107
§ 6. Исследование устойчивости решений
§ 7. Реализация задачи на ЭВМ ІІ2
ГЛАВА Ш. К ЧИСЛЕННОМУ РЕШЕНИЮ ЗАДАЧИ НЕЛИНЕЙНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ ЖИДКОСТИ (ГАЗА) С НАЧАЛЬНЫМ ГРАДИЕНТОМ ДШЕНШ ВО ВЗАШЮИЗОЛИРОВАН НЫХ. МНОГОСЛОЙНЫХ ПЛАСТАХ , І2І
§ I. Постановка математической задачи. 121
§ 2. Численное исследование задачи нестационарной фильтрации вязкопластических жидкостей методом, разностной потоковой прогонки 125
§ 3. Решения задач фильтрации вязкопластических жидкостей с помощью комбинации методов Роте и дифференциальной прогонки 130
§ 4. Реализация задачи на ЭВМ 139
ЛИТЕРАТУРА 150
ПРИЛОЖЕНИЕ
Введение к работе
Большинство задач теории нестационарной фильтрации жидкостей и газов в пористых средах при известном начальном распределении поля давления и в заданных режимах разработки месторождения при некоторых естественных предположениях описывается в виде нелинейной краевой задачи для системы квазилинейных уравнений эллиптического и параболического типов. В последние годы особое место занимают исследования по приближенным методам решения дифференциальных уравнений в частных производных, имею-, щих важное прикладное значение. Как известно, определение точ- . ного решения нелинейных краевых задач для .дифференциальных уравнений с частными производными крайне затруднительно, поэтому в большинстве случаев большой интерес представляют приближенные методы. При использовании приближенного метода решения краевых задач для системы уравнений параболического типа, связанных с нелинейными эффектами, возникают трудности математического и . вычислительного характера. Наиболее эффективным является метод конечных разностей и метод Роте в сочетании с дифференциальной прогонкой.
Следовательно, стали весьма актуальными постановка и построение эффективных, легко реализуемых на ЭВМ вычислительных алгоритмов для решения усложненных краевых задач теории нестационарной фильтрации, связанных с расчетами показателей разработки изолированных и гидродинамически взаимосвязанных много - 5 пластовых месторождений нефти и газа.
В настоящее время наряду с теоретическими исследованиями развивается и построение приближенных решений краевых задач для, вырождающихся и не вырождающихся дифференциальных уравнений. Для получения приближенных решений различных краевых за-, дач и доказательства их существования методом конечных разностей [2,3,8,9,23,46,51,54-55,78-82,84,85,94,100.и др.] часто применяют метод Роте, предложенный в І929 г. Э.Роте [9б]. Он использован в работах [1,7,10-18, 24,29,33, 44-47, 50,52,58, 59, 63, 77, 87, 95, 98, 90-100 и др.] .
Имеются многочисленные исследования советских и зарубежных математиков, где ставятся и решаются краевые задачи для уравнений и систем уравнений параболического типа [17,21,25, 41,27,28,32,33,35,36,42-46,53,67г71,76, 77, 97 и .др. ] .
В работе [34] методом Роте построены решения первой и второй краевых задач для линейного уравнения параболического типа.
В [69] изучено существование решений краевых задач и задачи Коши для квазилинейных уравнений со многими независимыми переменными. В случае двух независимых переменных в [97] впервые доказано существование решения в "малом".
В работе [67] для некоторых систем квазилинейных уравнений параболического типа и уравнений вида получены достаточные условия разрешимости при первом краевом условии.
В [38,39] исследуются экономичные схемы решения третьей и первой граничных задач для квазилинейного параболического
уравнения, описывающего нелинейную фильтрацию жидкости в по-, ристой среде при упругом режиме. Доказывается также существование и единственность обобщенного решения первой краевой задачи.. .
Цель работы - применив метод Роте для приближенного решения нелинейных краевых задач, полученных на основе модели Хантуша и промежуточной модели:
- установить порядок сходимости приближенного решения задачи к точному;
- обосновать метод итерации;
- доказать единственность решения;
- исследовать устойчивость решения и некоторых его свойств;
- доказать двусторонность приближений;
- исследовать численную устойчивость решения;
- создать методом конечных разностей в сочетании с потоковым вариантом метода прогонки эффективные, легко реализуемые на ЭВМ вычислительные алгоритмы и универсальные программы для решения нелинейных задач теории нестационарной фильтрации в многослойных пластах.
Общие методы исследования. В работе применяется метод Роте в сочетании с .дифференциальной прогонкой. С помощью данного метода исходная дифференциальная задача заменяется дифференциально-разностной. Полученная нелинейная краевая задача решается методом итерации и при определенных ограничениях, налагаемых на входные функции, доказывается равномерная сходимость итерационного процесса. Единственность решений доказывается методом интегральных тождеств. В диссертации используется также метод конечных разностей и потоковый вариант метода прогонки.
Научная новизна и практическая ценность. Квазилинейные уравнения параболического типа со специальными нелинейными краевыми условиями, основанные на промежуточной, теоретически исследуются впервые. Предложен ряд эффективных вычислительных алгоритмов для построения приближенного решения систем квазилинейных уравнений параболического типа.
Для обыкновенного дифференциального уравнения второго . порядка установлено существование непрерывного решения удовлетворяющего краевым условиям при сильном вырождении.
Нелинейная краевая задача теории нестационарной фильтрации газа и жидкости в системе гидродинамически взаимодействующих пластов, рассматриваемая в .диссертации по модели Хантуша, теоретически изучается впервые.
Задачи нелинейной фильтрации жидкости с начальным градиентом давлений и при различных законах движения вязкопластических жидкостей и газов решаются методом Роте в сочетании с дифференциальной прогонкой и методом конечных разностей с последующим применением потокового варианта прогонки.
При разработке и проектировании многопластовых нефтяных и газовых месторождений возникает необходимость построения приближенных решений задач, рассматриваемых в диссертации, описываемых нелинейными параболическими уравнениями со специальными краевыми условиями. Предлагаемые в диссертации численные методы решения задач и созданные алгоритмы удобны для численной реализации на ЭВИ и позволяют находить приближенное решение с достаточно высокой точностью. По созданной программе расчета получаются численные значения решений в разных постановках задач.
Построенные в .диссертационной работе вычислительные алгоритмы и предложенные приемы можно использовать для фильтрационных расчетов при составлении проекта разработки газовых и нефтяных месторождений, а также в исследованиях, связанных с приближенными решениями нелинейных задач для системы параболических уравнений. .
Основное содержание диссертации
Диссертационная работа посвящена исследованию методом Роте краевых задач для систем квазилинейных уравнений параболического типа, имеющих приложения в нелинейной теории нестационарной фильтрации жидкости и газов в многослойных пористых средах.
В первой главе, состоящей из шести параграфов, решается нелинейная задача теории нестационарной фильтрации газа (жидкости) в системе гидродинамически взаимодействующих пластов по модели Хантуша.
В § 6 исследуется устойчивость решений от начальной функции (х). и по J(jcy ,z/) .
В § 7 для иллюстрации эффективности созданных в главе П вычислительных алгоритмов приведены в виде таблиц и графиков численные результаты, получены на ЭВМ БЭСМ-6. Сопоставлены . точные и приближенные решения. Исследована также машинная устойчивость решений от начальных функций.
Третья глава посвящена решению нелинейных краевых задач фильтрации вязкопластических жидкостей и газа в многослойных пористых средах.
В § I дан краткий литературный обзор и постановка исследуемой задачи при различных законах движения - линейном с начальным градиентом давления, гиперболическом, а также по закону, рассмотренному в работе [93j .
В § 2 в предположении существования решения исследуются исходные задачи с помощью метода конечных разностей в комбинации с разностным потоковым вариантом метода прогонки, при - 14 веденным в работах А.А.Самарского, и построены эффективные численные алгоритмы.
Б § 3 методом прямых в сочетании с дифференциальной прогонкой решаются задачи фильтрации вязкопластических жидкостей и газа в многослойных пластах по закону с начальным градиентом давлений,
В § 4 в виде таблиц и графиков приводятся численные результаты, полученные на основе алгоритмов, предложенных в диссертации.
Основные результаты исследований.
1. Построены методом Роте и исследованы системы нелинейных дифференциально-разностных уравнений для решения систем квазилинейных параболических уравнений со специальными условиями, описывающих нелинейную нестационарную фильтрацию однородной, несжимаемой жидкости и газа в многослойных пористых средах.
2. Исследована разрешимость одной краевой задачи для . системы вырождающихся .дифференциальных уравнений второго порядка.
3. Показаны с помощью вычислительного эксперимента на ЭЭД1 качество рассматриваемых в работе итерапионно-конечно-разностных и дифференпиально-разностных схем и их численная реализуемость.
