Введение к работе
I. . Актуальность темы. Применение различных численных методов іля решения линейных дифференциальных уравнений и систем, воз-іикакщих при математическом моделировании явлений и процессов, зеалыю протекающих в физике, химии, механике, акустике, динамке жидкостей и других областях науки и техники, приводит в конечном счете к необходимости решать системы линейных алгебраических уравнений (ЛАУ) специального вида - разностные уравне-зия. Эти оистемы ЛАУ в большинстве случаев обладают рядом важка специфических особенностей: I) они обычно имеют высокий порядок (равный числу узлов сетки); 2) матрицы систем .являются разреженными; 3> ненулевые элементы расположены специальным образом, матрицы являются ленточными: 4) часто системы уравнений являются плохо обусловленными. Такие системы ЛАУ, возникая, как правило, из уравнений в частных производных, обыкновенных дифференциальных уравнений и систем, обладают как чертами и свойствами присущими исходным дифференциальным задачам, так и важными собственными алгебраическими свойствами. Такой механизм возникновения и природа разностных уравнений позволяют сочетать для их решения положительные свойства и стороны различных методов решения дифференциальных задач с хорошо разработанным аппаратом линейной алгебры и большим вычислительным опытом решения
систем ЛАУ.
Проблеме построения, обоснования и исследования вычислительных алгоритмов для решения разностных уравнений посвящен ряд монографий и книг, и мы здесь для сведения назовем авторов только некоторых из них: Бахвалов Н.С.; Бахвалов Н.С., Жидков Н.П.. Кобельков Г.М.; Годунов С.К.; Годунов С.К., Рябенький B.C.; Ильин В П.; Ильин В.П., Кузнецов Ю.И.; Крылов В.И.. Бобков В.В., Монастырный П.И.; Марчук Г.И.; На Ц.; Самарский А.А.; Самарский А.А., Андреев В.Б.; Самарский А.А., Гулии А.В.; Самарский А.А., Николаев Е.С.; Keller Н.В.; Lambert I.. Несмотря на то, что рассматриваемой проблеме посвящена обширная литература, разработано большое число методов для решения упомянутых выше задач и накоплен определенный вычислительный опыт, проблема численного решения систем разностных уравнений по-прежнему далека от завершенности и содержит в себе еще много принципиальных как в теоретическом, так и. особенно, в вычислительном отношении вопросов. Подчеркнем, что большая часть методов пред-
назначена для решения систем разностных уравнений специального вада, их применение всегда сопряжено с необходимостью выполнения ряда специфических ограничений, налагаемых на задачу. Назовем некоторые из ограничений на входные данные задачи. Это -симметричность, положительная определенность, структурность (ленточность> матрицы системы, требование наличия у нее определенных метрических соотношений и возможности получения априорной информации о спектральных характеристиках матрицы системы. В большом числе важных и более сложных задач такого рода упомянутые ограничения могут не выполняться вообще или, если и выполняются, то не в полной мере. Поэтому актуальной является разработка таких вычислительных алгоритмов, которые позволяли бы решать разностные граничные задачи при самых общих предположениях о входных данных.
Актуальность рассматриваемой тематики в целом объясняется, по нашему мнению, следувдзли основными причинами: I) появлением новых классов задач, к. решению которых имеющиеся алгоритмы не-примешаш или их применение не является достаточно эффективным; 2) необходимостью модификаций известных алгоритмов с целью улучшения их вычислительных свойств или с целью расширения области их применимости; 3) потребностью более глубокого изучения новых и известных алгоритмов с целью выявления их свойств и действительных возможностей, а также с целью проведения работы по классификации методов; 4) развитием и расширением возможностей вычислительной техники (увеличение быстродействия и памяти ЭВМ. появлением многопроцессорных компьютеров).
Цель работы. Построение, обоснование и исследование алгоритмов, основанных на унитарных и ортогональных преобразованиях и позволяющих реиать широкие классы разностных граничных задач при самых общих предположениях о входных данных, а также сопутствующие им вопросы занимают центральное место в диссертации.
Научная новизна. Для решения трехточечных векторных сеточных уравнений эрмитова вида с разделенными двухточечными граничными условиями построен и исследовал новый класс алгоритмов унитарной разностной прогонки, основанный на преобразовании Кэ-ли. Выполнены численные эксперименты по решению некоторых разностных граничных задач, носящих испытательный и калибровочный характер и позволяющих оценить общность и универсальность раэ-
іичних алгоритмов. Доказана устойчивость в малом алгоритма. Рассмотрена адаптация алгоритмов унитарный разностной прогонки 1ля решения трехточечных скалярных сеточных уравнения. Проведе-ю численное решение типичных сеточных граничных оадач с по-лранслоем и дана сравнительная характеристика полученных результатов с существующими. Предложен новый класс вычислительных ілгоритмов для решения трехточечных векторных разностных урав-шний общего вида с разделенными двухточечными граничными условиями, основанных на унитарной разностной прогонке, и доказана га: устойчивость в малом. Для решения двухточечных сеточных /равнений с разделенными граничными условиями, а также с разделенными граничными условиями и условиями на решение в точках разрывов решения первого рода, построены и исследованы алгоритмы ортогональной разностной прогонки, основанные на обобщении и развитии некоторых идей Годунова С.К. и позволяющие осуществлять настройку и регулировку основных вычислительных свойств метода в зависимости от свойств сеточной граничной задачи за счет выбора и модификации основных параметров метода. Выполнен ряд вычислительных экспериментов и проведено изучение вычислительных свойств ортогональной прогонки в зависимости"от изменения числа и длины прогоночных подынтервалов, от места их расположения. Проведено изучение спектральных характеристик матриц замыкавдих систем, полученных при применении метода ортогональной прогонки для различных разбиений, и установлены возможности регулировки вычислительных свойств за счет выбора точек ортого-нализадии. Предложен общий подход к построению вычислительных алгоритмов, основанных на ортогональной разностной прогонке, для решения систем сеточных уравнений общего вида и произвольного порядка.
Практическая значимость. Алгоритмы, разработанные в диссертации, могут применяться во многих областях науки и техники для решения на ЭВМ прикладных граничных задач, рассматриваемых при наиболее общих предположениях о входных данных. Они позволяют существенно расширить круг разностных граничных задач, численное решение которых будет эффективным и успешным. Особенно отметим алгоритмы ортогональной прогонки, позволяющие производить оптимизацию вычислений в смысле выбора числа, длин и расположения прогоночных подынтервалов, регулировки свойств матрицы Яко-би для замыкающих систем, существенного уменьшения требуемой
компьютерной памяти, а зачастую, и уменьшения числа арифметических операций.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на семинарах по вычислительной математике в БГУ и ИМ АН Беларуси.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах П-ІСН.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, содержит 17 таблиц и 10 рисунков. Список литературы включает 71 наименование. Общий объем работы 160 страниц.
