Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Обратные задачи определения одного из коэффициентов в модели популяции с постоянной скоростью роста объектов. 12
2.1 Модель популяции с постоянной скоростью роста объектов . 12
2.2 Задача определения скорости смертности объектов ji{x) и итерационный метод ее решения 13
2.3 Метод регуляризации Тихонова для нахождения коэффициента ц(х) 21
2.4 Численные результаты решения задачи нахождения коэффициента fi(x) 25
2.5 Задача определения плотности начального распределения объектов ip(x) и итерационный метод ее решения 29
2.6 Метод регуляризации Тихонова для нахождения плотности (р(х) 32
2.7 Численные результаты решения задачи нахождения начальной плотности (р(х) 33
Глава 2. Обратная задача одновременного определения двух неизвестных коэффициентов в модели популяции с постоянной скоростью роста объектов. 37
3.1 Задача одновременного определения скорости смертности объектов и(х) и плотности их начального распределения 37
3.2 Итерационные методы для определения коэффициента. ji{x). 38
3.3 Итерационные методы для определения плотности р{х). 43
3.4 Метод регуляризации Тихонова для нахождения коэффициента (х{х) и плотности ip(x) 46
3.5 Численные результаты решения задачи одновременного нахождения коэффициента р,{х) и плотности ip(x) 48
Глава 3. Обратная задача определения скорости роста объектов в модели популяции с переменной скоростью роста объектов. 53
4.1 Модель популяции с переменной скоростью роста объектов. 53
4.2 Задача определения скорости роста объектов д(х) и итерационный метод ее решения 55
4.3 Метод регуляризации Тихонова для нахождения коэффициента (Ж) 68
5 Заключение 71
6 Литература 72
- Модель популяции с постоянной скоростью роста объектов
- Задача одновременного определения скорости смертности объектов и(х) и плотности их начального распределения
- Модель популяции с переменной скоростью роста объектов.
Введение к работе
Актуальность темы. В настоящее время одной из наиболее важных сфер приложения математических методов является биология. Многообразие и сложность возникающих в биологии задач обуславливают необходимость использования численных методов и современных ЭВМ для их решения. Математическое моделирование используется при исследовании разнообразных биологических процессов. При этом, во многих случаях некоторые параметры математических моделей, являющиеся важными характеристиками изучаемого процесса, неизвестны и могут быть определены только на основе косвенных измерений. Это означает, что необходимо решать обратные задачи состоящие в определении параметров математических моделей по имеющейся дополнительной информации о решении соответствующих задач.
Теория обратных задач - одна из быстро развивающихся областей современной математики. Обратные задачи возникают при обработке и интерпретации результатов экспериментов, ставящих своей целью исследование различных свойств процессов и объектов, непосредственное наблюдение которых либо невозможно, либо связано с весьма крупными финансовыми затратами. Одна из основных проблем, которую нужно преодолевать при решении обратных задач, состоит в том, что, как правило, такие задачи являются некорректно поставленными. Решение обратных задач может не существовать, быть не единственным и неустойчивым по отношению к исходным данным. Последнее особо существенно, поскольку дополнительная информация используемая при решении обратных задач известна не точно, а лишь приближенно. В связи с этим построение устойчивых методов решения обратных задач имеет большое теоретическое и прикладное значение.
Важным направлением в математическом моделировании биологических процессов являются модели популяции. Модели популяции применяются для описания, как простых однородных групп объектов, так и сложных сообществ. При исследовании моделей популяции часто воз-
рос. НАЦИОНАЛЫ! \Я
БИБЛНОГьКА
C.-fkiepiiypf
никает необходимость в решении обратных задач. Поэтому разработка устойчивых численных методов решения обратных задач популяции актуальна для развития математических методов биологии.
Цель работы. Целью работы является исследование обратных задач для некоторых моделей популяции и разработка численных методов их решения.
Научная новизна и практическая ценность. Поставлены и исследованы обратные задач для двух моделей популяции, доказана единственность решения обратных задач, разработаны численные методы их решения. Практическая ценность полученных результатов определяется возможностью их использования при анализе математических моделей популяции.
Апробация. Результаты работы докладывались на конференции "Обратные и некорректно поставленные задачи" в г. Москве, 2003г., на международной конференции "Ломоносов 2005" в г. Москве, 2005г., на научной конференции "Тихоновские чтения" в г. Москве, 2005г., на международной конференции "Тихонов и современная математика" в г. Москве, 2006г., а также на семинарах кафедр математической физики и системного анализа факультета Вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета им. М.В.Ломоносова, научных семинарах НИВЦ и Института вычислительной математики РАН.
Публикации. Основные результаты опубликованы в работах [2]-[7].
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, 3 глав и содержит 77 страниц, в том числе 14 графиков, список литературы из 52 наименований.
Модель популяции с постоянной скоростью роста объектов
В этой главе рассмотрены две обратные задачи. В первой при известных функциях q(x) и tp(x) по дополнительной информации о решении прямой задачи U{XQ, t) требуется определить неизвестную функцию j.:,(x). Вторая состоит в отыскании неизвестной функции ц (х) при известных функциях q(x) и рь(х) по дополнительной информации о решении прямой задачи u{xo,t). И в первой и во второй задане выведено интегральное уравнение и построен итерационный метод для численного определения неизвестных функций. Для обоих задач обосновано применение метода регуляризации Тихонова.
Задача одновременного определения скорости смертности объектов и(х) и плотности их начального распределения
В главе предложены два подхода для численного решения этой обратной задачи. Первый состоит в сведении обратной задачи к линейному интегральному уравнению для функции (р(х) и решению этого уравнения итерационным методом. Далее функция ji{x) определяется по функции р(х). Во втором выводится нелинейное интегральное уравнение для fj,(x). которое также решается итерационным методом, а функция р(х) определяется по найденной ц(х). И в первом и во втором подходе выведены два интегральных уравнения и построены два итерационных метода, соответствующие случаю разрыва решения и(хЛ) па диагонали и случаю, когда решение непрерывно. И в том и другом случаях предполагается, что известно значение функции (р(х) в нуле. В заключительном параграфе главы для задачи (1)-(3),(34) обосновано применение метода регуляризации Тихонова.
Модель популяции с переменной скоростью роста объектов
Приведем результаты решения некоторых задач с использованием. предложенного метода. Схема вычислительного эксперимента была следующей. Задавались функции g(x).q(x).ij,(x). p(x) и с ними решалась задача (53)-(55). Далее вычислялась функция c(t) для соответствующей точки XQ. С помощью итерационного процесса (62) функция д{х) находилась на отрезке [0, ZQ]. Функция д{х), х Є [тоД] вычислялась с помощью уже найденной функции д(х), х Є [0, жо] и итерационного процесса (71). Для моделирования случая, когда исходные данные известны приближенно, в функцию c(t) вносилась погрешность так, чтобы maxie[o.G (i)] c(i) — c${t)\ 5. d" = 0.01. Обратная задача решалась с функцией cg(t). При численном решении обратной задачи предложенным итерационным методом (71) в случае приближенно заданной функции c$(t) необходимо использовать методы регуляризации для приближенного вычисления: производной этой функции [25].
