Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Основные уравнения переноса излучения 20
1. Интегро-дифференциальное и интегральное уравнения переноса 20
2. Связь между решением интегро-дифференциального и интегрального уравнений 22
3. Интегральное уравнение переноса как операторное уравнение II рода в пространстве непрерывных функций 23
4. Единственность, положительность и непрерывная зависимость решения от начальных данных 25
5. Некоторые свойства решения интегро-дифференциального уравнения переноса 26
Глава II. Дискретизация уравнения переноса 28
1. Линейно-алгебраическая модель переноса излучения 28
2. Примеры линейно-алгебраической модели переносаизлучения 30
3. Векторно-матричная запись системы .34
4. Интегральная форма линейно-алгебраической модели переноса излучения 35
5. Интегральная форма линейно-алгебраической модели переноса излучения как операторное уравнение II рода в пространстве непрерывных функций 36
6. Некоторые свойства решения линейно-алгебраической модели переноса излучения 38
Глава III. Итерационный метод Зейделя 39
1. Построение итерационного процесса.Теорема о сходимости итерационного процесса 39
2. Доказательство теоремы 41
3. Исследование оценки скорости сходимости итерационного процесса 50
4. Обсуждение итерационного процесса 56
Глава ІV. Исследование линейно-алгебраической модели переноса излучения в случае равномерной дискретизации уравнения переноса по азимуту 60
1. Структура линейно-алгебраической модели в случае равномерной дискретизации уравнения переноса по азимуту 60
2. Преобразование линейно-алгебраической модели переноса излучения 66
3. Связь линейно-алгебраической модели переноса с "классическим" вариантом метода дискретных ординат и R.- приближением 71
4. Линейно-алгебраическая модель переноса излучения как система дифференциальных уравнений с коэффициентами из множества 77
Глава V. Структура решения интегральной формы линейно-алгебраической модели переноса излучения 79
1. Система интегральных уравнений 80
2. Некоторые определения, обозначения и леммы 80
3. Существование решения уравнения (I.I) и его структура 84
4. Доказательство теоремы I 88
5. Получение некоторых тождеств 89
6. Исследование тождеств \5.4-5.5) 89
7. Исследование тождеств (5.6-5.7) 91
8. Некоторые свойства функции fr (S) 93
9. Завершение доказательства теоремы I 96
10. Векторно-матричная запись интегральной формы линейно-алгебраической модели переноса излучения 99
11. Существование и единственность решения интегральной формы линейно-алгебраической модели переноса излучения 100
12. Структура решения интегральной формы линейно-алгебраической модели переноса излучения 101
13. Структура решения интегральной формы линейно -алгебраической модели в случае равномерной дискретизации уравнения переноса по азимуту .107
14. Решение интегральной формы линейно-алгебраической модели переноса излучения в случае изотропного рассеяния НО
15. Структура решения линейно-алгебраической модели переноса излучения 112
16. Некоторые обсуждения 115
Глава VІ. Численные результаты 118
1. Схема расчетов 118
2. Исходные данные уравнения и метода решения 120
3 Численное решение уравнений 121
4. Численное исследование скорости сходимости итерационного процесса 121
Заключение 124
Дополнение 125
Литература 130
Приложение. Таблицы, рисунки 138
- Интегральное уравнение переноса как операторное уравнение II рода в пространстве непрерывных функций
- Интегральная форма линейно-алгебраической модели переноса излучения как операторное уравнение II рода в пространстве непрерывных функций
- Связь линейно-алгебраической модели переноса с "классическим" вариантом метода дискретных ординат и R.- приближением
- Существование и единственность решения интегральной формы линейно-алгебраической модели переноса излучения
Введение к работе
Уравнение переноса является одним из важнейших уранений математической физики. Оно описывает самые разнообразные физические процессы в астрофизике, физике атмосферы, атмосферной оптике, ядерных реакторах, светотехнике.и т.д. Большое разнообразие применения уравнения переноса для описания различных явлений окружающего нас мира позволяет выделить изучение уравнения переноса в самостоятельную дисциплину - теорию переноса.
В связи с тем, что уравнение перенса в общем случае интег-ро-дифференциальное имеет довольно сложную структуру, важную роль приобретают различные приближенные методы его решения. Вопросам численного решения уравнения переноса посвящена обширная литература (см. например, недавнюю монографию[Зб]и обзор[7б]).
В настоящей работе изучается метод дискретных ординат применительно к решению уравнения переноса, описывающего излучение в плоско-параллельной анизотропно рассеивающей среде:
а гт
Рассмотрен следующий вариант этого метода: выбирается конкретный набор направлений и, тем или иным способом, интегральный член заменяется конечномерным аналогом. Благодаря этому, уравнение переноса приближенно заменяется системой дифференциальных уравнении с количеством неизвестных функций, равным числу выб-„ранных направлений. Эту систему мы будем называть системой ме-
, тода дискретных ординат (СЩО). п
Прототипами метода дискретных ординат являются методы Шусте-pa[78j, Шварцшильда[79J и сддингтона[б5] , разработанные для решения уравнения переноса излучения в изотропно рассеивающих(т.е. QL) =1) атмосферах звезд и основанные на усреднении интенсивности излучения по углам. Естественным обобщением этих методов является метод Вика[82]- Чандрасекара[5б] . Идея стого метода заключается в следующем: интегральный член в уравнении переноса заменяется квадратурной формулой. Полученная на основе єтого сие тема дифференциальных уравнений допускает аналитическое решение.
В настоящее время метод Вика-Чандрасекара является наиболее хорошо изученным численным методом простейшего уравнения переноса. Так, например, в[5,68,70] он обобщается на случай конечной оптической толщины, а в работах [38,39] - на случай неоднородной среды и сферической геометрии. Bf6,7,37,48,57,59,60,77,81] изучены вопросы сходимости и скорости сходимости метода к точному решению.
Дальнейшее обобщение метода дискретных ординат применительно к решению уравнения переноса излучения в плоско-параллельной анизотропно рассеивающей атмосфере было сделано в монографии f5б]. Оно основано на предположении о разложении индикатрисы
рассеяния Q(lf) в ряд по полиномам Лежандра
$т' z д pt (Мґ), (o.v
где Д, -заданные коэффициенты, a rt Ы- полиномы Лежандра. Благодаря Этому, решение уравнения Kljf*if) переноса представляется в виде ряда Фурье
I ^,^4) - И C2-S0t) IlCz,^) <М if . (0.2)
8 1в котором коэффициенты I ft/Mj определяются из уравнений
где 0*(^,^и')= X fi^ Ре (^)^/(^) » а/^^/присоединенные полиномы Лежандра. Далее интеграл в уравнении (0.3J заменяется на основе некоторой квадратурной формулы
J У(и)сОс* Y_ ^д-К\ Д,/*,/''/*^-* (0.4;
вследствии чего уравнение (0.3J заменяется системой уравнений
На практике ограничиваются конечным числом L членов в разложении С0.і),обеспечивающим нужную точность задания индикатрисы рассеяния. При небольших L описанный метод является весьма еффектив-ным, т.к. система (0.5)может бить решена аналитически.
Однако, при увеличении L эффективность этого метода резко ухудшается, сто связано, во-первых, с тем, что число ^ узлов квадратурной формулы (0.4) должно быть сравнимо с L , ибо в л противном случае нарушается условие баланса частиц
из-за чего решение ± ft/ft , С =1,2,...,L может потерять физический смысл. Число /v возможно уменьшить путем введения "нормировочных" коэффициентов Д.- , lt\,j =1,2,..., ги напри-
T69j
мер, методом ренррмализации [ byj таких, что
'однако это не снимает второй проблемы: нахождение решения п L ft, и.,
Эти свойства делают метод дискретных ординат в его оригинальной форме в задачах с сильно анизотропной индикатрисой рассеяния практически нереализуемым.
Отказ от разложения индикатрисы рассеяния в ряд по полиномам Лежандра впервые, по-видимому, сделан Секера[80]. Он применил идею метода Чандрасекара для изучения поляризованного солнечного излучения: Двойной интеграл в интегро-дифференциальном уравнении переноса заменяется с помощью квадратурной формулы. Полученная таким образом система дифференциальных уравнений решалась итерационным методом Зейделя. Такой алгоритм в настоящее время довольно популярен среди специалистов по атмосферной оптике и используется для решения различных задач атмосферной физики [58, 61,63,64,66,71-73]. Однако этот метод имеет существенный недостаток: в СМДО нарушено условие баллансности частиц. В результате этого решение уравнения может стать отрицательным или даже вообще комплексным [20J . Кстати, с такой ситуацией при исследовании переноса излучения в "мутной" (iubfcd) атмосфере столкнулся Здельбах|6б]. Он предложил модификацию метода Секера, которая заключалась в том, что в СЩЦО выполнялось условие баллансности частиц
У У Q ., х -/, \iW4.l,~.*>&M fb.
^ ,;Г7 Ы б^Г
Здесь Q. .в дискретный аналог символа Q'ff)ducif
Условие балланса частиц является важным требованием для метода дискретных ординат. К такому вьшоду, например, пришли Карлсон и Латроп 20J . В этой работе для подтверждения указан-
гного факта они получают СМДО не; путем применения каких-либо -^-разностных методов к аналитической форме уравнения переноса, а на основе вывода уравнения переноса в терминах дискретных переменных: уравнение переноса выводится для конечной ячейки в фа- зовом пространстве способом, аналогичным тому, который используется для вывода аналитического уравнения переноса. Полученное таким образом разностное уравнение оказалось устойчивым по отношению к численному счету.
Систему метода дискретных ординат, в которой выполняется уело вие баланса, мы, следуя терминологии [43] , будем называть линейно-алгебраической (ЛАМ) переноса излучения.
Настоящая работа посвящена изучению линейно-алгебраической модели переноса излучения в плоско-параллельном однородном анизотропно рассеивающем слое конечной оптической толщины.
Остановимся теперь на содержании работы.
Первая глава носит вспомогательный характер. Здесь приводится
вид интегро-дифференциального уравнения переноса излучения в
плоско-параллельном однородном анизотропно рассеивающем слое и
его интегральный аналог. Затем описывается связь между гтими
уравнениями, которая формулируется в виде теоремы эквивалентно
сти. Далее интегральная форма уравнения переноса рассматривается
как операторное уравнение II рода в пространстве непрерывных
функций. Доказывается полная непрерывность, положительность опе
ратора этого уравнения, а также существование, единственность и
непрерывная зависимость решения от начальных данных. Последний
параграф этой главы посвящен перенесению основных свойств реше
ния интегрального уравнения на решение интегро-дифференциального
уравнения (существование, единственность и непрерывная зависи
мость решения от начальных данных") .
і
Теоремы существования, единственности, непрерывной зависи-мости решения от исходных данных в соответствующих пространствах даны во многих работах[і,8,17,18,21,55] и для более общего случал. В этой главе воспроизводится ход этих доказательств для конкретного уравнения переноса. Мы старались оформить теоремы в таком виде, чтобы иметь возможность опустить доказательства аналогичных теорем для ЛАМ, рассматриваемых в последующих главах.
При изложении этого параграфа мы в основном придерживались монографий [8,45,46,56J .
Вторая глава посвящена определению ЛАМ рассматриваемой задачи и исследованию свойств единственности, положительности и непрерывной зависимости от начальных данных. В первом параграфе этой главы мы определяем ЛАМ как краевую задачу для системы диф ференциальных уравнений, коэффициенты которой удовлетворяют условиям "симметричности", "положительности" и "балансности".Затем, во втором параграфе приводятся две конкретные ЛАМ. Первая из них получена путем замены интегрального члена в- уравнении переноса на основе какой-либо квадратурной формулы. При этом, чтобы не нарушилось балансности, вводятся нормировочные коэффициенты.
Вторая ЛАМ получена следующим образом. Разбиваем отрезки [О,I] и [0,23\] точками 0= lU0 С u^.tUft; 0--fo
Г „ -і
Представляя интеграл столкновении в виде суммы интегралов,
где интегрирование происходит на множестве аІ^и считая решение J (Z/ft/
В следующем, третьем параграфе, для более компактной записи ЛАМ вводится векторно-матричная символика. Все вводимые здесь обозначения сохранены на протяжении всей работы.
В четвертом параграфе выводится интегральная форма ЛАМ.
Последние два параграфа этой главы посвящены установлению свойств единственности, положительности и непрерывной зависимости решения от начальных данных как ЛАМ, так и его интегральной формы. Теоремы, формулирующие эти свойства, практически дословно повторяют рассуждения соответствующих теорем предыдущей главы. Поэтому здесь они приводятся без доказательства.
При изложении этой главы мы придерживались в основном работы [24] , а также: Г20,43J .
В третьей главе изучается итерационный метод Зейделя применительно к пешению ЛАМ. В первом параграфе этой главы формулируется итерационный процесс и приводится теорема о сходимости и скорости сходимости этого процесса, доказательству которой посвящен следующий параграф. Показано, что метод Зейделя сходится к точному решению ЛАМ как геометрическая прогрессия со знаменателем, который можно оценить
В третьем параграфе изучается асимптотическое поведение ве
личины Q , т.е. ее поведение в предположении, что количество
дискретных направлений ЛАМ достаточно велико. В этом случае ве-
-личина 2 > входящая в определение і> , есть :
$* ^ І к) і \^d^7 ^^)) > (-&
где ОШ — индикатриса рассеяния,
* І
fit/*.*)- w^CMr^ ' Л(^Ы ^^ -
a I - множество точек ^ , для которых имеет место равенство
Из формул (0.7) - (0.8) видно, что скорость сходимости итерационного процесса уменшается с ростом "анизотропности индика-
трисы влево" (т.е. уменьшением величины 2. $ tf/tftty')'5*, в случае Тїр, не уменшается с ростом "анизотропности вправо" Ст.е. с увеличением величины }0 Wftty) Численные эксперименты подтверждают гипотезу об увеличении скорости сходимости метода с ростом анизотропности индикатрисы "вправо" (см. 4.2 гл.Уі) .
В 4 этой главы обсуждается метод трапеций для решения задачи Коши, возникающей на каждом итерационном шаге. Яга глава написана на основе работы автора [ 24] .
В четвертой главе изучается ЛАМ в предположении, что дискретные направления равномерны по азимуту.
В 1 изучается структура ЛАМ. Показано, что матрица коэффициентов такой ЛАМ естественным образом разбивается на блоки -циркулянты, которые обладают рядом хороших свойств^см. Дополнение ). Далее, в 2 исходная ЛАМ путем несложных линейных преобразований разбивается на ряд подзадач вида
где 2а - л,, л, - количество дискретных направлений по азимуту,
2 l^/JJ > <$ , ОС; , Ifc) некоторые заданные величины, а решение ЛАМ представляется в виде суммы
*"'
Здесь с , С указывает точку (і , /) на единичной сфере.
В 3 рассматривается ЛАМ, полученная на основе замены интеграла столкновений в уравнении переноса на основе квадратурной
ZJT формулы прямоугольников ^= -гм. по азимуту и некоторой квадратурной формулы по и. (т.е ЛАМ, построенную в 2 главы її) ;
) %(/tjet/i, * > (Zfc) + %(f*-i))dLf /Лі?0//и„г-/Лі ,ol,>o CO.IV
i*4
Предположим, что индикатриса рассеяния QQ*-) представима в виде суммы по полиномам Лежандра с количеством членов, равным L (см. формулу (0.1}) . Тогда Л (с, Л в системе уравнений (0,9J есть:
— л (c>i>&*jfr h "-foffaft)^ > (0Л2
о; {ыЛ)ф9}1 (1»-Ие?Х
^« М $> lfa+k)eJ>2lm-k\?}«"»jfr+t4$Zlt»-kte?l
L.
/Ъ (іг»к)$>)%(.\п-Ь\3>) 9- Іо^Лр,...]
г 9*
1 ;(-г) определяется аналогичным (0.12) выражением, 6. =№-, "л При IZ 2 2 і получаем
где ҐЬ- і/20&)~ некоторые нормировочные множители. В этом случае система (0.9) отличается от системы (0.3) лишь наличием,в ней нормировочных множителей.
Если U-.U-,- -U-, ы- есть веса и узлы формулы Гаусса на [0,1 J и ft, = l_ * jr (h=2g,), то/1.= p.0(z)=l, а следовательно ЛАМ и метод Чандрасекара (0.4-0.5^ совпадают.
Из приведенных выше формул видно, что ЛАМ аналогична методу Чандрасекара ср. (0.2,),(0.5) с(0.9) , (0.I0J) . Однако между этими методами имеется существенное различие.
Для применения метода Чандрасекара к решению уравнения переноса нам необходимо задать индикатрису рассеяния в виде суммы по полиномам Лежандра, а в таком представлении необходимо присутствие некоторого минимального числа L полиномов Лежандра. С ростом анизотропности индикатрисы рассеяния это число возрастает и попадает в некоторую область L Ї L , где метод Чандрасекара в его оригинальном виде практически нереализуем даже для довольно грубых расчетов і
Для построения ЛАМ такого представления индикатрисы рассеяния не требуется, что расширяет класс уравнений переноса, где этот метод применим. В гл. УІ приведено численное исследование точности решения уравнения переноса методом построения ЛАМ от величиныД (см. табл. 10) .
Интегральное уравнение переноса как операторное уравнение II рода в пространстве непрерывных функций
Однако, при увеличении L эффективность этого метода резко ухудшается, сто связано, во-первых, с тем, что число узлов квадратурной формулы (0.4) должно быть сравнимо с L , ибо в л противном случае нарушается условие баланса частиц из-за чего решение ± ft/ft , С =1,2,...,L может потерять физический смысл. Число /v возможно уменьшить путем введения "нормировочных" коэффициентов Д.- , lt\,j =1,2,..., гимер, методом ренррмализации [ byj таких, что однако это не снимает второй проблемы: нахождение решения п L ft, и., f) = Т 1 (/№ ) ел f , а суммирование ряда Фурье является некорректно поставленной задачей.
Эти свойства делают метод дискретных ординат в его оригинальной форме в задачах с сильно анизотропной индикатрисой рассеяния практически нереализуемым.
Отказ от разложения индикатрисы рассеяния в ряд по полиномам Лежандра впервые, по-видимому, сделан Секера[80]. Он применил идею метода Чандрасекара для изучения поляризованного солнечного излучения: Двойной интеграл в интегро-дифференциальном уравнении переноса заменяется с помощью квадратурной формулы. Полученная таким образом система дифференциальных уравнений решалась итерационным методом Зейделя. Такой алгоритм в настоящее время довольно популярен среди специалистов по атмосферной оптике и используется для решения различных задач атмосферной физики [58, 61,63,64,66,71-73]. Однако этот метод имеет существенный недостаток: в СМДО нарушено условие баллансности частиц. В результате этого решение уравнения может стать отрицательным или даже вообще комплексным [20J . Кстати, с такой ситуацией при исследовании переноса излучения в "мутной" (iubfcd) атмосфере столкнулся Здельбах6б]. Он предложил модификацию метода Секера, которая заключалась в том, что в СЩЦО выполнялось условие баллансности частиц
Условие балланса частиц является важным требованием для метода дискретных ординат. К такому вьшоду, например, пришли Карлсон и Латроп 20J . В этой работе для подтверждения указангного факта они получают СМДО не; путем применения каких-либо - -разностных методов к аналитической форме уравнения переноса, а на основе вывода уравнения переноса в терминах дискретных переменных: уравнение переноса выводится для конечной ячейки в фа- зовом пространстве способом, аналогичным тому, который используется для вывода аналитического уравнения переноса. Полученное таким образом разностное уравнение оказалось устойчивым по отношению к численному счету.
Систему метода дискретных ординат, в которой выполняется уело вие баланса, мы, следуя терминологии [43] , будем называть линейно-алгебраической (ЛАМ) переноса излучения.
Настоящая работа посвящена изучению линейно-алгебраической модели переноса излучения в плоско-параллельном однородном анизотропно рассеивающем слое конечной оптической толщины. Остановимся теперь на содержании работы. Первая глава носит вспомогательный характер. Здесь приводится вид интегро-дифференциального уравнения переноса излучения в плоско-параллельном однородном анизотропно рассеивающем слое и его интегральный аналог. Затем описывается связь между гтими уравнениями, которая формулируется в виде теоремы эквивалентно сти. Далее интегральная форма уравнения переноса рассматривается как операторное уравнение II рода в пространстве непрерывных функций. Доказывается полная непрерывность, положительность опе ратора этого уравнения, а также существование, единственность и непрерывная зависимость решения от начальных данных. Последний параграф этой главы посвящен перенесению основных свойств реше ния интегрального уравнения на решение интегро-дифференциального уравнения (существование, единственность и непрерывная зависи мость решения от начальных данных") . і II Теоремы существования, единственности, непрерывной зависи-мости решения от исходных данных в соответствующих пространствах даны во многих работах[і,8,17,18,21,55] и для более общего случал. В этой главе воспроизводится ход этих доказательств для конкретного уравнения переноса. Мы старались оформить теоремы в таком виде, чтобы иметь возможность опустить доказательства аналогичных теорем для ЛАМ, рассматриваемых в последующих главах. При изложении этого параграфа мы в основном придерживались монографий [8,45,46,56J . Вторая глава посвящена определению ЛАМ рассматриваемой задачи и исследованию свойств единственности, положительности и непрерывной зависимости от начальных данных. В первом параграфе этой главы мы определяем ЛАМ как краевую задачу для системы диф ференциальных уравнений, коэффициенты которой удовлетворяют условиям "симметричности", "положительности" и "балансности".Затем, во втором параграфе приводятся две конкретные ЛАМ. Первая из них получена путем замены интегрального члена в- уравнении переноса на основе какой-либо квадратурной формулы. При этом, чтобы не нарушилось балансности, вводятся нормировочные коэффициенты. Вторая ЛАМ получена следующим образом. Разбиваем отрезки [О,I] и [0,23\] точками 0= lU0 С u .tUft; 0--fo f,O- f Z соответственно. Далее интегро-дифференциальное уравнение переноса осредняется по угловым переменным им, ( здесь fl-Wfr, V - полярное расстояние в сферической системе координат,) на множествах Г „ -і Представляя интеграл столкновении в виде суммы интегралов, где интегрирование происходит на множестве АІ И считая решение J (Z/ft/ f) уравнения переноса постоянным под и у на -Ц ,, получим второй вариант ЛАМ. Отметим, что для этой ЛАМ условие балансное оказывается выполненым автоматически. В следующем, третьем параграфе, для более компактной записи ЛАМ вводится векторно-матричная символика. Все вводимые здесь обозначения сохранены на протяжении всей работы. В четвертом параграфе выводится интегральная форма ЛАМ.
Интегральная форма линейно-алгебраической модели переноса излучения как операторное уравнение II рода в пространстве непрерывных функций
Здесь 2. - вектор-столбец с коипонентами (г) ; j- - вектор столбец с коипонентами (X). Символом Ті- обозначена сумма интегральных членов уравнения (4.2) . Введем пространство №Л вектор-функций (Т) , определенных на fO,H] и принимающих значения в ССЦН], в котором норма задается как
Определим телесный конус К в пространстве С Го, н] как Теорема I. Оператор 7 является вполне непрерывным положительным относительно конуса К оператором, действующим из СГо(н] вСГ0,Ю Доказательство теоремы I следует из непрерывности и положи Т тельности ядра интегрального оператора . Обозначим через jb величину Теорема 2. Пусть Ъ LA-2/xp(-Jh\i)) L 4 . Тогда система интегральных уравнений (4.2) имеет единственное решение в пространстве непрерывных вектор-функций С0{Н ] при любом свободном члене f 6 СЕОНЗ . Кроме того, решение уравнения 4.2) непрерывно зависит от начальных данных. Доказательство. В главе I мы покажем, что норма оператора оценивается неравенством 11 Ті/ і- Л ( 4-елср C Jbhi) В гл. У будет изучатся система интегральных уравнений более общего вида. Использование теоремы Банаха о единственности решения опера- -j торных уравнений II рода завершает доказательство теоремы. Теорема 3. Пусть Я С/- с-/о(-рн)) /(, i-e 1С . Тогда решение Д уравнения (5.1) существует, единственно и положительно Доказательство теоремы 3 проводится аналогично доказательству теоремы 1.4. 6. Некоторые свойства решения линейно-алгебраической модели переноса излучения тот параграф посвящен перенесению свойств решения интегральной формы ЛАМ на систему дифференциальных уравнений (I.I) с краевыми условиями (1.2) . Доказательства этих свойств почти дословно повторяют рассуждения, используемые в 1.5. Поэтому все теоремы этого параграфа мы приводим без доказательства. Определим на С[0,Н] оператор ,5 , который каждой функции в С ГО, И] ставит в соответствие функцию f » определенную выражением (4;Tj . Рассмотрим класс функций Теорема 4. Пусть Л(і-Єх/д(-вн))іі Тогда ЛАМ имеет в классе функций 3(C) единственное решение при- любом свободном члене і & СЩ И] . Кроме этого, если с С » то решение ЛАМ положительно. Теорема 5. Малые изменения исходных данных ЛАМ по норме пространства СЮ,И] влекут В этой главе рассмотрим итерационный метод Зейделя при -менительно к решениюЛ/1М/ лЭтот метод хорошо зарекомендовал себя в вычислительной практике и широко используется для реше -ния различных задач атмосферной физики [5S, 6 63,64,6 6 , 1 7Ъ \. Однако,этот метод весьма мало изучен теоре-тически.В этой главе мы будем изучать скорость сходимости метода Зейделя. В первом параграфе настоящей главы приводится построение итерационного процесса;Здесь же сформулирована теорема о схо -димости и скорости сходимости этого процесса,доказательству которой посвящен второй параграф. Скорость сходимости итерационного процесса зависит от величины & .являющейся,по существу,дискретным аналогом неко -торого интеграла от индикатрисы рассеяния.Третий параграф посвящен " асимтотическому " описанию величины о ,т.е.,сумма, участвующая в определении этой величины,заменяется интегралом, который,в свою очередь,преобразуется к более простому виду. В последнем параграфе этой главы в рамках теории решения жестких задач обсуждается задача Копій,которую необходимо решать на каждом интерационном шаге метода Зейделя. I.Построение"итерационного процесса.Теорема о сходимости итерационного процесса
Связь линейно-алгебраической модели переноса с "классическим" вариантом метода дискретных ординат и R.- приближением
При решении ЛАМ методом Зейделя нам необходимо на каждом итерационном шагу решать задачу Коши вида с отрицательно определенной матрицей . Эта система является жесткой задачей Г 47] . Так, например, коэффициент жесткости для ЛАМ, построенной в % й.ЛЛ , где fi- есть узел Гаусса на Г о, 3 , оценивается величиной О (4о3) . Поэтому для решения системы (4.1) необходимо применять алгоритмы, обладающие нужными свойствами устойчивости 147_/ .
С другой стороны, из-за большой размерности задачи (4.1), желательно применять наиболее простые численные методы. Мы рассмот-метод трапеций В / 62] показано, что этот метод является самым точным среди неявных линейных многошаговых методов,пригодных для решения жестких задач. Наряду с (4.2) рассмотрим класс "промежуточных" между методом Эйлера, использующий разности назад и методом Эйлера алгоритмов решения задачи вида (4.1) Отметим, что при ci ofs получаем метод трапеций, при - метод Эйлера, а при d = О метод Эйлера, использующий разности "назад". Приведем еще один метод из класса (4.3): ы.= 0,С . Этот метод менее точен чем метод трапеций, однако обладает лучшими свойствами устойчивости [47j . При применении метода (4.3) для решения системы дифференциальных уравнений (4.1) возникает необходимость решать систему линейных алгебраических уравнений вида (4.3). Ниже мы отметим некоторые полезные свойства этой системы. Леммаб. Матрица обладает следующими свойствами: 1. (E-J2&&) является самосопряженным положительно определенным оператором в гильбертовом пространстве со скалярным произведе нием 0 %хюи o(f)?0 , то элементы матрицы (E-f bfc) положительны (т.е. [Е-віЯ) является матрицей монотонного типа). Замечание!!. Из I следует, что оператор ACE-jl R,) является положительно определенным самосопряженным оператором в гильбертовом пространстве со скалярным произведением ( ) , а самосопряженность в этом пространстве эквивалентна симметричности матрицы A (E-J3&/Z). Это позволяет использовать для решения системы (4.3) (систему следует предварительно умножить на матрицу А ) метод квадратного корня Г 10,51,53] Доказательство леммы. Свойство I следует из самосопряженности и положительной определенности оператора -/Z в этом гильбертовом пространстве. Докажем теперь свойство 2. Условие Q(fr)yo гарантирует неразложимость матрицы (E-fi&H). Покажем, что для матрицы выполнен слабый признак сумм по строкам (см. Г27 J ,с.353). Действительно, недиагональные элементы матрицы (B-fiLo.) удовлетворяют неравенству Тогда решение X t1 системы (4.3) положительно. Доказательство. На основании леммы 5 заключаем, что для положительности решения системы линейных уравнений достаточно потребовать положительности свободного члена. Он будет положителен если потребовать положительности элементов матрицы (EtcLJL/l) , ее недиагональные элементы положительны: " запись х?о означает, что неравенство г- выполнено для каждой компоненты вектора ее . Диагональный элемент этой матрицы есть Последнее выражение будет положительно, если выполнено условие (4.4). Теорема доказана. В настоящей главе будет изучаться ЛАМ, полученные в 11.3. На протяжении всей главы предпологаем, что эти системы получены путем равномерной дискретизации уравнения переноса по азимуту (понятие "равномерная дискретизация уравнения переноса" будет определено в 1 настоящей главы). Оказывается, что в этом случае матрица коэффициентов системы дифференциальных уравнений (іІ.І.і) естественным образом разбивается на блоки- циркулянты. Эти матрицы обладают рядом хороших свойств (см. Дополнение), благодаря которым исходную задачу размерности Иль можно разбить на Lxl+J подзадач размерности 2/г. В первом параграфе этой главы изучается структура ЛАМ, затем на основании результатов, полученных в первом параграфе, исходная ЛАМ преобразуется к виду, удобному для алгоритмизации. В третьем параграфе исследуется связь ЛАМ с "классическим" вариантом метода дискретных ординат.
Существование и единственность решения интегральной формы линейно-алгебраической модели переноса излучения
Итак, ЛАМ , полученную путем равномерной дискретизации уравнения переноса по азимуту, можно отождествлять с системой линейных дифференциальных уравнений размерности Л п, , коэффициенты и искомые функции которой принадлежат множеству ССъ СР) сим метричних циркулянтов порядка д . Это множество замкнуто относительно умножения, сложения и обращения(см.3 Х- ХЦІ ).Это обстоятельство следует учитывать, например, при составлении алгоритмов типа [44] .
Для решения системы (2.1) можно применять блочную технику оперирования без предварительного преобразования системы (2.4) к виду (2.3).В этом случае остаются в силе все рассуждения III.4 (в отличии от систем: (2.3), для которых лемма III.5 и теорема III.3.3 в общем случае неверны)
В настоящей главе мы в основном будем изучать интенграль-ную форму Л ЛJU .В рамках понятий теории линейной алгебры мы построим решение интегрального уравнения.Основным в этой главе является понятие характеристического уравнения которое, & конечном итоге,определяет структуру как Jl-ЯМчіж. и ее интегральной формы.
В первом параграфе этой главы мы приводим систему интегральных уравнений в более общей форме,чем этого требует ин -тегральная форма ЛАМ, .Причина такого подхода обсуждается в последнем параграфе главы.
Далее, в 2 даны некоторые понятия,обозначения,свойства матриц и т.д.которые потребуются для формулировки и дока за -тельства теорем,касающихся существования и структуры решения системы интегральных уравнений.Отметим,что все обозначения, понятия и т.д.приводимые здесь,следуют в том же порядке,в каком они встречаются в последующих параграфах. В 3 сформулированы теоремы о единственности и структуре решения системы интегральных уравнений, а 4-9 посвящены их доказательству. В 10-14 рассмотрено применение теоремы 2 к различным видам интегральных форм ЛЛЛи ,а в 15- к ЛЛЛС . В 16 обсуждается понятие характеристического уравнения для описания структуры ЛЯМъ% конкретном примере Для исследования этой системы .нам понадобится ряд обозначений , определений и свойств матриц,которые мы приводим в следующем параграфе. 2.Некоторые определения,обозначения и леммы. Первые тринадцать пунктов этого параграфа нам необходимы для формулировки теорем,сформулированных в следующем параграфе. Нижевводимые обозначения идут в том же порядке,в каком они появляются в последующих параграфах. А. Для матрицы Л - (СС ) - определим 2. Через С со,нJ обозначено прстранствр вектор-функций (х / )Y .1ifvJ в котором норма задается как 3. Обозначим через оС (А) множество диагональных элементов матрицы A- Cd )c,Sa4tn 4. Для системы (I.I) определим матрицу-функцию ТМ)= А (4Н + & )- - AZ( E»-Bzy\ 5. Уравнение o6U (Т(л)- Е ) - О назовем характеристическим для системы (1.1) 6. Через 4ииьА обозначено ядро матрицы А : &лА = [ХЄЄ І АОС О] . Символом сСопъ 99 будем обозначать размерность пространства а через гоуп, А -ранг матрицы А . В дальнейшем мы часто будем пользоваться соотношением ЪОСКА A + oUm, fa/ъА-ПУ, А- (Ъ ;); -я 4,/ь 7. -Л. -множество корней характеристического уравнения. Мы считаем, что корень Л этого уравнения входит в множество Л. столько раз, какова его кратность. 8. 1)(Л)-множество корней (различных) характеристического .уравнения, 9. Для учета индексов у одинаковых элементов диагонали матрицы о введем множество М(4) по следующей схеме: Индекс Л изменяется от 4 до Ю.Для учета индексов у одинаковых элементов диагонали матрицы 3 вводится множество (?(4) схеме предыдущего пункта. Область изменения J есть: 41 at. II.Через А у! обозначим матрицу,составленную из столбцов о матрицы А ,где п, пробегает множество М - { л, /& ,, ,/ik ,/it $. І2.Через М І ) обозначено множество индексов,указывающие номера линейно независимых строк матрицы А н ) . Область изменения 6 есть-- j 0, .Отметим,что это множество отпределяется неоднозначно Itz] ІЗЛерез Q (4) обозначено множество индексов указывающие номера линейно независимых строк матрицы А@(й) Область изменения О есть: 4й 4Ъ .Отметив,что это множество определяется неоднозначно.
