Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Математические модели исследуемых задач 14
I. Укороченные уравнения для взаимодействия оптичес кого излучения с активной средой в плоскопарал-лельном резонаторе 14
2. Краткая постановка исследуемых внутрнрезонаторных задач 22
ГЛАВА II. Разностный метод дня расчета поля в резонаторе с активной средой 29
I. Математическая постановка задачи. Некоторые априорные оценки. 29
2. Построение разностной схемы. Итерационный метод решения 34
3. Ограниченность решения разностной задачи 41
4. Сходимость решения разностной задачи к решению дифференциальной 45
5. Численные расчеты 48
ГЛАВА III. STRONG Числешшй метод решения задачи о внутрире30нат0рн0й
генерации второй гаїмобиюї STRONG 56
I. Исходные уравнения. Ограниченность решения 56
2. Разностная схема. Существование и единственность решения разностной задачи 61
3. Оценки разностного решения. Сходимость разностного решения к достаточно гладкому дифференциаль ному 69
4. Численные расчеты задачи о ВРЕВГ 75
ГЛАВА ІУ. Численные методы для задач распространения оптического излучения в облачной срвде 85
І. Физическая постановка задачи 85
2. Стационарное распространение пучка в неподвижной среде. Координаты (?,Z) 88
3. Распространение импульсного излучения в движущей ся среде. Координаты (x,Z,l) 96
4. Распространение импульсного излучения в неподвиж ной среде. Координаты (7,Z?) 108
5. Численные расчеты для задачи о распространении импульсного излучения в движущейся среде 115
Заключение 128
Литература
- Краткая постановка исследуемых внутрнрезонаторных задач
- Построение разностной схемы. Итерационный метод решения
- Разностная схема. Существование и единственность решения разностной задачи
- Распространение импульсного излучения в движущей ся среде. Координаты (x,Z,l)
Введение к работе
Для успешного решения сложных задач, возникающих в различных областях науки и техники, необходимы глубокие и всесторонние теоретические исследования. Большинство процессов, изучаемых в физике, химии, биологии и т,п., описываются системами нелинейных дифференциальных уравнений. К настоящему времени разработано немало аналитических методов решения дифференциальных уравнений. Однако эти методы применимы, как правило, лишь для линейных задач, в то время как прикладные задачи, в основном, нелинейны. С другой стороны, экспериментальные исследования в большинстве случаев требуют немалых материальных затрат.
Поэтому для изучения сложных процессов и явлений широко применяется в настоящее время "вычислительный эксперимент" '*"'. Сущность его заключается в следующем. На основе математической модели, с помощью численного решения соответствующих уравнений, количественно определяется поведение исследуемого объекта в различных условиях. Полученные результаты сравниваются с имеющимися аналитическими решениями, данными оценок, наблюдений, экспериментов, что позволяет проверить исходную модель и, в случае необходимости, модифицировать ее. Используя проверенную модель, можно исследовать изучаемый процесс, вообще говоря, более подробно, чем при проведении натурного эксперимента.
Одной из важнейших составных частей "вычислительного эксперимента", наряду с выбором математической модели процесса, является разработка и обоснование численных методов решения возникающей системы дифференциальных уравнений.
Настоящая диссертация посвящена построению, обоснованию и применению разностных методов для решения задач прохождения мощного
оптического излучения через нелинейные среды внутри плоскопараллель-ного резонатора и через жидкокапельную среду.
Рассматриваемые задачи относятся к новой, быстро развивающейся области физики - нелинейной оптике. В ней исследуются процессы прохождения высокоинтенсивного лазерного излучения через различные среды, когерентные многочастотные взаимодействия световых волн, процессы преобразования частоты лазерного излучения и т.д.
диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения.
В первой главе приводится постановка исследуемых внутрирезона-торных задач и выводятся укороченные уравнения, описывающие взаимодействие оптического излучения с активной средой внутри резонатора.
Резонатор Фабри-Перо, представляющий собой систему двух плоских зеркал, параллельных друг другу с высокой точностью и расположенных на некотором расстоянии друг от друга, является одним из наиболее известных устройств в оптике. Со времени появления первых лазеров резонаторы Фабри-Перо приобрели огромное значение, так как генерация электромагнитных колебаний осуществляется путем помещения усиливающей среды в резонатор '2~5'.
Теорию резонаторов Фабри-Перо в применении к лазерам развили Фокс и Ли в 1961 г. '3'. Ими проводились численные расчеты распределения поля на зеркалах для пустых резонаторов различных типов: с прямоугольными плоскими зеркалами; с круглыми плоскими зеркалами; с конфокальными, сферическими и параболическими зеркалами. Аналогичные исследования проводились Бойдом и Горцоном для конфокального резонатора '4'. Авторами '4' было также получено аналитическое решение вблизи оси резонатора. Практически одновременно с '3»4' появилась работа Котика и Ньюстейна, содержащая аналитическое исследование взаимодействия волн в резонаторе Фабри-Перо '5'.
В '6' проведены численные расчеты поля неустойчивого резонатора с активной средой для газодинамического лазера. Работа ''' посвящена численному исследованию неустойчивых телескопических резонаторов с учетом дифракции. Авторами этой работы проведены расчеты для нескольких моделей активной среды. Для решения систем дифференциальных уравнений, описывающих рассматриваемые процессы, используются разностные схемы и метод последовательных приближений. Однако в указанных работах не проводится обоснование применяемых методов.
Исследование некоторых разностных методов, используемых для стационарных задач о взаимодействии волн во внутреннем пространстве резонатора, заполненного средой со слабой дисперсией и малым поглощением, выполнено в /""10/.
В первой главе настоящей днееертапии ставится задача о нестационарном аксиально-симметричном взаимодействии оптического излучения с активной средой внутри резонатора с учетом дифракции. С помощью метода медленно меняющихся амплитуд, широко используемого в нелинейной оптике (см., например, /H-W) % выводится система укороченных уравнений, описывающих нестационарное внутрирезонаторное распространение электромагнитной волны в усиливающей среде. Эта система состоит из пяти нелинейных связанных уравнений: двух нестационарных уравнений типа Шредингера для прямой и обратной волн и трех нестационарных уравнений для поляризации среды и инверсной населенности.
В этой главе формулируется также задача о внутрирезонаторной генерации второй оптической гащоники (ВЕГВГ).
Удвоение частоты лазерного излучения широко используется в различных физических исследованиях. Генерация второй гармоники (ГЕГ) света в кристалле впервые была зарегистрирована в 1961 г. '15' и с тех пор подробно изучалась многими авторами как теоретически, так
и экспериментально. Подробные обзоры полученных результатов можно найти, например, в /12,16-20,13,2/^
Процесс ГЕГ состоит в том, что при прохождении квазимонохроматической волны частоты ш через нелинейный кристалл, обладающий квадратичной нелинейностью, возбуждается волна на частоте 2 оО . Основной задачей при изучении процесса ГВГ является поиск условий, при которых достигается наибольший к.п.д. преобразования основного излучения во вторую гармонику. При размещении нелинейного кристалла за пределами лазерного резонатора удается получить к.п.д. около 20-30$ '2'. Оптимизация входных параметров удвоителя /2*»22/ с целью увеличения его эффективности требует усложнения устройства и высокого качества кристалла. Более эффективными системами являются устройства, в которых нелинейный кристалл помещается внутри оптического резонатора (см., например, /23,24/)# Такие системы численно исследовались в работах /^5»2/ без учета дифракции. Однако, при достаточно больших к.п.д. влияние дифракции весьма существенно. Кроме того в этих работах не изучались численные методы, используемые для решения рассматриваемых задач. В работе ' ' исследовалась задача о поперечно-неоднородной стационарной ГВГ в резонаторе с учетом диафрагменной селекции мод. Построен и обоснован разностный метод решения указанной задачи, приведены численные расчеты. Однако автором предполагалось, что длина нелинейного кристалла много меньше длины активной среды и влияние кристалла на основное излучение учитывалось через граничные условия, задаваемые на зеркале резонаторе
Во втором параграфе первой главы формулируется задача о нестационарной аксиально-симметричной ВРГВГ с учетом дифракции и различия групповых скоростей волн. Процесс в нелинейном кристалле здесь описывается системой уравнений шредингеровского типа для медленно
меняющихся амплитуд волн первой и второй гармоники.
Вторая глава настоящей диссертации посвящена построению и исследованию разностных схем для задачи о взаимодействии оптического излучения с активной средой в резонаторе, поставленной в главе I (координаты ( Z ,2 , Г )), Система уравнений, описывающих рассматриваемый процесс, состоит из трех нестационарных нелинейных обыкновенных уравнений (скоростные уравнения) и двух нестационарных уравнений щредингеровского типа.
Разностные схемы для линейных уравнений Шредингера строились и изучались в /27*"31/. в работах /32-43^ исследовались численные методы для различных задач нелинейной оптики, связанных с распространением оптического излучения вне резонатора, описываемым системами нелинейных уравнений Шредингера. Разностным схемам для задач распространения оптического излучения в кубичных средах посвящены работы /'З2""37/, в /«З8-40/ изучались разностные схемы для задач взаимодействия волн в средах с квадратичной нелинейностью. Разностные схемы для систем уравнений типа Щредингера с правыми частями общего вида, которые описывают широкий класс нелинейно-оптических задач, исследовались в /^І""43/.
Процесс нестационарного взаимодействия электромагнатных волн со средой в резонаторе, рассматриваемый во второй главе диссертации, значительно отличается от задач, исследуемых в указанных работах, так как на зеркалах резонатора задаются условия отражения, связывающие прямую и обратную волны, что существенно усложняет исходную систему уравнений. Для решения данной задачи получены априорные оценки, показывающие его ограниченность в L^. Далее для исходной системы уравнений строится симметричная двухслойная нелинейная разностная схема. Так как схема нелинейна, то для получения разностного решения необходимо использовать итерационные методы. В данной
главе строится итеравдонный процесс для нахождения решения на новом слое по t Показано, что решение разностной задачи существует и единственно, а итерации сходятся к этому решению в сеточной норме
С ,как геометрическая прогрессия со знаменателем оС ~ Z'пг
при условии Г t ҐІ пг . Получены оценки разностного решения,
аналогичные соответствующим оценкам дифференциальной задачи. Доказана сходимость приближенного решения к достаточно гладкому точному в сеточной норме L2 со скоростью U ( Г + п% усп~%^ ) Построенный вычислительный алгоритм реализован в виде программы на ЭВМ. С помощью этой программы проведены численные расчеты, результаты которых представлены в последнем параграфе второй главы.
В третьей главе диссертации строится и обосновывается численный метод решения задачи о нестационарной аксиальносимметричной ВЕЕВГ с учетом дифракции и различия групповых скоростей волн, поставленной в 2 первой главы (координаты С % , 2 , t )). Для осуществления ВЕГЕГ в резонатор помещаются активная среда и нелинейный кристалл, поэтому данный процесс описывается двумя сложными связанными нестационарными системами уравнений. Процесс в активной среде описывается тремя скоростными уравнениями и четырьмя уравнениями шредингеровского типа. Для кристалла имеем четыре нелинейных уравнения Щредингера. На зеркалах резонатора задаются условия связи. В первом параграфе третьей главы доказана ограниченность решения дифференциальной задачи в L 2 В следующем параграфе строится симметричная нелинейная разностная схема, реализуемая с помощью итерационного процесса, аналогичного процессу, используемому в главе П. Доказывается, что разностное решение существует и единственно, а итерации сходятся к этому решению в сеточной норме С , как геометрическая прогрессия со знаменателем
Z П &х .В третьем и четвертом параграфах данной главы
получены оценки разностного решения и доказывается его сходимость к достаточно гладкому решению точной задачи в сеточной норде L, g со скоростью 0 ( і + ftx }/& Т ) Результатам численных расчетов, проведенных на основании разностной схемы, построенной в главе Ш, посвящен последний параграф этой главы.
В четвертой главе настоящей диссертации строятся и обосновываются численные методы решения задач распространения оптического излучения в облачной среде.
При распространении мощного оптического излучения в жидкока-пельной среде его энергия, поглощается частицами среды - каплями, что вызывает их сильный нагрев и испарение. Если интенсивность излучения достаточно высока, то в среде может произойти образование областей, практически свободных от капель (см., например, /44-48/^ Такие области называют каналами просветления. С другой стороны, испарение капель и нагрев воздуха влекут за собой пространственно-неоднородные изменения диэлектрической проницаемости среды. Эти изменения приводят к развитию таких явлений как фокусировка (дефокусировка) излучения и изгибание траектории движения центра тяжести пучка, инициируют дополнительное рассеяние излучения /49~5*/f что влияет на геометрические размеры зоны просветления.
Каналы просветления используются для передачи слабых световых сигналов через облачную среду и применяются в навигации и т.п. /52'. Кроме этого, совокупность данных о распространении лазерного излучения в атмосфере находит применение в задаче определения радиационного члена в уравнениях прогноза погоды, при решении обратных задач спутниковой связи, в задаче освобождения данных астрономических наблюдений от влияния атмосферы и др. '53/.
Ввиду большой практической важности, задача о взаимодействии мощного оптического излучения с облачной средой интенсивно изучается
- II -
в последние годы (см., например, обзоры в /52"54/). эту задачу можно разделить на две части:
I. изучение кинетики дисперсной структуры облачной среды под действием оптического излучения и выяснение условий образования в ней зон просветления; П. анализ характеристик пучка излучения, прошедшего зону воздействия.
В настоящей диссертации строятся и исследуются разностные схемы для решения задачи П. Из-за большой сложности систем уравнений, описывающих рассматриваемый процесс, возникает необходимость разработки эффективных численных методов их решения.
Численное моделирование процесса распространения непрерывных пучков и импульсного излучения через облачную среду с учетом тепловых искажений выполнено в /55"58/, в /55>5'/ для решения исходных уравнений использовался метод конечных элементов. В работах /»/ для численного решения задачи применялся метод покомпонентного расщепления. Однако в указанных работах не проводилось обоснование используемых численных методов.
В первом параграфе четвертой главы ставится задача о взаимодействии излучения с жидкокапельной средой в приближении водности
/45 46 48/
/ч» * ', т.е. когда размеры отдельных капель меньше длины волны, воздействующей на среду. В этом приближении, в общем случае процесс описывается нелинейным уравнением Шредингера для медленно меняющейся амплитуды волны, нестационарным нелинейным уравнением теплопроводности и нелинейным параболическим уравнением для водности, которая характеризует массу капель в единице объема.
Разностные схемы для уравнения Шредингера, решаемого совместно со стационарным уравнением теплопроводности, в аксиальносимметрич-ном случае строились и обосновывались в работах /42»59/. в данной диссертации исследуются более сложные стационарные и нестационарные
системы уравнений, куда входит также уравнение для водности.
Второй параграф главы посвящен построению и исследованию разностной схемы для задачи о стационарном распространении излучения в неподвижной жидкокапельной среде (координаты (Г , ))# Такой процесс описывается нелинейным уравнением Щредингера, стационарными уравнением теплопроводности и уравнением для водности. Выводятся априорные оценки решения дифференциальной задачи. Строится нелинейная двухслойная разностная схема, для которой предложен итерационный метод решения. Доказывается существование и единственность разностного решения и сходимость итераций к этому решению в сеточной норме L 2 со скоростью геометрической прогрессии со знаменателем
X ~ ^2 ( in 77 ) ПРИ условии
Получены оценки разностного решения. Доказывается теорема о сходимости решения разностной задачи к достаточно гладкому решению дифференциальной задачи со скоростью (J ( пг } Ln ~$~~ ) в сеточной норме L при условии nz 4 ҐІ п7 ( сп ~г)
В третьем параграфе данной главы предлагается и исследуется численный метод решения задачи о взаимодействии импульсного излучения с движущейся облачной средой (координаты (X » %, * t )). В этом случае уравнения для температуры и водности нестационарны. Для получения разностного решения строится итерационный процесс. Доказывается теорема существования и единственности для разностной задачи. Показывается, что итерации сходятся к разностному решению в сеточной норде Li 2 как геометрическая прогрессия со знаменателем
X ~ fiz к~х при условии Sz * N fix , L ^ Г1 "х Доказывается, что решение разностной задачи сходится к достаточно гладкому точному решению со скоростью О ( я х. ) в сеточной норме L 2 при условии fi^ ч< /1 пх Z , 4 ҐІ П х
- ІЗ -
Следующий параграф четвертой главы посвящен построению и обос
нованию разностного метода решения задачи о распространении импульс
ного излучения в неподвижной жидкокапельной среде (координаты (?,%>).
В данном случае решение разностной задачи также ищется как предел
последовательности итераций, сходящейся в сеточной норме Lz как
геометрическая прогрессия со знаменателем d ~ ^z^x ПРИ условии
$1% ^ti&t ? ~^ М пх . Доказывается теорема о сходимости при-
ближенного решения к достаточно гладкому решению исходной задачи со
скоростью О ( n*z ywi -^- ) в сеточной норме Ls. при
условии л% ^ ІЇ «1 ) L ^ М -п^-
В работах 'Ъ\)-Ьо/ проводились численные расчеты, показавшие высокую эффективность схем, описанных в 2,4 четвертой главы.
В последнем параграфе данной главы приведены результаты расчетов по схеме 3.
В заключении формулируются основные результаты диссертации, опубликованные в работах '4~ь'' ,
Автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю доктору физико-математических наук Карамзину Ю.Н. за постоянное внимание к работе и многие полезные советы. Автор благодарен профессору Сухорукову А.П. за помощь в формулировке физических условий внутрирезонаторных задач. Автор благодарен кандидату физи-ко- математических наук Трофимову В.А. за полезные дискуссии.
- J.4 -
Краткая постановка исследуемых внутрнрезонаторных задач
При распространении квазимонохроматической волны частоты СО в среде с квадратичной нелинейностью происходит генерация излучения на частоте 2 СО . Этот процесс является одним из важнейших в нелинейной оптике и широко используется в различных физических исследованиях. Основной задачей при изучении явления генерации второй гармоники является поиск способов повышения к.п.д. преобразования. Наиболее эффективны системы, в которых нелинейный кристалл помещается внутри резонатора, так как в этом случае увеличивается длина когерентного взаимодействия
В работах /25»26/ численно исследуется процесе внутрирезона-торной генерации второй гармоники (ВЇТЕГ) без учета дифракции Однако при достаточно больших интенсивностях, когда происходит почти 100$ преобразование основного излучения в излучение на удвоенной частоте, дифракционные эффекты начинают играть существенную роль. В работе рассматривается задача о поперечно неоднородной стационарной ВИБГ с учетом дифракции. Однако там предполагается, что длина нелинейного кристалла намного меньше длины активной среды и влияние кристалла на основное излучение учитывается через условия отражения на зеркале резонатора. Это значительно упрощает исходную задачу. Для такой задачи в работе подробно изучаются вопросы существования и единственности решения, строится и обосновывается итерационный разностный метод решения.
В данной работе исследуется задача о нестационарной генерации второй оптической гармоники внутри шюскопараллелъного резонатора с учетом дифракции. Рассматривается плоскопараллельный резонатор, ось которого совпадает с координатной осью І (рис.3). Зеркала расположены в плоскостях 2 = О и 2 = L. Внутри резонатора размещены активная среда (2 Є [ О , { ] ) и нелинейный кристалл ( Z Є [ t L J )» обладающий квадратичной нелинейностью. В активной среде усиливается квазимонохроматическая волна с частотой C/J и попадает на вход нелинейного кристалла. Нелинейность кристалла приводит к возбуждению в нем излучения на частоте 2 uJ . В результате в резонаторе происходит взаимодействие четырех волн: основной волны, волны второй гармоники и соответствующих отраженных волн ( Е = GL + Sz + 8 +z ) Предполагается, что оба зеркала обеспечивают коэффициент отражения основного излучения,
близкий к единице, а выходное зеркало П обладает определенным пропусканием для излучения второй гармоники.
Все волны распространяются вдоль оси Ї аксиально-симметрично. Считаем, что групповые скорости волн первой и второй гармоники в кристалле равны.
Взаимодействие основной волны и соответствующей ей отраженной волны с активной средой описывается системой укороченных уравнений (І.І.6). Волны второй гармоники в среде не усиливаются. Здесь V zА - величина обратная групповой скорости волны второй гармоники в среде, ZA волновое число, С ( ,) медленно меняющиеся амплитуды прямой и обратной волн с частотой la).
Укороченные уравнения, описывающие взаимодействие волн первой и второй гармоник в нелинейном кристалле, можно легко получить из соответствующего нелинейного волнового уравнения (см., например, - ) с помощью метода медленно меняющихся амплитуд:
Рассмотрим плоскопараллельный резонатор, заполненный активной средой. Процесс взаимодействия со средой электромагнитной волны, распространяющейся вдоль оси резонатора, описывается системой укороченных уравнений для медленно меняющихся амплитуд прямой и отраженной волн Е t $ Е » поляризации среды Р , р и инверсной населенности j/ (I.I.6) совместно с начальными и граничными условиями (1.2.1)-(1.2.4). Проведем нормировку размерных величин, входящих в (I.I.6), (1.2.1)-(1.2.4): ї = z/tK a3-; i = z/a; t = t/7; U E /E.; trt =E /E.; P = P+/E0; = P /E0;y =s//Va. Здесь d - начальная ширина пучка, E0 - величина напряженности поля, пропорциональная средней величине начального возмущения EiQ ( 1 , ). В дальнейшем черту над обозначениями новых переменных будем опускать, Система (I.I.6) примет вид:
Согласно /25»26/ полагаем, что Уас- 0,22; L = 8; / 1± = 0.0004; I Iа. — 140. Используем следующие значения длины резонатора L и ширины зеркала I О. j і L —ЧЬ см, Ctj — 4 см. Тогда 2) — 0.00525. Считаем, что безразмерная длина активной среды С — /Z —0.044, ее безразмерная ширина #д : = 0.2 (рис. 4). Очевидно, что L — ZJ /L =1, Q.J = Uz / &z = I-Ширину зеркала П полагаем равной ширине зеркала I.
В свободном пространстве волны не усиливаются, поэтому при t %н 4 L без учета дифракции справедливы первые два уравнения системы (2.5.1) с нулевой правой частью при замене Уйс на Vnp распределение cT/L = 0,4 и vOac на UhD == 0. Начальное Пр - 50 излучения в расчетах имеет вид: л. -/ - Для сглаживания резішх краев зеркал и активной среды коэффициенты отражения % , Р задаются так, что г і, н о.?г s а коэффициент oL при %/ 0.15 умножается на На рис.5 представлена зависимость квадрата радиуса прямой волны »._ мп __ wwe ,( ) є і од7, о при "прямом проходе" резонатора для И v I - J у /V \ / П\\ 7 -г-г N) тт-птт иатг«атгт.ит.тлг / JL — /1 \ Г) , ._ / Р Л ) Л причем = V c при начальных іИ(%„ ={?)= 2 (Ц сі d jTH — V« при начальных tн(%н )=(Zm+l) Va c +2т({ 1} у кр1ЇП-07{г,.і когда Н(І-И) і , а также квадрата радиуса обратной волны при "обратном проходе" резонатора, т.е. для %н (О [ 1,0 J , /v _ ГДЄ TiV = У ПРИ НаЧаЛЬШХ =- = /77-/;// Vac t + (l l)V ] , ГП =1,Z, ..., когда 4 ZH(tH) І , - = Уд,с при начальных {,н \%н = t}= ( Z та-і) У + + Zrn( l-l)V , /7? = 1,2, .... когда ї їніїн) О - 51 "Прямые" стрелки ( "—» ") соответствуют d и , а "обратные" ("« и) - . Аналогично на рис.6 представлен график мощности излучения прямой волны _ о при "прямом проходе" резонатора, а также мощности излучения обратной волны й7 2 - Z при Ьбратном проходе". Зависимость инверсной населенности J\/H ( н (ІНУ) при "прямых" и "обратных" проходах резонатора иллюстрирована на рис.7. На рис.8 представлено распределение интенсивности излучения прямой волны ІіС?н)= l i ( н V в точках ГДЄ = ал при начальных і н (%н 0) - ZM(С Уси +(t-)Vnf ) , когда при начальных н (Z„ =) =
Рассмотрим процесс генерации второй гармоники внутри плоско-параллельного резонатора, схема которого представлена в 2 главы I. Этот процесс описывается системами уравнений (I.I.6) и (1.2.5), (1.2.6), которые в безразмерных переменных переписываются следующим образом:
При распространении мощного оптического излучения в жидкока-пельной среде происходит взаимодействие волны с воздухом и облачными частицами - каплями. Взаимодействие излучения с воздухом проявляется в поглощении электромагнитной энергии молекулами атмосферных газов с последующей трансформацией в тепловую энергию среды. Капли также поглощают электромагнитную энергию, что вызывает их сильный нагрев и испарение. Вследствие этих изменений происходит деформация диэлектрической проницаемости облачной среды, что эквивалентно изменению условий распространения волны. Таким образом, прохождение интенсивного лазерного излучения через жидкокапельную среду носит характер самовоздействия.
Построение разностной схемы. Итерационный метод решения
Предположим теперь, что IIMa (2ТІ ZZ)//C Ъ-і. В этом случае справедливы оценки (4.3.13)-(4.3.14) при 2- іїр=Яс.
Так как имеет место неравенство (4.3.18) при Z=0, = ZZ , то при условии (4.3.15) получаем противоречие. Следовательно, llUfL(2&z, 2-?)11с / и справедливы неравенства (4.3.I6)-(4.3rI9) при = Я% , і = ZZ Рассуждая таким образом, получим, что при 6 [О, Lz-kz], t-Z /IUi(2+fifri)llc і и выполняется каждое из неравенств (4.3.18)-(4.3.19).
Предположим, чтю для некоторого t 0 // С а (? + %, /) f/c / при = Тогда с помощью оценок (4.3.16) (4.3.17) легко показать справедливость (4.3.18)-(4.3.19) при всех Z[0,LZ AZ], te[Zj] . Пусть Ііи (к%, +Z)l/c і в этом случае верны оценки (4.3.13)-(4.3.14), a JIUi (О, i + Z)llc=0. Поэтому при условии (4.3.15) получаем противоречие. Следовательно, и можно воспользоваться неравенствами (4.3.16)-(4.3.17), откуда вы текают оценки (4.3.18)-(4.3.19) при Z = Ot t = {+Z Предполагая, что // иі(2п% ,{+Z)H Z і t также получаем противоречие при ус ловии (4.3.15), так как I/U к (4g, +Г)//4М(А + + Zz) Поэтому и в этом случае справедливы неравенства (4.3.16)-(4,3.17), а следовательно и (4.3.18)-(4.3.19). С помощью таких же рассуждений получаем, что при всех % Є [О, Lz kz] i+Z выполняются неравенства (4.3.18)-(4.3.19). - 108 В результате доказано следующее утверждение. Теорема 4.4. Решение разностной задачи (4.3.6)-(4.3.7) сходится к достаточно гладкому решению исходной задачи (4.3.3)-(4.3.4) со скоростью 0 С к Z ) в сеточной норме Lz при условии (4.3.15 4. Распространение импульсного излучения в неподвижной среде. Координаты ( у % j "t ). 4.1. Постановка дифференциальной задачи. Ограниченность решения. Процесс взаимодействия оптического излучения с облачной средой в данном случае описывается системой уравнений (4.1.1)» где dt тДгТо fr WJUJ (4#4eI) d№_J_ г dt twLtW - fw К/0 / Начальные и граничные условия имеют следующий вид: Z(?,2,o)=u,(z,z,0)=q %(г,г,о)=і (4.4.2) u.(R,Z,t)=jf(o,z,t)=T.(fl,ztt) = r«iZ,t) = ?r(0,i,t)=0, W.(R,Z,t) = i -109 Нетрудно проверить (по аналогии с 2 и 3 данной главы), что для решения задачи (4.4.1)-(4.4.2) Таким образом, показано, что при условии (4.4.12) итерации равномерно ограничены в норме L z . Рассмотрев разность двух последовательных итераций, из третьего и второго уравнений (4.4.6) получим с помощью формул прогонки следующие оценки: Л IIW-wilc M1 біт; вії-и и ІІТ-ТКс Пг(ЄпТг ҐіШ-и/І А А . і . а л Г (4.4.13) Следовательно, справедливо неравенство: II й-и II 4Ms (ий-йн +//w-WIU +/if-f//c+ + к їІШ-ин) М г fifliu-ull, Mt tf const 0 и не зависят от шагов сетки. Отсюда делаем вывод, что итерации сходятся при условиях (4.4.7) и (4.4.12).
Теорема 4.5. При условиях (4.4.7), (4.4.12) существует единственное решение разностной задачи (4.Ї.)-(4.4.5), а итерационный процесс (4.4.6) сходится к этому решению со скоростью геометрической прогрессии со знаменателем x/L п /гг -из 4.3. Ограниченность разностного решения. Сходимость. Нетрудно получить разностные аналоги оценок (4.4.3): О , W ч і (4.4.14) iiu(z,t)/i nu(0 O/l Для доказательства сходимости разностного решения к достаточно гладкому дифференциальному введем сеточные функции (Лц=С -и0 Tz. = T o7V l = Wf-Wo и подставим выражения для U %Т mW в уравнения системы (4.4.4):
Далее доказательство проводится с использованием оценок (4.4.16) и (4.4.18) по той же схеме, что и доказательство теоремы і 4.4. Теорема формулируется следующим образом. Теорема 4.6. Решение разностной задачи (4.4.4)-(4.4.5) сходится к достаточно гладкому решению исходной задачи (4.4.1)-(4.4.4) в сеточной норме L z со скоростью О (nz yon -j- ) при условии (4.4.19) где М L , Мz - положительные константы, не зависящие от шагов сетки.
Численные расчеты для задачи о распространении импульсного излучения в движущейся среде В работах /6U,b ;,b3/ проведены расчеты по разностным схемам, обоснованным в 2,4 настоящей главы для случаев стационарного и нестационарного распространения излучения в неподвижной среде. Представляет интерес исследование взаимодействия с движущейся средой "щелевых" пучков, когда один поперечный размер излучается существенно больше другого. В этом случае процесс описывается системой уравнений (4.3.1) (см. 3 настоящей главы). В данном параграфе представлены результаты численных экспершлентов по просветлению движущейся жидкокапельной среды "щелевыми" пучками. Для физической интепретации процесса удобнее использовать нормировку, при которой система уравнений (4.3.1) имеет следующий вид:
Разностная схема. Существование и единственность решения разностной задачи
Проведенные численные эксперименты показали, что характер зависимости указанных величин несущественно зависит от значений параметров. В качестве примера здесь приводятся результаты расчетов при jbT = o.?s; У=ю; Lg o.z; Z= o;R(K=Z; Си Tt ss 2.1. На рис.15 и 21 представлены зависимости с (%) для различных начальных распределений U (X , t ). Видно, что поглощение энергии в процессе распространения, за исключением начального этапа, происходит практически по линейному закону и слабо зависит от профиля излучения. На рис.16 представлен профиль водности V/ (Xі) в сечении Z = 0,2 для моментов времени t — О. z8 О.бЗ, 091, Ї.63, 1.68, 2.03 в случае гауссова (рис.16а) и гипергауссова при п? — 2 (рис.166) начальных распределений. Каждому моменту времени на рисунке соответствует определенный тип кривой; с ростом t зона просветления становится шире, а максимум достигаемой прозрачности больше. Видно, что при малых t зона просветления для гипергауссова излучения шире, а максимум достигаемой прозрачности меньше, чем для гауссова. По мере распространения импульса различия в характере просветления практически исчезают. Отметим, что геометрия просветления при № 2 несущественно отличается от случая т =2.
На рис.17 приведены зависимости пиковой интенсивности 1 т СI ) (рис. 17а), мощности г (О» принимаемой в заданную апертуру (рис. 176) и положения центра тяжести X (І) (рис.І7в) в сечении - 119 % = 0.2 для гауссова и гипергауссовых ( № = 2,3) начальных распределений. Как видно (рис.17а), с ростом tn уменьшается Iт . Интересно отметить, что с некоторого момента времени пиковая интенсивность изменяется весьма незначительно. Данное обстоятельство связано с тем, что просветление облачной среды происходит в основном за счет энергии передней части импульса, а его "хвостовая" часть распространяется в просветленной области. Это подтверждается также графиком зависимости мощности излучения Р (г ), принимаемой в заданную апертуру (рис.176).
Отметим также, что из-за более сильного поглощения энергии передней части импульса центр тяжести гипергауссова оптического излучения смещается несколько сильнее центра тяжести гауссова излучения (рис.17в).
На рис.18 представлены зависимости радиуса излучения для гауссова и гипергауссовых (/г? =2,3) профилей. Видно, что на начальной стадии распространения импульса происходит некоторое уменьшений (X (t ). Затем ширина пучка увеличивается и выходит на стационарное значение.
Взаимодействие трубчатого и гипертрубчатого излучения е облачной средой существенно отличается от взаимодействия с такой средой излучения с гауссовым и гипергауссовым начальными профилями.
Во-первых, канал повышенной оптической прозрачности для трубчатого и гипертрубчатых начальных распределений шире, чем для гауссова и гипергауссовых излучений.
Во-вторых, распределение водности W в этом канале в течение некоторого времени имеет провал с повышенным содержанием капель (рис, 19). Ширина области провала #п и время ее существования п зависят от параметра tn : при увеличении /77 й п 9 п растут.
В-третьих, в отличие от случая гауссова и гипергауссовых рас - 120 пределений, для трубчатого и гипертрубчатого излучения в некоторый момент времени вслед за пологим участком графиков Р (і) ж _/ , (t ) происходит резкий рост этих величин (рис.20а,б).В этот момент времени положение максимума водности в области провала и координата второго максимума профиля интенсивности излучения несущественно обличаются друг от друга (последняя координата практически совпадает с координатой второго минимума профиля водности в момент времени t =0.28, см.рис. 19). Таким образом, второй максимум профиля интенсивности будет находиться в оптически более плотной среде и испытывать отражение от границы с оптически менее плотной средой. В результате резко возрастает мощность излучения Р (О(рис.20а), так что через некоторое время происходит сильное увеличение прозрачности на месте бывшего провала (рис.19).Этот вывод подтвержается также анализом зависимости положения центра тяжести пучка X (І ) (рис.20в).
Такті образом, можно заключить, что при использовании излучения с гипергауссовыми, трубчатыми и гипертрубчатыми начальными распределениями достигается большая оптическая прозрачность, чем в случае гауссова начального распределения. Кроме этого, в конце импульса пиковая интенсивность гипергауссова, трубчатого и гипертрубчатого излучения может значительно превышать соответствующее значение пиковой интенсивности гауссова излучения. Этот вывод согласуется с выводами, полученными в работе /63/.
Распространение импульсного излучения в движущей ся среде. Координаты (x,Z,l)
Зависимости пиковой интенсивности (л) , мощности, принимаемой в апертуру =2 (J") и положения центра тяжести ( ё ) от времени в сечении Ъ-о.2. для гауссова (точечные кривые) и гипергауссовых при m = z\3 ( пунктирные и штрих-пунктирные кривые; начальных распределений. Рис.18. Зависимость радиуса пучка от времени в случае гауссова ( кривая с номером I) и гипергауссовых при т = 2 j 3 ( кривые с номерами 2 и 3) начальных распределений. Рис. 19. Профиль водности в сечении Z-O.Z в моменты времени t- O.Z2; 0.63)098; і.ЗЗ; і.68; 2. оз для трубчатого (а) и гипертрубчатого при пг-= 2 (&) начальных распределений. Взаимодействие трубчатого и гипертрубчатого излучения е облачной средой существенно отличается от взаимодействия с такой средой излучения с гауссовым и гипергауссовым начальными профилями.
Во-первых, канал повышенной оптической прозрачности для трубчатого и гипертрубчатых начальных распределений шире, чем для гауссова и гипергауссовых излучений.
Во-вторых, распределение водности W в этом канале в течение некоторого времени имеет провал с повышенным содержанием капель (рис, 19). Ширина области провала #п и время ее существования п зависят от параметра tn : при увеличении /77 й п 9 п растут.
В-третьих, в отличие от случая гауссова и гипергауссовых рас пределений, для трубчатого и гипертрубчатого излучения в некоторый момент времени вслед за пологим участком графиков Р (і) ж _/ , (t ) происходит резкий рост этих величин (рис.20а,б).В этот момент времени положение максимума водности в области провала и координата второго максимума профиля интенсивности излучения несущественно обличаются друг от друга (последняя координата практически совпадает с координатой второго минимума профиля водности в момент времени t =0.28, см.рис. 19). Таким образом, второй максимум профиля интенсивности будет находиться в оптически более плотной среде и испытывать отражение от границы с оптически менее плотной средой. В результате резко возрастает мощность излучения Р (О(рис.20а), так что через некоторое время происходит сильное увеличение прозрачности на месте бывшего провала (рис.19).Этот вывод подтвержается также анализом зависимости положения центра тяжести пучка X (І )
Такті образом, можно заключить, что при использовании излучения с гипергауссовыми, трубчатыми и гипертрубчатыми начальными распределениями достигается большая оптическая прозрачность, чем в случае гауссова начального распределения. Кроме этого, в конце импульса пиковая интенсивность гипергауссова, трубчатого и гипертрубчатого излучения может значительно превышать соответствующее значение пиковой интенсивности гауссова излучения. Этот вывод согласуется с выводами, полученными в работе /63/.
Зависимости мощности, принимаемой в апертуру 2 (л) .пиковой ин І тенсивности (J) и положения центра тяжести (&) , от времени в сечении = -O.Z для трубчатого (точечные кривые; и гипертрубчатых при m Z;3 ( пунктирные и штрих-пунктирные кривые) начальных распределений. - 127 Рис.21, Зависимость энергии оптического излучения от Z в случае трубчатого ( точечная кривая.) и гипертрубчатых при т- z;S (пунктирная и штрих-пунктирная кривые ; начальных распределений .
Основные результаты диссертации могут быть сформулированы следующим образом.
1. Построена нелинейная симметричная консервативная разностная схема для решения системы уравнений, описывающих процесс нестационарного аксиальносимметричного взаимодействия оптического излучения с активной средой внутри резонатора с учетом дифракции. Схема реализована с помощью итераций, сходящихся к решению разностной задачи. Доказана теорема о сходимости разностного решения к достаточно гладкому точному.
2. Для задачи о внутрирезонаторной генерации второй оптической гармоники с учетом дифракции и различия групповых скоростей волн построена нелинейная симметричная консервативная разностная схема. Предложен и обоснован итерационный метод решения разностной задачи. Доказана сходимость разностного решения к дифференциальному.
3. Разработаны и обоснованы численные методы решения задач о распространении оптического излучения в облачной среде с учетом теплового самовоздействия в приближении водности. Рассмотрено стационарное распространение излучения в неподвижной среде и взаимодействие импульсов с неподвижной и движущейся средами.
4. Разработанные вычислительные алгоритмы реализованы в виде программ для ЭВМ. Проведены численные расчеты для конкретных задач.
