Содержание к диссертации
ВВЕДЕНИЕ 2
8.1. Содержание работы 2
8.2. Обозначения и сокращения 6
8.3. Происхождение многопараметрических задач 12
8.3.1. Задачи классического анализа 12
8.3.2. Полиномиальная проблема собственных значений 15
8.3.3. Обратные задачи на собственные значения 16
8.3.4. Многомерные модели управляемых процессов 17
8.3.5. Параметризированные задачи 18
В.3.7. Параметрические задачи алгебры 20
8.4. Разновидности постановки МПС-задач 20
8.4.1. Несвязанные МПС-задачи 20
8.4.2. Связанные МПС-задачи 21
8.4.3. Сведение связанных МПС-задач к несвязанной 22
8.4.4. Классификация МПС-задач 23
ЧАСТЬ 1. Свойства многопараметрических полино миальных и рациональных матриц 24
ГЛАВА 1. Основные определения 24
1.1. Полиномы и рациональные функции от многих переменных. Системы нелинейных алгебраических и рациональных уравнений 24
1.1.1. Мультипараметры, формы представления 24
1.1.2. Мультииндексы, полурешетки мультииндексов 26
1.1.3. Алгебраические полиномы 28
1.1.4. Системы нелинейных алгебраических уравнений 36
1.1.5. Рациональные функции 40
1.1.6. Системы рациональных уравнений 42
1.2. Векторные пространства над полем раїїиональньїх функций и модули над кольцом полиномов 45
1.2.1. Рациональные и полиномиальные векторы 45
1.2.2. Базис пространства, полиномиальный базис 50
1.2.3. Пространства со скалярным произведением 51
1.3. Многопараметрические полиномиальные и рациональные матрицы 53
1.3.1. Многопараметрические матрицы: основные определения 53
1.3.2. Многопараметрические полиномиальные матрицы: формы представления, основные определения 54
1.3.3. Многопараметрические рациональные матрицы: формы представления, основные определения 62
1.3.4. Линейные пространства над полем рациональных функций и линейные операторы 64
1.4. Результантные матрицы 69
1.4.1. Результантные матрицы, отвечающие однопараметрическим полиномиальным матрицам 69
1.4.2. Результантные матрицы, отвечающие многопараметрическим полиномиальным матрицам 72
1.5. Прямая сумма и тензорное произведение линейных пространств; действующие в них линейные операторы 77
1.5.1. Прямая сумма линейных пространств и линейные операторы 77
1.5.2. Мультилинейные функции 78
1.5.3. Тензорное произведение линейных пространств 79
1.5.4. Тензорные произведения и линейные операторы 81
1.6. Сведение комплексной формулировки к вещественной 81
1.6.1. Сведение комплексных мультипараметров к вещественным 81
1.6.2. Сведение операций с комплексными объектами к операциям с вещественными объектами 82
ГЛАВА 2. Несвязанная МПС-задача для полиномиальных матриц... 83
2.1. Спектральные характеристики 83
2.1.1. Правое нуль-пространство и правые полиномиальные решения 83
2.1.2. Конечный спектр и правые собственные векторы 84
2.1.3. Регулярная и сингулярная части конечного спектра 86
2.1.4. Правые жордановы полурешетки векторов и порождающие корневые векторы 87
2.1.5. Правые порождающие собственные векторы 91
2.1.6. Левые векторные характеристики 93
2.2. Спектральные характеристики на бесконечности 96
2.2.1. Нуль-пространства, полный спектр полиномиальной матрицы 96
2.2.2. Регулярная и сингулярная части полного спектра 98
2.2.3. Жордановы полурешетки векторов и порождающие векторы 99
2.3. МПС-задача с одним спектральным параметром 102
2.3.1. Постановка задачи, определение спектральных характеристик 102
2.3.2. Кратные точки спектра, жордановы цепочки векторов и порождающие векторы 105
2.3.3. Спектральные характеристики на бесконечности 108
2.4. Свойства спектральных характеристик 108
2.4.1. Частные виды регулярных полиномиальных матриц и полиномиальных базисов, их спектральные свойства 108
2.4.2. Факторизации и преобразования полиномиальной матрицы, свойства спектров 112
2.4.3. Свойства сингулярного спектра 117
2.4.4. Свойства регулярного спектра и порождающих собственных векторов 122
2.4.5. Максимальное число линейно независимых собственных векторов 131
2.4.6. Понижающие подпространства 132
2.4.7. Блочные спектральные характеристики 136
2.5. Свойства результантных матриц 139
2.5.1. Однопараметрический случай 139
2.5.2. Многопараметрический случай 140
2.6. Линейные МПС-задачи 141
2.6.1. Пучок полиномиальных матриц 141
2.6.2. Многопараметрический пучок постоянных матриц 142
2.6.3. Сопровождающие пучки многопараметрической полиномиальной матрицы 143
2.6.4. Блочные спектральные характеристики 151
2.7. Определенные несвязанные МПС-задачи и сведение комплексных задач к вещественным 152
2.7.1. Постановка определенной несвязанной задачи 152
2.7.2. Регулярная определенная несвязанная задача 153
2.7.3. Сингулярная определенная несвязанная задача 155
2.7.4. Сведение комплексной задачи к вещественной 156
ГЛАВА 3. Многопараметрические рациональные матрицы: характеристики и их свойства 157
3.1. Характеристики многопараметрической рациональной матрицы 157
3.1.1. Нуль-пространства и полиномиальные решения 157
3.1.2. Конечные особые точки 158
3.1.3. Связь с однопараметрическим случаем 160
3.1.4. Особые точки на бесконечности 161
3.1.5. Особые точки в случае одного спектрального параметра 163
3.1.6. Особые точки полиномиальной матрицы 165
3.2. Полиномиальная реализация рациональной матрицы, системная матрица 165
3.2.1. Полиномиальная реализация рациональной матрицы 165
3.2.2. Системная матрица, ее свойства 166
3.2.3. Случай проективного пространства 168
3.2.4. Случай одного спектрального параметра 170
3.3. Факторизации рациональной матрицы 170
3.3.1. Виды факторизации 170
3.3.2. Свойства факторизации 172
3.3.3. Случай проективного пространства 174
3.3.4. Случай одного спектрального параметра 175
ГЛАВА 4. Связанные МПС-задачи для полиномиальных матриц 177
4.1 Слабо связанная МПС-задача 177
4.1.1. Основные спектральные характеристики 177
4.1.2. Жордановы полурешетки векторов, порождающие векторы 181
4.1.3. Случай проективного пространства 183
4.1.4. Случай одного спектрального параметра 184
4.1.5. Понижающие подпространства 185
4.1.6. Блочные характеристики 187
4.1.7. Линейные задачи 187
4.2. Сведение слабо связанной МПС-задачи к совокупности обычных задач на собственные значения 188
4.2.1. Матричнозначные определители в тензорном произведении линейных пространств 188
4.2.2. Сведение к совокупности обычных задач на собственные значения 191
4.2.3. Определенная слабо связанная МПС-задача 192
4.3. Строго и вполне связанные МПС-задачи 192
4.3.1. Постановка строго и вполне связанных МПС-задач 192
4.3.2. Сведение строго и вполне связанных МПС-задач к слабо связанной МПС-задаче 194
ЧАСТЬ 2. Методы и алгоритмы решения много параметрических задач алгебры 195
ГЛАВА 5. Методы построения ранговых факторизации полиномиальных матриц 196
5.1. Методы построения ранговых факторизации постоянной матрицы 196
5.1.1. Виды ранговых факторизации постоянной матрицы, методы их построения 196
5.1.2. Метод AW-0 разложения постоянной матрицы, его свойства 198
5.1.3. Построение VV-0 и UTV-0 факторизации постоянной матрицы 199
5.1.4. Решение некоторых задач линейной алгебры 199
5.2. Методы построения ранговых факторизации однопараметрической полиномиальной матрицы 200
5.2.1. Ранговые факторизации полиномиальной матрицы и их свойства 201
5.2.2. Метод AW-1 разложения полиномиалыюй матрицы и его свойства 201
5.2.3. Построение VV-1 и UTV-1 факторизации полиномиалыюй матрицы 204
5.2.4. Решение некоторых задач линейной алгебры 205
5.3. Методы построения ранговых факторизации многопараметрической полиномиальной матрицы 206
5.3.1. Элементарные унимодулярные матрицы и их свойства 207
5.3.2. Виды ранговых факторизации ^-параметрической полиномиальной матрицы 210
5.3.3. Метод AW-
5.3.4. Свойства метода AW-g разложения, метод неполного разложения 215
5.3.5. AW-q метод: ОФ-q, AB-q и VV-
5.4. Результантный подход к вычислению базисов образа и нуль- пространства однопараметрической полиномиальной матрицы .224
5.4.1. Построение базиса линейной оболочки однопараметрических полиномиальных векторов 224
5.4.2. Построение минимального базиса нуль-пространства однопараметрической полиномиальной матрицы 226
5.5. Результантный подход к вычислению базисов образа и нуль- пространства многопараметрической полиномиальной матрицы 228
5.5.1. Построение базиса линейной оболочки многопараметрических полиномиальных векторов 229
5.5.2. Построение минимального базиса нуль-пространства многопараметрической полиномиальной матрицы 232
ГЛАВА 6. Прямые методы решения спектральных задач для полиномиальных и рациональных матриц и других параметрических задач алгебры 236
6.1. Решение однопараметрических задач методами ранговой факторизации 236
6.1.1. Задачи для скалярных полиномов 236
6.1.2. Задачи для матричных полиномов 238
6.1.3. Решение систем линейных и нелинейных алгебраических уравнений 240
6.1.4. Решение спектральных задач для полиномиальных матриц 243
6.1.5. Решение задач для рациональных матриц 250
6.2. Решение многопараметрических задач методами ранговой факторизации 255
6.2.1. Задачи для скалярных полиномов 255
6.2.2. Задачи для матричных полиномов 258
6.2.3. Построение факторизации рациональной матрицы 262
6.2.4. Решение систем линейных и нелинейных алгебраических уравнений 264
6.2.5. Решение спектральных задач для полиномиальных матриц 266
6.2.6. Решение задач для рациональных матриц 276
6.3. Решение параметрических задач на базе результантного подхода 277
6.3.1. Задачи для скалярных полиномов 278
6.3.2. Построение базисов суммы, разности и пересечения подпространств 280
6.3.3. Построение MFD рациональной матрицы 281
6.3.4. Построение полиномиальных базисов образа и нуль-пространства рациональной матрицы 283
6.3.5. Решение линейных систем, матричных уравнений; обращение и факторизация матриц 284
6.3.6. Задачи для матричных полиномов 293
6.3.7. Вычисление порождающих собственных векторов 294
6.3.8. Вычисление жордановых цепочек и полурешеток векторов полиномиальной матрицы 296
ГЛАВА 7. Методы решения несвязанных МПС-задач для полиномиальных матриц 305
7.1. Методы решения неоднородной несвязанной МПС-задачи для пучка постоянных матриц 305
7.1.1. Сведение к нелинейным системам; функционалы невязок 306
7.1.2. Методы Ньютона 309
7.1.3. Методы Чебышева и Хэлли 314
7.1.4. Метод касательных гипербол 317
7.1.5. Метод обратных итераций 320
7.1.6. Градиентные методы 326
7.2. Методы решения однородной несвязанной МПС-задачи для пучка постоянных матриц 332
7.2.1. Сведение к нелинейным системам; функционалы невязок 332
7.2.2. Методы Ньютона 336
7.2.3. Методы Чебышева и Хэлли 340
7.2.4. Метод касательных гипербол 344
7.2.5. Метод обратных итераций 346
7.3. Методы решения нелинейных и комплексных задач 353
7.3.1. Обобщение методов параграфа 7.1 353
7.3.2. Обобщение методов параграфа 7.2 355
7.3.3. Решение комплексных задач 356
ГЛАВА 8. Методы решения слабо связанных МПС-задач для полиномиальных матриц 357
8.1. Методы решения неоднородной слабо связанной МПС-задачи для пучков постоянных матриц 357
8.1.1. Сведение к нелинейным системам; функционалы невязок. Сведение к несвязанной задаче 359
8.1.2. Метод Ньютона 362
8.1.3. Методы Чебышева и Хэлли 366
8.1.4. Метод касательных гипербол 369
8.1.5. Метод обратных итераций 371
8.1.6. Градиентные методы 376
8.2. Методы решения однородной слабо связанной МПС-задачи для пучков постоянных матриц 380
8.2.1. Сведение к нелинейным системам; функционалы невязок 381
8.2.2. Метод Ньютона 383
8.2.3. Методы Чебышева и Хэлли 388
8.2.4. Метод касательных гипербол 391
8.2.5. Метод обратных итераций 393
8.3. Методы решения нелинейных и комплексных слабо связанных МПС-задач 398
8.3.1. Обобщение методов параграфа 8.1 398
8.3.2. Обобщение методов параграфа 8.2 400
8.3.3. Сведение к нелинейной системе на основе нормализованного разложения матрицы 402
8.3.4. Метод Ньютона 403
8.3.5. Метод наискорейшего спуска 406
8.3.6. Решение комплексных задач 408
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 409
3.1. Основные теоретические результаты 409
3.1.1. Результантные матрицы многопараметрической полиномиальной матрицы и их свойства 409
3.1.2. Спектральные характеристики многопараметрических полиномиальных матриц и их свойства 409
3.1.3. Спектральные характеристики многопараметрических рациональных матриц и их свойства 410
3.1.4. Спектральные характеристики связанных многопараметрических полиномиальных матриц и их свойства 411
3.2. Основные практические результаты 411
3.2.1. Методы ранговой факторизации многопараметрических полиномиальных матриц 411
3.2.2. Результантный подход к решению многопараметрических задач 411
3.2.3. Прямые методы решения многопараметрических задач алгебры 412
3.2.4. Итерационные методы решения несвязанных определенных задач 412
3.2.5. Итерационные методы решения связанных задач 413
ПРИЛОЖЕНИЕ 414
П.1. Иллюстрация характеристик и свойств 414
П. 1.1. Иллюстрация понятий и определений Главы 1 414
П.1.2. Иллюстрация характеристик Главы 2 417
П. 1.3, Иллюстрация характеристик Главы 3 430
П.1.4. Иллюстрация характеристик Главы 4 432
П.2. Иллюстрация прямых методов (Главы 5,6) 433
П.2.1. Факторизация полиномиальных матриц 433
П.2.2. Построение порождающего собственного вектора методами неопределенных коэффициентов 443
П.2.3. Результантный подход к решению параметрических задач 444
П.З. Иллюстрация итерационных методов (Глава 8) 451
11.3.1. Решение неоднородной задачи 451
П.3.2. Решение однородной задачи 445
ЛИТЕРАТУРА 456
Введение к работе
Работа посвящена исследованию спектральных характеристик многопараметрических полиномиальных и рациональных матриц и разработке методов решения многопараметрических задач алгебры, в том числе, спектральных задач. Основным объектом исследования являются сингулярные матрицы (т.е. прямоугольные матрицы или квадратные матрицы, определитель которых тождественно равен нулю). Рассматриваются также задачи алгебры, приводящие к многопараметрическим задачам, и задачи с нелинейностью общего вида.
Работа состоит из введения, двух частей, содержащих восемь глав, которые имеют сквозную нумерацию, заюіючения, приложения и списка литературы. В конце работы приводится подробное оглавление.
Введение состоит из четырех параграфов. В параграфе В.1 приводится краткое содержание работы. Параграф В.2 содержит основные используемые обозначения. В параграфе В.З указываются задачи, которые приводят к многопараметрическим спектральным задачам и другим многоиараметрическим задачам алгебры, и приводятся ссылки на работы, посвященные методам решения указанных задач. В параграфе В.4 указываются разновидности постановок многопараметрических спектральных задач.
В.1. Содержание работы
Первая часть посвящена исследованию свойств многопараметрических матриц.
В Главе 1 приводятся основные определения, понятия и свойства многопараметрических алгебраических объектов. В параграфе 1.1 приводятся основные понятия, относящиеся к полиномам и рациональным функциям от многих переменных, системам нелинейных алгебраических и рациональных уравнений. В параграфе 1.2 рассматриваются векторные пространства над полем рациональных функций и модули над кольцом полиномов и их базисы, а также пространства со скалярным произведением. В параграфе 1.3 приводятся основные понятия, относящиеся к многопараметрическим полиномиальным и рациональным матрицам. В параграфе 1.4 рассматриваются результантные матрицы, отвечающих однопараметрическим полиномиальным матрицам, которые обобщаются на случай мноіонараметрических полиномиальных матриц. В параграфе 1.5 приводятся определения, относящиеся к понятиям, связанным с суперпозицией линейных пространств: прямым суммам линейных пространств, мультилинейным функциям и тензорным произведениям линейных пространств. Параграф 1.6 посвящен сведению комплексных формулировок к вещественным.
В Главе 2 рассматривается "несвязанная" многопараметрическая спектральная задача для полиномиальных матриц. В параграфе 2.1 приводятся основные понятия, относящиеся к спектральным характеристикам многопараметрической полиномиальной матрицы: нуль-пространства, полиномиальные решения, конечный спектр, регулярная и сингулярная части спектра, аналитическая и геометрическая кратности точек спектра, собственные векторы, жордановы полурешетки векторов, порождающие собственные и корневые векторы. Устанавливаются некоторые свойства этих спектральных характеристик. В параграфе 2.2 даются определения "бесконечного" и полного спектров многопараметрической полиномиальной матрицы и соответствующих им характеристик (кратности точек спектра, жордановы полурешетки векторов, порождающие векторы). В параграфе 2.3 рассматриваются особенности многопараметрической задачи, когда только один из скалярных параметров является спектральным. В параграфе 2.4 исследуются свойства спектральных характеристик многопараметрических полиномиальных матриц (в том числе, свойства факторизации, свойства сингулярного и регулярного спектров, свойства базисов нуль-пространств и порождающих векторов, существование свободных полиномиальных базисов подпространств, понижающие подпространства, блочные спектральные характеристики). В параграфе 2.5 рассматриваются свойства результант-ных матриц, относящиеся к задачам определения ранга полиномиальной матрицы и построения базисов ее образа (линейной оболочки столбцов) и нуль пространства. В параграфе 2.6 рассматриваются линейные многопараметрические спектральные задачи: пучок полиномиальных матриц (линейность по одному параметру), матрица линейная по каждому из параметров и пучок постоянных матриц; сопровождающие пучки полиномиальных матриц, свойства их спектральных характеристик. В параграфе 2.7 рассматриваются "определенные" несвязанные задачи с ограничениями на векторные характеристики, а также сведению комплексной задачи к вещественной.
В Главе 3 рассматривается характеристики и свойства многопараметрических рациональных матриц. В параграфе 3.1 приводятся основные "спектральные" характеристики многопараметрической рациональной матрицы: нуль-пространства, полиномиальные решения, конечные и "бесконечные" особые точки (полюса, нули, точки неопределенности). Параграф 3.2 посвящен полиномиальной "реализации" рациональной матрицы, связанной с ней системной матрицей и их свойствам. В параграфе 3.3 рассматриваются различные виды факторизации рациональной матрицы (базовые, несократимые, минимальные) и исследуются их свойства.
В Главе 4 рассматриваются "связанные" многопараметрические спектральные задачи для полиномиальных матриц. В параграфе 4.1 рассматриваются "слабо связанные" многопараметрические спектральные задачи для совокупностей полиномиальных матриц, связанных общими спектральными параметрами, и спектральные характеристики таких задач. Наибольшее внимание уделяется задаче для пучков постоянных матриц, которая сводится к совокупности обобщенных задач на собственные значения однопа-раметрических пучков матриц, действующих в тензорном произведении исходных пространств и имеющих общие векторные характеристики. В параграфе 4.2 рассматриваются "строго связанные" и "вполне связанные" многопараметрические спектральные задачи для совокупностей полиномиальных матриц, связанных соответственно общими векторными характеристиками или всеми спектральными характеристиками: векторными и параметрами. Приводятся способы сведения этих задач к "слабо связанным".
Вторая часть посвящена методам решения многопараметрических задач алгебры.
В Главе 5 рассматриваются методы построения факторизации полиномиальных матриц (в том числе, ранговых) и рациональных матриц (в том числе, несократимых), а также методы построения базисов образа и ядра полиномиальных матриц, основанные на использовании результантного подхода. В параграфе 5.1 приводятся виды ранговых факторизации постоянных матриц, известные методы их построения и их свойства. В параграфе 5.2 приводятся виды полиномиальных ранговых факторизации однопарамет-рических полиномиальных матриц, известные методы их построения и их свойства. В параграфе 5.3 для многопараметрической полиномиальной матрицы рассматриваются обобщения ранговых факторизации однопараметрической полиномиальной матрицы, в основе которых лежит рекурсивный метод AW- / разложения g-параметрической полиномиальной матрицы. Исследуются его свойства и рассматриваются некоторые его модификации. Он включает использование методов относительной факторизации (ОФ-q) и VV-q факторизации -параметрических полиномиальных матриц полного ранга и AB-q метода построения несократимых факторизации g-параметрических рациональных матриц полного ранга. В параграфах 5.4 и 5.5 описывается основанные на результантом подходе методы вычисления базисов образа и нуль-пространства одно- и многопараметрической полиномиальной матрицы соответственно.
В Главе 6 приводятся прямые методы решения некоторых параметрических задач алгебры, в основе большинства которых лежат методы ранговых факторизации полиномиальных матриц и результантный подход к построению базисов образа и нуль-пространства полиномиальной матрицы. В параграфах 6.1 и 6.2 приводятся методы ре шения соответственно однопараметрических и многопараметрических задач, основанные на методах ранговых факторизации полиномиальных матриц, а также вспомогательные алгоритмы. В параграфе 6.3 приводятся алгоритмы решения параметрических задач, основанные на результантном подходе. Рассматривается решение комплексных задач в вещественной арифметике.
В Главе 7 рассматриваются итерационные методы решения "несвязанных" многопараметрических спектральных задач для полиномиальных матриц. В параграфах 7.1 и 7.2 описываются методы решения частичной проблемы собственных значений соответственно для многопараметрического неоднородного и однородного пучка постоянных матриц (методы Ньютона, Чебышева, Хэлли, касательных гипербол, обратных итераций, градиентные). В параграфе 7.3 некоторые из методов, описанных в предшествующих параграфах, распространяются на МПС-задачи с нелинейной зависимостью элементов матрицы от скалярных параметров (как алгебраической, так и общего вида), а также рассматривается решение комплексных задач в вещественной арифметике.
В Главе 8 рассматриваются итерационные методы решения "слабо связанных" многопараметрических спектральных задач для полиномиальных матриц. В параграфах 8.1 и 8.2 рассматриваются методы решения частичной проблемы собственных значений соответственно для неоднородных и однородных пучков постоянных матриц (методы Ньютона, Чебышева, Хэлли, касательных гипербол, обратных итераций, градиентные). В параграфе 8.3 приводится метод, который может быть использован для МПС-задач с нелинейной зависимостью элементов матриц от скалярных параметров, а также рассматривается решение комплексных задач в вещественной арифметике.
Приложение состоит из трех параграфов. В параграфе П.1 приводятся примеры, иллюстрирующие понятия, введенные в Главах 1 - 4, в том числе, спектральные характеристики и их свойства; в параграфе П.2 - примеры, иллюстрирующие прямые методы факторизации полиномиальных матриц, относительной факторизации скалярного полинома и решения некоторых многопараметрических задач алгебры, описанных в Главах 5, 6; в параграфе П.З -примеры, иллюстрирующие итерационные методы решения слабо связанной МПС-задачи для пучков постоянных матриц, описанные в Главе 8.
В Заключении приводятся основные результаты работы.
В списке литературы приводится библиография работ, посвященных многоиара-метрическим задачам (включая однопараметрические) для матриц и линейных операторов (как теоретическим аспектам, так и методам их решения).
B.2. Обозначения и сокращения
В работе повсеместно используется тройная нумерация в отдельности для определений, утверждений (теоремы, леммы, утверждения, следствия, свойства), алгоритмов, формул и примеров. При этом первая и вторая цифры соответствуют номеру главы и параграфа; третье число является порядковым номером. В ряде случаев, нумерация имеет дополнительное расширение, в качестве которого используются цифры и буквы. Для алгоритмов расширение используется для нумерации различных модификаций одного и того же метода. При этом расширения могут объединяться. В нумерации формул расширение используется в двух случаях: для удобства ссылок на связанную совокупность формул и для нумерации вариантов формул, относящихся к определению сходных объектов. В обоих случаях при ссылке на связанную совокупность формул или на все варианты формул расширение может опускаться. Используется независимая нумерация сносок.
Ниже приводится перечень используемых в работе обозначений и сокращений, которые за небольшим исключением являются традиционными. Р - некоторое поле или кольцо Р" - n-мерное векторное пространство (модуль) над полем (кольцом) Р Р™ " - пространство (модуль) т п матриц над полем (кольцом) Р N - множество натуральных чисел Z - кольцо целых чисел Q - поле рациональных чисел R - поле вещественных чисел С - поле комплексных чисел С =Си{оо}- поле комплексных чисел, пополненное бесконечно удаленной точкой R4 - вещественное -мерное аффинное пространство, вещественное -мерное векторное пространство С - комплексное g-мерное аффинное (векторное) пространство СП - комплексное (/-мерное проективное пространство к = (&, Д2,...Д(/)-мультииндекс(узел), A:,eN, i=\,...,q
к\ := YY-=\ kj! - "факториал" мультииндекса к
\к\ := X =i y порядок мультииндекса к
к = (к0,кх ,к2,...,к ) - мультииндекс (узел), к, eN, i=0,\,...,q ! := YY y! "факториал" мультииндекса к
1 1 := X i П0РЯД°К мультииндекса к
к = (А., Д2,... Д ) - мультипараметр; точка -мерного аффинного пространства Сч; вектор -мерного пространства Сч к = (к0:к{:к2:...:к ) - однородный мультипараметр; точка -мерного проективного
пространства СП4; вектор ( /+1)-мерного пространства С+ k = (r\,Q) - одна из форм представления мультипараметра к, где цеС , ВеС к {\ k q) к = (Х,ц) - одна из форм представления мультипараметра к, где кеС, це С н С(к) - поле рациональных функций от к (от к], к2,..., кч)
С[к] - кольцо полиномов от к (от X,, А.2,..., X. )
СП( ) - поле рациональных функций от к (от &0, &,, к2,..., к )
СЩЗс ] - кольцо однородных полиномов от к (от с0, к}, к2,..., к)
С[Х(ц)] - кольцо полиномов от X с коэффициентами из поля С(ц)
С" (X) - пространство я-мерных рациональных векторов над полем С(Х)
СП" (к) - пространство «-мерных рациональных векторов над полем СЩк)
С" [к] - модуль «-мерных полиномиальных векторов над кольцом С[к]
СП" [ к ] - модуль n-мерных полиномиальных векторов над кольцом СП( к)
С1" " (к) - пространство рациональных тхп матриц над полем С(Х,)
СП тх" (к) - пространство рациональных тхп матриц над полем СП( к)
С1" " [к] - модуль полиномиальных тхп матриц над кольцом С[к]
СП" Х" [к] - модуль полиномиальных тхп матриц над кольцом СЩк)
х - вектор (вектор-столбец)
Xі -вектор-строка
0 - нулевой вектор; нулевой мультииндекс (узел); нулевая точка аффинного простран ства (нулевое значение мультипараметра) 0„ - нулевой «-мерный вектор
1 - столбец (мультииндекс), все компоненты которого равны единице;
е., - столбец s единичной матрицы; мультииндекс с единственной отличной от нуля .v-ой компонентой, равной единице
О - нулевая матрица (нулевой оператор)
От„ нулевая матрица размеров тхп
I- единичная матрица (тождественный оператор)
/„ - единичная матрица порядка п
ItJ - матрица с единственным ненулевым элементом, равным единице, расположенным в
позиции(у) д є р" " _ тхп матрица; линейный оператор, действующий из Р" в Рм А - матрица, транспонированная к матрице А А н - матрица, блочно транспонированная к матрице А А н - матрица, (эмитово) сопряженная к матрице А А " - матрица, обратная к матрице А А,, - строка / матрицы А
A ,t - столбец/ матрицы А
ДХ) е РЩ - полином
r(k) е Р(к) - рациональная функция
ДХ) є Р" [к] - полиномиальный вектор
г(к) є Р" (к) - рациональный вектор
F(k) є Р " " [к] - полиномиальная матрица
R(X) є Р""" (к) - рациональная матрица
FmJnqs результантная матрица уровня /, отвечающая -параметрической полиномиальной тхп матрице F(k) степени s
,9 (к) - некоторое подпространство рациональных векторов, зависящих от параметра к
!?{к) - некоторое подпространство рациональных векторов, зависящих от мультипара-метра к
М - некоторое подпространство линейного пространства
Мд - дополнение подпространства /Идо всего пространства
/if1 - ортогональное дополнение подпространства М до всего пространства
М® N-прямая сумма пространств Ми N
М® N-тензорное произведение пространств Мн N
AM- образ подпространства М при линейном преобразовании А
А/и - сужение линейного преобразования А на подпространство М (оператор, индуцированный на подпространство М)
Ем - базисная матрица, столбцы которой образуют базис подпространства М
5,у - символ Кронекера (8,, = 1, если i=j, 5,у = 0, если tej)
col { ХІ } k=l = col ( xi, ..., ) = [ /... Xk]1 є р -/+ - вектор-столбец, образованный из компонент Л:, Є Р, Н,...,к
col { Xj }кы = col (JC/7 , ..., Xk ) - [ xi .... Xk ] є p - 1 " - блочный вектор-столбец,
образованный из строк xi ,х е ", / =/,...,к col { дс/} =/ s col (л-/,..., Хк) = [ дг/.... Xk ]й є Р" - блочный вектор-столбец, образованный
из столбцов де, є Р" , і=1,...,к; п= ,и,
col {Xj} к=1 = col (Х\,..., Xk) -[X/ ...Хк]н є Р шх" - блочный столбец (блочно-столбцовая
матрица), образованный из блоков (матриц) Xt є Pm,x" , i-l,...,к; m =
diag { a, } =/ 2 diag ( a/, .., a ) є p - 1» - ) _ диагональная матрица, образованная из
диагональных элементов а, є Р, i-l,...,к diag { А,} =/ з diag (Л/,..., Ak) є Р"""" - блочно диагональная матрица, образованная из
блоков (матриц)Л/ є pm x" , і=1,...,к; " =]Г /я, п = Х/=/и diag (Л ) := diag { аи } =, = diag (о,,,..., сім) е Ры - диагональная матрица, образованная из диагональных элементов матрицы А е Ркхк
deg а - степень полиномиального объекта а (полинома, полиномиального вектора, полиномиальной матрицы)
det А = \А\ - определитель матрицы (оператора) А
dim М - размерность подпространства (пространства) М
im A = span { А } = {у є?т \у = Ах, х є Р"} - линейная оболочка столбцов т п матрицы А (образ оператора А, действующего из Р" в Р" )
кег А = ЩЛ] = { д: Є Р" Ах = 0 } - правое (столбцовое) нуль-пространство т п матрицы А (ядро оператора А, действующего из Р" в Р т)
Nt[A] = NC[A и ] = кег А н - левое (строчное) нуль-пространство матрицы А
grad ф = ф = Уф - градиент функционала ф
matr { atj }™, "=l - m и матрица с элементами ay, i=\,...,m;j-\,...,n
matr { Ay } ™, "и - блочная m n матрица (блочный линейный оператор) с блоками Ау,
/=1,. ..,m;j=\,...,n
rank Л - ранг матрицы (оператора) А
row { Xj } fw = row ( xi, ..., ) = [ xi... Xk ] є \ и(кч+]) - вектор-строка, образованная из компонент , є Р, /=/,...,к
row { Xj} кы = row (xi,..., Xk) = [ xi... Xk ] є рих А-/+ _ блочная вектор-строка, образованная из столбцов JC/ є Р", i=l,...,к
row { xt } кы = row (xi1,..., Xk ) = [ xi ... Xk ] є P1 " - блочная вектор-строка, образованная из строкJC/ ,Xj є Р" , i=l,...,k; п = У и,
row {А } =/ = row (Д ..., -) = [ Х\... Хк ] є Р тх" - блочная строка (блочно-строчная матрица), образованная из блоков (матриц) Xt є Pmx" , i=l,...,k; n - , span {X/} =/ s span (x/,..., Xk) - линейная оболочка векторов де, є Р", і=1,...,к
tr А= 2І_. fl;v - слеД матрицы А
[X\...Xk]f =Х,- блочная компонента і блочного столбца
[ Х\... Xk ]i = Xj- блочная компонента і блочной строки
Сс[Л - { к І Aty = 0} -конечные нули полиномаAty
Q-f ] - { I /" ( ) = 0} -нули однородного полинома f" (к)
C,c[f] = { к І ДХ.) = 0,/=1,...Д} -конечные нули нелинейной системыДХ.) = 0
ОҐ ]- { Ъ I /" W = 0 } -нули нелинейной системы/" (к) = 0
С [г] - конечные нули рациональной функции г(к)
сос[г] - конечные полюсы рациональной функции г(к)
ic[rj - конечные точки неопределенности рациональной функции г(к)
С,[г"\- нули рациональной функции гп (к)
(й[г" ] - полюсы рациональной функции гК (к)
i[r ]- точки неопределенности рациональной функции г" (к)
СсИ - конечные нули рационального вектора г(к)
юс[г] - конечные полюсы рационального вектора г(к)
ic[r] - конечные точки неопределенности рационального вектора г(к)
[гя ] - нули рационального вектора г" (к)
&[г" ] - полюсы рационального вектора г" (к)
\[гп ] - точки неопределенности рационального вектора гп (к)
p[F\ - резольвентное множество регулярной матрицы F(k)
o[F] - спектр матрицы F(k)
cc[F] - конечная часть спектра матрицы F(k)
a,r[F ] - бесконечно удаленная часть спектра матрицы Fn (к)
Ocr\F\ - конечная часть регулярного спектра матрицы F(k)
tfcsL 7] - конечная часть сингулярного спектра матрицы F(k)
&[R] - полюса матрицы R(k)
d)c[R] - конечные полюса матрицы R(k)
&,{R" ] - бесконечные полюса матрицы RK(k)
C[R] - нули матрицы R(k)
[R] - конечные нули матрицы R(k)
t [R ] - бесконечные нули матрицы R (к)
i[R] - точки неопределенности матрицы R(k)
xc[R\ - конечные точки неопределенности матрицы R(k)
U,[RK ] - бесконечные точки неопределенности матрицы R" (к)
(JC, у) - скалярное произведение векторов Л: и у
\\х\\ и - IMI 2 = ( ) - евклидова ("вторая") норма вектора JC
II 2 = (X =0F J ) "вторая" норма мультипараметра к
МПС - многопараметрическая спектральная (задача)
НОД - наибольший общий делитель (полиномов)
НОК - наименьшее общее кратное (полиномов)
ЛНОД (ПНОД) - левый (правый) наибольший общий делитель (полиномиальных матриц)
ЛНОК (ЛНОК) - левое (правое) наименьшее общее кратное (полиномиальных матриц)
MFD - matrix fraction description (представление рациональной матрицы в виде произведения полиномиальной матрицы и обратной к полиномиальной матрице)
PFD - polynomial fraction description (представление рациональной матрицы в виде суммы MFD и полиномиальной матрицы)
В.З. Происхождение многопараметрических задач
Приведем примеры происхождения многопараметрических спектральных задач для матриц, а также некоторые ссылки на работы, посвященные теоретическим аспектам и методам решения соответствующих задач.
В.З. 1. Задачи классического анализа
Многопараметрическая проблема собственных значений имеет свое происхождение в классическом анализе. Такие задачи, в частности, возникают в различных краевых задачах для обыкновенных дифференциальных уравнений, аналогичных задачам Штурма-Лиувилля. Дифференциальное уравнение в частных производных, такое как приведенное волновое уравнение V2 ф + tap = 0, определяющее вибрацию однородной эллиптической мембраны, при разделении переменных и при введении эллиптических координат сводится к двухпараметрическому уравнению Матье:
-+(X-2q coslv)у = 0, (В.З.I)
dv
d2z
--(l-2qch2v)z = 0. (В.3.2)
Имеющие физическую значимость решения у{v) являются периодическими с периодом тс и удовлетворяют периодическим граничным условиям:
КО) -Яте) = 0,/(0) -/(я) = 0. (В.3.3)
Общая система Штурма-Лиувилля имеет вид:
L(yp -(p(vA + (V(v) - g(v))y = 0, dv dv
a,j(a) + a2y(b) + a3/(a) + a4 оцу ф) = 0,
М«)+М )+Рэ/(«) /0) = 0. Для произвольного вещественного параметра q в (В.3.1) получаем систему Штурма-Лиувилля:
Lqiy) = 0, где р = 1 ,/= 1, g(v) = 2q cos2v, и периодическими условиями (В.3.3). Согласно классической теории Штурма-Лиувилля существует последовательность собственных значений Ц /), /=0,1,2,... таких, что
с соответствующими собственными функциями ф, (v). Причем 90(/(v) не имеет нулей в [0,я], тогда как ф2/+ (v) и Ф2,+2;, (v) гЭД имеет, каждая, точно 2/+2 нуля в [0,л).
Обобщенное уравнение Матье:
У + (к + 2 A., cos х + 2 Х2 cos 2х) у = О
является трехпараметрической задачей на собственные значения. Существование решения доказано для обобщения этой задачи, которая формулируется следующим образом. Имеется «-параметрическое дифференциальное уравнение
Ш %-) + Ш ) + ... + UCv)) У = О (В.3.4)
as as
с п парами граничных условий:
сиУі{а1) + сгіуІ{аІ) = i=\,...,n, (В.3.5)
duyl(bl) + d2iy,(bl) = 0,
где а, Ь\ а2 Ь2 ... ап bn, а определитель матрицы matr {.//(. ) }" . , имеет
один и тот же знак для .V/ є (а,,/?,). Требуется определить "собственную группу" (X,,,...,
Хп) такую, что существуетп решений уравнения (В.3.4), например, _у,, ..., уп, которые удовлетворяют граничным условиям (В.3.5). Теоретические вопросы для подобных многопараметрических задач рассматриваются также в [90, 159, 166].
Другая двухпараметрическая задача возникает при решении уравнения Лапласа V2 ф = 0 в эллиптических координатах. Разделение переменных приводит к уравнению Ламе:
d2y + V Cv) dy
ds2 2 ds
M-rf + J T+ + = 0, (B.3.6)
где \/(.v) =2 (s - e{ )(.v - e2 )(s - ey), e, e2 ey, а (Х,,ц) - собственная пара. Краевая задача, связанная с уравнением Ламе, имеет следующий вид. Пусть (о,, Ь]) с (е,, е2) и (a2,b2)cz (е2,е}). Требуется определить такие (А,,ц), для которых в (а,,Л,) существуют решения yt, обращающиеся в нуль в точках я, и b,, /-1,2.
Следующая двухпараметрическая трехточечная краевая задача1
-+(X + lif(s) + g(s))y = 0, (В.3.7)
as
y(a)=y(b)=y(c) = 0
имеет важный аспект, отсутствующий в задаче Матье (В.3.1), (В.3.3), который приводит к существенным последствиям с точки зрения численных методов решения задачи. В задаче (В.3.1), (В.3.3) при любом выборе параметра q существуют соответствующие числа X, которые дают решения. Таким образом, методы вычисления собственных пар (k,q) и соответствующим им собственных функций могут быть основаны на стандартных численных методах вычисления обычных собственных значений. В частности, дискретизация задачи при фиксированном значении параметра q приводит к стандартной проблеме собственных значений для матрицы: Ах = he. В задаче же (В.3.7), при некоторых условиях на функцию/ существует несчетное множество пар (Х,ц). Следовательно, только для некоторых значений \а существует вещественное значение X, которые и определяют решение задачи (В.3.7). Так что эта задача не сводится просто к обычной проблеме собственных значений. Численное решение задачи, основанное на замене дифференциального уравнения конечно-разностной аппроксимацией (вторая производная заменяется разностным отношением второго порядка) с выбором шага h = (с-а)1п -(Ь-а)/к приводит к системе уравнений
у_,+(2 - h2 g(sr)) уг + дт+і-КМ 2yr + \ih 2f(sr)+ g(sr)) yr = 0,r=\,...n-\,
Уо=Ук = Уп = 0-В матричной формулировке имеем
Ах = ХВхх+\іВгх, (В.3.8)
где Л; = [уі ... укА 0 ук+] ... упУ . Матрица А является трехдиагональной, a J5,, В2 диагональные матрицы. Можно ожидать, что задача (В.3.8) имеет континуум вещественных решений, так как неизвестных имеется на одно больше, чем уравнений (при условии включения уравнения нормировки: лг = 1). Однако, в действительности, при этом игнорируются вопросы существования и кратности вещественных решений систем алгебраических уравнений.
Теоретические аспекты многопараметрических спектральных задач (в основном, в операторной постановке) рассматривались в работах [3,4, 6, 14-21, 23, 79, 82, 83, 85, 88, 91,93-96,98, 100, 101,113-117,122-124,130,134,141,147,148, 167, 192,193,203,215, 218, 221, 222, 231, 235-237]. К многопараметрическим спектральным задачам сводятся также задачи для многомерных матриц [50].
В [151] представлен метод пристрелки для двухпараметрической трех точечной граничной задачи. В [168] использовалась соответствующая начально-граничная задача для дифференциальных уравнений в частных производных. В [80, 92] приводится итерационный метод, основанный ни использовании фазового метода Priifer a, сводящий исходную задачу к обычной (однопараметрической) на каждом шаге. Матричные мето ды бьши предложены в работах [1,86, 87, 89, 104-110, 112, 118, 169, 171, 172, 223, 224, 228, 229]
В.3.2. Полиномиальная проблема собственных значений
Следующий пример [51] является иллюстрацией еще одного происхождения двухпараметрической матричной задачи на собственные значения, а также позволяет продемонстрировать тот факт, что может оказаться, что (В.3.8) будет иметь только конечное число вещественных решений. Обобщенная проблема собственных значений для пучка комплексных матриц
Ах = 1Вх (В.3.9)
модифицируется таким образом, чтобы получить вещественную задачу. Используя представления:
А= Аг + іАу,В= BR + /5, Д = X, +il2,x- u+iv, где і2 = -1, а все остальные объекты являются вещественными, задача (В.3.9) записыва ется в виде эквивалентной ей вещественной двухпараметрической задачи
Az = h В\ z+hB2z, где
(В.3.10)
Ч -А А -в, в, -в и
1\ і ,В\ = к і ,в2 = 1 ,z = А 4. А 5R. А - . V
Другим примером происхождения двухпараметрических матричных задач на собственные значения является подход к решению задач на собственные значения для квадратичной полиномиальной матрицы, предложенный в работе [5]. Квадратичная проблема собственных значений для полиномиальной матрицы
(Х2А2 + КЛ]+Ао)х = 0 (В.3.11)
модифицируется следующим образом. Выполняется замена
[i = X\ (В.3.12)
которая преобразует (В.3.11) к виду
(цЛ2+ХЛі+Ло). : = 0, (В.3.13)
а сама связь параметров (В.3.12) записывается в виде существования нетривиального решения системы второго порядка I
г = 0.
Таким образом, исходная задача сведена к двухпараметрической связанной задаче вида
(Лю + Мл + Mo) / = 0, /=1,2. (В.3.14)
С НеКОТОрЫМИ УСЛОВИЯМИ НОрМИрОВКИ ВеКТОрОВ JC/.
Аналогичным образом проблема собственных значений для полиномиальной матрицы степени s ЫйАкУ х = 0 с помощью замены X,. := У, j=\,...,s, сводится к s-параметрической проблеме вида X,
Zj = QJ=2,...,s.
В.3.3. Обратные задачи на собственные значения
В виде многопараметрических спектральных задач могут быть сформулированы многие обратные задачи на собственные значения матрицы (Условия разрешимости и численные методы решения обратных задач представлены, например, в работах [84, 119, 120, 129, 152]). В частности, аддитивная и мультипликативная задачи на собственные значения матрицы формулируются следующим образом: для матрицы А порядка п требуется найти такую диагональную матрицу Л = diag (к\,...,Хп), чтобы матрица В вида
В = А + Л, (В.3.15а)
В = АА, (В.3.15Ь)
В = \А, (В.3.15С)
соответственно, имела заданный набор собственных значений \it, i=\,...,n:
BXJ = цл, /=1,...,п. (В.3.16)
Задачи (В.3.15), (В.3.16) могут быть записаны соответственно в виде
((л-ц,/„)+x;=]v/) /= u=i,-..,",
(-цЛ + "_, IJAIJJ ) х, = 0, /=1,...,«,
(-цЛ + "= bjljjA) Xi = 0,i=\,...,п.
Существуют обратные задачи на собственные значения и в других постановках. Например [121], для заданных матриц А, В, С порядка п найти такую диагональную матрицу Л = diag (A,i,..., А,„), чтобы двухпараметрическая задача
(AAA + \iB + vC)x = Q, имела заданный набор точек (X/,v,), /=1,...,п, на ее собственных кривых. Это приводит к следующей многопараметрической задаче:
((M + v,C)+ I HAAVv ) = 0, М,...,и.
Еще один вид многопараметрической задачи возникает в каноническом корреляционном анализе [232]: для заданной симметричной блочной матрицы A = matr {Ay}, где блоки Ау имеют размеры п,щ, надо найти диагональную матрицу и блочный вектор
A = diag{ у„, };:,,;c = colU};i,,
где х, - нормированные векторы (дг(=1) размерности и,-, /=1,...,т, удовлетворяющие
уравнению
Ах- Ах.
В.3.4. Многомерные модели управляемых процессов
Многомерные («D) модели управляемых процессов приводят к многопараметрическим рациональным матрицам. Например, дискретная «D модель (см., например, [77, 153, 172-175]) описывается уравнениями
Exul = A[)Xi + EV; / ., + Z Aikxue, et + Хи4-,,., /+i +
\ j ki.N
+ B0Ui + їй5/"/-; + X «4«. + Z.H /-,,., "/+l ,
\Sj k .N
У„ =Cxl+DuiJ,
Здесь / = (/,,...,/ ) - мультииндекс; вектора состояний х, входа и и выхода у имеют
размерности п, т ир соответственно, матрицы Е, Л., Л,4 и Л,.,, имеют размеры гхп,
матрицы В J, В1к и В,_, е - размеры гхт, аОиС - размеры рхп и рхт соответственно.
В частности, сингулярная дискретная 2D модель Fornassini-Marchesini [102, 131, 149], описывается уравнениями
ЕХ„КМ = 4 ,+l., + 4 ,,, + 1 + B\Un\j + S2\, + l •
У,j =Cx,+DuIJ, Введение операторов znz2: х(+ /+ == z, z2x,y, unlJ = z, и(/, w,/(, = z2utl, приводит к соотношению
У,j = IA Z\ Z2 Е Z\ 4 -hAl) " ( Z\ В\ + Z2 В2 )+D] U,j
Таким образом, свойства управляемого процесса определяются двухпараметрической сингулярной рациональной рхт матрицей
R( z,, z2) = С( z, z2 - z, /1, - z2 4) (zi B\+ Z2 Bi )+Е Различные виды nD моделей (положительные, нормальные, с запаздываниями) рассматриваются в работах [176,177,179,180]; некоторым свойствам многопараметрических полиномиальных и рациональных матриц посвящены работы [178,181].
В.3.5. Параметризированные задачи
Параметризированные нелинейные уравнения F(x, X) = 0, где F - нелинейное отображение из R" в Rm, с нелинейной зависимостью от векторного параметра JC (переменная состояний) и, в общем случае, нелинейной зависимостью от скалярных параметров к, один из которых является параметром бифуркации, а остальные - образуют вектор параметров управления, возникают в физических системах кратного равновесия с некоторым числом управляющих параметров. В работе [227] приводятся примеры задач такого типа (задачи течения жидкости, задачи теории упругости, биологические модели и модели химических реакторов, теория термального воспламенения), а также обсуждаются вычислительные аспекты решения таких задач, приводится классификация диаграмм бифуркации для случая одного параметра и их обобщения на случай большего числа параметров. При естественных условиях решения (х, X) задачи образуют дифференцируемые многообразия в произведении пространств состояний и параметров, размерность которых совпадает с размерностью параметров. В большинстве приложений интерес концентрируется не столько на вычислении каких-либо решений, а на определении специальных особенностей (свойств) многообразия решений. В частности, если рассматриваемое уравнение определяет задачу равновесия, то можно определять диаграммы бифуркации или границы областей устойчивости (см., например, [214]). Численный анализ параметризированных динамических систем вида х(/) =f(x, X), и соответствующий программный пакет рассматриваются, например, в работе [140] (см., также [49]).
Большие колебательные системы, большие системы управления, а также другие задачи часто зависят от физических и геометрических параметров [230]. Это приводит, например, к следующей проблеме собственных значений
А(р)х(р) = \(р)В(р)х(р). Здесь А(р), В(р) - вещественные пхп матрицы, элементы которых аналитически зависят от N параметров р = (рх, ..., ры). Требуется определить вещественнозначные "собственные значения" Цр) и отвечающие им "собственные векторы" х(р). Параметризированные задачи на собственные значения вида
A(\i)x = lB(\i)x,A(l,v,\i)x = 0,l,ve С, це С",
и методы их решения рассматриваются в работах [210-212].
Динамическая система с двумя различными временными запаздываниями, описываемая уравнением
x(t) = A x(t) + Я, x(f-x,) + В2 x(t-x2),
представлением решения в виде x{t) = q eh сводится к спектральной задаче для матрицы XI - А - В, е 1х - В2 е Хь . Являющаяся точной для А. = /со подстановка Рикасиуса
е = приводит к кубической (относительно А.) спектральной задаче
1 + Itj
[А0 + XA](t],t2)+X2 Л2(/,,/2)+ A3 Л3( „/2)] = 0, где
A0=-(A+Bi + B2),Ai(ti,t2) = I-(ti+t2)A-(t2i)Bi -(Г,-/2)Я2,
A2(tl,t2) = (tl+t2)Iit2A+tlt2 (Я, + В2), Ay(tvt2)= f,f2 I. Задача2 состоит в определении таких значений параметров /, и t2, при которых существуют чисто мнимые собственные значения А. = ±/ со.
Примером параметризированной задачи является исследование демпфированных колебательных систем [161], описываемых полиномиальной матрицей
F(X) = Х2А + ХЕВ + С, где А, В, С - положительно определенные матрицы, а є - параметр демпфирования. Когда є = 0, все собственные значения матрицы F(X) являются чисто мнимыми и образуют сопряженные пары. Когда є является достаточно большим, все собственные значения матрицы F(k) являются вещественными и неотрицательными. Особый интерес представляют те значения параметра є, при которых полиномиальная матрица имеет кратные собственные значения, в том числе, точки ветвления, в которых А. = А.(є) оказывается не аналитической. Рассматриваемая задача имеет также отношение к теории возмущений (см., например [74,183,184]).
Примером нелинейной двухпараметрической задачей является также следующая задача [97, 99]
-div(Vwp2 Wu)+(q{x)-Xw(x)) \Vu\" 2 VM = ц \Vu\p 2 VM,
где исследуются свойства, так называемой, главной собственной кривой ц = ц(А.), которая характеризуется тем свойством, что для ее точек рассматриваемая задача имеет положительное решение.
В.3.7. Параметрические задачи алгебры
Решение некоторых из указанных выше задач приводит к решению таких классических задач алгебры, как факторизация полиномов, вычисление их НОД, решение полиномиальных систем, вычисление ранга и базиса нуль-пространства полиномиальной матрицы. Большинство параметрических задач алгебры решаются средствами компьютерной алгебры [2,9,13,22] с использованием таких систем как Maple, Mathematica, Reduce и другие (см., например, [166, 234]). Методы решение подобных задач, основанные, в частности, на использовании обобщений результантов и дискриминантов, базисов Гребнера и метода исключения, описаны в работах [8, 125-128, 132, 136, 137-139, 142, 143, 146, 154-158, 160,164,186-191, 198, 199, 201, 202, 205-208, 209, 219, 220, 238]. В последнее время развиваются также комбинированные символьно-численные методы (см., например, [111,144,145, 200, 225, 226]).
В.4. Разновидности постановки МПС-задач
Не претендуя на универсальность, приведем классификацию МПС-задач, обращая основное внимание на матричные постановки задач и на полиномиальную (в том числе, линейную) и рациональную зависимость от параметров.
В.4.1. Несвязанные МПС-задачи.
В общей (нелинейной) постановке несвязанная МПС-задача определяется векторным уравнением
F(l],l2,...,lq;x) = Q, (ВАЛ)
щеХ/ є ,j=\,..,q;x є P"\{0},aF: PvxP" —»Pm; /, «, /и є N. В случае линейной зависимости F от вектора х получаем матричную формулировку несвязанной МПС-задачи
и,Д2,...Д,) = 0, (В.4.2)!
где F(X,Д2,...Д ) - тхп матрица, элементы которой являются функциями скалярных
параметров kj є Р, j=\,..,q. Наиболее важным являются случаи полиномиальной Fe?my" [А,, Д2,...Д ] и рациональной FePm""( k] Д2,...Д ) зависимости элементов
матрицы F(X, Д2,... Д ). В случае линейной зависимости от скалярных параметров X,- є
Р,у-1,..,q, будем использовать следующий частный вид уравнения (В.4.2)
(В0+Х]В\+...+\чВд)х = 0, (ВАЗ)
2 Постановка задачи получена от Wagner N. (Inst. Angew. Experim. Mech., Univ. Stuttgart)
где Bj є Pm " J=0,\,..,q.
Несвязанная задача может рассматриваться вместе с некоторыми ограничениями на вектор х: gi(x) = 0, /=1,...,/?, включающими условие отличия л: от нулевого вектора.
В.4.2. Связанные МПС-задачи.
Связанные МПС-задачи представляют собой совокупности приведенных выше МПС-задач, имеющих общие скалярные и/или векторные параметры.
В нелинейной постановке слабо связанная (скалярно связанная) МПС-задача определяется имеющей общие скалярные параметры системой векторных уравнений
ЖХ,Д2,...Д,; ) = 0,г=1,..,р, (BAA)
где X, є ,j=\,..,q; xt є P" \{0}, a F,: P xP"1 - Pffl ; q, nh m, є N, /=1 ,..,p. Наиболее важным является случай равенства числа векторных уравнений числу скалярных параметров: р = q. В случае линейной зависимости F, от вектора xh /=1,...,/7, получаем матричную формулировку слабо связанной МПС-задачи
,( , ,..., ) = 0,/=1,..,/7, (В.4.5)
где Fj(X,, Д2,...Д ) - ГПІХПІ матрицы, элементы которых являются функциями скалярных параметров X, є P,j-\,..,q. Как и в случае несвязанных задач, наиболее важным являются случаи полиномиальной и рациональной зависимости элементов матриц F,-(X,,X2,...,X ). В случае линейной зависимости от скалярных параметров X,- є Р,
j=\,..,q, будем использовать следующий частный вид уравнений (В.4.5)
(Дю+Х,Я,,+...+ А )х, = 0, /=1,..,/7, (В.4.6)
где BtJ є Pm \/=0,1,..,q; /=1,..,/7.
В нелинейной постановке сильно связанная (векторно-связанная) МПС-задача определяется имеющей общий векторный параметр системой векторных уравнений
FfrbX) = 0,i=l,...,q, (ВАЛ)
где X, є Р,Л: Є Р" \{0}, a Ft\ Р х Р" - т ; , я, w; є N, /=1,...,(/.
В случае линейной зависимости F, от вектора д: получаем матричную формулировку сильно связанной МПС-задачи
F,(X,) = 0,/=1,...,«7, (В.4.8)
где F/(Xj) - nijxn матрица, элементы которой являются функциями скалярного параметра X/ е Р, i=\,...,q. Как и в случае несвязанных задач, наиболее важным являются случаи полиномиальной и рациональной зависимости элементов матриц F(Xj). В случае линей ной зависимости от скалярных параметров X/ є Р, /=1,..., , будем использовать следующий частный вид уравнений (В.4.8)
(Вл+Х,Вц)х = 0,/=1,..., , (В.4.9)
где Б,,є Pm ",j=0,\; i=\,...,q.
В нелинейной постановке вполне связанная (скалярно- и векторно-связанная) МПС-задача определяется имеющей общие как скалярные, так и векторный параметры системой векторных уравнений
Fi(X„X2,...,\;x) = Q,i=\,...,p, (В.4.10)
где \j є Р,у-1,..., 7;л: є Р"\{0}, aF,: Р х Р" — т ; q, п, т є N, /=1,...,р. Наиболее важным является случай равенства числа векторных уравнений числу скалярных параметров: p-q.
В случае линейной зависимости Ft от вектора х, i-\,...,p, получаем матричную формулировку вполне связанной МПС-задачи
ЖХ,Д2,...Д,) = 0, /=1,..-,р, (В.4.11)
где F,(A,, Д2,... Д ) - т{х.п матрицы, элементы которых являются функциями скалярных
параметров X,- є P,y =l,...,g. Как и в случае несвязанных задач, наиболее важным являются случаи полиномиальной и рациональной зависимости элементов матриц /(Х,Д2,...Д ). В случае линейной зависимости от скалярных параметров к/ е Р,
j=\,...,q, будем использовать следующий частный вид уравнений (В.4.11)
(ДЮ+ММ+...+ХА)ДС = 0,Ї=1,...ІР, (в-4-12)
где5іуєР" х",у=0,1,.. ;/=1,... .
В.4.3. Сведение связанных МПС-задач к несвязанной.
С формальной точки зрения любая связанная МПС-задача для матриц может быть сведена к несвязанной МПС-задаче. Действительно, использование блочных объектов
Л: := [хі ... Хр]", F:=diag {Fu ..., Fp), Bj := diag {By,..., Bpj},j=0,\,..,q, (B.4.12) где x є "; F, Bj є Pm"" ,j=\,..,q, m := ,0/, , n := X1iw позволяет свести системы
(В.4.5) и (В.4.6), определяющие слабо связанные МПС-задачи, к уравнениям вида (В.4.2) и (В.4.3), соответственно, которые определяют несвязанные МНС-задачи. Следует, однако, отметить, что в действительности в отличие от стандартной постановки несвязанной МПС-задачи вместо условия х Ф О должны быть выполнены более строгие условия исходной задачи: JC/ Ф 0, /=1 ,...,р.
Аналогично, использование блочных объектов
F:=[Fl...Fq]li,B0:=[Bio...Bq0]R,Br.= [O...Bu...O]R,i=\,...,q, (В.4.13)
где F, В І е Ртх", i=\,...,q,m := w,, позволяет свести определяющие сильно связанные МПС-задачи системы (В.4.8) и (В.4.9) к уравнениям вида (В.4.2) и (В.4.3), соответственно, которые определяют несвязанные МПС-задачи. В данном случае получаем стандартные постановки несвязанных МПС-задач. Аналогично, использование блочных объектов
F:=[F\ ... Fp\\Bj:=[By ... iy ,./=0,1,...,,,, (В.4.14)
где F, Bj є Pmxn,/=0,1,..., jr, m = \P_ mt, позволяет свести определяющие вполне связанные МПС-задачи системы (В.4.11) и (В.4.12) к уравнениям вида (В.4.2) и (В.4.3), соответственно, которые определяют несвязанные МПС-задачи. В данном случае также получаем стандартные постановки несвязанных МПС-задач.
Способы сведения сильно и вполне связанных МПС-задач к слабо связанной МПС-задаче приводятся в Главе 4.
ВАЛ. Классификация МПС-задач.
В работах [130, 167] предлагается следующая классификация в случае несвязанной задачи (В.4.3). Вводится функционал ц х(к):- (Fx,x) = (В0х,х) - , (# ), и для фиксированного вектора х определяется множество Ях = {к (р (к) = 0}, называемое "гиперплоскостью Релея". Их объединение Я = \}ЯХ называется "значимой областью"
xeR"
("value-domain") матрицы F. Аналогично вводятся выпуклые множества Я+ = 1){Х ф ( .) 0}, Я- = {]{Ц (к) 0}, так, что Я ы Я+ и Я- = R?. Если оба множества
хеК" xeR"
Я+ и Я- являются неограниченными, то задача называется гиперболической. Бхли одно из множеств является пустым, а второе - неограниченным, то задача называется параболической; если же второе множество является ограниченным и не пустым, то задача называется эллиптической.
