Введение к работе
Актуальность работы. В настоящее время для решения задач теории оптимального управления интенсивное развитие получило направление, связанное с применением методов линейной алгебры. Так, важная задача об оптимальном линейном регуляторе сводится к решению матричного алгебраического уравнения Риккати (АУР).
Наиболее популярные методы решения АУР связаны с вычислением устойчивого инвариантного подпространства для обладающей определенной блочной и спектральной симметрией сопровождающей матрицы уравнения.
Матрицы этого класса (называемые в случае непрерывного АУР гамильтоновыми), как и симметричные, определяются половиной своих элементов. При решении симметричной проблемы собственных значений сохранение структуры задачи и устойчивость методов обеспечиваются применением ортогональных преобразований. Для сохранения блочных симметрии гамильтоновой проблемы подобия должны быть, вдобавок, и симплектическими.
Существующие методы решения рассмотренных в диссертации спектральных задач либо используют ортогональные подобия, но игнорируют гамильтонову структуру, либо учитывают ее, но опираются на неустойчивые преобразования.
Аналогичные проблемы возникают и при решении обобщенных задач на собственные значения, вытекающих из обобщенных уравнений Риккати.
В диссертации разработаны новые численные методы решения непрерывных и дискретных уравнений Риккати, учитывающие блочные симметрии сопровождающих спектральных задач. Выявлены некоторые свойства связанных с АУР матричных пучков.
Пель работы. Разработка численных методов решения стандартных и обобщенных задач на собственные значения, связанных с матричными алгебраическими уравнениями Риккати: непрерывными, дискретными и обобщенными.
Метопы иггпеповяния. Основу большинства полученных в работе результатов составляет метод построения канонических форм матриц (матричных пучков) относительно различных классов подобий (эквивалентностей). В работе используются также основные теоремы линейной алгебры, принцип сжимающих отображений и метод математической индукции.
Научная новизна. В диссертации разработаны новые методы решения матричных АУР и сопровождающих спектральных задач. Показано, что в общем случае эти методы оказываются более эффективными, чем имеющиеся, что достигается за счет использования матричных блочных симметрии.
В частности, установлено, что предложенный в диссертации для решения АУР метод блочного приведения требует по сравнению с методом Шура вдвое меньше арифметических операций, если сопровождающая матрица имеет вещественный простой спектр.
Предложена новая процедура итерационного уточнения приближенного устойчивого инвариантного подпространства сопровождающей матрицы уравнения. Выделен класс матричных лучков, обладающих двойным спектром, и построены алгоритмы конечного расщепления вещественных и комплексных спектральных задач для таких пучков. Перечисленные результаты являются новыми и получены автором самостоятельно.
Практическая ценность. Разработан эффективный метод решения матричных алгебраических уравнений Риккати, ориентированный на решение прикладных задач теории автоматического регулирования. Метод позволяет строить оптимальные линейные регуляторы для динамических систем управления.
Результаты работы могут быть использованы для решения матричных уравнений и спектралькьа задач, стандартных и обобщенных.
Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на научных семинарах факультета ВМК МГУ, Отдела вычислительной математики РАН и Института системного анализа РАН.
Структура и объем рябпткі. Диссертация состоит из введения, двух глав и спискі литературы из 40 наименований. Основная часть работы изложена на 86 странице машинописного текста, содержит 9 рисунков и одну таблицу.
