Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Задача о движении жидкости в трубе с трением на границе. Существование и единственность решения. Метод конечных элементов 22
1.1. Постановка задачи 22
1.2. Условие разрешимости 24
1.3. Вариационное неравенство и краевая задача 26
1.4. Аппроксимация задачи по методу конечных элементов 28
1.5. Метод итеративной проксимальной регуляризации 30
ГЛАВА 2. Методы двойственности 38
2.1. Классическая двойственность 3 8
2.2. Модифицированный функционал Лагранжа. Характеристические свойства 40
2.3. Метод Удзавы нахождения седловой точки 52
2.4. Итеративная проксимальная регуляризация модифицированного функционала 60
2.5. Аппроксимация по методу конечных элементов и реализация алгоритмов 69
ГЛАВА 3. Методы двойственности с классическим и модифицированным функционалами Лагранжа при решении коэрцитивной задачи 72
Заключние 77
Список использованных источников 78
Приложение
- Условие разрешимости
- Аппроксимация задачи по методу конечных элементов
- Модифицированный функционал Лагранжа. Характеристические свойства
- Итеративная проксимальная регуляризация модифицированного функционала
Введение к работе
диссертационного совета Э.М. Вихтенко
Актуальность темы. Многие задачи математической физики допускают естественную вариационную постановку, состоящую в минимизации функционала энергии на некотором выпуклом замкнутом множестве. Такая постановка позволяет ослабить ограничение на гладкость искомого решение, при этом естественным образом вводится понятие слабого (обобщенного) решения. Тем самым, вариационные постановки являются задачами на условный (или безусловный, если допустимое множество представляет собой некоторое пространство функций) экстремум. Рассматриваемые задачи допускают постановку в виде вариационных неравенств.
В настоящее время теория вариационных неравенств получила большое развитие и представляет интерес для исследователей в области математики, механики, экономики. Данное направление развивалось и развивается в работах Хлуднева А.М., Аннина Б.Д., Садовского В.М., Антипина А.С., Васильева Ф.П., Вихтенко Э.М., Намма Р.В., Коннова И.В., Лапина А.В., Мосолова П.П., Мясникова В.П., Рязанцевой И.П., Уральцевой Н.Н., Чеботарева А.Ю. и многих других.
В вариационной постановке формулируются такие задачи, как задача об упруго-пластическом кручении стержня, контактные задачи теории упругости, задача о течении вязкопластических сред, задача о препятствии, задачи теории пластичности и другие. Настоящая работа посвящения исследованию и приближенному решению негладкого вариационного неравенства, соответствующего модельной задаче с трением.
Для решения вариационных неравенств широко используется аппарат функционального и выпуклого анализа, развитый в работах Васильева Ф.П., Гроссмана К., Каплана А.А., Мину М., Поляка Б.Т., Пшеничного Б.Н., Данилина Ю.М., Рокафеллара Р., Экланда И., Темама Р. и в других многочисленных источниках.
В данной работе для исследования поставленной задачи будет использован подход, основанный на замене исходной негладкой задачи на гладкую задачу условной оптимизации и построению для последней схемы двойственности, основанной на модификации классического функционала Лагранжа. В работах Антипина А.С., Голикова А.А., Евтушенко Ю.Г., Поляка Б.Т., Третьякова Н.В., Рокафеллара Р.Т. модифицированные функционалы исследовались применительно к конечномерным задачам линейного и выпуклого программирования. В последнее время получили развитие схемы двойственности с модифицированными функционалами Лагранжа, для решения бесконечномерных вариационных неравенств механики.
Исследование по численному анализу вариационных задач проводится с использованием метода конечных элементов. Большой вклад в данный вопрос внесли работы французских математиков Гловински Р., Лионса Ж.-Л., Тремольера Р. и других, которые подробно исследуют применение метода конечных элементов для аппроксимации непрерывных задач и алгоритмы решения их конечномерных аналогов.
Несмотря на ряд важных достижений в области решения вариационных неравенств, в настоящее время мало проводится исследований, относящихся к обоснованию применения принципов двойственности для решения вариационных задач механики. Как будет показано в работе, в полукоэрцитивном случае применение схем двойственности с классическим функционалом Лагранжа оказывается, вообще говоря, неприемлемым, а при решении коэрцитивных задач сходимость гарантируется только при жестком увязывании параметра алгоритма решения с константой коэрцитивности оператора задачи.
Цель работы. Обоснование и применение приближенных методов для исследования полукоэрцитивной и коэрцитивной постановок модельной задачи с трением с использованием методов математического программирования и выпуклого анализа, аппарата конечных элементов, вариационных принципов двойственности.
Задачи работы. Построение и исследование новых схем двойственности, основанных на модифицированных функционалах Лагранжа в исходных гильбертовых пространствах. Обоснование метода решения полукоэрцитивной модельной задачи с трением методом множителей Лагранжа в комбинировании с итеративной проксимальной регуляризацией и методом конечных элементов.
Методы исследования. В работе использованы вариационные принципы механики сплошной среды, методы функционального анализа, теория выпуклого анализа, теория вариационных неравенств, методы вычислительной математики и математического программирования, теория пространств С.Л. Соболева, общая теория нелинейных краевых задач.
Положения, выносимые на защиту:
1. Сведение задачи безусловной минимизации недифференцируемого функционала к задаче условной минимизации дифференцируемого функционала.
2. Построение для полукоэрцитивной и коэрцитивной постановок модельной задачи с трением эквивалентных задач поиска седловой точки классического функционала Лагранжа; доказательство теоремы о седловой точке; формулировка теоремы о совпадении седловых точек классического и модифицированного функционалов Лагранжа.
3. Сравнительный анализ численных расчетов, полученных на основе методов двойственности с модифицированным функционалом Лагранжа и стандартных методов. Вывод, что применение схемы двойственности с модифицированным функционалом Лагранжа при численной реализации оказывается наиболее эффективным в сравнении с классической схемой двойственности.
Научная новизна.
В работе исследуется задача с заданным трением, строятся и обосновываются новые схемы двойственности, основанные на модифицированных функционалах Лагранжа. Получены следующие новые результаты.
-
Для полукоэрцитивной модельной задачи с трением:
-
осуществлен переход от задачи безусловной минимизации недифференцируемого функционала к задаче условной минимизации дифференцируемого функционала, построены соответствующие эквивалентные постановки в виде вариационного неравенства и краевой задачи, обоснованы существование и единственность решения при выполнении условия разрешимости;
-
полученная задача аппроксимирована с помощью метода конечных элементов;
-
построен и обоснован алгоритм с пошаговой проксимальной регуляризацией;
-
для задачи условной минимизации исследована эквивалентная задача поиска седловой точки для классического функционала Лагранжа; показано совпадение седловых точек классического и модифицированного функционалов Лагранжа; отыскание седловой точки модифицированного функционала Лагранжа осуществлено с помощью алгоритма Удзавы;
-
приведены результаты численных экспериментов с различными параметрами задачи.
Для коэрцитивной модельной задачи с трением:
исследована схема двойственности с классическим и модифицированным функционалами Лагранжа;
проведено сравнение результатов численных расчетов для классического и модифицированного функционалов Лагранжа.
Достоверность полученных результатов обеспечена корректностью постановки рассматриваемой задачи и методов ее исследования, а также совпадением (в рамках некоторых допустимых погрешностей) результатов численных расчетов при решении задачи различными методами.
Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на XIV Байкальской международной школе-семинаре «Методы оптимизации и их приложения», г. Северобайкальск (2008 г.); на Всероссийской конференции «Успехи механики сплошных сред», г. Владивосток (2009 г.); на научных семинарах «Дифференциальные уравнения» (рук. д.ф.-м.н., проф. Зарубин А.Г.) факультета Математического моделирования и процессов управления Тихоокеанского государственного университета, г. Хабаровск (2009 г.); на научном семинаре Вычислительного центра ДВО РАН (рук. член.-корр. РАН, д.ф.-м.н., Смагин С.И.), г. Хабаровск (2010 г.); на научно-методических семинарах кафедры Математического анализа и моделирования факультета Математики и информатики Амурского государственного университета, г. Благовещенск (2007-2010 гг.); на региональных межвузовских научно-практических конференциях «Молодежь XXI века: шаг в будущее», г. Благовещенск (2007-2009 гг.); на внутривузовских конференциях Амурского государственного университета «Дни науки АмГУ», г. Благовещенск (2007-2009 гг.); на Всероссийской конференции «Современные проблемы философии и техники для будущего России», г. Благовещенск (2008 г.); на международной конференции «Математические методы в технике и технологиях», г. Саратов (2008 г.), г. Псков (2009 г.); на XXXIII Дальневосточной математической школе-семинаре им. академика Е.В. Золотова, г. Владивосток (2008 г.).
Публикации. По теме диссертации опубликовано 11 работ (6 статей, 5 тезисов докладов), имеется свидетельство о государственной регистрации программы. Список работ (без тезисов докладов) приведен в конце автореферата и построен в хронологическом порядке.
Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, разделенных на пункты (пп. 1.1.-1.5. в главе 1, пп. 2.1.-2.5. в главе 2, глава 3 на пункты не разделена), заключения и двух приложений, включает список литературы из 130 наименований. Общий объем диссертации составляет 109 страниц машинописного текста. Работа включает 20 таблиц, 11 рисунков.
Условие разрешимости
Условие разрешимости (1.4) для задачи (1.5) перепишется в виде gmesr+\fdQ 0. (1.6) Покажем, что при выполнении (1.6) решение задачи (1.5) существует и будет единственным. Действительно, определим v{= \yvdT, где veG. mesY г Положим v2 = v - v\. Очевидно, что J у v2dT = 0 . Для таких функций существу г ет положительная константа С такая, что [59] Имеем 1 „„, .,2 j(v1+v2) = -JV(v]+v2) dQ- J/(v, + v2) /Q- Jgy(V] +v2)dT = 2Q fi Г = ifVv22c/Q-J/v2JQ-fg7v2Ur-j/v1flfQ-Jg/v1 r П Q Г П Г Z fi Г VQ г Если IMI fi) 05 тогда хотя бы 0ДНа И3 НРМ Ыи П) ИЛИ Ы ЧП) стремится к бесконечности. Пусть IvJLi . -»оо. Поскольку v є G, имеем v} = \yvdT 0. Зна ш2 ) mesT г чит jjvj WjyifQ) - , если V/ —» - со. И в силу условия (1.6), получим, что vl jfdQ + jgdT \Q ГУ — +00. Пусть v2...i.m. - оо, то, очевидно, II 11) 2 (.i j С 2 ТЫ Щ) - J/V2 Q - \ёУ 2 Г - +00 . Z fi г Таким образом, J(v)-»+oo при v bn) - oo, v є G. Тем самым решение задачи (1.5) существует и, более того, будет единственным. Покажем, что J {у) = J(v), где v и v - решения задач (1.1) и (1.5) соответственно. Имеем J(y) = -\\Vvfda-\fvdl + \g\yv\dr = 2Q Q г = - JVv2dQ- jfvdQ. -\gyvdT = J{v) J(v). 2Q Q Г С другой стороны J(v) j\VV\2dQ-\fVdQ-jgyvdr = 2Q n г = -j\Vv\2dQ-jfvdn + jg\yv\dr = 2fi fi Г = min« — JVw C/Q- \fudQ + jg\yu\dT ueG[2n Q г J min Д fVtt2dQ-J/WQ+fgH l:=y(v). »e/72 (Q)[2Q Q r J Тем самым J(v) = J(v), то есть задачи (1.1) и (1.5) эквивалентны. 1.3. Вариационное неравенство и краевая задача Нетрудно показать, что задача (1.5) равносильна решению вариационного неравенства [32] [veG, 4 jVvV(u-v)dQ-$f(u-v)dQ-\gy(u-v)dr 0 VueG. (1/7) .fi ПГ Действительно, пусть v є G есть решение задачи минимизации. Таким образом, является справедливым неравенство J(v) J((\-X)v + Xu) VueG. Далее, в силу линейности j(v) получаем -a(v,v)-(/,v)-y(v) -а((1- Л)у + Ли,(1- X)v + Ли)-(/,(1- Л)У + Ли)-(1- Л) j(v) Aj(u), -[a((l-A,)v + Au,(l-A)v + Au)-a(v,v)]-A(f, u-v)-A(j(u)-j(v)) 0, Л2 —a(u-v, u-v) + Aa(v, u-v)- Я(/, и - v) - A{j{u) - j(v)) О. Поделив последнее неравенство на Я 0 и устремляя X к нулю, приходим к вариационному неравенству (1.7) Пусть теперь VGG есть решение вариационного неравенства (1.7). Для любого и є G имеем J (и) -J(v) = - a(u, и) - (f, и) - j(u) - - a(v, v) + (/, v) + j(v) = = a(v, u-v)- (f, u-v)- j(u - v) + — a(u - v, и - v) a(v, u-v)-(f, u-v)-j(u-v) 0, таким образом, v є G является решением и задачи (1.5).
В предположении, что решение VGW2(Q), задача (1.5) эквивалентна краевой задаче -Av = / в Q, Л (1.8) dv = 0шГ. dv Л ( — g, v 0, v -—g дп yon J Действительно, покажем эквивалентность постановок (1.7) и (1.8), а, тем самым, и эквивалентность задач (1.5) и (1.8). Пусть v - решение краевой зада ть dv „ чи. Из условия — g на Г вытекает неравенство дп (ду_ дп -g w 0 VWGG, откуда, учитывая третье граничное условие, имеем dv дп (u-v) 0 VMGG Умножим дифференциальное уравнение в (1.8) на (u-v) и проинтегрируем по частям. Получаем J VvV(w - v)dQ -\ y(u-v)dT=\f(u- v)dQ, n Q дп dv f VvV(w - v)dQ- J f(u-v)dCl = \—у (u-v) dr. a n ra" Q Откуда, с учетом последнего неравенства, получаем J VVV(M - v)f/Q - J /(и - v)rfQ = J—r(w - v) с/Г f g y(u - v) dT У и є G, D 2 r W Г то есть v - решение вариационного неравенства. Обратно, пусть v есть решение вариационного неравенства (1.7). Полагаем, и = v ± р, р є D(Q), где D(Q) - пространство бесконечно дифференцируемых функций с носителем, компактным в Q. В силу того, что и = v на Г, из вариационного неравенства нетрудно получить равенство j" VvV c/Q= \fcpdQ., Q Q откуда и следует уравнение в (1.8) (в смысле определения обобщенной производной функций [46, 80]). Умножая это уравнение на (гі — v) и интегрируя по частям, как и ранее, получаем \VvV(u-v)dQ-\—y(u-v)dr=\f(u-v)dQ. Вычитая последнее из (1.7), имеем J—y(u-v)dT- [gy(u-v)dT 0, гдп г rfdv Л j —-8 y(u-v)dr 0VueG. г \дп j Полагая в последнем неравенстве u = v + y/, цг eG, находим, что rfdv l{ ,-g; yi//dT 0 V eG, dv т. следовательно, — g на Г. дп Далее, полагая в том же неравенстве и = 0, затем и - 2v на Г, получим ±1 — ё yvdV Q, Адп J откуда находим, что g v = 0 на Г.
И, таким образом, v является решением краевой задачи (1.8). Для аппроксимации задачи по методу конечных элементов [32, 77] введем следующие обозначения. F/, - триангуляция области 1, h - параметр триан гуляции, Ph — множество узлов триангуляции, Р - множество индексов узлов триангуляции, Ih - множество граничных узлов триангуляции, / - множество индексов граничных узлов триангуляции, Vh = vh = HVjPi ієРи — линейная оболоч ка соответствующих кусочно-аффинных базисных функций ф,. При конечно-элементной аппроксимации бесконечномерной задачи (1.5) получаем конечномерную задачу квадратичного программирования 1(у) = (Ау,у) - (F,y) - min, ує{р№(1)\ =\y-RW:yt0,ieI где матрица жесткости А и вектор F рассчитываются по формулам jfPjdQ, ієР\І, a. jfPidtl + gh, і el. Q In J ijeP
Аппроксимация задачи по методу конечных элементов
Полагая в последнем неравенстве u = v + y/, цг eG, находим, что rfdv l{ ,-g; yi//dT 0 V eG, dv т. следовательно, — g на Г. дп Далее, полагая в том же неравенстве и = 0, затем и - 2v на Г, получим ±1 — ё yvdV Q, Адп J откуда находим, что g v = 0 на Г. И, таким образом, v является решением краевой задачи (1.8). Для аппроксимации задачи по методу конечных элементов [32, 77] введем следующие обозначения. F/, - триангуляция области 1, h - параметр триан гуляции, Ph — множество узлов триангуляции, Р - множество индексов узлов триангуляции, Ih - множество граничных узлов триангуляции, / - множество индексов граничных узлов триангуляции, Vh = vh = HVjPi ієРи — линейная оболоч ка соответствующих кусочно-аффинных базисных функций ф,. При конечно-элементной аппроксимации бесконечномерной задачи (1.5) получаем конечномерную задачу квадратичного программирования 1(у) = (Ау,у) - (F,y) - min, ує{р№(1)\ =\y-RW:yt0,ieI где матрица жесткости А и вектор F рассчитываются по формулам jfPjdQ, ієР\І, a. Q In J ijeP (1.9) (1.10) Под выражением (, ) понимается скалярное произведение векторов в конеч номерном евклидовом пространстве Ех . Из [20, 77] известно, что элемент у , несущий минимум функционалу 1(у) на множестве (в} (1)) удовлетворяет неравенству ІАу -F,y-у \ 0 \/уе(в}Р\і)) , то для решения задачи (1.9) естественно применить метод поточечной релаксации с проектированием [32, ПО]. Расчет компонент вектора-решения для внутренних узлов (/ є Р/Р) триангуляции будем производить по формулам (ні) Ai j t j t Для граничных узлов (/ є Г) триангуляции будем осуществлять релаксацию и проектирование на отрицательную полуось: „+1) =_ і (Z4. +.) + YA M _Fil Ait ] i j i (1.12) /J"+,) = (0-0-) +»Йя+,)). где й?є(0,2) - параметр релаксации.
Значение Ує(0,1) соответствует нижней релаксации, значение со є (1,2) - верхней. Условие останова счета по формулам (1.11)-(1.12) будет указано в приложении 1. При конечно-элементной аппроксимации матрица А квадратичной формы будет вырожденной, и это влияет на сходимость вычислений по расчетным формулам (1.11)-(1.12). Для устранения этого недостатка естественно применить методы с регуляризацией. Существуют два вида регуляризации - регуляризация по Тихонову [17, 79] и итеративная проксимальная регуляризация [ПО]. В случае регуляризации по Тихонову параметр регуляризации необходимо устремлять к нулю, поэтому влияние регуляризации существенно слабеет с возрастанием номера шага. От этого недостатка избавлен метод итеративной проксимальной регуляризации. Применению данного вида регуляризации к исследуемой задаче будет посвящен следующий пункт настоящей главы. 1.5. Метод итеративной проксимальной регуляризации Сохраним все обозначения, введенные в п. 1.4. Аппроксимация множеств G представляется следующим образом G/, = {v/, є F/,: vh(s) 0,s еД}. Рассмотрим последовательность регулярных триангуляции такую, что узлы предыдущей триангуляции включаются в узлы следующей. В силу предположения, что О. - выпуклый многоугольник, выполнится включение Gh czGhM cz...c:G, к = 0,1,2,... Алгоритм итеративной проксимальной регуляризации выглядит следующим образом ([24, ПО]): 1) задаем произвольный элемент z є G; ЗО 2) обозначая vn+l - argmiiK J (v) + a veG [ v — z 2(П) определяем zn+l no критерию zn+\_yn+\ w}&)-n+li где єп О, 2 » j a 0 параметр регуляризации. Из результатов работ [24, 86] следует, что последовательность z"j Lj сходится по норме W2 (ї) к некоторому элементу v при любом выборе параметра регуляризации а О. Для упрощения изложения, положим параметр регуляризации а равным единице. Согласно алгоритму, на (к + 1 )-й итерации будем решать задачу: (1.13) Q - J(Vv2 +2(v-vhk)2)dn- JfvdQ.-\gyvdT- min, 2Q veG, vh - конечно-элементное решение, полученное на предыдущей итерации; hk —» 0 при к — оо. Отбрасывая постоянные слагаемые, получим l(\Vvf +2v2)dQ-\(f + 2vh)vdn-jgrvdT-+mm, Q Q veG.
В качестве приближенной к (1.14) рассмотрим задачу (1.14) 1„1_ 2 . К Угч+ + Н+і ) Q- К/+2v%К+, Q - ter ч+1 л - miR а г (1.15) Из результатов работ [89, 97] следует, что в случае выпуклой области решение УШ задачи (1.14) при любом к принадлежит пространству W22(0) и, кроме того, справедливо неравенство Ml JVi(Q) С\ / + 2v. LzW С O-const. (1.16) Пусть УЛ — приближенное решение задачи (1.15), тогда - ,)+ ч +і - V, Z2(Q) J(v) + V" 2(Q) и, взяв в качестве v = vhk и учитывая включение Ghk с Gh , получим к+\ (v, ,) + nk+\ /гг- і fn ?(Q) S W)
Откуда, отбросив положительное слагаемое в левой части неравенства, получим цепочку неравенств: J(vhk+i) J(vhk) ... J(vl!Q), следовательно, \« 0\ )} ограниченная последовательность, и в силу того, что J(v)-»+oo при ьПч - оо, ограниченной в Wl(Q) является последовательность \yh Г . Таким образом, из (1.16) следует, что и последовательность і к Vю 2 " jv jk=0 является ограниченной в W2 (Q), т.е. ЗС О, что v 2 С, Л = 1,2,... (1.17) v +l-v. Пусть v +1 и v/7 - соответственно точное и приближенное решения задачи (1.15). Оценим »3(п) Так как в двумерном случае W iO.) с С(О), то для v +1 є 0 0 0 существует кусочно-линейное восполнение Vp+l = vk+l(Mi) pi(M), где р,(М) ieP базисная функция триангуляции Fh ; Р - множество индексов узлов текущей (с шагом /гж) триангуляции. Обозначим Jk+dv) = \j(H2 +2v2)dQ- j(f + 2vhk)vdn-lgrvdT Q Q Очевидно, k+] Jk+i(4kJ Jk+i(y p+l) k+\ . +! Л+іКА+1)-Л+іК+1) Л+і +1)-Л+і +1), Л+1 .Л+1\ , - .. +! J[Vv +1V(vAw -v + ) + 2v + (v„1+l -v + Q Q -J(/ + 2V%)(V/;A+I _vA+1)JQ--Jgr(v +i -vk+l)dT + Q Г 4KV(%+1 -v"+1)2+2(%+1 -vk+lf]dO Q -J(/ + 2vAl)(v +l-v +1)dn-JgKvJ+1-v +1)6T + Q ff„, fr + i A+l 2 +-j [V(v +,-vA+1) +2(v +1 -v +,)2№. « .+1 Поскольку v - решение, то оно удовлетворяет вариационному неравенству .+!/.. - А+Ь .k+U J[Vv +V(v-v +V2v +4v-v +l)]eiO - J (/ + 2vA/t )(v - vk+l)dQ - \gy(v - vk+l)dT 0, Vv є (?. a Следовательно, ijtV .-v V+2( ,- )2] Q J[Vv +1 V(v +1 - v +1) + 2vk+](vkP+l - vk+x)]dQ Q. -\{f + 2vhk)(vkP -vk+l)dn-\gy(vkP -v W + +1 j[V(v +1 -V+1) + 2(v +1 -vk+])2]dQ. (1.18) Q Квадратичная форма 2f(v,v) = J(Vv +2v2)JQ эквивалентна квадрату нормы v Q в Й Ф) 5 то есть 3Cl5C2 - положительные постоянные, что Сі№2 (П) (v,v) C2v 1(Q). Тогда из (1.18) получаем
Модифицированный функционал Лагранжа. Характеристические свойства
Определим в W\ (Q) х L2 (Г) модифицированный функционал [35] M(v,/) = J(v) + — j[(/ + r/v)+]2-/2W, где г 0 - const; (/ + г у v)+ = max{0, I + ryv}. Определение 2.2. Пара (v ,/ ) =WJ(Q)xL2(Г) называется седловой точкой для M(v, Г), если выполняется двустороннее неравенство M(v\l) M(v ,l ) M(vf), Vve (Q), V/eZ,2(T). Из определения следует, что inf M(v/)=M(v /) = sup M{v\l). Легко показать, что функционал M(v, /) является выпуклым по v при фиксированном / и вогнутым по / при фиксированном v. Более того, он является дифференцируемым по Гато по двум переменным и имеют место формулы Для исследования рассмотрим абстрактную схему, подобную разработанной для конечномерных задач оптимизации [15, 35, 36]. Позже данная схема была применена для исследования полукоэрцитивной задачи Синьорини [29]. На пространстве W iO.) хL2(Y) х L2(T) определим функционал M{1) = inf M(v,/) = inf J J(v) + — J" {[(/ + r yv)+ v v [ 2r r L -/2 к/Г (2.3) В силу того, что inf inf K{v,l,m) = inf inf K(v,l,m), запишем inf inf K(vJ,m) = inf inf J(v) + \lmdY + - \m2dY \ = от v m v г 2 r = infJ inf J(v) +1ImdT+ -jnrdrl = inf\z(m) + jlmdT+ -jm2dr\, m \yv m j- 2p J от [ p 2p J где %(m) - inf J(v) - функция чувствительности. Поэтому M(/) допускает yv m представление М(/) = inf \ хіт) + \lmdT + \m2dY от (2.4) Задача J (у) - min, v є Gm = [w є И 1 ( ): У w т на г\ имеет решение при любом т є L2{T). Действительно, покажем, что J (у) -» +оо nPHllvILi(n)- oo»veG! » і mesT Определим vj = jyvdT, где veGm. Положим V2 = v-V]. Очевидно, что jv2 ir = 0. Для таких функций существует положительная константа С г такая, что [38] Щ{П) fVvrJQ CvL а Имеем 1 (v,+v2) = -JV(v1+v2) dQ jf(yl+v2)dn-jgy(v]+v2)dr = П - JVv22 Q- \fv2 О.- \gyv2 аТ - \fvx Kl- \gyvxdT a ft C„ „2 Q Г f г J jHw ) if dO-jgyv2aT-v, jfdQ + jgdT Q. ЕсЛИ llVIL (Q) 5 ТОГДа ХОТЯ 6Ы ОДНа И3 НРМ hl CQ) ИЛИ Ы СП) стремится к бесконечности. Пусть \\vl\\w\rn, - оо.
Поскольку v є Gm, имеем Vj = \yvdT m. Ш2УЧ) mesTг Значит viLbQ4 — о, если v/ — - оо. И в силу условия (1.6), получим, что vi SfdQ + jgctr — +00. Пусть v7Li/r., - « , то, очевидно, C„ „2 Таким образом, ,/(v)-»+ao при Мм.ь_.. -x»,ve GOT. Тем самым решение задачи (1.5) существует и, более того, будет единственным. Легко показать, чтох(т) является выпуклой функцией. Действительно, пусть %{тх) = J(yx), х(т2 ) = (v2 ) Для 0 Я ((1 - Я)У] + Я v2) = (1 - Я)у v +Ayv2 (1 - Я) ! +Лт2. Тогда дг((1 - Я)т! + Я m2) = inf y(v) /((1 - X)v{ + Я v2) yv (l A)mi+A m2 (1 - Я) J(v,) + Я J(v2 ) = (1- X)X{mx) + Я Z(m2 ). Из условия (1.6) следует, что х(т) Ф — оо. Следовательно, т) - выпуклый конечнозначный функционал. Тогда функционал %(т) + J ImdT + — J т dT будет г 2Г сильно выпуклым на L2(T), и, следовательно, нижняя грань в задаче (2.4) будет достигаться на единственном элементе т(Г) при произвольном фиксированном / є L2(T). Теорема 2.2. Задача (2.3) разрешима при произвольном фиксированном / е (Z2(H)+. Доказательство. Покажем коэрцитивность функционала M(v, /) по v при фиксированном / є (Х2(Г))+. Для любого v є w\ (Q) границу Г разобьем на две части Гі и Г2 таким образом, чтобы у v 0 на Г і и у v 0 на Г2. Тогда = j l + rrvT\-l2]dr + j[[(l + rrv)+J-l2]dr = = j{l + r yv)2 -l2]dT+ $ \[{l + r yv)+] -12\аТ г, . r2 I J j(llr yv + r2(yv)2]dT- \l2aT \{2lr{yv)+ + r2[(yv)+])aT-$l2aT г2 г \(llr yv+ +r2(yv+)2]aT-\l2aT r2\{yv+JdT-\l2aT. rv J r r r Далее имеем п„ ,2 _ г , _ г „ 1 M(v,/) = -JVvf -J Q-Jg v + —N[(/ + r;Kv)+ 2 Q Q г 2r r L -Г kf = Vv Vv+ 4 c/Q + -j Vv JQ - f fv+dQ - \fv dQ. D. Q a -lgyv+aT-jgyv-dr + j-j {l + ryv)+}2 -l2}dT dQ. + -\Vv-2dQ.-\fv+da-lfv dQ. Q Q Щ(П) -\gyv+dr-lgyv-dT+r-\{yv+Jdr-±-\l2dr. г .+ г г - г V Пусть v bQ4 - оо, тогда хотя бы одна из норм стремится к бесконечности. или Wj(tt) Пусть Щ(П) — оо, то, исходя из того, что величина 1 „ jS7v+2dn-\fv+dn-jgyv+dr + -j(rv+Jdr- +oo. 2. n О r Пусть V о. г г -» оо, тогда, учитывая условие (1.6), получим, что if 2п Vv" dQ- \fv dQ.-\g yv dT -»+оо. Q г Таким образом M(v, /) — + оо при рЦ ь — о при произвольном фиксированном / є (2(Г))+. А это означает, что задача (2.3) разрешима.
Теорема доказана. Рассмотрим задачу (2.5) [М(0 - тах /єІ2(Г) Будем называть ее двойственной к задаче (1.5). Введем функционал М(у)= sup M(v,l), ve (Q). /єі2(П Предположим, что 7 v 0. Тогда (v,/,0) = J(v) V/ є2(Г), поэтому Af(v,/)= inf v,/,m) (v,/,0) = J(v) VveG. тє2(Г) Таким образом, M(v) = sup M(v,/) J(v) VVGG. /ЄІ2(Г) С другой стороны, для всех v є W\ (Q) (2.6) Af(v,0)= inf l(v,0,m)= inf AT(v,0,/w) = un4J(v)+ -/т2 ЯЧ = yv m I yv m /ЖЕІ2(Г) = J(v) + - inf JVGT J(V). 2 rv m p Таким образом, Af(v)= sup M(v,/) M(v,0) J(v) VVG (Q). /єІ2(Г) (2.7) Из (2.6), (2.7) вытекает (v) = J (у) Vv є G. Рассмотрим функцию (2.8) K(v,!,m) = J{v) + \lmdT, /v m, г + oo в противном случае. Тогда для / є (L2 (Г))+ inf K(v,I,m) = 7(v) + flyvaT = L(v,l). Очевидно, что K(v,l,m) K(v,l,m), поэтому для /є(Х2(Г))+ M(v,l) L(v,l). Следовательно, M(v) L(v), где L(y)= sup L(v,l). Если /є( (Г))+ V G, то L(v) = sup (v,/) = sup \j{v)+\l у vdT\ = +00 /є(і2(Г))+ /є(і2(Г))+ І Г и, тем самым, M(v) = +оо Vv g G. Тогда из (2.8), (2.9) получаем (2.9) M(v) = ./(v), v є G, + 00, v . G. Поэтому исходную задачу можно представить в виде М(у) - min, veWJ(Q). Очевидно, что inf sup M(v,/) sup inf M(y,l), УЄИ2(П)/ЄІ2(Г) /ЄІ2(Г)УЄ» (П) (2.10) (2.11) inf M(v) sup M(0 ує (П) /є2(Г) Последнее неравенство означает, что если для некоторой пары эк эк 1 АЛ эк ж (v ,/ ) eWj(Q.)x Ь2(Г) выполнено равенство М(у ) = М(/ ), то v и / являются решениями задач (2.10) и (2.5) соответственно.
Итеративная проксимальная регуляризация модифицированного функционала
Умножим второе на — и сложим с первым. Тогда получим г vk -v 2 1 + L2(Q) Г / -/ L2(Q) v -v +1 +2(v -vA+1,v +1-v )L 2(Q) LAO) V У + v +1-v L2(Q) + + Ik-jUk + l + - 2 (О Г // + 1-/ 2 (П И Отсюда и из (2.33) вытекает следующее соотношение Д+1 // + 1-/ ЫП 2 1 + -Ь2(П) г + L2(Q) 2 1 + -I2(Q) r /-v +1 1к -I VA - V L2&) 1 + + / V+1 +l_v 2 І2(П откуда и следует формула (2.27). 7k+l k+1 Из формул для / , и из (2.24) следует lk+x-Mk+x (l +rrvk+])+-(lk+rrvk+])+ L2(X) rC lk+ryvk+]-lk-ryvk+l L2(X) vk+x -vkfl rCSk, W2\Q.) = r yV \_y \ 2(П где С О - константа вложения ( ) в г( )-Поэтому zk+l-wk+] 62+-r2C2S2k=(l + rC2)S2 г Из (2.27) имеем w +1-z z -z Неравенство (2.35) дает z +1-z zk+]-wk+l + w +1-z Vl + rC2 + zk -z к = 1,2,... Таким образом, имеем zk+l-z лІ\ + гС28к + zk-z zk+2-z l + rC2Sk+l + zk+l-z zk+p-z лІ\ + гС2Зк+р_х + Суммируя, получаем zk+p x -z \zk+p-z p z /=1 Vi + rc22 -i + z — z Vl + rC2Z +/_1 + zk-z (2.36) /=1 Отсюда следует ограниченность в L2(Q) х г(Г) последовательности z - z ]. Тогда из (2.35) вытекает, что последовательность \wk) ограниченна в L2(Q) х L2{T). Пусть lim zk -z = lim 0 rt-»cc z " -z Неравенство (2.36) при k = kn дает A„ +/-1 zA"+/,-z oo l + rC2SJy /=1 + (n _ r Устремив /і к бесконечности, для/? =1,2,... имеем zk»+p -Z lim П—»00 lim z — Z О А или lim т— х z -z lim 0 /t- oo z -z т.е. lim m— «5 zw-z существует, что означает сходимость последовательности Z — Z .} Из (2.27) следует wk+ l-zk 2 0 fk-z 2 0 W )t+l _ z 2 0 zk-z 40 1 v/+1-z +1 0 zk+l -z Учитывая (2.35), при к — x имеем limк -»оо wk+]- - z = 0.0 (2.37) (2.38) Теперь из (2.33) следует \ima(vk+l -v ,vk+l -v ) = 0. A-»oo Следовательно, w j ограниченна в fT2 ( )x 2 (Г) Тогда последовательность jv j компактна в L2(Q). Повторно применяя (2.38), получаем компактность последовательности jv ] в W2 (Q). Теорема доказана. Теорема 2.10. Пусть выполнено условие теоремы 2.9 и, кроме того, решения v , = 1,2,..., вспомогательных задач (2.26) удовлетворяют следующим условиям l)vkGWi(Q),k = \,2,..; 2) Wj (Q) С, OO-cowrf.
Тогда последовательность \z j сходится к единственной седловой точке (v , / ) функционала L(y, /). Доказательство. Из (2.38) следует, что lima(yk+l -v ,vk+1 -v ) = 0. к -»оо (2.39) Так как a{vk+x-vk,vk+x-vk) = л к+\ ,. \ , о„/ Л+1 .. .. „к\ , „/,. ..к .. ..& к+\ = a(v +1 -v ,v"+1 -v ) + 2tf(v +1 -v ,v -v/c) + a(v -v%v -vft), то lim a(vk+] -vk ,vk+[ - v ) = 0, что вместе с равенством (2.37) дает к- со lim к- оо wk+l-zk = 0. (2.40) k+\ В силу условия 1) теоремы, решение v задачи (2.36) является одновременно и решением краевой задачи дп g =\lK +r yv) на Г. Тем самым g = // предположения 1), 2) теоремы гарантируют дп компактность последовательности {ju } в L2(T), поэтому последовательность {wk} компактна в W\ (Q) х L2 (Г). Пусть lim w т =с = (а ,Ь ). Г— Так как А _п : г - w т + wkf -с , то из (2.35) следует, что lim Т—»00 Z т -С = 0. Покажем, что с является седловой точкой функционала ЛагранжаДу, /). Имеем мА+1-с W Ят+\ к, + сг _ п Тогда с учетом (2.28) получаем, что lim г— оо кт +1 W г — С = 0, Тем самым lim Г— оо кт +1 = 0. В формуле 1кт+1=([к +ryvkr+l)+ С"1- В устремим т к бесконечности. И из условия lim z т = lim z Г-»0 г—»оо кт + 1 _ ., Ж2 (О) х Х2 (Г) вытекает, что b = (b + г у а )+. Это равенство эквивалентно соотношениям у а О, Z 0, у a b = 0. Равенство (2.32) равносильно соотношению (vA+1-vA,v)0+a(vA+1,v)-(/,v)0-Jgrv + (2.41) +J(/ +ryvk+l)+rvaT = 0, Vve Q). Пусть A: = кт, устремим г к бесконечности. С учетом (2.40) получаем a(tf ,v) - (/,v)0 - \gyvdT + j(b +rу a )+ yvaT = 0, Vv є W\(Q), г г или a(a ,v) - (/, v)0 - f gyvdT + \b yvaT = 0, Vv є W2\Q). г г Следовательно, L(a ,b ) L(v,b ) Vve CH). (2.42) Совокупность условий (2.41), (2.42) означают, что точка с = ( я , 6 ) является седловой для функции L(v, Г). Ранее было показано существование lim т- ю г -7 для любой седловой точки z , в том числе и для с .
Так как lim Г- со Вместе с условием (2.39) это означает, что -0, lim zw - С А _ = 0,то lim 0 /я—юо zm-c = 0. то есть последовательность {z } сходится К С В 0 2 (Q) х 2 (Г) Покажем единственность седловой точки. Из условий 1), 2) теоремы следует, что {v } слабо компактна в W2(Q). Пусть а — слабый предел в О & к к W2 (Q) подпоследовательности {v J}. Но {v J} вместе с {v J} сходится і к і сильно в W2 (О) к а . Значит, {v J } сходится слабо к а в : (Ф) Так как сопряженное к W2(Q) пространство вложено в сопряженное к W2(Q) пространство, то из единственности слабого предела следует, что а = а и, следовательно, а є W2 (Q) Тогда, функционал Лагранжа L(v, I) _ имеет единственную седловую точку с = ( V v ,g ду Л дпУ то есть
Похожие диссертации на Оптимизационные методы решения вариационных неравенств
-
