Введение к работе
Актуальность темы. В настоящее время одним из наиболее эффективных методов решения задач математической физики является конечно-разностный метод или метод сеток. В частности, он широко используется при решении эволюционных уравнений и неравенств.
Теория этого метода для линейных параболических уравнений и неравенств развита к настоящему времени достаточно полно. Различные аспекты этой теории освещены, например, в монографиях и обзорах А.А. Самарского, А.В. Гулина, П.Н. Вабшцевича, Р. Гловинского, Ж.-Л. Лионса, Р. Тремольера.
Нелинейные параболические уравнения и неравенства также давно являются объектами изучения. В работах В.Н. Абрашина, В.Ф. Ба-клановской, М. М. Карчевского, А.В. Лапина, А.Д, Ляшко исследование разностных схем проводится при условии существования гладкого решения. Достаточно подробно изучены разностные схемы для параболических уравнений и неравенств со слабой нелинейностью, а также с монотонными пространственными операторами.
Особое место среди нестационарных задач занимают задачи, в которых нелинейность присутствует не только в пространственном операторе, но и в "параболической" части. Наличие двойной нелинейности существенно усложняет исследование. Изучению устойчивости и сходимости разностных схем для таких задач при условии, что "временная" нелинейность не имеет особенности, и в предположении гладкости решения посвящены, например, работы Н.В. Арделяна и Е.М. Федотова. Проблема становится еще более сложной, когда рассматриваемая задача допускает вырождение и в пространственном операторе, и в нелинейности, присутствующей в "параболической" части. Такие задачи получили название задач с двойным вырождением. Они часто встречаются в приложениях, например, при математическом моделировании процессов неньютоновской фильтрации,
диффузии, таяния ледника, совместного движения поверхностных и подземных вод, фильтрационной консолидации и др. В то же время, методы решения таких задач изучены слабо.
Цели исследований. Основная цель работы - построение и исследование сеточных методов решения нелинейных задач математической физики, содержащих уравнения и вариационные неравенства с двойным вырождением, при минимальных предположениях о гладкости исходных данных, обеспечивающих лишь существование обобщенного решения задачи. В этом случае исследование сходимости приближенных методов тесно взаимосвязано с вопросом о разрешимости рассматриваемой задачи, и часто второе является следствием первого.
Методика исследований. Исследование всех рассматриваемых в работе задач проведено в едином стиле. При доказательстве теорем существования используется метод полудискретизации и метод Га-леркина, а в случае вариационных неравенств также и метод штрафа. Построение разностных схем проводится с помощью метода сум-маторных тождеств. Исследование сходимости дискретных методов основано на получении априорных оценок восполнений приближенных решений в нормах соболевских пространств и последующем предельном переходе. При этом существенно используется аппарат теории функций и нелинейного анализа.
Для линейных уравнений математической физики аналогичная методика подробно разработана О. А. Ладыженской.
Научная новизна работы определяется следующими ее основными результатами
-
Предложены и исследованы разностные методы решения нелинейных эволюционных уравнений с двойным вырождением.
-
Доказана теорема существования решения вариационного эволюционного неравенства с двойным вырождением. Предложен сеточный метод решения этого неравенства, доказана его сходимость.
-
Доказана теорема существования обобщенного решения задачи о совместном движении поверхностных и подземных вод, для решения этой задачи предложена явная разностная схема, исследована сходимость построенной схемы. Доказана теорема существования решения вариационного неравенства теории совместного движения поверхностных и подземных вод.
-
Изучены свойства решения вариационного неравенства теории нестационарной фильтрации с предельным градиентом при разрывном законе фильтрации. Построены сеточные аппроксимации рассматриваемого вариационного неравенства, доказана их сходимость.
-
Предложена обобщенная постановка задачи фильтрационной консолидации. Доказаны теоремы существования решения при различных краевых условиях.
Практическая значимость. Результаты теоретических исследований и разработанные численные методы могут быть использованы при решении конкретных задач фильтрации неньютоновской жидкости, диффузии, таяния ледника, совместного движения поверхностных и подземных вод, фильтрационной консолидации и др.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на Международной конференции "Численные методы и приложения" (София, 1984), на Международной конференции "Численные методы и приложения" (София, 1988), на Международной научной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения Н.Г. Чеботарева (Казань, 1994), на Международной конференции "Optimization Of Finite Element Approximations" (St.-Petersburg, 1995), на Международной конференции "Advanced Numerical Analisys" (Moskow, 1995), на Международной конференции и Чебышевских чтениях, посвященных 175-летию со дня рождения П.Л. Чебышева (Москва, 1996), на 5-ой Всесоюзной конференции "Актуальные проблемы вычислительной и прикладной математики" (Новосибирск, 1987), на конференции "Алгебра и анализ" (Тарту, 1988), на всероссийском семинаре "Теория
сеточных методов для нелинейных краевых задач" (Казань, 1996), на школе-конференции, посвященной 100-летию со дня рождения Б.М. Гагаева (Казань, 1997), в МГУ ыа семинаре под руководством А.А. Самарского, в МЭИ на семинаре под руководством Ю.А. Ду-бинского, на семинарах кафедры вычислительной математики Казанского государственного университета под руководством А.Д. Ляшко, а также на итоговых конференциях Казанского университета 1983-1997 годов.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 19 работах.
Обьем и структура работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав и списка литературы, содержащего 125 наименований. Работа изложена на 238 страницах.
