Введение к работе
Актуальность темы. В последние десять лет постоянно возрастает интерес к новым эффективным численным методам решения задач о рассеивании электромагнитных и акустических волн, особенно, п области высоких частот, т.е. когда длина волны много меньше характерного размера препятствия на котором она рассеивается. Необходимость решать такие задачи возникает, в частности, при оптимизации формы и покрытия рассеивающего препятствия (например, самолёта), минимизирующие интенсивность отраженного сигнала в заданном диапазоне частот и направлений; при изучении процесса распространения сейсмических волн; в ультразвуковой эхолокации и томографии. Во многих приложениях рассматриваются монохроматические волны и математические модели, приводящие к волновому уравнению Гельмгольца в неограниченной области с условием излучения Зоммерфельда на бесконечности. Практически единственным путём решения этой задачи является проведение численных экспериментов на ЭВМ.
С вычислительной точки зрения, задачу п неограниченной области необходимо заменить задачей в ограниченной области путём введения искусственной границы Г, описанной вокруг облучаемого препятствия, с краевым условием на ней, моделирующим условие Зоммерфельда. Физические граничные условия на Г должны беспрепятственно пропускать волны, распространяющиеся от рассеивающего препятствия и отражать волны от внешних источников. На практике, вместо физических условий, используют поглощающие граничные условия (ПГУ) более простой формы. Высокими поглощающими свойствами обладают нелокальные граничные условия, связывающие решение во всех точках искусственной границы. При этом искусственная граница может располагаться очень близко от поверхности рассевающего препятствия, что уменьшает размерность возникающих алгебраических задач. Недостатком подхода является то, что аппроксимация нелокального ПГУ приводит к появлению плотных блоков в матрице задачи. Альтернативный подход основан на использовании локальных ПГУ и приводит к системам сеточных уравнений в которых каждое неизвестное, соответствующее узлу на искусственной границе, связано с несколькими соседними. Уменьшение амплитуды отражённой волны достигается либо увеличением порядка локального ПГУ, либо удалением искусственной границы от поверхности препятствия. Сложность теоретического анализа и практической реализации делает первый вариант бесперспективным. Второй вариант приводит к существенному увеличению размерности алгебраических задач.
Актуальность темы. В последние десять лет постоянно возрастает интерес к новым эффективным численным методам решения задач о рассеивании электромагнитных и акустических волн, особенно, в области высоких частот, т.е. когда длина волны много меньше характерного размера препятствия на котором она рассеивается. Необходимость решать такие задачи возникает, в частности, при оптимизации формы и покрытия рассеивающего препятствия (например, самолета), минимизирующие интенсивность отраженного сигнала в заданном диапазоне частот и направлений; при изучении процесса распространения сейсмических волн; в ультразвуковой эхолокации и томографии. Во многих приложениях рассматриваются монохроматические волны и математические модели, приводящие к волновому уравнению Гельмгольца в неограниченной области с условием излучения Зоммерфельда на бесконечности. Практически единственным путём решения этой задачи является проведение численных экспериментов на ЭВМ.
С вычислительной точки зрения, задачу в неограниченной области необходимо заменить задачей в ограниченной области путём введения искусственной границы Г, описанной вокруг облучаемого препятствия, с краевым условием на ней, моделирующим условие Зоммерфельда. Физические граничные условия на Г должны беспрепятственно пропускать волны, распространяющиеся от рассеивающего препятствия и отражать полны от внешних источников. На практике, вместо физических условий, используют поглощающие граничные условия (ПГУ) более простой формы.
КТ ГГЧЛЧГГТЪ »ТТ ТТЛТ TT/-YTTTO ТУЧТТТТТЛ *ТХ ГППТІ^ТП'ІІНІЇ /~Ч^ГТ'1ГТҐ> 1ГЛТ> Tift ТТЛ» ТУ 'ЇГТТІТТТГ» Т*Ч"»*1 ЇТТТЇТ"ІТТ то X-tXM-^\*X^.XXi.vXXX XX\JX VX\JX-XX,tbX\SXX-l,XXi.vXXX V, X-H-* MX \, X JJtiiY» XX Чи^ІАДІНЧ/ J. li\,UiUlUWllJUmb і j/lillli IIIUIV,
условия, связывающие решение во всех точках искусственной границы. При этом искусственная граница может располагаться очень близко от поверхности рассевающего препятствия, что уменьшает размерность возникающих алгебраических задач. Недостатком подхода является то, что аппроксимация нелокального ПГУ приводит к появлению плотных блоков в матрице задачи. Альтернативный подход основан на использовании локальных ПГУ и приводит к системам сеточных уравнений в которых каждое неизвестное, соответствующее узлу на искусственной границе, связано с несколькими соседними. Уменьшение амплитуды отражённой волны достигается либо увеличением порядка локального ПГУ, либо удалением искусственной границы от поверхности препятствия. Сложность теоретического анализа и практической реализации делает первый вариант бесперспективным. Второй вариант приводит к существенному увеличению размерности алгебраических задач.
Общая методика исследований. В диссертации использованы результаты и методы аппроксимации, матричного анализа и матричных итерационных методов.
Научная новизна. Предложены и исследованы новые численные методы решения двух- и трёхмерного волнового уравнения Гельмгольца в случае высоких частот.
Практическая значимость. Разработаны комплексы программ, реализующие приближенные методы декомпозиции области для двумерного волнового уравнения Гельмгольца в неограниченной области с кусочно-постоянными коэффициентами и с условием излучения на бесконечности и методы фиктивных компонент для трёхмерного волнового уравнения Гельмгольца в неограниченной области с условием излучения на бесконечности.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях и семинарах:
t семинарах лаборатории вычислительной математике ИВМ РАН, в университете г. Юваскюла (Финляндия),
3-м международном симпозиуме по численному анализу (Москва, 1992), 1-м российско-финском симпозиуме по численному анализу (Финляндия, 1992), 2-м международном симпозиуме по аппроксимации и численным методам решения уравнений Максвелла (USA, 1993), франко-российском совместном симпозиуме по вычислительной математике и приложениям (Москва, 1994), 4-ой международной конференции по численному анализу (Москва, 1995).
Публикации. По теме диссертации опубликовано две работы, список которых приведён в конце автореферата.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения и списка литературы объёмом 91 наименований. Общий объём работы 109 страниц, из них 20 страниц с таблицами и рисунками.
