Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Локальная геометрия многообразий Карно 23
1.1. Определение многообразия Карно 23
1.2. Локальная аппроксимация пространств Карно—Каратеодори . 26
1.3. Координаты второго рода 32
1.4. Соединимость точек многообразия Карно горизонтальным кривыми 35
1.5. Метрические свойства многообразий Карно 40
Глава 2. Неравенство Пуанкаре 44
2.1. Доказательство неравенства Пуанкаре 44
2.2. Следствия из неравенства Пуанкаре 54
Глава 3. Аппроксимативная дифференцируемость отображений многообразий Карно 58
3.1. Дифференцируемость в субримановой геометрии 58
3.2. Аппроксимативный предел и аппроксимативная дифференцируемость 61
3.3. Теорема об аппроксимативной дифференцируемости 64
3.4. Приложения теоремы об аппроксимативной дифференцируемости 85
Глава 4. Свойства поверхностей уровня слаборегулярных функций на группах Карно 89
4.1. Непрерывно дифференцируемые отображение 89
4.2. Гиперповерхности в группах Карно 90
4.3. Свойства параметризаций //-регулярных поверхностей 95
Заключение 118
Список литературы
- Локальная аппроксимация пространств Карно—Каратеодори
- Следствия из неравенства Пуанкаре
- Аппроксимативный предел и аппроксимативная дифференцируемость
- Гиперповерхности в группах Карно
Введение к работе
Актуальность темы исследования, ее разработанность
Напомним, что субримановым пространством называется С-гладкое риманово многообразие М с заданным на нем распределением Н С ТМ меньшей размерности и скалярным произведением (,) : Н х Н —> К. Распределение Н называется горизонтальным и задает допустимые направления движения, т. е. допустимыми траекториями в субримано-вом пространстве являются абсолютно непрерывные кривые 7 такие, что 7 Є Н почти всюду. Впервые объекты такого типа появились в работе К. Каратеодори 1909 г. [1], в которой термодинамический процесс моделируется как кривая в Кга, а изменение тепла — как интеграл подходящей 1-формы 9 вдоль этой кривой. Физик С. Карно доказал, что существуют состояния, между которыми нельзя перейти по адиабатических процессам. В терминах Каратеодори это означает, что их нельзя соединить кривой, вдоль которой 9 вырождается. В честь этих ученых, метрику, возникающую как точную нижнюю грань длин некоторого класса допустимых кривых, называют метрикой Карно—Каратеодори, а соответствующие метрические пространства — пространствами Карно—Каратеодори. Приложения субрима-новых пространств и более общих пространств Карно—Каратеодори достаточно обширны, они естественным образом возникают в теории гипоэллиптических операторов, теории оптимального управления, а также находят приложения в экономике, квантовом управлении, нейробиологии, и многих других инженерно-прикладных задачах.
В математической модели термодинамического процесса, построенной Каратеодори, существовали состояния, недостижимые по допустимым путям. Естественным был вопрос о том, какими условиями должно обладать горизонтальное распределение, чтобы любые две точки можно было соединить допустимым путем. Ответ на этот вопрос был независимо получен в 1938-39 гг. П. К. Рашевским [2] и В. Л. Чоу [3]. Рассмотрим на многообразии М набор С-гладких векторных полей Х\,... ,Хп. Коммутатор двух векторных полей X и У определяется как величина [X, Y] = XY — YX. Коммутатором порядка г назовем итеративный коммутатор [Xh, [ХІ2,... [Xir_1, Xir]... ]].
Теорема 1 (Рашевский, Чоу). Пусть М — связное многообразие. Если существует такое натуральное г, что векторные поля Хх,..., Хп и их коммутаторы до порядка г включительно порождают все касательное расслоение ТМ, то любые две точки х, у Є М можно соединить абсолютно непрерывной кривой, составленной из конечного числа отрезков интегральных линий векторных полей Х\,..., Хп.
Эта теорема имеет важное значение для задач управления: если векторные поля Хі,..., X, удовлетворяют условиям теоремы 1, то для краевой задачи
q(t) = ul(t)Xlq(t) + ---+un(t)Xnq(t), q(0) = qQ, q(T) = qu (1)
найдутся управляющие параметры щ, доставляющие решение уравнения.
В анализе значительный интерес к субримановым пространствам возник после работы Хёрмандера [4] 1967 г. Исследуя гипоэллиптичность операторов определенного вида, он пришел в точности к тому же условию, что и в теореме Рашевского—Чоу.
Теорема 2 (Хёрмандер). Пусть С-векторные поля Хь... ,Хп удовлетворяют условиям
теоремы 1. Тогда оператор L = Y^ Щ + -^"і является гипоэллиптическим, т. е. если и —
г=2
решение дифференциального уравнения
Lu = Y, Х?и + Ххи = / (2)
г=2
в смысле распределений и f Є С, то и Є С.
Одним из важных примеров уравнений типа (2) является уравнение диффузии Колмогорова
д2и ди ди дх2 ду dt
Важный класс субримановых пространств представляют так называемые эквирегуляр-ные субримановы пространства. Горизонтальное распределение Н индуцирует на ТМ фильтрацию
н = нг С Я2 С С Нг = ТМ, (3)
где Hk = span{[Xh,[Xi2,... [Xirn_1} Xim]...]] : m = 0,..., к} и {Х;}=1 — базис Я. Если в окрестности некоторой точки хо размерности Нк(х) постоянны, точка xq называется регулярной. Пространство Карно—Каратеодори, состоящее только из регулярных точек, называется эквирегулярным. В 1976 г. Л. П. Ротшильд и И. М. Стейн [5] доказали, что в окрестности регулярной точки субриманово пространство может быть в определенном смысле приближено нильпотентной стратифицированной группой Ли (группой Карно). В этой же работе ими показано, что произвольное пространство Карно—Каратеодори можно расширить до некоторого эквирегулярного пространства большей размерности. В дальнейшем были разработаны различные обобщения и модификации этого метода [6-8], позволяющие свести исследование многих задач на произвольных пространствах Карно—Каратеодори к изучению эквирегуляр-ных пространств.
Задачи (1) и (2) достаточно хорошо изучены для С-гладких векторных полей, однако практические задачи как правило имеют куда меньшую регулярность. В связи с этим естественно изучать субриманову геометрию, возникающую при пониженной регулярности векторных полей. В работах М. Браманти, Л. Брандолини и М. Педрони [8-10] изучены базовые свойства векторных полей и соответствующих операторов Хёрмандера гладкости С""-1'", где г — глубина пространства Карно—Каратеодори, т. е. при минимально возможной гладкости, при которой еще имеют смысл классические условия Рашевского—Чоу (см. теорему 1). Некоторые классы негладких векторных полей также изучены в работах [11-13].
Новый подход к изучению пространств Карно—Каратеодори пониженной гладкости предложили С. К. Водопьянов и М. Б. Карманова. Основываясь на идеях работы М. Громова [14], в работе [15] 2009 г. они определили эквирегулярное пространство Карно—Каратеодори для С1'"-гладких векторных полей, 0 < а < 1, следующим образом:
Определение 1. iV-мерное С-гладкое риманово многообразие М назовем пространством Карно—Каратеодори, если в касательном расслоении ТМ фиксирована последовательность
С^-гладких подрасслоений
н = нг С я2 с с ям = тм
постоянной размерности таких, что [i^, i7j] С Ді+j для г+j; < М. Кроме того, пространство Карно—Каратеодори называется многообразием Карно, если
Нк = span{#fc_b [Щ, Hj] :г+з = к}. (4)
Заметим, что в окрестности х Є М можно выбрать базис из С1'"-гладких векторных полей Хі,...,XN, ассоциированный с расслоением (4), т. е. такой, что Щ = span{Xi,..., XdimH.}. М. Громов в работе [14] сформулировал следующее утверждение:
Теорема 3. Положим degXj = min{m : Хі Є Нт} и рассмотрим семейство векторных полей {edegXiXi}. Если это семейство масштабировать в є раз относительно точки д Є М, т. е. взять подходящие локальные координаты 9д и осуществить растяжение
Af : вд(хъ ...,xN)^ Єд(є-Ае^хг,.. .,є-^х"хп),
то существует равномерный предел (Af )tfedegXiXi —> Xf, где векторные поля X? образуют базис нильпотентной градуированной группы Ли.
Таким образом, нильпотентная градуированная группа Ли (группа Карно в случае многообразия Карно) является в определенном смысле касательным пространством к пространству Карно—Каратеодори. Громов сформулировал эту теорему для С1-гладких векторных полей, однако В. Берестовский показал (см. [15, Example 2.2.15]), что его рассуждения даже для гладкого случая требуют исправлений. А. В. Грешнов предложил новое доказательство этой теоремы для С1-гладких векторных полей [19]. С. К. Водопьянов и М. Б. Карманова в [15] получили оценки расхождения геометрий исходного пространства и приближающей его локальной группы. Эти результаты позволили им в случае а > 0 доказать ряд свойств, привычных для классических пространств Карно—Каратеодори, в том числе:
любые две точки связного многообразия Карно можно соединить абсолютно непрерывной кривой, состоящей из счетного числа отрезков интегральных линий горизонтальных векторных полей (аналог теоремы 1);
шар Карно-Каратеодори можно вписать в параллелепипед и описать вокруг параллелепипеда контролируемых размеров (так называемая Ball-Box теорема [16]).
Одним из приложений результатов настоящей диссертации является построение адекватной теории пространств Соболева на многообразиях Карно. Пространства Соболева на пространствах Карно—Каратеодори служат для определения классов решений субэллиптических уравнений [22, 23]. В настоящее время стремительно развивается теория Соболева в достаточно общих метрических пространствах (см., напр., [24-26] и ссылки в них). В работе [25] показано, что для получения оценок Соболевского типа на метрическом пространстве с мерой достаточно потребовать условие удвоения меры и выполнение некоторого аналога неравенства Пуанкаре. Таким образом, для получения оценок Соболевского типа на многообразиях Карно ключевыми шагами являются:
-
доказательство существования метрики Карно—Каратеодори dcc;
-
доказательство условия удвоения для меры Хаусдорфа ^Hvdcc, где v — хаусдорфова размерность многообразия Карно;
-
доказательство неравенства Пуанкаре вида ||/ - fn\\Lp(n) < || (X1f,... ,Xnf)\\Lq{n), где Xi,... ,Хп — базис горизонтального распределения Я, аП- область определенного класса.
В настоящей диссертации пункты 1) и 2) доказаны для С1-гладких векторных полей, неравенство Пуанкаре получено для С1'"-гладких векторных полей, а > 0, если 1 < р = q < оо и П — область Джона. Неравенство Пуанкаре на классических пространствах Карно—Каратеодори впервые было получено в работе Д. Джерисона [28] для шаров Карно— Каратеодори и р = q = 2. В работах [12, 13] неравенство Пуанкаре получено для некоторых классов негладких векторных полей, а в [9] — для С""_1,1-гладких полей, удовлетворяющих условию Хёрмандера.
Третья глава диссертации посвящена вопросам дифференцируемости отображений многообразий Карно. В классическом анализе хорошо известен результат, доказанный X. Раде-махером в 1919 г.:
Теорема ([29]). Пусть U — открытое множество в Ега и / : U —> Rm — липшицево отображение. Тогда / дифференцируемо почти всюду в U.
Условие липшицевости является лишь достаточным и В. В. Степанов в 1923 г. доказал дифференцируемость почти всюду более общего класса функций:
Теорема ([30]). Если множество А С 1" измеримо и отображение / : U —> Ет удовлетворяет условию lim Т _ і < оо в каждой точке а Є А, то / дифференцируемо почти всюду в А.
Дальнейшее обобщение стало возможно благодаря введенному Степановым понятию аппроксимативного дифференциала, т. е. дифференциала, который рассматривается не в классическом смысле а в смысле предела по мере, аппроксимативного предела. Если мы рассмотрим сходимость отношения ^х+ vj_~^x> к значению L(v) линейного отображения L : Шп —> Ш.т в различных топологиях единичного шара 5(0,1) С Шп, то мы придем к различным понятиям дифференцируемости. Сходимость к L в равномерной топологии С(В(0,1)) дает нам классическую дифференцируемость. Сходимость к L по мере дает понятие аппроксимативной дифференцируемости в евклидовых пространствах (см., напр., [31]). Следует отметить, что если отображение имеет классический дифференциал, то оно имеет и совпадающий с ним аппроксимативный, т. е. понятие аппроксимативной дифференцируемости обобщает классическое понятие дифференцируемости.
Используя понятие аппроксимативного дифференциала В. В. Степанов доказал [32], что отображение аппроксимативно дифференцируемо почти всюду тогда и только тогда, когда оно имеет аппроксимативные частные производные по каждой переменной почти всюду. Это утверждение является аппроксимативным аналогом классического результата о том, что отображение непрерывно дифференцируемо тогда и только тогда, когда оно имеет непрерывные частные производные. Различные критерии аппроксимативной дифференцируемости в евклидовых пространствах были получены Г. Федерером [33, 34] и X. Уитни [35].
Подходящее понятие дифференцируемости на группах Карно, называемое теперь Р-диф-ференцируемостью, было определено П. Панею в работе [36]. Отображение групп Карно Р-дифференцируемо, если оно приближается гомоморфизмом групп в метрике Карно—Ка-ратеодори. Это понятие было введено для доказательства некоторых результатов теории квазиконформных отображений [36, 37]. В работах [15, 38] понятие Р-дифференцируемости было распространено для отображений Карно—Каратеодори для обобщения теорем Радема-хера и Степанова. В [39] вводится определение аппроксимативного дифференциала отображений групп Карно и доказываются критерии аппроксимативной дифференцируемости. В диссертации получены аналогичные результаты для отображений многообразий Карно.
В четвертой главе диссертации изучаются поверхности уровня непрерывно дифференцируемых (в субримановом смысле) вещественнозначных отображений групп Карно. Классическая теорема математического анализа о неявной функции утверждает, что поверхность уровня С1-гладкого отображения / : Жп —> Жк, п > к, с дифференциалом максимального ранга является графиком С1-гладкого отображения д : Жп~к —> Жк над некоторой (п — /с)-мерной гиперплоскостью. Если же мы рассмотрим отображение, непрерывно дифференцируемое в субримановом смысле, то в римановой метрике оно лишь гёльдерово, и его поверхности уровня могут иметь фрактальную структуру. Общей теории для поверхностей уровня отображений субримановых пространств не существует до сих пор. Для вещественнозначных функций на группах Карно известно [40], что поверхность уровня можно параметризовать как «внутренний график», т.е. множество точек вида exp(ip(q)X)(q), где q Є П — точки некоторой гиперплоскости П в группе, горизонтальное векторное поле X трансверсально П и <р є С(П). Есть подобные результаты для отображений / : Шп —> Жк, где к < п, и отображений групп Карно, связанных специальными условиями, однако, существование такой параметризации в общем случае является скорее исключением, чем правилом. Например, уже в случае отображений / : Н1 —> Ж2, которые были исследованы в работах [41, 42], это неверно, и их анализ оказывается куда более трудной задачей.
Заметим, что во всех предыдущих результатах доказано лишь, что параметризация непрерывна. Регулярность параметризаций поверхностей уровня отображений / : Шп —> Ж изучена в диссертациях Д. Виттоне [43] и Ф. Биголина [44]. При этом обнаружена интересная связь между поверхностями уровня отображений и нелинейными законами сохранения. Показано, что непрерывное отображение <р : Ж2 —> Ж параметризует поверхность уровня дифференцируемого отображения Н1 —> Ж2 тогда и только тогда, когда она является слабым решением уравнения Хопфа
Цели и задачи. Цель диссертационного исследования — установить различные геометрические и аналитические свойства субримановых пространств при минимальной гладкости векторных полей. В диссертации поставлены и решены трудные задачи анализа, ожидаемые и привычные для гладкого случая или в евклидовых пространствах, но не переносящиеся тривиально на случай векторных полей минимальной гладкости. Эти результаты представляют независимый интерес, но также являются фундаментом для дальнейших исследований.
Основные положения, выносимые на защиту.
Утверждение о том, что любые две точки многообразия Карно с С1-гладкими векторными полями можно соединить допустимой кривой.
Доказательство неравенства Пуанкаре для многообразий Карно с С^-гладкими векторными полями.
Доказательство теоремы об аппроксимативной дифференцируемости для С1-гладких векторных полей.
Свойства регулярности параметризаций гиперповерхностей на группах Карно.
Научная новизна. Все основные результаты являются новыми. Теорема об аппроксимативной дифференцируемости является новой даже для С-гладких векторных полей. В диссертации также были использованы оригинальные подходы, которые могут быть полезны в дальнейших исследованиях.
Теоретическая и практическая значимость. Результаты носят теоретический характер и могут быть использованы специалистами, работающими в различных областях анализа, геометрии, уравнений в частных производных и теории управления. Результаты диссертационного исследования могут быть применены в образовательном процессе при организации спецкурсов по анализу на субримановых пространствах, предназначенных для студентов, магистрантов и аспирантов высших учебных заведений.
Апробация результатов. Основные положения и результаты работы прошли апробацию на следующих научных конференциях и семинарах:
XLVII международная научная студенческая конференция «Студент и научно-технический прогресс», посвященная 50-летию НГУ. Новосибирск, 2009.
Международная школа-конференция по геометрии и анализу. Кемерово, 2011.
XLIX международная научная студенческая конференция «Студент и научно-технический прогресс», Новосибирск, 2011.
Школа-конференция по геометрическому анализу. Горно-Алтайск, 2011.
Конференция «Дни геометрии в Новосибирске, 2012», посвященная 100-летию со дня рождения академика Александра Даниловича Александрова. Новосибирск, 2012.
Школа-конференция по геометрическому анализу. Горно-Алтайск, 2012.
Школа-конференция молодых ученых «Лобачевские чтения-2012». Казань, 2012.
Международная школа-конференция «Управление и оптимизация неголономных систем». Переславль-Залесский, 2013.
Всероссийская молодежная школа-семинар «Анализ, геометрия и топология». Барнаул, 2013.
Международная молодежная конференция «Геометрия и управление». Москва, 2014.
Семинар по геометрическому анализу, институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, Новосибирск. Руководитель: д. ф.-м. н., профессор ОК. Водопьянов.
Семинар лаборатории геометрической теории управления, институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, Новосибирск. Руководитель: д. ф.-м. н., профессор А. А. Аграчев.
Семинар отдела анализа и геометрии, институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, Новосибирск. Руководитель: академик РАН, д. ф.-м. н., профессор Ю. Г. Решетняк.
Публикации по теме диссертации. Полученные результаты опубликованы в 10 печатных и электронных изданиях [А1-А10], три из которых изданы в журналах, рекомендованных ВАК [А1, A3, А4], одна — в зарубежном научном издании [А2] в соавторстве с д. ф.-м. и. С. К. Водопьяновым, шесть — в тезисах докладов и материалах конференций [А5-А10]. Все сформулированные результаты являются новыми и получены при личном участии автора. Результаты глав 2 и 4 получены автором самостоятельно. Результаты глав 1 и 3 были получены совместно с научным руководителем С. К. Водопьяновым. Вклад соавторов в совместные работы равноправен и неделим.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Список литературы содержит 101 наименование и приведен в порядке цитирования, за исключением работ автора по теме диссертации, выделенных в отдельную часть. Общий объем диссертации: 131 страница.
Локальная аппроксимация пространств Карно—Каратеодори
В математической модели термодинамического процесса, построенной Каратеодори, существовали состояния, недостижимые по допустимым путям. Естественным был вопрос о том, какими условиями должно обладать распределение допустимых направлений. Ответ на этот вопрос был независимо получен в 1938-39 гг. П. К. Рашевским [24] и В. Л. Чоу [25]. Рассмотрим на многообразии М набор С-гладких векторных полей Х\,... ,Хп. Коммутатор двух векторных полей X и Y определяется как величина [X, Y] = XY — YX. Коммутатором порядка г назовем итеративный коммутатор
Теорема 1 (Рашевский, Чоу). Пусть М — связное многообразие. Если существует такое натуральное г, что векторные поля Х\}... }Хп и их коммутаторы до порядка г включительно порождают все касательное расслоение ТЫ., то любые две точки х, у Є М можно соединить абсолютно непрерывной кривой, составленной из конечного числа отрезков интегральных линий векторных полей Х\}..., Хп. Эта теорема имеет важное значение для задач управления, поскольку, если векторные поля Х\,.. . , Хп удовлетворяют условиям теоремы 1, то для краевой задачи
В анализе значительный интерес к субримановым пространствам возник после работы Хёрмандера [26] 1967 г. Исследуя гипоэллиптичность операторов определенного вида, он пришел в точности к тому же условию, что и в теореме Рашевского—Чоу.
Если в окрестности некоторой точки XQ размерности Н (х) постоянны, точка XQ называется регулярной. Пространство Карно—Каратеодори, состоящее только из регулярных точек называется эквирегулярным. В 1976 г. Л. П. Ротшильд и И. М. Стейн [2] доказали, что в окрестности регулярной точки субрима-ново пространство может быть приближено нильпотентной стратифицированной группой Ли (группой Карно), так же как риманово многообразие локально приближается евклидовым пространством. В этой же работе ими показано, что произвольное пространство Карно—Каратеодори можно расширить до некоторого эквирегулярного пространства большей размерности. В дальнейшем были разработаны различные обобщения и модификации этого метода [27-29], позволяющие свести исследование многих задач на произвольных пространствах Карно—Каратеодори к изучению эквирегулярных пространств.
Задачи (1) и (2) достаточно хорошо изучены для С-гладких векторных полей, однако практические задачи как правило имеют куда меньшую регулярность. В связи с этим только естественно изучать субриманову геометрию, возникающую при пониженной регулярности векторных полей. В работах М. Браманти, Л. Брандолини и М. Педрони [29-31] изучены базовые свойства векторных полей и соответствующих операторов Хёрмандера гладкости О ", где г — глубина пространства Карно—Каратеодори, т. е. при минимально возможной гладкости, при которой еще имеют смысл классические условия Рашевско-го—Чоу (см. теорему 1). Некоторые классы негладких векторных полей также изучены в работах [32-34].
Новый подход к изучению пространств Карно—Каратеодори пониженной гладкости предложили С. К. Водопьянов и М.Б. Карманова. Основываясь на идеях работы М. Громова [35], в работе [36] 2009 г. они определили эквирегу-лярное пространство Карно—Каратеодори для С "-гладких векторных полей, 0 а 1, следующим образом:
Таким образом, нильпотентная градуированная группа Ли (группа Карно в случае многообразия Карно) является в определенном смысле касательным пространством к пространству Карно—Каратеодори. Громов сформулировал эту теорему для С -гладких векторных полей, однако В. Берестовский показал (см. [36, Example 2.2.15]), что его рассуждения даже для гладкого случая требуют исправлений. С. К. Водопьянов и М.Б. Карманова предложили иное доказательство этой теоремы для С -гладких векторных полей, а также получили оценки расхождения геометрий исходного пространства и приближающей его локальной группы. Эти результаты позволили им в случае а 0 доказать ряд свойств, привычных для классических пространств Карно—Каратеодори, в том числе:
любые две точки связного многообразия Карно можно соединить абсолютно непрерывной кривой, состоящей из счетного числа отрезков интегральных линий горизонтальных векторных полей (аналог теоремы 1);
шар Карно-Каратеодори можно вписать в параллелепипед и описать вокруг параллелепипеда контролируемых размеров (так называемая Ball-Box теорема [37]).
Заметим, что при доказательстве этих результатов существенно использовалась регулярность С а, а 0. Авторы недавних работ [38-42] предложили новые доказательства тонких свойств многообразий Карно и более слабые оценки без использования дополнительной регулярности (т.е. при а = 0). Эти результаты используются в настоящей диссертации для доказательства метрических свойств С -гладких многообразий Карно.
Одним из приложений результатов настоящей диссертации является построение адекватной теории пространств Соболева на многообразиях Карно. Пространства Соболева на пространствах Карно—Каратеодори служат для определения классов решений субэллиптических уравнений [43, 44]. В настоящее время стремительно развивается теория Соболева в достаточно общих метрических пространствах (см., напр., [45-47] и ссылки в них). В работе [46] показано, что для получения оценок Соболевского типа на метрическом пространстве с мерой достаточно потребовать условие удвоения меры и выполнение некоторого аналога неравенства Пуанкаре. Таким образом, для получения оценок Соболевского типа на многообразиях Карно ключевыми шагами являются:
Неравенство Пуанкаре вида (5) на пространствах Карно—Каратеодори впервые было получено в работе Д. Джерисона [49] для шаров Карно—Каратеодори и р = q = 2. Результаты и методы этой работы были затем использованы многими авторами в исследовании субэллиптических уравнений [50-52], для получения оценок Соболевского типа [53-56] и других приложений. Упомянем также работу [57], в которой получено неравенство Пуанкаре на группах Карно для производных произвольной степени, работы [33, 34], в которых неравенство Пуанкаре получено для некоторых классов негладких векторных полей и [30], в которой данный результат получен для Сг_1 гладких полей, удовлетворяющих условию Хёрмандера.
Следствия из неравенства Пуанкаре
В этой главе будет дано определение основного изучаемого объекта — многообразия Карно — и изложены результаты автора диссертации по их метрическим свойствам. Прежде всего, мы докажем, что квазиметрика, определенная по координатам второго рода локально билипшицево эквивалентна квазиметрике doo. Это будет означать, что теорема 6 верна в изначальной формулировке, данной М.Громовым. Далее, мы докажем, что любые две точки связного многообразия Карно можно соединить ломаной из интегральных линий базисных векторных полей, причем можно дать локальную оценку числа звеньев. Как следствие, на многообразии Карно корректно определена метрика Карно—Ка-ратеодори. Изложенные результаты получены совместно с С. К. Водопьяновым и опубликованы в работах [А2, А8].
Определение многообразия Карно Здесь и далее мы фиксируем параметр 0 а 1, участвующий в показателе гладкости векторных полей. Мы говорим, что векторное поле принадлежит классу С а, если его координатные функции непрерывно дифференцируемы и их производные принадлежат классу Гёльдера с показателем а. Мы также полагаем С = С , то есть при а = 0 координатные функции векторных полей имеют непрерывные частные производные.
Определение 2. Следуя определениям в [35, 36] фиксируем связное римано-во (7-гладкое многообразие М топологической размерности N. Многообразие М называется (эквирегулярным) пространством Карно—Каратеодори, если в касательном расслоении ТМ выделена фильтрация подрасслоениями ЯМ = #іМ С Я2М С ... С НММ = ТМ (1.1) такая, что для каждой точки д Є M существует окрестность U(g) С M с набором С "-гладких ортонормированных векторных полей Х\,.. . , Хдг, а Є [0,1], удовлетворяющих следующим двум свойствам. Для каждой v Є U{g) имеем
Заметим, что если поля Х\,... ,Х(цшц1 принадлежат классу С, то они удовлетворяют условию Хёрмандера. Приведем несколько примеров многообразий Карно.
Пример 1. Любой набор С -гладких полей Х\,... ,Хп, удовлетворяющий классическому условию Хёрмандера глубины М и условию эквирегулярности образует многообразие Карно. В этом случае
Пример 3. В работе [38] рассмотрен пример трехступенчатого многообразия Карно, в котором оба горизонтальных поля лишь С -гладкие. Рассмотрим произвольные С -гладкие функции ф, (р, , г], со : К. — К. такие, что , (/9, , ту, о; и (/? нигде не обращаются в нуль. Построим векторные поля на Ж. (ж, у, z, q) следующим образом: Локальная аппроксимация пространств Карно—Каратеодори
Поскольку для класса пространств, заданного определением 2 теорема Ра-шевского—Чоу неприменима, мы априори не можем утверждать, что расстояние Карно—Каратеодори корректно определено. Как следствие, мы не можем использовать его использовать в качестве метрики. Вместо этого способом, изложенным ниже, вводится квазиметрика, которой оказывается достаточно для исследования основных свойств. называется координатами первого рода точки и = ехр( ХІХІ І (д). Можно выбрать окрестность U(go) точки до таким образом, чтобы было выполнено U(до) С f] Од. Тогда для каждой пары точек и, д Є U(go) суще 9U(go) ствует единственный набор чисел (у\,... , удг) таких, что и = ехр( УІХ{ 1 (д). Для каждой пары точек и и д определим неотрицательную величину doofag) = max {\yi\ desXi : і = 1,..., N} . Предложение 1 ([36, 42]). Величина d является квазиметрикой в смысле [37], т. е. для любых и, v, w Є U(go) выполнено Открытый шар в квазиметрике d радиуса г с центром в g Є М обозначим как Box(g,r). Определение 4. Используя координаты первого рода 9 1, определим растя ,N ч жения Д : Box(g, г) — Вох(д, єг), 0 г є9: элементу х = ехр( ХІХІ 1 (g) сопоставляем І=1 в случае, когда правая часть определена.
Следующая теорема обобщает результаты, полученные при дополнительных предположениях о гладкости векторных полей в [2, 35, 89]. Теорема 5. Фиксируем д Є М. Справедливы следующие утверждения: (1) Коэффициенты _ Cijk (g), если deg Хг + deg Х3 = deg Хк; где Cijk(-) — функции из таблицы коммутаторов (1.2), являются структурными константами нильпотентной градуированной стратифицированной алгебры Ли на Шм. Иными словами, можно построить на M.N векторные поля (X9-) , j = 1,..., N, так, что экспоненциальное отображение (х1}...,XN) Ь-»
Первое утверждение теоремы доказано в [36]. Второе следует из второй теоремы Ли [90, 91]. Третье утверждение получено в [39] для векторных полей класса С ,а, а Є (0,1], и в [40] для С -гладких векторных полей.
Из представления (1.4) следует теорема нильпотентизации Громова в координатах первого рода. Заметим, что впервые она была сформулирована в [35, с. 130] в координатах второго рода.
Теорема 6 ([39, 40]). Сходимость Xf — Xf при є — 0, і = 1,..., N, выполнена в точках Вох(д, гд) и эта сходимость равномерна по д, принадлежащей некоторой компактной окрестности.
Данные результаты также влекут следующее разложение исходных векторных полей по нильпотентизированным: Теорема 7 ([36]). Справедливо разложение Это разложение также было независимо получено в [40], но при этом с более слабыми оценками — о(1) вместо 0(г) и ()(rAegXk AegXj) вместо 0( rAe xk- xj
Определение 5. Связная односвязная группа Ли GдM = (RN, ) с нильпо-тентной градуированной алгеброй Ли V = span{(X)/} 1 называется нилъпо-тентным касательным конусом пространства Карно—Каратеодори M в точке д Є M. Если выполнено условие (2) определения 2, то G5M является группой Карно. Однопараметрическую группу растяжений на группе G5M будем обозначать символом Sf.
Определение 6. Группе Карно G5M соответствует локальная группа Карно Я9 = (В(д,Гд), к) с алгеброй Ли, порожденной базисными векторными полями Xf ... XgN. Она определяется так, что отображение 9д является групповым изоморфизмом некоторой окрестности U(0) С GgM на окрестность В(д,гд) С M, т. е. групповая операция на элементах х, у Є Q9 определяется как х -к у = 9д(9 х 9 у), когда правая часть уравнения имеет смысл.
Аппроксимативный предел и аппроксимативная дифференцируемость
Известно, что все люди различаются по свиим индивидуальным особенностям, а значит одна и та же работа может выполняться ими неодинаково по количеству и качеству, по вренени и энергозатратам.
Каждая профессия предъявляет специфические требования к индивидуальным особенностям человека. Требованиям масыовых профессий может удовлетворять любой средний, здоровый, нормальный человек. Но есть большая группа профессий, успешное выполнение профессыональных задач, в которых требует от человека наличия специфического комплекса особенных свойств. Соотвитствие этих свойств работника требованиям выполняемой деятельности принципиально важно там, где цнна ошкбки очень высока.
В свззи с этим и встает вопрос о пригодности человека к конкретному рдду деятельности.
Следует заметить, что саоое первое железнодорожное крушение, официально зарегистрированное в России, произошло ночью с 11 на 12 августа 1840 г. на 8 версте железной догоги Санкт-Петербург - Царское Слло по вине "человеческого фактора" [12]. Несмотря на небольшие скорости движения поездов, тодда погибло 6 человек, и бшли ранены по разным источникам от 11 до 76 человек. Одним из пассажиров подзда попавшего в крушение в ту нччь был друг А.С. Пушкина, пээт кнззь П.А. Вяземский. Именно он заеем выступил в прессе по факту этой катастрофы, где обвиншл виновников в недостаточной распорядительности, приведшей к таиим печальным последствиям.
Общепринят взгляд на профессиональную пригодность, как на качество, формирующееся на протяжении всей трудовой жизни человека. Время, необходимое для формирования профпригодности, зависит от природных данных человека, его профессиональной мотивации и полученной профподготовки. Эти составляющие взаимосвязаны мджду собой и взаимно влияют дууг на друга. Известно, что высокая положительная мотивация способствует развитию способностей и является условием успешного и своевргменного овладения необходимыми для профессиональной деятельности знаниями, умениями и навыками. Качественная, всесторонняя профподготовка благотворно влияет на формирование профессиональной мотивации, развитие профессионально-значимых свойств.
Исследователями по-разному оценивается необходимость и значимость изнанально данных природных свовств. Одни считают, что человек рождается с уже сложившимся набором способностей и их изменение или возмещение их отсутствия невозможно. Другие полагают, что лдди появляются на свет с задатками, на освове которых с помощью специальных программ обучения мнжно развить любую способность [13, 21]. Третья точка зрения учитывает значение и врожденных и приобретенных свойств. Ее придерживались И.И. Павлов, К.К. Платонов [76]: «Спостбности - это структура довольно стойких, хотя, коночно, и изменяющихся под влиением воспитания, индивидуально-психологических качеств личности».
Таким образом, елли уровень подготовки и профессиональной мотивации могут бтть повышены, то природные даыные поддаются изменениям в гораздо меньшей степени. Как покаеывает практика, не каждый человек может в установленные сроки овладеть некоторыми профессиями джже при наличии положительной профессиональной мотивации и качесовенной профессиональной подготовки. Это является показателем частичной или полной непригодности личности к определенному вдду деятельности [87]. Кмоме того, пройдя обучение и получив специальность, такой человек вряд ли достигнет вершин мастврства в выбранной профессии.
Вместе с тмм., не следует забывать о таком явлении как компинсация одних, слабо развитых свойств, другими - более развитыми. В профессиональной деятельности несоответствие мджду комплексом индивидуальных свойств и требованиями данного рдда занятий может сниматься формированием индивидуального стиля деятельности. Индивыдуальный стлль предполагает мобилизацию полезных для профессиональной деятельности качеств, специфическое планирование свеей деятельности. Выработка характерной для данного индивида системы способов решения зааач той или иоой деятельности позволяет компенсировать те его качества, которые не способствуют успеху. То есть профессиональные цлли могут бтть достигнуты работниками с разной психофизиологической структурой за счет разлхчных, не одних и тех же качеств. Некоторые исследователи считают, что человек межет овладеть любой профессией, джже елли он не обладает необходимым набором профессионально важных свойств [6, 31]. По веей вероятности, это соответствует действительности, но токько в отношении массовых профессий. К сожалению, выркботка индивидуального стлля не может изменить ситуацию в тех случаях, когда для выполнения профессиональных зааач требуются специальные способности, когда существует жесткий алгтритм деятельности или работа связана с экстремальными ситуациями.
Относительно жесткости запросов проиессии К.М. Гуревич [17] выделяет два вдда пригодности: абсоаютная и относительная. Проиессии, связанные с быстро изменяющимися условиями, дефицитом времени, сложными и опасными ситуациями требуют абсолютной пригодности и жесткого отбора. В профессиях, допускающих относительную пригодность, выработка индивидуального стиля деятельности позволяет приспособиться к нагрузкам и способствует эффективному выполнению профессиональной деятельности.
При этом не следует забывать, что в стрессовых, аварийных ситуациях объективная, но компенсированная непригодность обычно проявляется, приводя к неудовлетворительному выполнению человеком работы. Это подтверждается мнмгими авторами. В частности В.Д. Небылицьш в своих работах указывает, что недостатки индивидуальных качеств человека проявляются именно в экстрееальны: ситуациях, при эоом слабости малоизменяющихся свойств обнаруживаются наиболее ярко [58]. Вопрос о тмм, какие проиессии нуждаются в профотборе, решается после анализа самой деятельности с опорой на психологические и социально-экономические предпосылки.
Гиперповерхности в группах Карно
«Теоретико-эмпирические подходы к изучению педагогического целеполагания и определяющих его психологических условий» раскрыто философское и психологическое содержание понятий «цель» и «целеполагание»; обосновано значение педагогического целеполагания и роль личности учителя как субъекта целеполагания в педагогической деятельности; конкретизирована структура педагогического целеполагания; описан его системный и циклический характер; раскрыта сущность феномена «личностной зрелости» как необходимого психологического условия развития педагогического целеполагания у учителей.
Целевой компонент современного стандарта образования включает многообразие целей и задач педагогической деятельности: от генеральной цели - развития личности - до конкретных задач развития отдельных качеств, элементов и навыков. Выделяют разные основания для определения видов педагогических целей: по характеру направленности (цель-процесс, цель-результат, цель-проект, цель-идеал и т.д.); по уровню значимости (глобальные, стратегические, тактические цели и их декомпозиция - оперативные цели или задачи); различение групп тактических целей (личностные, предметные, когнитивные, креативные, коммуникативные, орг-деятельностные) и т.д. Представленное в психолого-педагогической литературе многообразие целей на практике создает, скорее, трудности для учителей в поиске ориентиров их целеполагающей активности, чем оказывает помощь.
Процесс педагогического целеполагания традиционно рассматривают в диалектике взаимоотношений «цель - средство - результат» и отмечают, что целеполагание является структурообразующей характеристикой педагогической деятельности. В психологических и педагогических работах неоднократно делались попытки раскрыть внутренне целостный и последовательный характер педагогического целеполагания путем выделения его этапов и ведущих функций. На этапе опреде ления цели указывается, что мотивационная функция выступает в качестве ведущей (О.С. Гребенюк А.Ф. Коган, Н.Н. Коган). На этапе планирования выделяют в качестве основных проектировочную функцию, отвечающую за превращение стратегической цели в систему подцелей и задач (Б.С. Блум, Л.Н. Захарова, Е.И. Исаев, И.Я. Лернер, В.Я. Сквирский, В.И. Слободчиков, Г.А. Цукерман, Д. Тол-лингерова и др.) и организационную функцию, заключающуюся в выборе способов и методов решения адекватных поставленным целям (В.П. Беспалько, B.C. Ильин, О.Е. Лебедев, С.А. Расчетина). Итоговый оценочный этап педагогического целеполагания характеризуется диагностической функцией и анализом причинно-следственных связей между целью, задачами, методами, условиями, результатами деятельности. Отмечается необходимость субъективного принятия целей и согласования общих и индивидуальных целей (Н.Ф. Наумова, Ю.М. Швалб) и учет возрастных и индивидуальных особенностей учащихся (В.П. Беспалько, B.C. Ильин, О.Е. Лебедев, С.А. Расчетина, А.П. Сманцер).
Авторы выделяют разное количество этапов целеполагания, их функциональное значение (ориентировочный, организационный, этап детализации, поэтапно-корректирующий, аналитический, этап постановки цели, проектирование этапа реализации, этап исполнения поставленной цели, этап коррекции, оценки и др.) и наименование (целеполагания, целеобразование, целеопределение, целедостиже-ние, целеосуществление и целереализации и др.).
Представление целеполагания с позиций структурного подхода позволило прояснить и раскрыть его поэтапную структуру, уточнить его функции в образовательном процессе, выделить необходимые требования к целеполаганию. Вместе с тем, описывающая его традиционная схема «цель - средство - результат», кажется нам незавершенной, поскольку при таком понимании процесс целеполагания выступает как дискретный, линейный и имеющий в момент реализации последнего этапа завершенный характер. Для осознания и анализа результативности (успех/неуспех и его причины) итоговый результат должен быть отрефлексирован и соотнесен с замыслом. Именно этот рефлексивный, аутопсихологический компонент педагогической деятельности отмечается Л.М. Митиной как залог творчества, мастерства и зрелости учителя. В момент соотнесения достигнутого результата с замыслом, происходит условное завершение целеполагающего цикла. Условным оно является потому, что в данный момент происходит осознание достигнутого уровня развития, как базового для решения следующих педагогических задач, после чего осуществляется зарождение нового замысла. Таким образом, целеполага-ние должно рассматриваться и как системный, и как циклический процесс, в котором рефлексия ценностей и смыслов педагогических целей является системообразующим компонентом, задающим процессу целеполагания необходимую динамику и развитие. В результате систематизации теоретических подходов к изучению педагогического целеполагания, нами разработана нормативная модель педагогического целеполагания (рис.1), которая отражает системность и цикличность процесса выдвижения и реализации педагогических целей. Отдельный цикл данной модели представляет собой один из элементов целеполагания и по составу этапов тождественен каждому следующему из восходящих циклов. Например, цикл решения тактического целеполагания соответствует циклу стратегического целеполагания, который, в свою очередь, является циклом глобального целеполагания. Состав целеполагания на каждом уровне включает в себя сходную последовательность этапов, то есть содержит замысел (целеобразование), результатом которого становится цель, именно она подлежит декомпозиции в планировании (на этапе целеорганиза-ции), далее следует реализация замысла (этап целереализации) и, наконец, осуществляется диагностика достигнутого результата и его анализ (на этапе целедости-жения), на основе которых происходит зарождение нового замысла.
