Содержание к диссертации
Введение
1 Основные свойства геометрии Керра 23
1.1 Сингулярное кольцо и двулистность 23
1.2 Свойства Главной Нулевой Конгруэнции (ГНК) 25
1.3 Проблема источника геометрии Керра 28
2 Комплексная структура геометрии Керра 32
2.1 Решение Аппеля (1887) как предвестник решения Керра 32
2.2 Расщепление комплексного светового конуса, связь со спинорами и твисторами 34
2.3 Представление Линда-Ньюмена 37
2.4 Геометрия Керра как локальное сечение комплексного расслоения 38
3 Теорема Керра и её применение 40
3.1 Теорема Керра в метриках Керра-Шильда 40
3.2 Основные элементы формализма Керра-Шильда . 41
3.3 Теорема Керра - расширенная версия 42
3.4 Стационарные конгруэнции с сингулярностями, заключёнными в ограниченной области 45
3.5 Нестационарное обобщение решения Керра 48
3.5.1 Нестационарное обобщение Керровской конгруэнции 48
3.5.2 Решение полевых уравнений 52
3.6 Лоренцевский буст решения Керра 56
3.6.1 Проблема и алгоритм решения 56
3.6.2 Примеры 60
3.6.3 Физическая интерпретация 63
3.7 Приложения к главе 3 65
Струнные структуры в геометрии Керра 69
4.1 Струнная интерпретация сингулярного кольца 69
4.2 Комплексная (гиперболическая) струна как источник по ля Керра 71
4.3 Замкнутая евклидова струна и мировая поверхность на орбифолде 73
4.4 Две струнные структуры как различные сечения одной мембранной 79
Анализ решения Сена, обобщающего решение Керра на низко - энергетическую теорию суперструн 81
5.1 Предварительный анализ 81
5.2 Дилатонная деформация класса Керра-Шильда и алгебраические свойства решения Сена 84
5.3 Анализ решения Сена вблизи сингулярного Кольца . 86
5.4 Приложения к главе 5 88
Обобщение решения Керра-Ньюмена на N=2 супергра
витацию 91
6.1 Генерация нетривиальных супер-решений из тривиальных 91
6.2 Нарушенная суперсимметрия в N=1 супергравитации . 95
6.3 Эйнштейно-Максвелловская N=2 супергравитация с на-рушеной суперсимметрией 97
6.4 Примеры N=2 супер-геометрий 98
6.5 Суперобобщение решения Керра-Ньюмана для нарушенной N =2 супергравитации 103
6.6 Приложения к Главе 6 105
Регулярные чёрные дыры. Регуляризация метрики в классе Керра-Шильда 108
7.1 Общее обсуждение проблемы и обзор работ 108
7.2 Регулярные метрики для вращающихся чёрных дыр и генерация источников 110
7.3 Обобщённые метрики Керра-Ньюмена 110
7.4 Регуляризация метрики и структура источника 114
7.5 Анализ источников для невращающегося случая . 114
7.6 Вращающиеся источники 118
7.6.1 Причинная структура и горизонты 119
7.6.2 Распределение массы в регулярных решениях . 120
7.7 Приложения к Главе 7 123
Проблема полевой модели. Регулярные частицеподобные решения 128
8.1 Требования к полевой модели. Полевая модель Виттена. 128
8.2 Суперсимметричная модель фазового перехода 131
8.2.1 Суперсимметричная полевая модель Морриса . 131
8.2.2 Суперсимметричные вакуумные состояния . 132
8.2.3 Преобразования Богомольного, БПС - решение и сферический мешок 132
Регулярные черные дыры, дилатон и конфайнмент 136
9.1 AdS-Керровское решение в проблеме AdS/CPT -соответствия 136
9.2 Нелинейная электродинамика и регулярные чёрные дыры 141
9.2.1 НЕД и F-P-дуальность 142
9.2.2 Пример точного решения 144
9.2.3 Модификация решения 147
9.2.4 Тензор энергии-импульса и метрика 149
9.3 НЕД и регулярные решения с вращением 153
9.3.1 НЕД с двумя инвариантами 153
9.3.2 Использование формализма Керра-Шильда . 155
9.3.3 НЕД-уравнения для вращающихся источников в тетраде Керра-Шильда 156
9.3.4 Решение уравнений для Раъ 159
9.4 Приложение к Главе 9 160
10 Заключение 163
- Свойства Главной Нулевой Конгруэнции (ГНК)
- Представление Линда-Ньюмена
- Теорема Керра - расширенная версия
- Замкнутая евклидова струна и мировая поверхность на орбифолде
Введение к работе
0.1 Решение Керра и формализм Керра-Шильда
0.1.1 Актуальность темы диссертации
Современная теоретическая физика охватывает широчайший диапазон процессов от исследования моделей ранней космологии до единой структуры пространства, полей и материи на планковских масштабах с характерными объединительными тенденциями и с глубоким взаимным проникновением различных направлений.
Наиболее перспективное современное теоретическое направление -теория суперструн (или одиннадцатимерная М-теория), является современным вариантом единой теории фундаментальных взаимодействий основанным на суперсимметрии, универсальном принципе для построения объединённой системы взаимодействующих полей, включая гравитационное. Теория суперструн, объединяя супергравитацию и теорию дуальных моделей, с неизбежностью привела к идеям размерной редукции с нетривиальными схемами компактификации, включая такие новые типы пространств как орбифолды и Риччи-плоские пространства Калаби-Яу.
Одним из наиболее впечатляющих результатов теории суперструн является открытие гетеротической струны.
С начала 1990-х годов чёрные дыры стали рассматриваться как стабильные фундаментальные решения эффективной низкоэнергетической теории суперструн, бозонный сектор которой описывается аксионно-дилатонной гравитацией.
Соответствующие решения для чёрных дыр без вращения были получены Гиббонсом и Май едой, а в 1992 году Сен получает аксидилатон-ное решение, описывающее фундаментальную гетер отическую струну
и фундаментальное решение для вращающейся чёрной дыры - обобщение решения Керра-Ньюмена на аксидилатонную гравитацию. Как показано в диссертации, эти решения оказались взаимосвязанными.
Решение Керра настолько фундаментально, что в настоящее время его обобщения проникают практически но все области современной теоретической физики: от космологических и астрофизических исследований до теории элементарных частиц и теории супер струн. В связи с этим, актуальность исследования вещественной и комплексной структуры геометрии Керра и её обобщений не вызывает сомнения.
0.1.2 Решение Керра в форме Керра-Шильда
Решения с вращением, обладая повышенной сложностью связанной с твистом главной нулевой конгруэнции, начали исследоваться в Эйнштейновской гравитации в начале 1960-х годов в связи с интересом к гравитационным волнам. Предполагалось, что распространение гравитационных волн в ряде свойств должно быть аналогичным распространению электромагнитных волн, и следовательно, что оно может быть охарактеризовано оптическими параметрами, которые описывают распространение пучка световых лучей - так называемую световую или " нулевую" конгруэнцию лучей. Происхождение слова " нулевая" связано с отсутствием массы фотона и нулевым значением его 4-импульса, k^kp = 0. Такой оптический пучёк лучей может быть описан оптическими скалярами, характеризующими простейшие деформации проектируемого им образа:
"дилатация" конгруэнции - масштабное увеличение образа при проекции;
"вращение" или "твист" конгруэнции- поворот изображения при проектировании;
"сдвиг" конгруэнции - не сохраняющее углы искажение изображения, например проекция, переводящая проектируемый квадрат в ромб.
Поля, распространяющиеся по конгруэнциям без "сдвига" представляли особый интерес для исследования в связи с тем, что фронт волны подвергается при таком распространении только конформному преобразованию.
Таким образом, появился повышенный интерес к гравитационным полям с "дилатацией" и "твистом" , но без "сдвига". На этом пути в 1963 году Керром было получено точное решение, описывающее внеш-
нее гравитационное поле некоторого источника и переходящее на больших расстояниях в известное приближённое решение Лензе-Тирринга для гравитационного поля вращающегося источника.
Подобно решению Шварцшильда для чёрной дыры, решение Керра имеет внешний горизонт и получило широкую известность как поле вращающейся чёрной дыры. Решение Керра имеет дополнительный параметр вращения а = «//?", где J это угловой момент ит- масса объекта. При а —> 0 решение Керра переходит в решение Шварцшильда. Заряженная версия решения Керра, решение Керра-Ньюмена, было получено вскоре Ньюменом с сотрудниками посредством некоторого комплексного "трюка" , смысл которого в то время был не вполне ясен. 1 Таким образом, решения Швацшильда, Райснера-Нордстрема, Керра и Керра-Ньюмена представляют единое семейство решений для чёрных дыр, поскольку в эйнштейновской гравитации только заряд е, масса т и керровский параметр вращения a = J/m выживают вне горизонта чёрной дыры согласно теореме Биркгоффа. Заметим, что общие решения с твистом содержат ещё один, так называемый НУТ-параметр, физический смысл которого в настоящее время не совсем ясен 2. Однако, решения с НУТ-параметром не имеют плоской асимптотики, так как содержат сингулярную нить, уходящую от источника на бесконечность.
Решения с вращением имеют весьма громоздкие выражения в угловых координатах, являющихся обобщением сферических координат, используемых при описании решений для чёрных дыр без вращения.
Поразительным контрастом является предельно простое представление этих решений в форме Керра-Шильда. Класс метрик Керра-Шильда [1] имеет вид
Яіш — І^Л- 2ккйки, (0.1)
где Цуи метрика вспомогательного пространства Минковского в декартовых координатах ,а;, г/,г 3, h-скалярная функция, иА'*- нулевое векторное поле ( кйкц = 0), касательное к главной нулевой конгруэнции (ГНК). Заметим, что № это касательное направление к световым лучам того самого оптического пучка с "дилатацией" и "твистом", но
1Как оказалось позднее [2, 3], этот "трюк" тесно связан с комплексным представлением геометрии Керра, которое будет детально рассмотрено в данной работе в формализме Керра-Шильда.
гОн соответствует некоторой пни мой пассе и является гравитационный аналогом магнитного заряда классической электродинамики.
3Мы используем сигнатуру (— + ++)
без "сдвига", который обсуждался ранее. Решениям Шварцшильда и Райснера-Нордстрема, без вращения, соответствует сферически симметричный пучёк лучей, в то время как для решений с вращением пучёк световых лучей описывает некоторую исходящую от источника вихревую радиацию. Столь простая форма метрики Керра-Шильда связана с тем, что вся сложность геометрии Керра сконцентрирована в вихревой форме нулевой конгруэнции, описываемой векторным полем А".
Класс метрик Керра-Шильда охватывает практически все решения для черных дыр и многие волновые решения. Предшественниками этого класса являются метрики Эддингтона-Финкельштейна для черных дыр [4, 5] и класс метрик Переса для системы плоских гравитационных и электромагнитных волн [6], распространяющихся в направлении №.
В представлении Керра-Шильда метрика имеет как бы линейную полевую добавку к плоскому постранству. Хотя система гравитационных уравнений и не становится в этих метриках линейной, в ряде случаев она существенно упрощается.
Поле № остаётся нулевым также по отношению к опорному пространству Минковского, k^ijfivky = 0, и контравариантная форма метрики подобна ковариантной
дГ = ffv- 2hkfikv1 (0.2)
и V~9 = ! Это приводит к переносу важных линейных структур ( в частности характеристик, линейных образующих светового конуса) из пространства Минковского без искажения в искривленное пространство и дает более глубокое понимание геометрической структуры сложных решений, и в частности, вещественной и комплексной геометрии Керра.
В решении Керра функция h имеет вид
h^m/(r2 +a2 cos2 в), (0.3)
где г и в - сплюснутые сфероидальные координаты, которые оказываются адаптированными к вихревой форме керровской конгруэнции.
0.1.3 Формализм Керра-Шильда
Вывод решения Керра весьма сложен и громоздок, и обычно рассматривается в формализме Ньюмена-Пенроуза [7, 8]. Значительно менее
известен формализм Керра-Шильда [1], базирующийся на метрике вида (0.1) и теореме Керра. Хотя по существу и по сложности формализм Керра-Шильда во многом эквивалентен формализму Ньюмена - Пенроуза, наличие опорного пространства Минковского позволяет применить теорему Керра и строго обосновать комплексную геометрическую структуру решения Керра, что формализм Ньюмен а-Пенроуза может дать только в линейной аппроксимации.
Суть формализма Керра-Шильда достаточно проста и связана с использованием формы (0.1) в качестве анзаца для подстановки в уравнения Эйнштейна при последующем использовании нулевой тетрады, аппарата внешних форм и решении системы соответствующих дифференциальных уравнений. Однако, как и всякий формализм, формализм Керра-Шильда требует "привыкания" и некоторых навыков работы с ним. Поэтому, в первых двух главах данной работы мы не используем этот формализм и описываем вещественную и комплексную структуры геометрии Керра пользуясь общеизвестными методами анализа. Особенности решения Керра выявляются при анализе простого решения Аппеля (1887), которое является электромагнитным аналогом решения Керра. 4
При последующем рассмотрении нестационарных обобщений решения Керра мы используем строгий подход связанный с применением теоремы Керра. Дело в том, что для фиксации анзаца Керра-Шильда необходимо задать векторное поле к^(х^)7 соответствующее геодезической нулевой конгруэнции без сдвига, и эта роль отводится теореме Керра.
Произвольное нулевое векторное поле кц(х) для х СМ4 может быть представлено в спинорной форме кр, = фа^ф^ или эквивалентно -комплексной скалярной функцией Y(х) = ф^/'ф0 (проективной спинорной координатой) в виде
kpdx? = du + Yd( + YdC - YYdv, (0.4)
где использованы нулевые "декартовы" координаты (, , и, v)
2l^C = » + Ч/, 2V2C = x-iy,
2lj2u =z + t, 2l!2v = z-t (0.5)
Теорема Керра позволяет получать необходимые для анзаца функции У(сс), которые соответствуют геодезическим нулевым конгруэнциям
* По сути оно является точным выражением для электромагнитного потенциала решения Керра-Ньюмена.
без сдвига. Согласно теореме Керра функция Y(&) определяется как решение алгебраического уравнения
F = О, (0.6)
где F{V, Ai, Aj) является произвольной аналитической функцией трёх комплексных координат
\l = C-Yv, А2 = іх + УС, Y. (0.7)
Эти координаты выглядят достаточно странно, но они имеют ясную геометрическую интерпретацию как проективные таисторные координаты, определяющие световой луч, проходящий через заданную точку х — {u,v,(,(} ЄМ4.
Данная структура аналитически распространяется для х СМ4 и определяет в СМ4 световые плоскости, и в частности, плоские образующие световых конусов в СМ4.
В результате анализа нулевой конгруэнции решения Керра обнаруживается простая и изящная геометрическая структура этого решения. Использование этой структуры позволяет в ряде случаев предсказать возможные обобщения решения Керра, и в частности, его нетривиальное супер обобщение.
0.1.4 Комплексная интерпретация решения Керра
Как мы уже упоминали, прообразом геометрии Керра является простое решение Аппеля [9], которое он получил комплексным сдвигом из ку-лоновского потенциала / = е/г. При этом оказывается, что источник поля может рассматриваться как "частица", распространяющаяся по комплексной мировой линии Xq(t) в комплексифицированном пространстве СМ4. Это является исходным пунктом для комплексной интерпретации решения Керра и для построения нестационарных обобщений решения Керра, как поля запаздывающих потенциалов от комплексного источника, распространяющегося по комплексной мировой линии. Как и во всякой конструкции с запаздывающим временем, важная роль отводится при этом световому конусу. Однако, в данном случае ситуация осложняется комплексным характером мировой линии. В результате, запаздывающее время определяется посредством световых плоскостей, которые являются плоскими генераторами светового конуса. При этом, параметры нулевой конгруэнции, и следов а-
тельнО] анзац Керра-Шильда, зависят от запаздывающего времени и определяются заданной формой комплексной мировой линии [10,11,12]. Данная схема легко обобщается на суперпространство, в котором источником супер-решения Керра является комплексная супер-мировая линия супер-частицы, а запаздывающее время определяется супер-световым конусом [13,14,16]. Заметим, что получаемое при этом нетривиальное супер-обобщение решения Керра-Ньюмена является точным решением уравнений супергравитации, но с нарушенной N — 2 суперсимметрией, в отличие от известных суперсимметричных экстремальных чёрных дыр. В стационарном случае соответствующая б озонная часть решения совпадает с метрикой Керра-Ньюмена, на фоне которой распространяются волновые фермионные возбуждения, ориентированные вдоль главной нулевой конгруэнции.
0.1.5 Сингулярное кольцо и проблема источника решения Керра
Как видно из выражений (0.1),(0.3) метрика Керра регулярна за исключением области г2 + аг cos2 9 — 0, что в сплюснутых сфероидальных координатах соответствует сингулярному кольцу г = cos в = 0. В декартовых координатах x,y,z кольцо имеет радиус а. Сфероидальная система координат дважды покрывает декартову, при г > 0 и при г < 0, и решение Керра аналитически продолжается в область г < 0, не совпадая с решением для г > 0. Таким образом, кольцо является линией ветвления пространства, а решение Керра оказывается двулистным. Для значения параметров |а| < |77i| керровское кольцо скрыто под горизонтом чёрной дыры, однако, при \а\ > \т\ горизонты исчезают и возникает необходимость дать некоторую физическую интерпретацию двузначности либо модифицировать решение, отсекая "отрицательный" лист и заменяя его некоторым источником. Эта проблема дискутируется в литературе со времени открытия решения Керра и до сих пор не получила окончательного решения. Простейший выход из положения, рассматриваемый некоторыми авторами - считать случай \а\ > \т\ нефизическим. Однако, для многих астрофизических объектов угловая скорость вращения велика и \а\ > |т|, что по меньшей мере указывает на важность этого случая. Кроме того, для параметров элементарных частиц со спином \а\ >> \т\ и это даёт возможность моделировать гравитационное поле элементарных частиц в релятивист-
ских эффектах решением Керра. Более того, в 1968 г. Картер обнаружил [17], что метрика Керра-Ньюмена для вращающегося заряженного объекта имеет двойное гиромагнитное отношение дираковского электрона 5 = 2, что привело к серии работ по моделированию керров-ской частицы со спином [18, 19, 20, 21], и в частности, по интерпретации сингулярного кольца решения Керра как релятивистской струны [22, 10, 11, 23, 24, 25, 36, 35]. Это направление привлекает к себе всё большее внимание в связи с постоянно возрастающим интересом к решениям для чёрных дыр в теории суперструн. В результате, проблема источника решения Керра остаётся актуальной до настоящего времени. В ряде случаев авторы меняли свою позицию с течением времени, или рассматривали обе версии источника, двулистное пространство с источником в виде кольца (струны), например [22, 27, 19, 20, 35, 36], и источник в виде вращающегося диска (мембраны, пузыря, мешка) при осечённом "отрицательном" листе [18, 62, 64, 21, 25, 33, 94, 95, 68]. Особый интерес проблема источника решений Керра и Керра-Ньюмена приобретает в связи с возможностью моделирования солитоноподобных регулярных решений с вращением, так называемых гравитирующих соли тонов [53].
Метрика Керра настолько фундаментальна, что в настоящее время трудно найти область теоретической физики где бы она не рассматривалась. Начиная с девяностых годов чёрные дыры стали рассматриваться как фундаментальные решения теории суперструн [40, 38]. В 1992 было найдено её обобщение на гетеротическую теорию суперструн [37, 52]. Исследования в этом направлении являются наиболее интересными и перспективными. В более общем контексте, наиболее перспективными являются исследования различных обобщений решения Керра для наиболее общих супергравитационных теорий, включающих аксион и дилатон наряду с киральными скалярными полями. Данное направление играет важнейшую роль в физике элементарных частиц и для построения единой теории.
0.1.6 Цель работы.
В теоретическом плане целью данной работы является анализ комплексной структуры геометрии Керра, последовательное и строгое развитие комплексного представления решения Керра на базе формализма Керра-Шильда и разработка метода построения запаздывающих реше-
ний, генерируемых комплексным источником.
В практическом плане целью данной работы является:
практическое использование разработанного комплексного метода генерации решений для анализа и построения новых решений для вращающихся источников, подверженных ультрарелятивистскому бус-ту, а также вращающихся нестационарных источников, подверженных произвольному ускорению,
распространение этих методов и формализма Керра-Шильда на супергравитацию,
- использование формализма Керра-Шильда для анализа структуры
источников регулярных вращающихся чёрных дыр и гравитирующих
солитонов.
0.2 Структура и содержание диссертации
Содержание диссертации можно схематично разбить на две части.
В первой части диссертации,
базируясь на формализме Керра-Шильда и теореме Керра, мы разрабатываем новый комплексный метод генерации точных решений для вращающихся чёрных дыр, соответствующих их произвольному релятивистскому движению и ускорениию.
Мы анализируем вещественную и комплексную геометрию Керра и обнаруживаем там две струнные структуры, указывающие на тесную связь геометрии Керра с фундаментальной физикой микромира.
Во второй части диссертации
мы активно используем разработанный в первой части комплексный метод генерации новых решений и формализм Керра-Шильда для получения различных обобщений геометрии Керра. Это позволяет нам решить ряд новых важных задач и получить следующие новые результаты:
точные решения для вращающихся источников находящихся в произвольном (ультра)релятивистском движении с произвольным направлением углового момента,
класс новых решений для произвольно ускоряемых вращающихся источников,
новый класс простейших нетривиальных суперобобщений решения Керра на N = 2 супергравитацию с нарушенной суперсимметрией.
исследовать вращающиеся источники с регулярным тензором энергии-импульса и регулярной метрикой, что представляет интерес как для высокоэнергетических процессов при коллапсе в астрофизике, так и при построении частицеподобных моделей с вращением (гравитирую-щих солитонов).5
получить решения, моделирующие конфайнмент в моделях регу-ляризованных чёрных дыр (в суперсимметричной модели фазового перехода с хиггсовскими полями, в 5-мерной модели с дилатоном и в полевой модели гравитации, связанной с нелинейной электродинамикой).
В главах 1 и 2 мы даём описание вещественной и комплексной структур геометрии Керра, которое опирается на традиционный математический аппарат, позволяет получить ясное предварительное представление и не требует знания деталей формализма Керра-Шильда. Начиная с третьей главы изложение становится более формальным, что требуется для детальных вычислений.
В главе 1 мы начинаем рассмотрение структуры геометрии Керра с основных особенностей её реальной структуры:
сингулряное кольцо радиуса а, которое является полюсом функции h (при г = 0 и cos в = 0) и линией ветвления пространства,
двулистность простанства (как следствие этого ветвления) - карта с координатами x,y,z покрывается дважды картой с координатами г, 0, ф: при г > 0 и г < 0,
главная нулевая конгруэнция с "твистом" - касательное к ГНК поле № имеет специфическую вихревую форму и распространяется с отрицательного листа метрики (г < 0) на положительный (г > 0).
Двулистность керровского простанства ведет к неоднозначности полей, что поднимает трудную и нерешенную окончательно проблему физической интерпретации источника этой геометрии.
В главе 2 мы показываем, что эти особенности геометрии Керра проявляются как следствие её комплексной структуры и даём предварительное описание комплексного представления геометрии Керра через конструкцию запаздывающего времени.
Свойства Главной Нулевой Конгруэнции (ГНК)
Мы вычисляем и приводим в Приложениях к главе 7 соответствующие тетрадные формы и представления для регулжризован-ных метрик класса Керра-Шильда в координатах Керра и Бойера-Линдквиста.
В главе 8 рассматривается проблема полевой модели. Полученная структура тензора энергии-импульса для регулярных решений в классе Керра-Шильда должна быть согласована с некоторой полевой моделью, решения которой приводили бы к данной стрзтстуре тензора энергии-импульса . Эта проблема является чрезвычайно сложной и пока не решённой. Поэтому, представляет интерес выяснение требований к полевым моделям регулярных источников, а также анализ различных полевых моделей и исследование их свойств. Данная проблема смыкается с известной проблемой получения регулярных частицеподобных решений или солитонов ( в обобщённом смысле этого слова), и в этом направлении предложен целый ряд моделей, таких как скирмионы, Q-болы, пузыри, лампы, модели с полем Янга Миллса. Отметим также старые модели с нелинейной электродинамикой: модель Борна - Ин-фельда и работу Гоффманна-Инфельда [235], в которой, повидимому впервые, эта проблема рассматривалась с участием гравитационного поля как проблема рагулярного решения с внешней метрикой чёрной дыры. Гравитация играет важную регул яр изующую роль в формировании частицеподобных решений. В этой связи отметим гравитирую-щие солитоны (см. обзор [53]) и работы [143, 147, 219].
Кроме того, имеется ряд полевых моделей протяжённых объектов, которые могут иметь прямое отношение к этой проблеме. В частности, это регулярные модели мешков, струн и доменных стенок.
Рассматриваемая модель регулярной заряженной чёрной дыры класса Керра-Шильда накладывает целый ряд специфических ограничений на структуру соответствующей полевой модели: - внешнее электромагнитное поле должно быть дальнодеиствующим ( безмассовым ) и иметь на бесконечности асимптотику поля Райснера Нордстрема или Керра-Ньюмена, - электромагнитное поле должно быть регулярным во всем про странстве, - в соответствии с исследованными свойствами источника поля Керра-Ньюмена, зона ядра должна обладать сверхпроводящими свойствами, выталкивая внешнее электромагнитное поле, - тензор энергии-импульса модели должен иметь асимптотику электровакуумных решений для чёрных дыр, - во внутренней области тензор энергии-импульса полевой модели должен обеспечивать регулярное гравитационное поле, что соответствует постоянному значению плотности энергии в зоне ядра 5гр— О, - полевая модель должна обеспечивать гладкий фазовый переход от области внешнего электровакуума к новому вакуумному состоянию внутри ядра.
Мы показываем, что удовлетворительное соответствие с этими требованиями появляется лишь в полевой модели, предложенной Виленки-ным и Шеллардом [96] и Виттеном [97] для описания сверхпроводящих космических струн. Мы адаптируем эту модель к описанию сверхпроводящего источника ( ядра ) для метрики регулярной чёрной дыры и рассматриваем суперсимметричную версию этой модели, предложенную Моррисом [100].
В Главе 9 рассматриваются два класса регулярных гравитационных моделей, демонстрирующих явление конфайнмента связанное с дилатоном. Модель первого типа основана на 5-мерном дилатонном AdS-Kepp решении в теории AdS/CFT -соответствия. Модель второго типа связана с нелинейной электродинамикой. Рассматривается случай, когда регулярные решения для чёрных дыр оказываются самосогласованными - это источники, генерируемые нелинейной электродинамикой (НЕД) более общего типа чем теория Борна-Инфельда [216, 217, 218, 219, 220, 222]. Как отмечалось в работе Гоффмана и Инфель-да (1937) [235], нелинейность типа Борна-Инфельда (БИ) не подавляет гравитационную сингулярность ( оставляет коническую сингулярность). Интерес к нелинейной электродинамике не ослабевает в настоящее время, поскольку нелинейность типа БИ индуцируется теорией струн [237, 232] и находит применение в современной теории D-бран. В недавних работах [216, 217, 218] Айон-Веато и Гарсиа рассмотрели более сильные виды нелинейной зависимости чем БИ, приводящие к точным регулярным решениям для чёрных дыр. Эти решения были проанализированы Бронниковым [219] и было обнаружено существование ветвлений и особого типа сингулярностей в Лагранжиане, используемом в этих решениях. Критически анализируя эти решения, он показал, что ветвь Лагражиана вблизи ядра ведёт себя очень необычно для НЕД, она не стремится к Максвелловскому поведению в пределе слабого поля. Таким образом, вблизи ядра этого решения фактически действует некоторая иная теория или модель. Был предложен класс регулярных, магнитно-заряженных чёрных дыр и рассматривалась "no-go" теорема о несуществовании электрически заряженных регулярных чёрных дыр. Анализируя доказательство теоремы Бронникова, в нашей совместной работе с С. Хильдебрандтом мы показали [208], что теорема Бронникова о несуществовании электрически заряженных регулярных решений для солитонов и чёрных дыр не распространяется на модели с фазовым переходом вблизи ядра. Была предложена некоторая модификацию решения Айон-Веато и Гарсиа [217], позволяющая интерпретировать новое решение как фазовый переход вблизи ядра от обычной электродинамики к дуальной электродинамике Дирака [223], связанной с магнитными зарядами. Мы рассматриваем в Главе 9 это решение и показываем, что модифицированное решение приводит к электрически заряженной частицеподобной модели, в которой электрическое поле ограничено некоторой зоной вне ядра, в то время как вблизи ядра происходит фазовый переход к магнитной фазе, допускающей регуляризацию.
Представление Линда-Ньюмена
Решение Аппеля подводит нас к удивительной точке зрения, что его источник, как и источник геометрии Керра, может быть представлен как частица, расположенная в комплексной области и движущаяся по комплексной мировой линии. Такая интерпретация была впервые предложена Ньюменом [2, 3] и независимо развивалась в наших работах [19, 23], где мы опирались на решение Аппеля [9] и раннюю работу Изместьева [44]. В дальнейшем, наше рассмотрение опиралось на формализм Керра-Шильда и теорему Керра [32, 45, 46].
В комплексифицированном пространстве Минковского СМ4 рассматривается комплексная мировая линия Xg(r), параметризованная комплексным временем г, и строится аналог конструкции запаздывающих потенциалов. В каждой точке мировой линии х$(г) помещается вершина комплексного светового конуса. В спинор ной форме конус имеет вид
В общем случае искривленного пространства введение комплекси-фицированного пространства Минковского СМ4 не может быть строго обосновано, и получает строгое обоснование лишь при рассмотрении класса метрик Керра-Шильда. Дело в том, что в случае, когда конгруэнция ГНК генерируется как сечение комплексного светового конуса, векторное поле № является нулевым как по отношению к основной метрике g v, так и по отношению к вспомогательной метрике Г} , поскольку
При этом, уравнение светового конуса в искривлённом пространстве Керра-Шильда совпадает с соответствующим уравнением в пространстве Минковского, Геометрия Керра как локальное сечение комплексного расслоения Комплексная мировая линия Х0[т) параметризуется комплексным временем г = Q + io и, по существу, является двумерной поверхностью в СМ4. Рассмотрим уравнение комплексного светового конуса в СМ4 с вершиной в на комплексной мировой линии Х0[т)
Рассматривая вещественное сечение, мы должны положить г, и р вещественными, и
Эти уравнения показывают, что а) лучи конгруэнции с угловым направлением в генерируются конусами с вершиной, расположенной в точках мировой линии с Qm т = а cos 0; б) только конуса расположенные в полосе —а Jmr а, имеют вещественное сечение; в) керровская конгруэнция в целом генерируется множеством свето вых конусов, расположенных в этой полосе. Можно также сказать, что из комплексной мировой линии вырезается полоса Jmr а, (2.31) и только эта полоса "видна" из вещественного пространства.
Заметим также, что при переходе на отрицательный лист г О, опережающие лучи становятся запаздывающими и наоборот, однако их направление твиста различно. При дополнительной замене a cos в — —a cos б, или а - —а, опережающие и запаздывающие лучи переходят друг в друга. С другой стороны, переход а — —а соответствует пе-реходу к комплексно сопряженной картине. Мы приходим к аналогу СРТ-инвариантности для геометрии Керра. Керровская конгруэнция инвариантна при совокупности преобразований:
Поскольку вещественная керровская конгруэнция генерируется подмножеством комплексных световых конусов К с вершиной на комплексной мировой линии Х0(т\ на математическом языке мы имеем векторное расслоение. Расслоенное пространство с базой т (или хц(г)) и слоем К, с дополнительным подрасслоением К на левые нулевые плоскости над базой У. Вещественная керровская геометрия (х Є М4) является локальным сечением этого линейного расслоения с базой {т, У} Є С2 и слоями в виде вещественных нулевых лучей.
Керровская конгруэнция является частным случаем общего класса геодезических и безсдвиговых случае описание таких конгруэнции дается теоремой Керра [1, 28, 59, 29]. Конгруэнция К в М4 задаётся векторным полем к(х) = du + Yd + YdC - YYdv, (3.1) где использованы нулевые координаты ( ,,u,v) пространства Мин-ковского (2.6). Комплексная функция Y{x\ при х Є М4, определяется как решение алгебраического уравнения F = 0, (3.2) где F(Y, Ах,Аг) является произвольной аналитической функцией трёх проективных твисторных координат M = C-Yv, \2 = u + YC, Y. (3.3) Функции AL = С — Yvt Аг = u+УС, Y уже встречались нам в главе 2 при рассмотрении комплексного светового конуса.нулевых конгруэнции, определяющих решения класса Керра-Шильда. В общем
В классе Керра-Шильда конгруэнция оказывается нулевой, как по отношению к полной метрике, так и по отношению к опорному пространству Минковского 7} , чем и оправдывается задание конгруэнции К в М4. Задание конгруэнции является первым шагом к решению уравнений Эйнштейна.
Теорема Керра - расширенная версия
В работе [87] Киннерсли обобщил решение для невращающихся чёрных дыр на случай их произвольного ускорения. Это решение получило название решения для "фотонной ракеты" в связи с появлением потока излучаемой фотонной радиации в тензоре энергии-импульса источника. Обобщение этого решения на вращающиеся чёрные дыры мы описываем в этом и следующем разделе [34]. Нестационарное обобщение Керровской конгруэнции, связанное с произвольным ускорением источника, может базироваться на представлении генерирующей конгруэнцию функции F в форме, подобной (3.34).
Как мы видели, для заданной вещественной точки Xі Є М параметр те и точка х(г/,) определяются как решение уравнения для пересечения левой образующей светового конуса с комплексной мировой линией X(TL). Рассматривая текущую комплексную радиальную координату и расщепление (3.51) светового конуса, с выделением запаздывающего времени мы получаем неявное нелинейное уравнение для определения Tj при заданной мировой линии. В отличие от рассмотренного Киннерсли случая, для комплексной мировой линииXQ(TL) решение зависит от выбора правой или левой нулевой плоскости светового конуса. Практическое определение корня требует при этом применения итеративной процедуры, поскольку коэффициенты функции І 1, а следовательно, и функция К (а;), и сама левая плоскость зависят от г .
Рассмотренная в предыдущем разделе функция F позволяет описать стационарные островные решения керровского типа и соответствующие решения с вещественным бустом. Однако, нестационарные решения не имеют в общем случае вещественного времени подобно го вектора Киллинга (3.36). Соответствующая генерирующая комплексная мировая линия XQ(T) ДЛЯ нестационарных решений имеет в общем случае комплексное значение 4-скорости х = 9TXQ(T), ЧТО, согласно (3.48), ведет к комплексным значениям функции Р и препятствует получению вещественных решений [32].
Для решения этой проблемы мы должны связать комплексную конструкцию запаздывающего времени с координатами вещественного сечения СМ4. Рассмотрим параметр Для вещественных х он вещественный, поскольку направление е3 на вещественном сечении также вещественное. Значение этого параметра на комплексной мировой линии будет где вещественный вектор е3 привязан к вещественной точке Xі } а комплексная точка XQ является точкой пересечения комплексной мировой линии с левой нулевой плоскостью. Левая нулевая плоскость натянута на е1 и е3, и мы имеем связь (а? — a?o)i = ctel-{- fie3 с некоторыми значениями параметров а и /3. В силу ортогональности е1 и е3, мы получаем при этом и следовательно, значения /э(хо)л = р[я) вещественны.
Подобным образом, для комплексно сопряжённой мировой линии мы имеем и на правой плоскости P(X—X Q)\R = О, то есть P(XQ) также вещественно. По аналогии с рассмотренным ранее стационарным случаем, мы хотим использовать для функции F представление вида в котором неизвестные пока функции Ki и К% зависят от запаздывающего времени ть = to + гег, приводя к форме (3-31) с зависящими от ть коэффициентами.
Заметим, что условие принадлежности корня т& = о + левой нулевой плоскости накладывает связь на Ц и т, при которой а\ь не является независимым параметром. Поэтому, рассматриваемые на вещественном сечении функции роїі, A[L И АІ являются функциями только от одного вещественного параметра ід = (т + гд), который также фиксирует нулевые плоскости, и следовательно постоянен на них, удовлетворяя соотношениям
Представляя, как и в (3.41), -зависимость твисторных переменных в виде AS(so(r)) = AS(s0(0)) + TU0A, A(rc0(r)) = A(x0(0)) + raioA, (3.62) мы получаем в (3.60) линейный по т член вида (адА - ЪдХУь, (3-63) который сокращается при следующем специальном выборе функций Кі = д \Ь K2 = dtQXl (3.64) приводящем к эквивалентности представлений (3.31) и (3.60). Представление функции F в виде (3.60) действует лишь локально, в окрестности данного значения / и запаздывающего времени о» которые, согласно (3.62) и (3.64), определяют локальные значения коэффициентов уравнения F — 0 и функции Y{x).
Константы с,р, g, g определяют буст источника, в то время как х0 определяет его положение и ориентацию углового момента. Общая схема вычислений в нестационарном случае оказывается довольно сложной, с итерационной обратной связью. Для заданной вещественной точки а; и некоторых начальных (или используемых с предыдущего цикла) значений с,_р, q, q и Aj, Л, являющихся параметрами для функции F(Y), определяется значение Y(x) и направление конгруэнции e Y). Далее вычисляются параметры р, Аі, Аг, и находится корень (т = і$-\-іо) для решения уравнений левой нулевой плоскости Ai = A;(r); A2 = AJ(r), (3.76) и соответствующее ему значение XQ(TL). В процессе поиска корня вычисляются производные Р = dtop., dtQXu Ф0Л2. Эти данные являются скорректированными параметрами функции F, используемыми на новом итерационном цикле. Несмотря на то, что в процессе вычислений возникают вещественные промежуточные параметры р и to, в конечном счёте все параметры функции F определяются через левые нулевые плоскости значениями У, Лі, Аг, что соответствует теореме Керра.
Замкнутая евклидова струна и мировая поверхность на орбифолде
Можно выделить два вырожденных частных случая.
Первый - известное решение Киннерсли для невращающихся нестационарных источников [87] с вещественной мировой линией, $sm XQ — О, и вещественным г. Уравнение (3.87) имеет при этом решение с вещественными функциями Рит, зависящими от вещественного запаздывающего времени и. Уравнение (3.95) показывает присутствие радиации. Заметим, что это решение обобщает решение Вайдия для излучающей звезды [6]. Соотношение наших обозначений с обозначениями Киннерсли - следующее
Запаздывающее время в решении Киннерсли и — г/ (±о)2, и Х (и) =
Второй вырожденный случай соответствует прямой комплексной мировой линии с постоянным вещественным касательным направлением х — дТх$ " canst.. Функция Р = х е\ в этом случае не зависит от т, т = const, Р33 = 0 и мы получаем рассмотренное семейство вакуумных решений, соответствующих произвольному бусту решения Керра. Можно показать, что преобразованием Лоренца это решение может быть преобразовано к стандартному решению Керра (см. Приложение к этой главе). Сравнивая направление вектора Киллинга х1 с вектором Киллинга стандартного решения Керра yf = (1,0,0,0), и его мнимым сдвигом Этп XQ = $Ят (щ,Уо, о) = (0,0, о), можно видеть, что различные вещественные реализации решения Керра могут быть получены из стандартного решения Керра сдвигом "центра" и Лоренцевским преобразованием координат поворот изменяет направление углового момента ITTIXQ, а буст меняет направление вектора Киллинга
Обратно, решение Керра с произвольной ориентацией углового момента и вектора Киллинга может быть приведено к стандартной форме обратным преобразованием Лоренца
Проблема деформации решения Керра при Лоренцевском бусте привлекает интерес исследователей в связи с численным моделированием взаимодействия сталкивающихся чёрных дыр [103]. Другой важной проблемой является определение ультрарелятивистского предела для точных частицеподобных решений уравнений Эйнштейна. Эта проблема привлекла внимание в связи с пред пол агаеми нетривиальными гравитационными эффектами для межчастичных взаимодействий при экстремальных энергиях, связанными с присутствием гравитационных ударных волн [104, 105].
Первые результаты в этом направлении были получены Айхельбур-гом и Секслем [106], рассмотревшими поведение метрики Шв ар цш ил ь-да при ультрарелятивистском бусте. По причине сферической симметрии результаты в данном случае не зависят от направления буста. Подобное исследование в керровском случае вращающеигося источника должно учитывать ориентацию углового момента по отношению к бусту.
Даже в простейшем случае, без вращения, проблема демонстрирует существенные трудности, требующие привлекать сложную технику анализа, и обычно приводит к довольно громоздким приближенным выражениям еще до перехода к ультрарелятивистскому пределу [107, 108, 109]. Дополнительные проблемы возникают в процессе ульт-рарелятивистского предела в связи с сингулярным характером преобразований Лоренца при v = с. Следует заметить, что можно заранее предвидеть неоднозначность результатов, которые оказываются зависящими от используемой предельной процедуры.
Использование формализма Керра-Шильда и теоремы Керра позволяет получить точные и явные выражения для геометрии Керра при различных значениях буста и ориентации углового момента, включая ультрарелятивистские пределы. Мы получаем точные выражения для метрики, ГНК, связи координатных систем и расположения сингуляр-ностей. Мы обнаруживаем на этом пути некоторое неожиданное поведение Керровской сингулярности в ультрарелятивистском пределе.
Изложение основано на совместных работах Дж. Мальи и автора [51, 12]. Как было показано, решение Керра с произвольным вещественным бустом может быть сгенерировано комплексным источником с прямолинейной мировой линией в СМ з М = «К(0) + Х"г; tf = (1, ), (З.Ю7) и вещественным вектором Киплинга х - В нулевых координатах ЯоМ = (Со, й,«о» о) Є СМ4, Со и Со не являются комплексно сопряженными. Согласно теореме Керра, сингулярность определяется системой уравнений F = 0, dF/dY = 0 , (3.108) как каустика конгруэнции. При этом, Керровская конгруэнция принадлежит к классу, описываемому квадратичной фунуцией F(Y).
Мы используем описанную выше конструкцию запаздывающего времени. В этой картине метрики Шварцшильда и Керра соответствуют покоящейся частице, расположенной в начале координат. Мировая линия Керровской частицы сдвинута от начала на га по z-ко орди нате. Имеющееся взаимно однозначное соответствие между прямыми мировыми линиями вида (3.107) в комплексифицированном пространстве Минковского и классом решений Керра-Шильда с сингулярностями, заключёнными в ограниченной области, позволяет получить решение для подверженного бусту решения Керра (или Керра-Ньюмена) с помощью описанной выше конструкции запаздывающего времени. Буст решения Керра взаимно однозначно связан с соответствующим бустом 4-скорости х1
