Введение к работе
Актуальность темы. Общая постановка задачи интегральной геометрии такова: пусть задано дифференцируемое многообразие X размерности h и на нём - семейство К-мерных подмногообразий і(ліКі^-л) . Цусть на катадоы подмногообразии U х задана плотность 6у . Функции %(з:) на многообразии X сопоставляются её интегралы по подмногообразиям:
"ё
К.К-ІГ называется К-мерным обобщённым преобразованием Радона. Задача состоит в том, чтобы по 1\.к восстановить исходную функцию % (см.[і,2}). Классическим является случай, когда X ~ аффинное пространство 1R , і - множество гиперплоскостей, <Оч - мера Лебега на гиперплоскости Ц . В этом случае имеются Лормулы обращения ^2^, восходящие к работе И.Радона [з~[ .
-
Гельйанд И.М. Интегральная геометрия и её связь с теорией представлений // УМН, т. 15, № 2, I960.
-
Гелы*анд Й.М., Граев М.И., Виленкин Н.Я. Интегральная геометрия и связанные с ней вопросы теории представлений.*0боб- щённые функции, вып. 5, М.: Физматгиз, Т962. *
-
Radon J. Ukei. ctie ues,t("fYimuna von Уи.піг'/іопеп сЫгД tVire ^nteaia^werzte
W.'^
- I -
Одномерное обобщённое преобразование-Радона называют лучевым преобразованием. Для семейства прямых в W- имеются аналогичные Лорыулы обращения 4]» Однако, в этом случае RA.f зависит от большего числа параметров, чем исходная і*ункшія f . В связи с этим ставится вопрос о восстановлении $ , исходя из значений Rt.v на некотором У\- мерном семействе прямых. В комплексном пространстве эта задача изучалась И.М.Гель^андом и М.И.Граевым в работе [_5~[, Y\-мерные семейства прямых в (L , допускающие локальную формулу обращения лучевого преобразования, были названы допустимыми ко;.шлексами. В вещественном пространстве локальная- формула обращения лучевого преобразования в принципе невозможна, однако известны нелокальные Формулы для семейства прямых.в.;Щ? і пересекающих заданную кривую ^с [R. (см. работы L6f7»8,9]).
4. Хелгасон С. Прё&бразование Радона. М.: Мир, 1983.
5. Гелы&анд И.М.| Граев1 М.И. Комплексы прямых в пространстве
Q, // функц, анал. и его прил., т.2,1Р 3, с. г-52, т68.
6. Кириллов А.А. Об одной задаче И.М.ГелыЬанда // ДАН СССР,
с 137, IP 2, с. 276-277, Ї96І.
-
Tut. И. К. й* inoMAion ^ointuCa. Ь% cone - beam teconst-tucti'oh //SI AM ^. ftppf. Wa&. ,v. ЬЪ > 1ЪЯг , p. 54G-55Z.
-
Tinch Л V. Cone 4exn\ гесоп^гисііои t^fl, лои.1-CWOha им* //S»\AM . CLfft. ТМаІЬ. ,4.45, л/4
Многообразие V\ прямых в \\\ , пересекающих заданную кривую, является характеристическим, то есть в каждой точке Ц є К. оно касается конического подрасслоения у cli , где V - многообразие всех пряных в fR . Слой Z. е точке
Ue V определяется следующим образом: Z_w. = U '^ \х ,
где 1 С- л - многообразие прямых, проходящих через точку ОС. В.П.Паламодов предположил, что явные Формулы обращения лучевого преобразования молено выписать для любых характеристических комплексов прямых.
В диссертации определяется понятие характеристического комплекса кривых, а также более общее понятие гиперболического комплекса к?;гвкх на многообразии X . Оказалось, что для прямых в С- свойства гиперболичности и допустимости эквивалентны. Более того, для гиперболических комплексов кривых оказались верными некоторые утверждения о локальном строении, аналогичные доказанным в [5] и [ToJ для комплексно-анататичесгпк допуст;шых комплексов прямых в (L .
С использованием полученного описания в диссетэтации выво-- о
дятся явные.формулы обращения лучевого преобразования для любых V\ -мерных характеристических комплексов прямых в VR .
9. Лель^анд Ц.М., Гончаров А.Е. Восстановление финитной функ
ции, исходя из её интегралов по прямым, пересекающим данное
множество точек в пространстве // ДАН СССР, 290, ш- 5, T9fi6.
10. Майус К. Структура допустимых коїлілєксов прямых в (L //
Фушщ. анал. и его прил., т.7, !Р I, с. 78-81, 1979.
Одним из важнейших источников задач интегральной геометрии являются её практические приложения, в первую очередь, в томографии \Т1~\* Задача обращения преобразования Радона по неполным данным - одна из них. Для её решения монно применять различше методы: метод Д.Слепяна, использующий разложение по вытян^уыы сфероидальным Функциям [_12], метод моментов \j3\, приближённые методы решения интегрального уравнения интерполяции [т4].
Предлагаемый в диссертации способ основан на явной лорі.у-ле интерполяции целой Функции экспоненциального типа. Эта Формула может быть применена в родственных задачах интерполяции, в которых применяется метод .И.Слепяна [l2j.
Проблема обращения обобщённого преобразования Радона на
ТТ. Наттерер ф. Математические аспекты компьютерной тоі..огра-
Фии. М.: Мир, 1990. и
Т2. StepLan Ъ. , Ро^хсЙ И. Рго&?е г>pierьіАа. Є v>atee ions , ^o^ziei <хп*ІЬ<4- dr\d ипсллілїпі^, III bu(. Spt TccU. ., kO, -f 361 , p- кЪ
-
Камзолов А.И., Лукашенко Т.П., Никишин Е.М. Нахо-дение ;.:о-ментов Функции по её преобразованию Радона// Тез. симп.'по вычислительной томографии, Новосиб., СОАН СССР, тоез, с. 91-92.
-
Гончарский А.В., Матвиенко А.Н., Новикова Т.Н., Пикус И.Ю. Савич А.И., Якубов В.А. О проблеме неполноты данных в задачах восстановления скоростного разреза по результатам сейсмического проствечивания // Тез. ITI Всес. симп. по вычисоительной томографии, Киев, Навукова думка, Т987.
семействе произвольных гладких поверхностей изучалась различными авторами. В [.15^ для семейства гиперповерхностей в области /\CL IR был определён оператор обратного проектирования R п-1 такой, что .
2- т*
где ІЛ - компактный оператор , норма которого мояет быть меньше единицы, если размеры области X достаточно малы.
В. Гийемин рассмотрел задачу для двойных расслоений \_Т6^:
У Y
удовлетворяющих условию Болкера, которое заключается в том, что
отображение является вложением.
Здесь Р - сужение на Л/ 2 естественной проекции
. В этом случае при помощи поло^и1-тельной плотности /1 на 2 определяется преобразование Радона Rk Jp- ^(71*^.^) и оператор обратной проекции R. ^ Ч -
— "* (у> Я"/1) Оказывается, что R* R.*. - эллиптический псев-доди^еренциальный оператор порядка dUr» Y— ttlv*v ї.
т5. Лаврентьев М.М., Романов З.Г., Шишатский СП. Некорректные задачи математической Физики и анализа. И.: Наука, гг>80. Тб. Йи.і^шіп V. On Some
З.Т.Квинто в работе ^17_[ вычислил его главный символ.
Г. Бейлькин в [^18] для определённого вида семейства гиперповерхностей в области X с 1R построил оператор, обращающие преобразование Радона с точностью до псевдодил<ї«ренцлального оператора порядка -I.
А.Гринли* и Г.Ульман в [_!?>} изучали лучевое преобразование для lrt-мернкх комплексов геодезических римановой метрики, подчинённых дополнительны: условиям. В этой ситуации получена <*орь:ула обращения с точностью до оператора порядка -л/<^_ .
В.П.Палакодов в ^_20"\ указал условия на се:.:е;:ство кривга в пространстве, достаточное для корректного обращения Й^ с точностью до бесконечно гладкой функции.
В диссертации рассматриваются произвольные семейства гладких поверхностей.
17. Олл^пІО 2f. Т. ТЦе cLepenc/ЄпсЄ oJf the 0П-
//Тчл-кд. CLwwi. ГПяП. Soc, v. 154, h2\ 4$>S0
18. 6^4^-n %Sn. TWs. iM\ytn^.o\n pnzg&K" а-п<*
a.poticA.tiori& of ~tke. ge-njtK&iieJ %
Jozvn //Co**,. Purw ap9. ШаЛЬ. tv. И><№,514-511
19. Ьгегпйа./ A., Hft&muui ^. УіопСослІ intension
Рогтл&А. /o7 Иге У-'LAXj t'ZaM^^Ol^ II Du^c
TYiaih . ,v. 58 , л/і,*68а,?.ао5- 24 0
20. Паламодов В.П. Проблемы полноты данных и обращения-лучево-
го преобразования в пространстве // Тез. докл. Всес. симп. по
вычислительной томографии, ч. I, с. 30-31, Новосибирск, Т89.
б.-
Цель работы. Целью работы является исследование локального строения гиперболических кої.шлексов кривых, получение явных 'ормул обращения лучевого преобразования для характеристических комплексов пря.!ых в IR и для данных в неполмоі.: угловом диапазоне; а таїте исследование .обобщённого преобразования Радона для произвольных семейств гладких поверхностей в области евклидова пространства.
Научная новизна . Результаты диссертации являются новыми. Основные результаты заключаются в следующем:
I/. Дано локальное описание характеристических и гиперболических комплексов кривых общего положения.
2/. Получены явные Формулы обращения лучевого преобразования для характеристических комплексов прямых в IR- , а также новый метод обращения преобразования Вздона по неполным данным, основанный на явной формуле интерполяции целой функции.
3/. Для семейства гиперповерхностей в области евклидова пространства построен оператор, обращающий обобщённое преобразование Радона с точностью до сглаживающего псевдоди^ренци-ального оператора, вычислен главный символ этого сглаживающего оператора; рассмотрен также случай семейств поверхностей произвольной размерности.
Теоретичеакая и практическая значимость. Результаты диссертации носят теоретический характер и могут быть-использованы в интегральной геометрии и томографии.
Аггробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинарах кафедры теории функций и Функционального анализа механико-математического Факультета МГУ, на студенческой научной конференции МГУ в 1987 году и на III Всесоюзном симпозиуме по вычислительной томографии в Киеве в 1987 году.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в двух работах, список которых приводится в конце авторе^ра-та. В работе \l\ написанной в соавторстве, автору диссертации принадлежит Ргоро&с1іоп 1.
Структура диссертации. Работа состоит из введения, трёх глав, включающих в себя 8 параграфов и списка литературы, содержащего 42 наименования. Объём диссертации - 88 листов.
